Theorem ply1bas 21718

Description: The value of the base set of univariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1val.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1val.2	⊢ 𝑆 = (PwSer1‘𝑅)
ply1bas.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1bas	⊢ 𝑈 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))

Proof of Theorem ply1bas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1bas.u	. 2 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
3		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
4		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
5		ply1val.2	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (PwSer1‘𝑅)
6		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
7	5, 6, 3	psr1bas2 21713	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
8	2, 3, 4, 7	mplbasss 21555	. . 3 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ⊆ (Base‘𝑆)
9		ply1val.1	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
10	9, 5	ply1val 21717	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
11	10, 6	ressbas2 17181	. . 3 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ⊆ (Base‘𝑆) → (Base‘(1o mPoly 𝑅)) = (Base‘𝑃))
12	8, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) = (Base‘𝑃)
13	1, 12	eqtr4i 2763	1 ⊢ 𝑈 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))

Syntax hints:   = wceq 1541   ⊆ wss 3948  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  1_oc1o 8458  Basecbs 17143   mPwSer cmps 21456   mPoly cmpl 21458  PwSer₁cps1 21698  Poly₁cpl1 21700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-dec 12677  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-ple 17216  df-psr 21461  df-mpl 21463  df-opsr 21465  df-psr1 21703  df-ply1 21705

This theorem is referenced by:  ply1lss  21719  ply1subrg  21720  ply1crng  21721  ply1assa  21722  ply1basf  21725  ply1bascl2  21727  vr1cl  21740  ressply1bas2  21749  ressply1add  21751  ressply1mul  21752  ressply1vsca  21753  subrgply1  21754  ply1baspropd  21764  ply1ring  21769  ply1lmod  21773  ply1mpl0  21776  ply1mpl1  21778  subrg1asclcl  21781  subrgvr1cl  21783  coe1add  21785  coe1tm  21794  ply1coe  21819  evls1rhm  21840  evls1sca  21841  evl1rhm  21850  evl1sca  21852  evl1var  21854  evls1var  21856  mpfpf1  21869  pf1mpf  21870  deg1xrf  25598  deg1cl  25600  deg1nn0cl  25605  deg1ldg  25609  deg1leb  25612  deg1val  25613  deg1vscale  25621  deg1vsca  25622  deg1mulle2  25626  deg1le0  25628  fply1  32632