Theorem ply1bas 22077

Description: The value of the base set of univariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) Remove hypothesis. (Revised by SN, 20-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1val.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1bas.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1bas	⊢ 𝑈 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))

Proof of Theorem ply1bas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1bas.u	. 2 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
3		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
4		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
5		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
6		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑅)) = (Base‘(PwSer1‘𝑅))
7	5, 6, 3	psr1bas2 22072	. . . 4 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑅)) = (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
8	2, 3, 4, 7	mplbasss 21904	. . 3 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ⊆ (Base‘(PwSer1‘𝑅))
9		ply1val.1	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
10	9, 5	ply1val 22076	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
11	10, 6	ressbas2 17149	. . 3 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ⊆ (Base‘(PwSer1‘𝑅)) → (Base‘(1o mPoly 𝑅)) = (Base‘𝑃))
12	8, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) = (Base‘𝑃)
13	1, 12	eqtr4i 2755	1 ⊢ 𝑈 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))

Syntax hints:   = wceq 1540   ⊆ wss 3903  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  1_oc1o 8381  Basecbs 17120   mPwSer cmps 21811   mPoly cmpl 21813  PwSer₁cps1 22057  Poly₁cpl1 22059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-dec 12592  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-ple 17181  df-psr 21816  df-mpl 21818  df-opsr 21820  df-psr1 22062  df-ply1 22064

This theorem is referenced by:  ply1lss  22079  ply1subrg  22080  ply1crng  22081  ply1assa  22082  ply1basf  22085  ply1bascl2  22087  vr1cl  22100  ressply1bas2  22110  ressply1add  22112  ressply1mul  22113  ressply1vsca  22114  subrgply1  22115  ply1baspropd  22125  ply1ring  22130  ply1lmod  22134  ply1mpl0  22139  ply1mpl1  22141  subrg1asclcl  22144  subrgvr1cl  22146  coe1add  22148  coe1tm  22157  ply1coe  22183  evls1rhm  22207  evls1sca  22208  evl1rhm  22217  evl1sca  22219  evl1var  22221  evls1var  22223  mpfpf1  22236  pf1mpf  22237  ply1vscl  22269  mhmcoply1  22270  rhmply1  22271  rhmply1vsca  22273  deg1xrf  25984  deg1cl  25986  deg1nn0cl  25991  deg1ldg  25995  deg1leb  25998  deg1val  25999  deg1vscale  26007  deg1vsca  26008  deg1mulle2  26012  deg1le0  26014  fply1  33494