Theorem ressmpladd 20697

Description: A restricted polynomial algebra has the same addition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmpl.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
ressmpl.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
ressmpl.u	⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
ressmpl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressmpl.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
ressmpl.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressmpl.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ressmpladd	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘𝑈)𝑌) = (𝑋(+g‘𝑃)𝑌))

Proof of Theorem ressmpladd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmpl.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
2		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝐻) = (𝐼 mPwSer 𝐻)
3		ressmpl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
4		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
5	1, 2, 3, 4	mplbasss 20670	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
6	5	sseli 3911	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
7	5	sseli 3911	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
8	6, 7	anim12i 615	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))
9		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
10		ressmpl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
11		eqid 2798	. . . 4 ⊢ ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))) = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
12		ressmpl.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
13	9, 10, 2, 4, 11, 12	resspsradd 20654	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))) → (𝑋(+g‘(𝐼 mPwSer 𝐻))𝑌) = (𝑋(+g‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))𝑌))
14	8, 13	sylan2 595	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘(𝐼 mPwSer 𝐻))𝑌) = (𝑋(+g‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))𝑌))
15	3	fvexi 6659	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
16	1, 2, 3	mplval2 20669	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 mPwSer 𝐻) ↾s 𝐵)
17		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ (+g‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
18	16, 17	ressplusg 16604	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (+g‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (+g‘𝑈))
19	15, 18	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (+g‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (+g‘𝑈)
20	19	oveqi 7148	. 2 ⊢ (𝑋(+g‘(𝐼 mPwSer 𝐻))𝑌) = (𝑋(+g‘𝑈)𝑌)
21		fvex 6658	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) ∈ V
22		ressmpl.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
23		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
24	22, 9, 23	mplval2 20669	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑆))
25		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
26	24, 25	ressplusg 16604	. . . . 5 ⊢ ((Base‘𝑆) ∈ V → (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘𝑆))
27	21, 26	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘𝑆)
28		fvex 6658	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∈ V
29	11, 25	ressplusg 16604	. . . . 5 ⊢ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∈ V → (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))
31		ressmpl.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
32		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
33	31, 32	ressplusg 16604	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (+g‘𝑆) = (+g‘𝑃))
34	15, 33	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑃)
35	27, 30, 34	3eqtr3i 2829	. . 3 ⊢ (+g‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))) = (+g‘𝑃)
36	35	oveqi 7148	. 2 ⊢ (𝑋(+g‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))𝑌) = (𝑋(+g‘𝑃)𝑌)
37	14, 20, 36	3eqtr3g 2856	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘𝑈)𝑌) = (𝑋(+g‘𝑃)𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475   ↾_s cress 16476  +_gcplusg 16557  SubRingcsubrg 19524   mPwSer cmps 20589   mPoly cmpl 20591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-tset 16576  df-subg 18268  df-ring 19292  df-subrg 19526  df-psr 20594  df-mpl 20596

This theorem is referenced by:  ressply1add  20859