MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniioovol Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uniioovol 25536
Description: A disjoint union of open intervals has volume equal to the sum of the volume of the intervals. (This proof does not use countable choice, unlike voliun 25511.) Lemma 565Ca of [Fremlin5] p. 213. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
uniioombl.2 (πœ‘ β†’ Disj π‘₯ ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
uniioombl.3 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹))
Assertion
Ref Expression
uniioovol (πœ‘ β†’ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) = sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝑆(π‘₯)

Proof of Theorem uniioovol
Dummy variables 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioof 13466 . . . . . 6 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
2 uniioombl.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
3 inss2 4232 . . . . . . . 8 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ Γ— ℝ)
4 rexpssxrxp 11299 . . . . . . . 8 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
53, 4sstri 3991 . . . . . . 7 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
6 fss 6744 . . . . . . 7 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*))
72, 5, 6sylancl 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*))
8 fco 6752 . . . . . 6 (((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ ∧ 𝐹:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ ((,) ∘ 𝐹):β„•βŸΆπ’« ℝ)
91, 7, 8sylancr 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((,) ∘ 𝐹):β„•βŸΆπ’« ℝ)
109frnd 6735 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† 𝒫 ℝ)
11 sspwuni 5107 . . . 4 (ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† 𝒫 ℝ ↔ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† ℝ)
1210, 11sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† ℝ)
13 ovolcl 25435 . . 3 (βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† ℝ β†’ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) ∈ ℝ*)
1412, 13syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) ∈ ℝ*)
15 eqid 2728 . . . . . 6 ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹) = ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)
16 uniioombl.3 . . . . . 6 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹))
1715, 16ovolsf 25429 . . . . 5 (𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ 𝑆:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
18 frn 6734 . . . . 5 (𝑆:β„•βŸΆ(0[,)+∞) β†’ ran 𝑆 βŠ† (0[,)+∞))
192, 17, 183syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝑆 βŠ† (0[,)+∞))
20 icossxr 13451 . . . 4 (0[,)+∞) βŠ† ℝ*
2119, 20sstrdi 3994 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝑆 βŠ† ℝ*)
22 supxrcl 13336 . . 3 (ran 𝑆 βŠ† ℝ* β†’ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2321, 22syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
24 ssid 4004 . . 3 βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)
2516ovollb 25436 . . 3 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) β†’ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) ≀ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
262, 24, 25sylancl 584 . 2 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) ≀ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
2716fveq1i 6903 . . . . . . . 8 (π‘†β€˜π‘›) = (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹))β€˜π‘›)
282adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
29 elfznn 13572 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (1...𝑛) β†’ π‘₯ ∈ β„•)
3015ovolfsval 25427 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = ((2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) βˆ’ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
3128, 29, 30syl2an 594 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = ((2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) βˆ’ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
32 fvco3 7002 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
3328, 29, 32syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
34 ffvelcdm 7096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
3528, 29, 34syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
3635elin2d 4201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (ℝ Γ— ℝ))
37 1st2nd2 8040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = ⟨(1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)), (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯))⟩)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = ⟨(1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)), (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯))⟩)
3938fveq2d 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = ((,)β€˜βŸ¨(1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)), (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯))⟩))
40 df-ov 7429 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) = ((,)β€˜βŸ¨(1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)), (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯))⟩)
4139, 40eqtr4di 2786 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
4233, 41eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
43 ioombl 25522 . . . . . . . . . . . . 13 ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∈ dom vol
4442, 43eqeltrdi 2837 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ dom vol)
45 mblvol 25487 . . . . . . . . . . . 12 ((((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) = (vol*β€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (volβ€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) = (vol*β€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)))
4742fveq2d 6906 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (vol*β€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) = (vol*β€˜((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))))
48 ovolfcl 25423 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
4928, 29, 48syl2an 594 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
50 ovolioo 25525 . . . . . . . . . . . 12 (((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) β†’ (vol*β€˜((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))) = ((2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) βˆ’ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (vol*β€˜((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))) = ((2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) βˆ’ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
5246, 47, 513eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (volβ€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) = ((2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) βˆ’ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
5331, 52eqtr4d 2771 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = (volβ€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)))
54 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
55 nnuz 12905 . . . . . . . . . 10 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
5654, 55eleqtrdi 2839 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
5749simp2d 1140 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
5849simp1d 1139 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
5957, 58resubcld 11682 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ ((2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) βˆ’ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
6052, 59eqeltrd 2829 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (volβ€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
6160recnd 11282 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (volβ€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
