Theorem volinun 25295

Description: Addition of non-disjoint sets. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
volinun	⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)) = ((vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol‘(𝐴 ∪ 𝐵))))

Proof of Theorem volinun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inundif 4477	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = 𝐴
2	1	fveq2i 6893	. . . 4 ⊢ (vol‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = (vol‘𝐴)
3		inmbl 25291	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ dom vol)
4	3	adantr 479	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ dom vol)
5		difmbl 25292	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom vol)
6	5	adantr 479	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom vol)
7		indifcom 4271	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = (𝐴 ∩ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ 𝐵))
8		difin0 4472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ 𝐵) = ∅
9	8	ineq2i 4208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∩ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ 𝐵)) = (𝐴 ∩ ∅)
10		in0 4390	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∩ ∅) = ∅
11	9, 10	eqtri 2758	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ 𝐵)) = ∅
12	7, 11	eqtri 2758	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅)
14		mblvol 25279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
15	4, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
16		inss1 4227	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴)
18		mblss 25280	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
19	18	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
20		mblvol 25279	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
21	20	ad2antrr 722	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
22		simprl 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
23	21, 22	eqeltrrd 2832	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
24		ovolsscl 25235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ)
25	17, 19, 23, 24	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ)
26	15, 25	eqeltrd 2831	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ)
27		mblvol 25279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))
28	6, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))
29		difssd 4131	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴)
30		ovolsscl 25235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
31	29, 19, 23, 30	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
32	28, 31	eqeltrd 2831	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
33		volun 25294	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ dom vol ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom vol ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅) ∧ ((vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
34	4, 6, 13, 26, 32, 33	syl32anc 1376	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
35	2, 34	eqtr3id 2784	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘𝐴) = ((vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
36	35	oveq1d 7426	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)) = (((vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol‘(𝐴 ∖ 𝐵))) + (vol‘𝐵)))
37	26	recnd 11246	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℂ)
38	32	recnd 11246	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℂ)
39		simprr 769	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘𝐵) ∈ ℝ)
40	39	recnd 11246	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘𝐵) ∈ ℂ)
41	37, 38, 40	addassd 11240	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (((vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol‘(𝐴 ∖ 𝐵))) + (vol‘𝐵)) = ((vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + ((vol‘(𝐴 ∖ 𝐵)) + (vol‘𝐵))))
42		simplr 765	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ dom vol)
43		disjdifr 4471	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ 𝐵) = ∅
44	43	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ 𝐵) = ∅)
45		volun 25294	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ 𝐵) = ∅) ∧ ((vol‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵)) = ((vol‘(𝐴 ∖ 𝐵)) + (vol‘𝐵)))
46	6, 42, 44, 32, 39, 45	syl32anc 1376	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵)) = ((vol‘(𝐴 ∖ 𝐵)) + (vol‘𝐵)))
47		undif1 4474	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵)
48	47	fveq2i 6893	. . . 4 ⊢ (vol‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵)) = (vol‘(𝐴 ∪ 𝐵))
49	46, 48	eqtr3di 2785	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol‘(𝐴 ∖ 𝐵)) + (vol‘𝐵)) = (vol‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
50	49	oveq2d 7427	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + ((vol‘(𝐴 ∖ 𝐵)) + (vol‘𝐵))) = ((vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol‘(𝐴 ∪ 𝐵))))
51	36, 41, 50	3eqtrd 2774	1 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)) = ((vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol‘(𝐴 ∪ 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ∖ cdif 3944   ∪ cun 3945   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321  dom cdm 5675  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  ℝcr 11111   + caddc 11115  vol*covol 25211  volcvol 25212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-ovol 25213  df-vol 25214

This theorem is referenced by: (None)