Theorem ply1bas 19925

Description: The value of the base set of univariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1val.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1val.2	⊢ 𝑆 = (PwSer1‘𝑅)
ply1bas.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1bas	⊢ 𝑈 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))

Proof of Theorem ply1bas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1bas.u	. 2 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
3		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
4		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
5		ply1val.2	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (PwSer1‘𝑅)
6		eqid 2825	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
7	5, 6, 3	psr1bas2 19920	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
8	2, 3, 4, 7	mplbasss 19793	. . 3 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ⊆ (Base‘𝑆)
9		ply1val.1	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
10	9, 5	ply1val 19924	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
11	10, 6	ressbas2 16294	. . 3 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ⊆ (Base‘𝑆) → (Base‘(1o mPoly 𝑅)) = (Base‘𝑃))
12	8, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) = (Base‘𝑃)
13	1, 12	eqtr4i 2852	1 ⊢ 𝑈 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))

Syntax hints:   = wceq 1656   ⊆ wss 3798  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  1_oc1o 7819  Basecbs 16222   mPwSer cmps 19712   mPoly cmpl 19714  PwSer₁cps1 19905  Poly₁cpl1 19907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-dec 11822  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-ple 16325  df-psr 19717  df-mpl 19719  df-opsr 19721  df-psr1 19910  df-ply1 19912

This theorem is referenced by:  ply1lss  19926  ply1subrg  19927  ply1crng  19928  ply1assa  19929  ply1basf  19932  ply1bascl2  19934  vr1cl  19947  ressply1bas2  19958  ressply1add  19960  ressply1mul  19961  ressply1vsca  19962  subrgply1  19963  ply1baspropd  19973  ply1ring  19978  ply1lmod  19982  ply1mpl0  19985  ply1mpl1  19987  subrg1asclcl  19990  subrgvr1cl  19992  coe1add  19994  coe1tm  20003  ply1coe  20026  evls1rhm  20047  evls1sca  20048  evl1rhm  20056  evl1sca  20058  evl1var  20060  evls1var  20062  mpfpf1  20075  pf1mpf  20076  deg1xrf  24240  deg1cl  24242  deg1nn0cl  24247  deg1ldg  24251  deg1leb  24254  deg1val  24255  deg1vscale  24263  deg1vsca  24264  deg1mulle2  24268  deg1le0  24270