MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniioovol Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uniioovol 24966
Description: A disjoint union of open intervals has volume equal to the sum of the volume of the intervals. (This proof does not use countable choice, unlike voliun 24941.) Lemma 565Ca of [Fremlin5] p. 213. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
uniioombl.2 (πœ‘ β†’ Disj π‘₯ ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
uniioombl.3 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹))
Assertion
Ref Expression
uniioovol (πœ‘ β†’ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) = sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝑆(π‘₯)

Proof of Theorem uniioovol
Dummy variables 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioof 13373 . . . . . 6 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
2 uniioombl.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
3 inss2 4193 . . . . . . . 8 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ Γ— ℝ)
4 rexpssxrxp 11208 . . . . . . . 8 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
53, 4sstri 3957 . . . . . . 7 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
6 fss 6689 . . . . . . 7 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*))
72, 5, 6sylancl 587 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*))
8 fco 6696 . . . . . 6 (((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ ∧ 𝐹:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ ((,) ∘ 𝐹):β„•βŸΆπ’« ℝ)
91, 7, 8sylancr 588 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((,) ∘ 𝐹):β„•βŸΆπ’« ℝ)
109frnd 6680 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† 𝒫 ℝ)
11 sspwuni 5064 . . . 4 (ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† 𝒫 ℝ ↔ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† ℝ)
1210, 11sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† ℝ)
13 ovolcl 24865 . . 3 (βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† ℝ β†’ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) ∈ ℝ*)
1412, 13syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) ∈ ℝ*)
15 eqid 2733 . . . . . 6 ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹) = ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)
16 uniioombl.3 . . . . . 6 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹))
1715, 16ovolsf 24859 . . . . 5 (𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ 𝑆:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
18 frn 6679 . . . . 5 (𝑆:β„•βŸΆ(0[,)+∞) β†’ ran 𝑆 βŠ† (0[,)+∞))
192, 17, 183syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝑆 βŠ† (0[,)+∞))
20 icossxr 13358 . . . 4 (0[,)+∞) βŠ† ℝ*
2119, 20sstrdi 3960 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝑆 βŠ† ℝ*)
22 supxrcl 13243 . . 3 (ran 𝑆 βŠ† ℝ* β†’ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2321, 22syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
24 ssid 3970 . . 3 βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)
2516ovollb 24866 . . 3 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) β†’ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) ≀ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
262, 24, 25sylancl 587 . 2 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) ≀ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
2716fveq1i 6847 . . . . . . . 8 (π‘†β€˜π‘›) = (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹))β€˜π‘›)
282adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
29 elfznn 13479 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (1...𝑛) β†’ π‘₯ ∈ β„•)
3015ovolfsval 24857 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = ((2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) βˆ’ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
3128, 29, 30syl2an 597 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = ((2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) βˆ’ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
32 fvco3 6944 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
3328, 29, 32syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
34 ffvelcdm 7036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
3528, 29, 34syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
3635elin2d 4163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (ℝ Γ— ℝ))
37 1st2nd2 7964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = ⟨(1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)), (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯))⟩)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = ⟨(1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)), (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯))⟩)
3938fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = ((,)β€˜βŸ¨(1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)), (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯))⟩))
40 df-ov 7364 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) = ((,)β€˜βŸ¨(1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)), (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯))⟩)
4139, 40eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
4233, 41eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
43 ioombl 24952 . . . . . . . . . . . . 13 ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∈ dom vol
4442, 43eqeltrdi 2842 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ dom vol)
45 mblvol 24917 . . . . . . . . . . . 12 ((((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) = (vol*β€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (volβ€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) = (vol*β€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)))
4742fveq2d 6850 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (vol*β€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) = (vol*β€˜((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))))
48 ovolfcl 24853 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
4928, 29, 48syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
50 ovolioo 24955 . . . . . . . . . . . 12 (((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) β†’ (vol*β€˜((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))) = ((2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) βˆ’ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (vol*β€˜((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))) = ((2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) βˆ’ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
5246, 47, 513eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (volβ€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) = ((2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) βˆ’ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
5331, 52eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = (volβ€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)))
54 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
55 nnuz 12814 . . . . . . . . . 10 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
5654, 55eleqtrdi 2844 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
5749simp2d 1144 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
5849simp1d 1143 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
5957, 58resubcld 11591 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ ((2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) βˆ’ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
