Theorem volinun 25705

Description: Addition of non-disjoint sets. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
volinun	⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)) = ((vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol‘(𝐴 ∪ 𝐵))))

Proof of Theorem volinun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inundif 4440	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = 𝐴
2	1	fveq2i 6884	. . . 4 ⊢ (vol‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = (vol‘𝐴)
3		inmbl 25701	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ dom vol)
4	3	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ dom vol)
5		difmbl 25702	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom vol)
6	5	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom vol)
7		indifcom 4236	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = (𝐴 ∩ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ 𝐵))
8		difin0 4435	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ 𝐵) = ∅
9	8	ineq2i 4170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∩ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ 𝐵)) = (𝐴 ∩ ∅)
10		in0 4352	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∩ ∅) = ∅
11	9, 10	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ 𝐵)) = ∅
12	7, 11	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅)
14		mblvol 25689	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
15	4, 14	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
16		inss1 4189	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴)
18		mblss 25690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
19	18	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
20		mblvol 25689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
21	20	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
22		simprl 782	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
23	21, 22	eqeltrrd 2864	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
24		ovolsscl 25645	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ)
25	17, 19, 23, 24	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ)
26	15, 25	eqeltrd 2863	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ)
27		mblvol 25689	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))
28	6, 27	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)))
29		difssd 4091	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴)
30		ovolsscl 25645	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
31	29, 19, 23, 30	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
32	28, 31	eqeltrd 2863	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
33		volun 25704	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ dom vol ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom vol ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅) ∧ ((vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
34	4, 6, 13, 26, 32, 33	syl32anc 1405	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
35	2, 34	eqtr3id 2812	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘𝐴) = ((vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
36	35	oveq1d 7425	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)) = (((vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol‘(𝐴 ∖ 𝐵))) + (vol‘𝐵)))
37	26	recnd 11232	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℂ)
38	32	recnd 11232	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℂ)
39		simprr 784	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘𝐵) ∈ ℝ)
40	39	recnd 11232	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘𝐵) ∈ ℂ)
41	37, 38, 40	addassd 11226	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (((vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol‘(𝐴 ∖ 𝐵))) + (vol‘𝐵)) = ((vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + ((vol‘(𝐴 ∖ 𝐵)) + (vol‘𝐵))))
42		simplr 780	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ dom vol)
43		disjdifr 4434	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ 𝐵) = ∅
44	43	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ 𝐵) = ∅)
45		volun 25704	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ 𝐵) = ∅) ∧ ((vol‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵)) = ((vol‘(𝐴 ∖ 𝐵)) + (vol‘𝐵)))
46	6, 42, 44, 32, 39, 45	syl32anc 1405	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵)) = ((vol‘(𝐴 ∖ 𝐵)) + (vol‘𝐵)))
47		undif1 4437	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵)
48	47	fveq2i 6884	. . . 4 ⊢ (vol‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵)) = (vol‘(𝐴 ∪ 𝐵))
49	46, 48	eqtr3di 2813	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol‘(𝐴 ∖ 𝐵)) + (vol‘𝐵)) = (vol‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
50	49	oveq2d 7426	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + ((vol‘(𝐴 ∖ 𝐵)) + (vol‘𝐵))) = ((vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol‘(𝐴 ∪ 𝐵))))
51	36, 41, 50	3eqtrd 2802	1 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)) = ((vol‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol‘(𝐴 ∪ 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∖ cdif 3902   ∪ cun 3903   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  dom cdm 5661  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11094   + caddc 11098  vol*covol 25621  volcvol 25622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-ioo 13371  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13531  df-fl 13821  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-ovol 25623  df-vol 25624

This theorem is referenced by: (None)