6253, 56, 61fsumser 15718 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ (1...𝑛)(volβ€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) = (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹))β€˜π‘›))
6327, 62eqtr4id 2787 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘†β€˜π‘›) = Ξ£π‘₯ ∈ (1...𝑛)(volβ€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)))
64 fzfid 13980 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1...𝑛) ∈ Fin)
6544, 60jca 510 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ ((((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ dom vol ∧ (volβ€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ ℝ))
6665ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝑛)((((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ dom vol ∧ (volβ€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ ℝ))
67 fz1ssnn 13574 . . . . . . . . 9 (1...𝑛) βŠ† β„•
68 uniioombl.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ Disj π‘₯ ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
692, 32sylan 578 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
7069disjeq2dv 5122 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Disj π‘₯ ∈ β„• (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ↔ Disj π‘₯ ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
7168, 70mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Disj π‘₯ ∈ β„• (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯))
7271adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Disj π‘₯ ∈ β„• (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯))
73 disjss1 5123 . . . . . . . . 9 ((1...𝑛) βŠ† β„• β†’ (Disj π‘₯ ∈ β„• (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) β†’ Disj π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)))
7467, 72, 73mpsyl 68 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Disj π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯))
75 volfiniun 25504 . . . . . . . 8 (((1...𝑛) ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝑛)((((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ dom vol ∧ (volβ€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ ℝ) ∧ Disj π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) β†’ (volβ€˜βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) = Ξ£π‘₯ ∈ (1...𝑛)(volβ€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)))
7664, 66, 74, 75syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (volβ€˜βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) = Ξ£π‘₯ ∈ (1...𝑛)(volβ€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)))
7744ralrimiva 3143 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ dom vol)
78 finiunmbl 25501 . . . . . . . . 9 (((1...𝑛) ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ dom vol) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ dom vol)
7964, 77, 78syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ dom vol)
80 mblvol 25487 . . . . . . . 8 (βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) = (vol*β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)))
8179, 80syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (volβ€˜βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) = (vol*β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)))
8263, 76, 813eqtr2d 2774 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘†β€˜π‘›) = (vol*β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)))
83 iunss1 5014 . . . . . . . . 9 ((1...𝑛) βŠ† β„• β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ β„• (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯))
8467, 83mp1i 13 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ β„• (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯))
859adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((,) ∘ 𝐹):β„•βŸΆπ’« ℝ)
86 ffn 6727 . . . . . . . . 9 (((,) ∘ 𝐹):β„•βŸΆπ’« ℝ β†’ ((,) ∘ 𝐹) Fn β„•)
87 fniunfv 7263 . . . . . . . . 9 (((,) ∘ 𝐹) Fn β„• β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ β„• (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))
8885, 86, 873syl 18 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ β„• (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))
8984, 88sseqtrd 4022 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))
9012adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† ℝ)
91 ovolss 25442 . . . . . . 7 ((βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) ∧ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† ℝ) β†’ (vol*β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))
9289, 90, 91syl2anc 582 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (vol*β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))
9382, 92eqbrtrd 5174 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘†β€˜π‘›) ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))
9493ralrimiva 3143 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘†β€˜π‘›) ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))
952, 17syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
96 ffn 6727 . . . . 5 (𝑆:β„•βŸΆ(0[,)+∞) β†’ 𝑆 Fn β„•)
97 breq1 5155 . . . . . 6 (𝑦 = (π‘†β€˜π‘›) β†’ (𝑦 ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) ↔ (π‘†β€˜π‘›) ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))))
9897ralrn 7103 . . . . 5 (𝑆 Fn β„• β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑆 𝑦 ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘†β€˜π‘›) ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))))
9995, 96, 983syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑆 𝑦 ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘†β€˜π‘›) ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))))
10094, 99mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑆 𝑦 ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))
101 supxrleub 13347 . . . 4 ((ran 𝑆 βŠ† ℝ* ∧ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) ∈ ℝ*) β†’ (sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑆 𝑦 ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))))
10221, 14, 101syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑆 𝑦 ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))))
103100, 102mpbird 256 . 2 (πœ‘ β†’ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))
10414, 23, 26, 103xrletrid 13176 1 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) = sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4606  βŸ¨cop 4638  βˆͺ cuni 4912  βˆͺ ciun 5000  Disj wdisj 5117   class class class wbr 5152   Γ— cxp 5680  dom cdm 5682  ran crn 5683   ∘ ccom 5686   Fn wfn 6548  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  1st c1st 7999  2nd c2nd 8000  Fincfn 8972  supcsup 9473  β„cr 11147  0cc0 11148  1c1 11149   + caddc 11151  +∞cpnf 11285  β„*cxr 11287   < clt 11288   ≀ cle 11289   βˆ’ cmin 11484  β„•cn 12252  β„€β‰₯cuz 12862  (,)cioo 13366  [,)cico 13368  ...cfz 13526  seqcseq 14008  abscabs 15223  Ξ£csu 15674  vol*covol 25419  volcvol 25420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-disj 5118  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fi 9444  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-dju 9934  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13134  df-xadd 13135  df-xmul 13136  df-ioo 13370  df-ico 13372  df-icc 13373  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14332  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-clim 15474  df-rlim 15475  df-sum 15675  df-rest 17413  df-topgen 17434  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-top 22824  df-topon 22841  df-bases 22877  df-cmp 23319  df-ovol 25421  df-vol 25422
This theorem is referenced by:  uniiccvol  25537  uniioombllem2  25540
  Copyright terms: Public domain W3C validator