Theorem ply1bas 21276

Description: The value of the base set of univariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1val.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1val.2	⊢ 𝑆 = (PwSer1‘𝑅)
ply1bas.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1bas	⊢ 𝑈 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))

Proof of Theorem ply1bas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1bas.u	. 2 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
3		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
4		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
5		ply1val.2	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (PwSer1‘𝑅)
6		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
7	5, 6, 3	psr1bas2 21271	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
8	2, 3, 4, 7	mplbasss 21113	. . 3 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ⊆ (Base‘𝑆)
9		ply1val.1	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
10	9, 5	ply1val 21275	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
11	10, 6	ressbas2 16875	. . 3 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ⊆ (Base‘𝑆) → (Base‘(1o mPoly 𝑅)) = (Base‘𝑃))
12	8, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) = (Base‘𝑃)
13	1, 12	eqtr4i 2769	1 ⊢ 𝑈 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))

Syntax hints:   = wceq 1539   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  1_oc1o 8260  Basecbs 16840   mPwSer cmps 21017   mPoly cmpl 21019  PwSer₁cps1 21256  Poly₁cpl1 21258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-dec 12367  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-ple 16908  df-psr 21022  df-mpl 21024  df-opsr 21026  df-psr1 21261  df-ply1 21263

This theorem is referenced by:  ply1lss  21277  ply1subrg  21278  ply1crng  21279  ply1assa  21280  ply1basf  21283  ply1bascl2  21285  vr1cl  21298  ressply1bas2  21309  ressply1add  21311  ressply1mul  21312  ressply1vsca  21313  subrgply1  21314  ply1baspropd  21324  ply1ring  21329  ply1lmod  21333  ply1mpl0  21336  ply1mpl1  21338  subrg1asclcl  21341  subrgvr1cl  21343  coe1add  21345  coe1tm  21354  ply1coe  21377  evls1rhm  21398  evls1sca  21399  evl1rhm  21408  evl1sca  21410  evl1var  21412  evls1var  21414  mpfpf1  21427  pf1mpf  21428  deg1xrf  25151  deg1cl  25153  deg1nn0cl  25158  deg1ldg  25162  deg1leb  25165  deg1val  25166  deg1vscale  25174  deg1vsca  25175  deg1mulle2  25179  deg1le0  25181  fply1  31569