Theorem volinun 24947

Description: Addition of non-disjoint sets. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
volinun	⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)) = ((vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol‘(𝐴 ∪ 𝐵))))

Proof of Theorem volinun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inundif 4443	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = 𝐴
2	1	fveq2i 6850	. . . 4 ⊢ (vol‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = (vol‘𝐴)
3		inmbl 24943	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ dom vol)
4	3	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ dom vol)
5		difmbl 24944	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom vol)
6	5	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom vol)
7		indifcom 4237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = (𝐴 ∩ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ 𝐵))
8		difin0 4438	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ 𝐵) = ∅
9	8	ineq2i 4174	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∩ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ 𝐵)) = (𝐴 ∩ ∅)
10		in0 4356	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∩ ∅) = ∅
11	9, 10	eqtri 2759	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ 𝐵)) = ∅
12	7, 11	eqtri 2759	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅)
14		mblvol 24931	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
15	4, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
16		inss1 4193	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴)
18		mblss 24932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
19	18	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
20		mblvol 24931	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
21	20	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
22		simprl 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
23	21, 22	eqeltrrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
24		ovolsscl 24887	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ)
25	17, 19, 23, 24	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ)
26	15, 25	eqeltrd 2832	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ)
27		mblvol 24931	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))
28	6, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))
29		difssd 4097	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴)
30		ovolsscl 24887	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
31	29, 19, 23, 30	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
32	28, 31	eqeltrd 2832	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
33		volun 24946	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ dom vol ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom vol ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅) ∧ ((vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
34	4, 6, 13, 26, 32, 33	syl32anc 1378	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
35	2, 34	eqtr3id 2785	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘𝐴) = ((vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
36	35	oveq1d 7377	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)) = (((vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol‘(𝐴 ∖ 𝐵))) + (vol‘𝐵)))
37	26	recnd 11192	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℂ)
38	32	recnd 11192	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℂ)
39		simprr 771	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘𝐵) ∈ ℝ)
40	39	recnd 11192	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘𝐵) ∈ ℂ)
41	37, 38, 40	addassd 11186	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (((vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol‘(𝐴 ∖ 𝐵))) + (vol‘𝐵)) = ((vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + ((vol‘(𝐴 ∖ 𝐵)) + (vol‘𝐵))))
42		simplr 767	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ dom vol)
43		disjdifr 4437	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ 𝐵) = ∅
44	43	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ 𝐵) = ∅)
45		volun 24946	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ 𝐵) = ∅) ∧ ((vol‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵)) = ((vol‘(𝐴 ∖ 𝐵)) + (vol‘𝐵)))
46	6, 42, 44, 32, 39, 45	syl32anc 1378	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵)) = ((vol‘(𝐴 ∖ 𝐵)) + (vol‘𝐵)))
47		undif1 4440	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵)
48	47	fveq2i 6850	. . . 4 ⊢ (vol‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵)) = (vol‘(𝐴 ∪ 𝐵))
49	46, 48	eqtr3di 2786	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol‘(𝐴 ∖ 𝐵)) + (vol‘𝐵)) = (vol‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
50	49	oveq2d 7378	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + ((vol‘(𝐴 ∖ 𝐵)) + (vol‘𝐵))) = ((vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol‘(𝐴 ∪ 𝐵))))
51	36, 41, 50	3eqtrd 2775	1 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)) = ((vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol‘(𝐴 ∪ 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3910   ∪ cun 3911   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ∅c0 4287  dom cdm 5638  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  ℝcr 11059   + caddc 11063  vol*covol 24863  volcvol 24864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9387  df-inf 9388  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12423  df-z 12509  df-uz 12773  df-q 12883  df-rp 12925  df-ioo 13278  df-ico 13280  df-icc 13281  df-fz 13435  df-fl 13707  df-seq 13917  df-exp 13978  df-cj 14996  df-re 14997  df-im 14998  df-sqrt 15132  df-abs 15133  df-ovol 24865  df-vol 24866

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