Theorem ply1bas 22525

Description: The value of the base set of univariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) Remove hypothesis. (Revised by SN, 20-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1val.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1bas.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1bas	⊢ 𝑈 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))

Proof of Theorem ply1bas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1bas.u	. 2 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
5		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
6		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑅)) = (Base‘(PwSer1‘𝑅))
7	5, 6, 3	psr1bas2 22520	. . . 4 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑅)) = (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
8	2, 3, 4, 7	mplbasss 22316	. . 3 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ⊆ (Base‘(PwSer1‘𝑅))
9		ply1val.1	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
10	9, 5	ply1val 22524	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
11	10, 6	ressbas2 17428	. . 3 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ⊆ (Base‘(PwSer1‘𝑅)) → (Base‘(1o mPoly 𝑅)) = (Base‘𝑃))
12	8, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) = (Base‘𝑃)
13	1, 12	eqtr4i 2789	1 ⊢ 𝑈 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  1_oc1o 8480  Basecbs 17399   mPwSer cmps 22224   mPoly cmpl 22226  PwSer₁cps1 22505  Poly₁cpl1 22507

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-z 12704  df-dec 12825  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-ple 17460  df-psr 22229  df-mpl 22231  df-opsr 22233  df-psr1 22510  df-ply1 22512

This theorem is used by:  ply1lss  22526  ply1subrg  22527  ply1crng  22528  ply1assa  22529  ply1basf  22532  ply1bascl2  22534  vr1cl  22547  ressply1bas2  22557  ressply1add  22559  ressply1mul  22560  ressply1vsca  22561  subrgply1  22562  ply1baspropd  22572  ply1ring  22577  ply1lmod  22581  ply1mpl0  22586  ply1mpl1  22588  subrg1asclcl  22591  subrgvr1cl  22593  coe1add  22595  coe1tm  22604  ply1coe  22628  evls1rhm  22652  evls1sca  22653  evl1rhm  22662  evl1sca  22664  evl1var  22666  evls1var  22668  mpfpf1  22681  pf1mpf  22682  ply1vscl  22711  mhmcoply1  22712  rhmply1  22713  rhmply1vsca  22715  deg1xrf  26411  deg1cl  26413  deg1nn0cl  26418  deg1ldg  26422  deg1leb  26425  deg1val  26426  deg1vscale  26434  deg1vsca  26435  deg1mulle2  26439  deg1le0  26441  fply1  34143  selvply1rhmlema  34203  selvply1rhmlemb  34204  selvply1rhmlem1  34205  selvply1rhmlem4  34208