MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniioovol Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uniioovol 25463
Description: A disjoint union of open intervals has volume equal to the sum of the volume of the intervals. (This proof does not use countable choice, unlike voliun 25438.) Lemma 565Ca of [Fremlin5] p. 213. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
uniioombl.2 (πœ‘ β†’ Disj π‘₯ ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
uniioombl.3 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹))
Assertion
Ref Expression
uniioovol (πœ‘ β†’ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) = sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝑆(π‘₯)

Proof of Theorem uniioovol
Dummy variables 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioof 13430 . . . . . 6 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
2 uniioombl.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
3 inss2 4224 . . . . . . . 8 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ Γ— ℝ)
4 rexpssxrxp 11263 . . . . . . . 8 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
53, 4sstri 3986 . . . . . . 7 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
6 fss 6728 . . . . . . 7 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*))
72, 5, 6sylancl 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*))
8 fco 6735 . . . . . 6 (((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ ∧ 𝐹:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ ((,) ∘ 𝐹):β„•βŸΆπ’« ℝ)
91, 7, 8sylancr 586 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((,) ∘ 𝐹):β„•βŸΆπ’« ℝ)
109frnd 6719 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† 𝒫 ℝ)
11 sspwuni 5096 . . . 4 (ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† 𝒫 ℝ ↔ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† ℝ)
1210, 11sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† ℝ)
13 ovolcl 25362 . . 3 (βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† ℝ β†’ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) ∈ ℝ*)
1412, 13syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) ∈ ℝ*)
15 eqid 2726 . . . . . 6 ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹) = ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)
16 uniioombl.3 . . . . . 6 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹))
1715, 16ovolsf 25356 . . . . 5 (𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ 𝑆:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
18 frn 6718 . . . . 5 (𝑆:β„•βŸΆ(0[,)+∞) β†’ ran 𝑆 βŠ† (0[,)+∞))
192, 17, 183syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝑆 βŠ† (0[,)+∞))
20 icossxr 13415 . . . 4 (0[,)+∞) βŠ† ℝ*
2119, 20sstrdi 3989 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝑆 βŠ† ℝ*)
22 supxrcl 13300 . . 3 (ran 𝑆 βŠ† ℝ* β†’ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2321, 22syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
24 ssid 3999 . . 3 βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)
2516ovollb 25363 . . 3 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) β†’ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) ≀ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
262, 24, 25sylancl 585 . 2 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) ≀ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
2716fveq1i 6886 . . . . . . . 8 (π‘†β€˜π‘›) = (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹))β€˜π‘›)
282adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
29 elfznn 13536 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (1...𝑛) β†’ π‘₯ ∈ β„•)
3015ovolfsval 25354 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = ((2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) βˆ’ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
3128, 29, 30syl2an 595 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = ((2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) βˆ’ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
32 fvco3 6984 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
3328, 29, 32syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
34 ffvelcdm 7077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
3528, 29, 34syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
3635elin2d 4194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (ℝ Γ— ℝ))
37 1st2nd2 8013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = ⟨(1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)), (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯))⟩)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = ⟨(1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)), (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯))⟩)
3938fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = ((,)β€˜βŸ¨(1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)), (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯))⟩))
40 df-ov 7408 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) = ((,)β€˜βŸ¨(1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)), (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯))⟩)
4139, 40eqtr4di 2784 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
4233, 41eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
43 ioombl 25449 . . . . . . . . . . . . 13 ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∈ dom vol
4442, 43eqeltrdi 2835 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ dom vol)
45 mblvol 25414 . . . . . . . . . . . 12 ((((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) = (vol*β€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (volβ€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) = (vol*β€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)))
4742fveq2d 6889 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (vol*β€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) = (vol*β€˜((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))))
48 ovolfcl 25350 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
4928, 29, 48syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
50 ovolioo 25452 . . . . . . . . . . . 12 (((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) β†’ (vol*β€˜((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))) = ((2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) βˆ’ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (vol*β€˜((1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))) = ((2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) βˆ’ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
5246, 47, 513eqtrd 2770 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (volβ€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) = ((2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) βˆ’ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
5331, 52eqtr4d 2769 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = (volβ€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)))
54 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
55 nnuz 12869 . . . . . . . . . 10 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
5654, 55eleqtrdi 2837 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
5749simp2d 1140 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
5849simp1d 1139 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
5957, 58resubcld 11646 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ ((2nd β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) βˆ’ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
