Theorem ply1bas 22513

Description: The value of the base set of univariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) Remove hypothesis. (Revised by SN, 20-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1val.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1bas.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1bas	⊢ 𝑈 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))

Proof of Theorem ply1bas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1bas.u	. 2 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
3		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
4		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
5		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
6		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑅)) = (Base‘(PwSer1‘𝑅))
7	5, 6, 3	psr1bas2 22508	. . . 4 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑅)) = (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
8	2, 3, 4, 7	mplbasss 22304	. . 3 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ⊆ (Base‘(PwSer1‘𝑅))
9		ply1val.1	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
10	9, 5	ply1val 22512	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
11	10, 6	ressbas2 17416	. . 3 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ⊆ (Base‘(PwSer1‘𝑅)) → (Base‘(1o mPoly 𝑅)) = (Base‘𝑃))
12	8, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) = (Base‘𝑃)
13	1, 12	eqtr4i 2787	1 ⊢ 𝑈 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1_oc1o 8469  Basecbs 17387   mPwSer cmps 22212   mPoly cmpl 22214  PwSer₁cps1 22493  Poly₁cpl1 22495

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-ple 17448  df-psr 22217  df-mpl 22219  df-opsr 22221  df-psr1 22498  df-ply1 22500

This theorem is used by:  ply1lss  22514  ply1subrg  22515  ply1crng  22516  ply1assa  22517  ply1basf  22520  ply1bascl2  22522  vr1cl  22535  ressply1bas2  22545  ressply1add  22547  ressply1mul  22548  ressply1vsca  22549  subrgply1  22550  ply1baspropd  22560  ply1ring  22565  ply1lmod  22569  ply1mpl0  22574  ply1mpl1  22576  subrg1asclcl  22579  subrgvr1cl  22581  coe1add  22583  coe1tm  22592  ply1coe  22616  evls1rhm  22640  evls1sca  22641  evl1rhm  22650  evl1sca  22652  evl1var  22654  evls1var  22656  mpfpf1  22669  pf1mpf  22670  ply1vscl  22699  mhmcoply1  22700  rhmply1  22701  rhmply1vsca  22703  deg1xrf  26399  deg1cl  26401  deg1nn0cl  26406  deg1ldg  26410  deg1leb  26413  deg1val  26414  deg1vscale  26422  deg1vsca  26423  deg1mulle2  26427  deg1le0  26429  fply1  34090  selvply1rhmlema  34150  selvply1rhmlemb  34151  selvply1rhmlem1  34152  selvply1rhmlem4  34155