Theorem ply1bas 21938

Description: The value of the base set of univariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1val.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1val.2	⊢ 𝑆 = (PwSer1‘𝑅)
ply1bas.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1bas	⊢ 𝑈 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))

Proof of Theorem ply1bas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1bas.u	. 2 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
3		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
4		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
5		ply1val.2	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (PwSer1‘𝑅)
6		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
7	5, 6, 3	psr1bas2 21933	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
8	2, 3, 4, 7	mplbasss 21775	. . 3 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ⊆ (Base‘𝑆)
9		ply1val.1	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
10	9, 5	ply1val 21937	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
11	10, 6	ressbas2 17186	. . 3 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ⊆ (Base‘𝑆) → (Base‘(1o mPoly 𝑅)) = (Base‘𝑃))
12	8, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) = (Base‘𝑃)
13	1, 12	eqtr4i 2763	1 ⊢ 𝑈 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))

Syntax hints:   = wceq 1541   ⊆ wss 3948  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  1_oc1o 8461  Basecbs 17148   mPwSer cmps 21676   mPoly cmpl 21678  PwSer₁cps1 21918  Poly₁cpl1 21920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-dec 12682  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-ple 17221  df-psr 21681  df-mpl 21683  df-opsr 21685  df-psr1 21923  df-ply1 21925

This theorem is referenced by:  ply1lss  21939  ply1subrg  21940  ply1crng  21941  ply1assa  21942  ply1basf  21945  ply1bascl2  21947  vr1cl  21960  ressply1bas2  21970  ressply1add  21972  ressply1mul  21973  ressply1vsca  21974  subrgply1  21975  ply1baspropd  21985  ply1ring  21990  ply1lmod  21994  ply1mpl0  21997  ply1mpl1  21999  subrg1asclcl  22002  subrgvr1cl  22004  coe1add  22006  coe1tm  22015  ply1coe  22040  evls1rhm  22061  evls1sca  22062  evl1rhm  22071  evl1sca  22073  evl1var  22075  evls1var  22077  mpfpf1  22090  pf1mpf  22091  deg1xrf  25823  deg1cl  25825  deg1nn0cl  25830  deg1ldg  25834  deg1leb  25837  deg1val  25838  deg1vscale  25846  deg1vsca  25847  deg1mulle2  25851  deg1le0  25853  fply1  32899