6052, 59eqeltrd 2827 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (volβ€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
6160recnd 11246 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ (volβ€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
6253, 56, 61fsumser 15682 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ (1...𝑛)(volβ€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) = (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹))β€˜π‘›))
6327, 62eqtr4id 2785 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘†β€˜π‘›) = Ξ£π‘₯ ∈ (1...𝑛)(volβ€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)))
64 fzfid 13944 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1...𝑛) ∈ Fin)
6544, 60jca 511 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑛)) β†’ ((((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ dom vol ∧ (volβ€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ ℝ))
6665ralrimiva 3140 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝑛)((((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ dom vol ∧ (volβ€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ ℝ))
67 fz1ssnn 13538 . . . . . . . . 9 (1...𝑛) βŠ† β„•
68 uniioombl.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ Disj π‘₯ ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
692, 32sylan 579 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
7069disjeq2dv 5111 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Disj π‘₯ ∈ β„• (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ↔ Disj π‘₯ ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
7168, 70mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Disj π‘₯ ∈ β„• (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯))
7271adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Disj π‘₯ ∈ β„• (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯))
73 disjss1 5112 . . . . . . . . 9 ((1...𝑛) βŠ† β„• β†’ (Disj π‘₯ ∈ β„• (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) β†’ Disj π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)))
7467, 72, 73mpsyl 68 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Disj π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯))
75 volfiniun 25431 . . . . . . . 8 (((1...𝑛) ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝑛)((((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ dom vol ∧ (volβ€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ ℝ) ∧ Disj π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) β†’ (volβ€˜βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) = Ξ£π‘₯ ∈ (1...𝑛)(volβ€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)))
7664, 66, 74, 75syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (volβ€˜βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) = Ξ£π‘₯ ∈ (1...𝑛)(volβ€˜(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)))
7744ralrimiva 3140 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ dom vol)
78 finiunmbl 25428 . . . . . . . . 9 (((1...𝑛) ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ dom vol) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ dom vol)
7964, 77, 78syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ dom vol)
80 mblvol 25414 . . . . . . . 8 (βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) = (vol*β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)))
8179, 80syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (volβ€˜βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) = (vol*β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)))
8263, 76, 813eqtr2d 2772 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘†β€˜π‘›) = (vol*β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)))
83 iunss1 5004 . . . . . . . . 9 ((1...𝑛) βŠ† β„• β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ β„• (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯))
8467, 83mp1i 13 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ β„• (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯))
859adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((,) ∘ 𝐹):β„•βŸΆπ’« ℝ)
86 ffn 6711 . . . . . . . . 9 (((,) ∘ 𝐹):β„•βŸΆπ’« ℝ β†’ ((,) ∘ 𝐹) Fn β„•)
87 fniunfv 7242 . . . . . . . . 9 (((,) ∘ 𝐹) Fn β„• β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ β„• (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))
8885, 86, 873syl 18 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ β„• (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))
8984, 88sseqtrd 4017 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))
9012adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† ℝ)
91 ovolss 25369 . . . . . . 7 ((βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) ∧ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† ℝ) β†’ (vol*β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))
9289, 90, 91syl2anc 583 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (vol*β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ (1...𝑛)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))
9382, 92eqbrtrd 5163 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘†β€˜π‘›) ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))
9493ralrimiva 3140 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘†β€˜π‘›) ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))
952, 17syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
96 ffn 6711 . . . . 5 (𝑆:β„•βŸΆ(0[,)+∞) β†’ 𝑆 Fn β„•)
97 breq1 5144 . . . . . 6 (𝑦 = (π‘†β€˜π‘›) β†’ (𝑦 ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) ↔ (π‘†β€˜π‘›) ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))))
9897ralrn 7083 . . . . 5 (𝑆 Fn β„• β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑆 𝑦 ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘†β€˜π‘›) ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))))
9995, 96, 983syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑆 𝑦 ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘†β€˜π‘›) ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))))
10094, 99mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑆 𝑦 ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))
101 supxrleub 13311 . . . 4 ((ran 𝑆 βŠ† ℝ* ∧ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) ∈ ℝ*) β†’ (sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑆 𝑦 ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))))
10221, 14, 101syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑆 𝑦 ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))))
103100, 102mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ≀ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))
10414, 23, 26, 103xrletrid 13140 1 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) = sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  π’« cpw 4597  βŸ¨cop 4629  βˆͺ cuni 4902  βˆͺ ciun 4990  Disj wdisj 5106   class class class wbr 5141   Γ— cxp 5667  dom cdm 5669  ran crn 5670   ∘ ccom 5673   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  1st c1st 7972  2nd c2nd 7973  Fincfn 8941  supcsup 9437  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„•cn 12216  β„€β‰₯cuz 12826  (,)cioo 13330  [,)cico 13332  ...cfz 13490  seqcseq 13972  abscabs 15187  Ξ£csu 15638  vol*covol 25346  volcvol 25347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-rest 17377  df-topgen 17398  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-top 22751  df-topon 22768  df-bases 22804  df-cmp 23246  df-ovol 25348  df-vol 25349
This theorem is referenced by:  uniiccvol  25464  uniioombllem2  25467
  Copyright terms: Public domain W3C validator