Theorem volinun 25531

Description: Addition of non-disjoint sets. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
volinun	⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)) = ((vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol‘(𝐴 ∪ 𝐵))))

Proof of Theorem volinun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inundif 4407	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = 𝐴
2	1	fveq2i 6830	. . . 4 ⊢ (vol‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = (vol‘𝐴)
3		inmbl 25527	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ dom vol)
4	3	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ dom vol)
5		difmbl 25528	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom vol)
6	5	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom vol)
7		indifcom 4211	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = (𝐴 ∩ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ 𝐵))
8		difin0 4402	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ 𝐵) = ∅
9	8	ineq2i 4146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∩ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ 𝐵)) = (𝐴 ∩ ∅)
10		in0 4323	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∩ ∅) = ∅
11	9, 10	eqtri 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ 𝐵)) = ∅
12	7, 11	eqtri 2762	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅)
14		mblvol 25515	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
15	4, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
16		inss1 4165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴)
18		mblss 25516	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
19	18	ad2antrr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
20		mblvol 25515	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
21	20	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
22		simprl 776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
23	21, 22	eqeltrrd 2840	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
24		ovolsscl 25471	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ)
25	17, 19, 23, 24	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ)
26	15, 25	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ)
27		mblvol 25515	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))
28	6, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))
29		difssd 4067	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴)
30		ovolsscl 25471	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
31	29, 19, 23, 30	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
32	28, 31	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
33		volun 25530	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ dom vol ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom vol ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅) ∧ ((vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
34	4, 6, 13, 26, 32, 33	syl32anc 1386	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
35	2, 34	eqtr3id 2788	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘𝐴) = ((vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
36	35	oveq1d 7371	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)) = (((vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol‘(𝐴 ∖ 𝐵))) + (vol‘𝐵)))
37	26	recnd 11164	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℂ)
38	32	recnd 11164	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℂ)
39		simprr 778	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘𝐵) ∈ ℝ)
40	39	recnd 11164	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘𝐵) ∈ ℂ)
41	37, 38, 40	addassd 11158	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (((vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol‘(𝐴 ∖ 𝐵))) + (vol‘𝐵)) = ((vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + ((vol‘(𝐴 ∖ 𝐵)) + (vol‘𝐵))))
42		simplr 774	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ dom vol)
43		disjdifr 4401	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ 𝐵) = ∅
44	43	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ 𝐵) = ∅)
45		volun 25530	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ 𝐵) = ∅) ∧ ((vol‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵)) = ((vol‘(𝐴 ∖ 𝐵)) + (vol‘𝐵)))
46	6, 42, 44, 32, 39, 45	syl32anc 1386	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵)) = ((vol‘(𝐴 ∖ 𝐵)) + (vol‘𝐵)))
47		undif1 4404	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵)
48	47	fveq2i 6830	. . . 4 ⊢ (vol‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵)) = (vol‘(𝐴 ∪ 𝐵))
49	46, 48	eqtr3di 2789	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol‘(𝐴 ∖ 𝐵)) + (vol‘𝐵)) = (vol‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
50	49	oveq2d 7372	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + ((vol‘(𝐴 ∖ 𝐵)) + (vol‘𝐵))) = ((vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol‘(𝐴 ∪ 𝐵))))
51	36, 41, 50	3eqtrd 2778	1 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)) = ((vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol‘(𝐴 ∪ 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261  dom cdm 5618  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℝcr 11028   + caddc 11032  vol*covol 25447  volcvol 25448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-ovol 25449  df-vol 25450

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