MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressmpladd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressmpladd 21453
Description: A restricted polynomial algebra has the same addition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressmpl.s 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
ressmpl.h 𝐻 = (𝑅 β†Ύs 𝑇)
ressmpl.u π‘ˆ = (𝐼 mPoly 𝐻)
ressmpl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
ressmpl.1 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
ressmpl.2 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
ressmpl.p 𝑃 = (𝑆 β†Ύs 𝐡)
Assertion
Ref Expression
ressmpladd ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜π‘ƒ)π‘Œ))

Proof of Theorem ressmpladd
StepHypRef Expression
1 ressmpl.u . . . . . 6 π‘ˆ = (𝐼 mPoly 𝐻)
2 eqid 2733 . . . . . 6 (𝐼 mPwSer 𝐻) = (𝐼 mPwSer 𝐻)
3 ressmpl.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
4 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝐻))
51, 2, 3, 4mplbasss 21426 . . . . 5 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝐻))
65sseli 3944 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝐻)))
75sseli 3944 . . . 4 (π‘Œ ∈ 𝐡 β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝐻)))
86, 7anim12i 614 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝐻))))
9 eqid 2733 . . . 4 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
10 ressmpl.h . . . 4 𝐻 = (𝑅 β†Ύs 𝑇)
11 eqid 2733 . . . 4 ((𝐼 mPwSer 𝑅) β†Ύs (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝐻))) = ((𝐼 mPwSer 𝑅) β†Ύs (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝐻)))
12 ressmpl.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
139, 10, 2, 4, 11, 12resspsradd 21408 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝐻)))) β†’ (𝑋(+gβ€˜(𝐼 mPwSer 𝐻))π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜((𝐼 mPwSer 𝑅) β†Ύs (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝐻))))π‘Œ))
148, 13sylan2 594 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋(+gβ€˜(𝐼 mPwSer 𝐻))π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜((𝐼 mPwSer 𝑅) β†Ύs (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝐻))))π‘Œ))
153fvexi 6860 . . . 4 𝐡 ∈ V
161, 2, 3mplval2 21425 . . . . 5 π‘ˆ = ((𝐼 mPwSer 𝐻) β†Ύs 𝐡)
17 eqid 2733 . . . . 5 (+gβ€˜(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (+gβ€˜(𝐼 mPwSer 𝐻))
1816, 17ressplusg 17179 . . . 4 (𝐡 ∈ V β†’ (+gβ€˜(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (+gβ€˜π‘ˆ))
1915, 18ax-mp 5 . . 3 (+gβ€˜(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (+gβ€˜π‘ˆ)
2019oveqi 7374 . 2 (𝑋(+gβ€˜(𝐼 mPwSer 𝐻))π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ)
21 fvex 6859 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘†) ∈ V
22 ressmpl.s . . . . . . 7 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
23 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
2422, 9, 23mplval2 21425 . . . . . 6 𝑆 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) β†Ύs (Baseβ€˜π‘†))
25 eqid 2733 . . . . . 6 (+gβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+gβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))
2624, 25ressplusg 17179 . . . . 5 ((Baseβ€˜π‘†) ∈ V β†’ (+gβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+gβ€˜π‘†))
2721, 26ax-mp 5 . . . 4 (+gβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+gβ€˜π‘†)
28 fvex 6859 . . . . 5 (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∈ V
2911, 25ressplusg 17179 . . . . 5 ((Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∈ V β†’ (+gβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+gβ€˜((𝐼 mPwSer 𝑅) β†Ύs (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝐻)))))
3028, 29ax-mp 5 . . . 4 (+gβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+gβ€˜((𝐼 mPwSer 𝑅) β†Ύs (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝐻))))
31 ressmpl.p . . . . . 6 𝑃 = (𝑆 β†Ύs 𝐡)
32 eqid 2733 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘†) = (+gβ€˜π‘†)
3331, 32ressplusg 17179 . . . . 5 (𝐡 ∈ V β†’ (+gβ€˜π‘†) = (+gβ€˜π‘ƒ))
3415, 33ax-mp 5 . . . 4 (+gβ€˜π‘†) = (+gβ€˜π‘ƒ)
3527, 30, 343eqtr3i 2769 . . 3 (+gβ€˜((𝐼 mPwSer 𝑅) β†Ύs (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝐻)))) = (+gβ€˜π‘ƒ)
3635oveqi 7374 . 2 (𝑋(+gβ€˜((𝐼 mPwSer 𝑅) β†Ύs (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝐻))))π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜π‘ƒ)π‘Œ)
3714, 20, 363eqtr3g 2796 1 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜π‘ƒ)π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091   β†Ύs cress 17120  +gcplusg 17141  SubRingcsubrg 20260   mPwSer cmps 21329   mPoly cmpl 21331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-tset 17160  df-subg 18933  df-ring 19974  df-subrg 20262  df-psr 21334  df-mpl 21336
This theorem is referenced by:  ressply1add  21624
  Copyright terms: Public domain W3C validator