MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressmpladd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressmpladd 19672
Description: A restricted polynomial algebra has the same addition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressmpl.s 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
ressmpl.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
ressmpl.u 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
ressmpl.b 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressmpl.1 (𝜑𝐼𝑉)
ressmpl.2 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressmpl.p 𝑃 = (𝑆s 𝐵)
Assertion
Ref Expression
ressmpladd ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋(+g𝑈)𝑌) = (𝑋(+g𝑃)𝑌))

Proof of Theorem ressmpladd
StepHypRef Expression
1 ressmpl.u . . . . . 6 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
2 eqid 2771 . . . . . 6 (𝐼 mPwSer 𝐻) = (𝐼 mPwSer 𝐻)
3 ressmpl.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑈)
4 eqid 2771 . . . . . 6 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
51, 2, 3, 4mplbasss 19647 . . . . 5 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
65sseli 3748 . . . 4 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
75sseli 3748 . . . 4 (𝑌𝐵𝑌 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
86, 7anim12i 600 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))
9 eqid 2771 . . . 4 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
10 ressmpl.h . . . 4 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
11 eqid 2771 . . . 4 ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))) = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
12 ressmpl.2 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
139, 10, 2, 4, 11, 12resspsradd 19631 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))) → (𝑋(+g‘(𝐼 mPwSer 𝐻))𝑌) = (𝑋(+g‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))𝑌))
148, 13sylan2 580 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋(+g‘(𝐼 mPwSer 𝐻))𝑌) = (𝑋(+g‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))𝑌))
153fvexi 6345 . . . 4 𝐵 ∈ V
161, 2, 3mplval2 19646 . . . . 5 𝑈 = ((𝐼 mPwSer 𝐻) ↾s 𝐵)
17 eqid 2771 . . . . 5 (+g‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
1816, 17ressplusg 16201 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (+g‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (+g𝑈))
1915, 18ax-mp 5 . . 3 (+g‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (+g𝑈)
2019oveqi 6809 . 2 (𝑋(+g‘(𝐼 mPwSer 𝐻))𝑌) = (𝑋(+g𝑈)𝑌)
21 fvex 6344 . . . . 5 (Base‘𝑆) ∈ V
22 ressmpl.s . . . . . . 7 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
23 eqid 2771 . . . . . . 7 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2422, 9, 23mplval2 19646 . . . . . 6 𝑆 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑆))
25 eqid 2771 . . . . . 6 (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
2624, 25ressplusg 16201 . . . . 5 ((Base‘𝑆) ∈ V → (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g𝑆))
2721, 26ax-mp 5 . . . 4 (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g𝑆)
28 fvex 6344 . . . . 5 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∈ V
2911, 25ressplusg 16201 . . . . 5 ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∈ V → (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))))
3028, 29ax-mp 5 . . . 4 (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))
31 ressmpl.p . . . . . 6 𝑃 = (𝑆s 𝐵)
32 eqid 2771 . . . . . 6 (+g𝑆) = (+g𝑆)
3331, 32ressplusg 16201 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (+g𝑆) = (+g𝑃))
3415, 33ax-mp 5 . . . 4 (+g𝑆) = (+g𝑃)
3527, 30, 343eqtr3i 2801 . . 3 (+g‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))) = (+g𝑃)
3635oveqi 6809 . 2 (𝑋(+g‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))𝑌) = (𝑋(+g𝑃)𝑌)
3714, 20, 363eqtr3g 2828 1 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋(+g𝑈)𝑌) = (𝑋(+g𝑃)𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  cfv 6030  (class class class)co 6796  Basecbs 16064  s cress 16065  +gcplusg 16149  SubRingcsubrg 18986   mPwSer cmps 19566   mPoly cmpl 19568
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-tset 16168  df-subg 17799  df-ring 18757  df-subrg 18988  df-psr 19571  df-mpl 19573
This theorem is referenced by:  ressply1add  19815
  Copyright terms: Public domain W3C validator