Theorem ressmpladd 21934

Description: A restricted polynomial algebra has the same addition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmpl.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
ressmpl.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
ressmpl.u	⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
ressmpl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressmpl.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
ressmpl.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressmpl.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ressmpladd	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘𝑈)𝑌) = (𝑋(+g‘𝑃)𝑌))

Proof of Theorem ressmpladd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmpl.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
2		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝐻) = (𝐼 mPwSer 𝐻)
3		ressmpl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
4		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
5	1, 2, 3, 4	mplbasss 21904	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
6	5	sseli 3931	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
7	5	sseli 3931	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
8	6, 7	anim12i 613	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))
9		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
10		ressmpl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
11		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))) = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
12		ressmpl.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
13	9, 10, 2, 4, 11, 12	resspsradd 21882	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))) → (𝑋(+g‘(𝐼 mPwSer 𝐻))𝑌) = (𝑋(+g‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))𝑌))
14	8, 13	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘(𝐼 mPwSer 𝐻))𝑌) = (𝑋(+g‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))𝑌))
15	3	fvexi 6836	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
16	1, 2, 3	mplval2 21903	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 mPwSer 𝐻) ↾s 𝐵)
17		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (+g‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
18	16, 17	ressplusg 17195	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (+g‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (+g‘𝑈))
19	15, 18	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (+g‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (+g‘𝑈)
20	19	oveqi 7362	. 2 ⊢ (𝑋(+g‘(𝐼 mPwSer 𝐻))𝑌) = (𝑋(+g‘𝑈)𝑌)
21		fvex 6835	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) ∈ V
22		ressmpl.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
23		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
24	22, 9, 23	mplval2 21903	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑆))
25		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
26	24, 25	ressplusg 17195	. . . . 5 ⊢ ((Base‘𝑆) ∈ V → (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘𝑆))
27	21, 26	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘𝑆)
28		fvex 6835	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∈ V
29	11, 25	ressplusg 17195	. . . . 5 ⊢ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∈ V → (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))
31		ressmpl.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
32		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
33	31, 32	ressplusg 17195	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (+g‘𝑆) = (+g‘𝑃))
34	15, 33	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑃)
35	27, 30, 34	3eqtr3i 2760	. . 3 ⊢ (+g‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))) = (+g‘𝑃)
36	35	oveqi 7362	. 2 ⊢ (𝑋(+g‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))𝑌) = (𝑋(+g‘𝑃)𝑌)
37	14, 20, 36	3eqtr3g 2787	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘𝑈)𝑌) = (𝑋(+g‘𝑃)𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  +_gcplusg 17161  SubRingcsubrg 20454   mPwSer cmps 21811   mPoly cmpl 21813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-tset 17180  df-subg 19002  df-ring 20120  df-subrg 20455  df-psr 21816  df-mpl 21818

This theorem is referenced by:  ressply1add  22112