MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1bas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1bas 21375
Description: The value of the base set of univariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1val.1 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1val.2 𝑆 = (PwSer1𝑅)
ply1bas.u 𝑈 = (Base‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
ply1bas 𝑈 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))

Proof of Theorem ply1bas
StepHypRef Expression
1 ply1bas.u . 2 𝑈 = (Base‘𝑃)
2 eqid 2739 . . . 4 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
3 eqid 2739 . . . 4 (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
4 eqid 2739 . . . 4 (Base‘(1o mPoly 𝑅)) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
5 ply1val.2 . . . . 5 𝑆 = (PwSer1𝑅)
6 eqid 2739 . . . . 5 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
75, 6, 3psr1bas2 21370 . . . 4 (Base‘𝑆) = (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
82, 3, 4, 7mplbasss 21212 . . 3 (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ⊆ (Base‘𝑆)
9 ply1val.1 . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
109, 5ply1val 21374 . . . 4 𝑃 = (𝑆s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
1110, 6ressbas2 16958 . . 3 ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ⊆ (Base‘𝑆) → (Base‘(1o mPoly 𝑅)) = (Base‘𝑃))
128, 11ax-mp 5 . 2 (Base‘(1o mPoly 𝑅)) = (Base‘𝑃)
131, 12eqtr4i 2770 1 𝑈 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1539  wss 3888  cfv 6437  (class class class)co 7284  1oc1o 8299  Basecbs 16921   mPwSer cmps 21116   mPoly cmpl 21118  PwSer1cps1 21355  Poly1cpl1 21357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-rep 5210  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-nn 11983  df-2 12045  df-3 12046  df-4 12047  df-5 12048  df-6 12049  df-7 12050  df-8 12051  df-9 12052  df-dec 12447  df-sets 16874  df-slot 16892  df-ndx 16904  df-base 16922  df-ress 16951  df-ple 16991  df-psr 21121  df-mpl 21123  df-opsr 21125  df-psr1 21360  df-ply1 21362
This theorem is referenced by:  ply1lss  21376  ply1subrg  21377  ply1crng  21378  ply1assa  21379  ply1basf  21382  ply1bascl2  21384  vr1cl  21397  ressply1bas2  21408  ressply1add  21410  ressply1mul  21411  ressply1vsca  21412  subrgply1  21413  ply1baspropd  21423  ply1ring  21428  ply1lmod  21432  ply1mpl0  21435  ply1mpl1  21437  subrg1asclcl  21440  subrgvr1cl  21442  coe1add  21444  coe1tm  21453  ply1coe  21476  evls1rhm  21497  evls1sca  21498  evl1rhm  21507  evl1sca  21509  evl1var  21511  evls1var  21513  mpfpf1  21526  pf1mpf  21527  deg1xrf  25255  deg1cl  25257  deg1nn0cl  25262  deg1ldg  25266  deg1leb  25269  deg1val  25270  deg1vscale  25278  deg1vsca  25279  deg1mulle2  25283  deg1le0  25285  fply1  31676
  Copyright terms: Public domain W3C validator