Theorem ply1bas 22181

Description: The value of the base set of univariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) Remove hypothesis. (Revised by SN, 20-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1val.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1bas.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1bas	⊢ 𝑈 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))

Proof of Theorem ply1bas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1bas.u	. 2 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
3		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
4		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
5		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
6		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑅)) = (Base‘(PwSer1‘𝑅))
7	5, 6, 3	psr1bas2 22176	. . . 4 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑅)) = (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
8	2, 3, 4, 7	mplbasss 21972	. . 3 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ⊆ (Base‘(PwSer1‘𝑅))
9		ply1val.1	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
10	9, 5	ply1val 22180	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
11	10, 6	ressbas2 17200	. . 3 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ⊆ (Base‘(PwSer1‘𝑅)) → (Base‘(1o mPoly 𝑅)) = (Base‘𝑃))
12	8, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) = (Base‘𝑃)
13	1, 12	eqtr4i 2765	1 ⊢ 𝑈 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))

Syntax hints:   = wceq 1547   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  1_oc1o 8389  Basecbs 17171   mPwSer cmps 21880   mPoly cmpl 21882  PwSer₁cps1 22161  Poly₁cpl1 22163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-5 12239  df-6 12240  df-7 12241  df-8 12242  df-9 12243  df-dec 12637  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-ress 17193  df-ple 17232  df-psr 21885  df-mpl 21887  df-opsr 21889  df-psr1 22166  df-ply1 22168

This theorem is referenced by:  ply1lss  22182  ply1subrg  22183  ply1crng  22184  ply1assa  22185  ply1basf  22188  ply1bascl2  22190  vr1cl  22203  ressply1bas2  22213  ressply1add  22215  ressply1mul  22216  ressply1vsca  22217  subrgply1  22218  ply1baspropd  22228  ply1ring  22233  ply1lmod  22237  ply1mpl0  22242  ply1mpl1  22244  subrg1asclcl  22247  subrgvr1cl  22249  coe1add  22251  coe1tm  22260  ply1coe  22285  evls1rhm  22309  evls1sca  22310  evl1rhm  22319  evl1sca  22321  evl1var  22323  evls1var  22325  mpfpf1  22338  pf1mpf  22339  ply1vscl  22368  mhmcoply1  22369  rhmply1  22370  rhmply1vsca  22372  deg1xrf  26065  deg1cl  26067  deg1nn0cl  26072  deg1ldg  26076  deg1leb  26079  deg1val  26080  deg1vscale  26088  deg1vsca  26089  deg1mulle2  26093  deg1le0  26095  fply1  33650  selvply1rhmlema  33711  selvply1rhmlemb  33712  selvply1rhmlem1  33713  selvply1rhmlem4  33716