6052, 59eqeltrd 2834 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (volβ€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
6160recnd 11191 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (volβ€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
6253, 56, 61fsumser 15623 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ (1...𝑛)(volβ€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) = (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹))β€˜π‘›))
6327, 62eqtr4id 2792 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘†β€˜π‘›) = Ξ£π‘₯ ∈ (1...𝑛)(volβ€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)))
64 fzfid 13887 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1...𝑛) ∈ Fin)
6544, 60jca 513 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ ((((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ dom vol ∧ (volβ€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ ℝ))
6665ralrimiva 3140 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝑛)((((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ dom vol ∧ (volβ€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ ℝ))
67 fz1ssnn 13481 . . . . . . . . 9 (1...𝑛) βŠ† β„•
68 uniioombl.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ Disj π‘₯ ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
692, 32sylan 581 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
7069disjeq2dv 5079 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Disj π‘₯ ∈ β„• (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ↔ Disj π‘₯ ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
7168, 70mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Disj π‘₯ ∈ β„• (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯))
7271adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Disj π‘₯ ∈ β„• (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯))
73 disjss1 5080 . . . . . . . . 9 ((1...𝑛) βŠ† β„• β†’ (Disj π‘₯ ∈ β„• (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) β†’ Disj π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)))
7467, 72, 73mpsyl 68 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Disj π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯))
75 volfiniun 24934 . . . . . . . 8 (((1...𝑛) ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝑛)((((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ dom vol ∧ (volβ€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ ℝ) ∧ Disj π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) β†’ (volβ€˜βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) = Ξ£π‘₯ ∈ (1...𝑛)(volβ€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)))
7664, 66, 74, 75syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (volβ€˜βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) = Ξ£π‘₯ ∈ (1...𝑛)(volβ€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)))
7744ralrimiva 3140 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ dom vol)
78 finiunmbl 24931 . . . . . . . . 9 (((1...𝑛) ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ dom vol) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ dom vol)
7964, 77, 78syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ dom vol)
80 mblvol 24917 . . . . . . . 8 (βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) = (vol*β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)))
8179, 80syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (volβ€˜βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) = (vol*β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)))
8263, 76, 813eqtr2d 2779 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘†β€˜π‘›) = (vol*β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)))
83 iunss1 4972 . . . . . . . . 9 ((1...𝑛) βŠ† β„• β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ β„• (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯))
8467, 83mp1i 13 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ β„• (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯))
859adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((,) ∘ 𝐹):β„•βŸΆπ’« ℝ)
86 ffn 6672 . . . . . . . . 9 (((,) ∘ 𝐹):β„•βŸΆπ’« ℝ β†’ ((,) ∘ 𝐹) Fn β„•)
87 fniunfv 7198 . . . . . . . . 9 (((,) ∘ 𝐹) Fn β„• β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ β„• (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))
8885, 86, 873syl 18 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ β„• (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))
8984, 88sseqtrd 3988 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))
9012adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† ℝ)
91 ovolss 24872 . . . . . . 7 ((βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) ∧ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† ℝ) β†’ (vol*β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))
9289, 90, 91syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (vol*β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))
9382, 92eqbrtrd 5131 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘†β€˜π‘›) ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))
9493ralrimiva 3140 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘†β€˜π‘›) ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))
952, 17syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
96 ffn 6672 . . . . 5 (𝑆:β„•βŸΆ(0[,)+∞) β†’ 𝑆 Fn β„•)
97 breq1 5112 . . . . . 6 (𝑦 = (π‘†β€˜π‘›) β†’ (𝑦 ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) ↔ (π‘†β€˜π‘›) ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))))
9897ralrn 7042 . . . . 5 (𝑆 Fn β„• β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑆 𝑦 ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘†β€˜π‘›) ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))))
9995, 96, 983syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑆 𝑦 ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘†β€˜π‘›) ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))))
10094, 99mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑆 𝑦 ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))
101 supxrleub 13254 . . . 4 ((ran 𝑆 βŠ† ℝ* ∧ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) ∈ ℝ*) β†’ (sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑆 𝑦 ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))))
10221, 14, 101syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑆 𝑦 ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))))
103100, 102mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))
10414, 23, 26, 103xrletrid 13083 1 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) = sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  π’« cpw 4564  βŸ¨cop 4596  βˆͺ cuni 4869  βˆͺ ciun 4958  Disj wdisj 5074   class class class wbr 5109   Γ— cxp 5635  dom cdm 5637  ran crn 5638   ∘ ccom 5641   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  1st c1st 7923  2nd c2nd 7924  Fincfn 8889  supcsup 9384  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062  +∞cpnf 11194  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393  β„•cn 12161  β„€β‰₯cuz 12771  (,)cioo 13273  [,)cico 13275  ...cfz 13433  seqcseq 13915  abscabs 15128  Ξ£csu 15579  vol*covol 24849  volcvol 24850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-disj 5075  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-rest 17312  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-cmp 22761  df-ovol 24851  df-vol 24852
This theorem is referenced by:  uniiccvol  24967  uniioombllem2  24970
  Copyright terms: Public domain W3C validator