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Theorem volinun 25595
Description: Addition of non-disjoint sets. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
volinun (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)) = ((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘(𝐴𝐵))))

Proof of Theorem volinun
StepHypRef Expression
1 inundif 4485 . . . . 5 ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴
21fveq2i 6910 . . . 4 (vol‘((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵))) = (vol‘𝐴)
3 inmbl 25591 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐴𝐵) ∈ dom vol)
43adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (𝐴𝐵) ∈ dom vol)
5 difmbl 25592 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐴𝐵) ∈ dom vol)
65adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (𝐴𝐵) ∈ dom vol)
7 indifcom 4289 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∩ (𝐴𝐵)) = (𝐴 ∩ ((𝐴𝐵) ∖ 𝐵))
8 difin0 4480 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵) ∖ 𝐵) = ∅
98ineq2i 4225 . . . . . . . 8 (𝐴 ∩ ((𝐴𝐵) ∖ 𝐵)) = (𝐴 ∩ ∅)
10 in0 4401 . . . . . . . 8 (𝐴 ∩ ∅) = ∅
119, 10eqtri 2763 . . . . . . 7 (𝐴 ∩ ((𝐴𝐵) ∖ 𝐵)) = ∅
127, 11eqtri 2763 . . . . . 6 ((𝐴𝐵) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅
1312a1i 11 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((𝐴𝐵) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅)
14 mblvol 25579 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴𝐵)) = (vol*‘(𝐴𝐵)))
154, 14syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴𝐵)) = (vol*‘(𝐴𝐵)))
16 inss1 4245 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
1716a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴)
18 mblss 25580 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
1918ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
20 mblvol 25579 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
2120ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
22 simprl 771 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
2321, 22eqeltrrd 2840 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
24 ovolsscl 25535 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
2517, 19, 23, 24syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
2615, 25eqeltrd 2839 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
27 mblvol 25579 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴𝐵)) = (vol*‘(𝐴𝐵)))
286, 27syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴𝐵)) = (vol*‘(𝐴𝐵)))
29 difssd 4147 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴)
30 ovolsscl 25535 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
3129, 19, 23, 30syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
3228, 31eqeltrd 2839 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
33 volun 25594 . . . . 5 ((((𝐴𝐵) ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) ∈ dom vol ∧ ((𝐴𝐵) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅) ∧ ((vol‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵))) = ((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘(𝐴𝐵))))
344, 6, 13, 26, 32, 33syl32anc 1377 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵))) = ((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘(𝐴𝐵))))
352, 34eqtr3id 2789 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘𝐴) = ((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘(𝐴𝐵))))
3635oveq1d 7446 . 2 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)) = (((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘(𝐴𝐵))) + (vol‘𝐵)))
3726recnd 11287 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
3832recnd 11287 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
39 simprr 773 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘𝐵) ∈ ℝ)
4039recnd 11287 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘𝐵) ∈ ℂ)
4137, 38, 40addassd 11281 . 2 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘(𝐴𝐵))) + (vol‘𝐵)) = ((vol‘(𝐴𝐵)) + ((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘𝐵))))
42 simplr 769 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ dom vol)
43 disjdifr 4479 . . . . . 6 ((𝐴𝐵) ∩ 𝐵) = ∅
4443a1i 11 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((𝐴𝐵) ∩ 𝐵) = ∅)
45 volun 25594 . . . . 5 ((((𝐴𝐵) ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ ((𝐴𝐵) ∩ 𝐵) = ∅) ∧ ((vol‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴𝐵) ∪ 𝐵)) = ((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘𝐵)))
466, 42, 44, 32, 39, 45syl32anc 1377 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴𝐵) ∪ 𝐵)) = ((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘𝐵)))
47 undif1 4482 . . . . 5 ((𝐴𝐵) ∪ 𝐵) = (𝐴𝐵)
4847fveq2i 6910 . . . 4 (vol‘((𝐴𝐵) ∪ 𝐵)) = (vol‘(𝐴𝐵))
4946, 48eqtr3di 2790 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘𝐵)) = (vol‘(𝐴𝐵)))
5049oveq2d 7447 . 2 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol‘(𝐴𝐵)) + ((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘𝐵))) = ((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘(𝐴𝐵))))
5136, 41, 503eqtrd 2779 1 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)) = ((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘(𝐴𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  cdif 3960  cun 3961  cin 3962  wss 3963  c0 4339  dom cdm 5689  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152   + caddc 11156  vol*covol 25511  volcvol 25512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-ovol 25513  df-vol 25514
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