Theorem ply1bas 22128

Description: The value of the base set of univariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) Remove hypothesis. (Revised by SN, 20-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1val.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1bas.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1bas	⊢ 𝑈 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))

Proof of Theorem ply1bas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1bas.u	. 2 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
3		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
4		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
5		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
6		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑅)) = (Base‘(PwSer1‘𝑅))
7	5, 6, 3	psr1bas2 22123	. . . 4 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑅)) = (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
8	2, 3, 4, 7	mplbasss 21955	. . 3 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ⊆ (Base‘(PwSer1‘𝑅))
9		ply1val.1	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
10	9, 5	ply1val 22127	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
11	10, 6	ressbas2 17257	. . 3 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ⊆ (Base‘(PwSer1‘𝑅)) → (Base‘(1o mPoly 𝑅)) = (Base‘𝑃))
12	8, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) = (Base‘𝑃)
13	1, 12	eqtr4i 2761	1 ⊢ 𝑈 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))

Syntax hints:   = wceq 1540   ⊆ wss 3926  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  1_oc1o 8471  Basecbs 17226   mPwSer cmps 21862   mPoly cmpl 21864  PwSer₁cps1 22108  Poly₁cpl1 22110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-dec 12707  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-ple 17289  df-psr 21867  df-mpl 21869  df-opsr 21871  df-psr1 22113  df-ply1 22115

This theorem is referenced by:  ply1lss  22130  ply1subrg  22131  ply1crng  22132  ply1assa  22133  ply1basf  22136  ply1bascl2  22138  vr1cl  22151  ressply1bas2  22161  ressply1add  22163  ressply1mul  22164  ressply1vsca  22165  subrgply1  22166  ply1baspropd  22176  ply1ring  22181  ply1lmod  22185  ply1mpl0  22190  ply1mpl1  22192  subrg1asclcl  22195  subrgvr1cl  22197  coe1add  22199  coe1tm  22208  ply1coe  22234  evls1rhm  22258  evls1sca  22259  evl1rhm  22268  evl1sca  22270  evl1var  22272  evls1var  22274  mpfpf1  22287  pf1mpf  22288  ply1vscl  22320  mhmcoply1  22321  rhmply1  22322  rhmply1vsca  22324  deg1xrf  26036  deg1cl  26038  deg1nn0cl  26043  deg1ldg  26047  deg1leb  26050  deg1val  26051  deg1vscale  26059  deg1vsca  26060  deg1mulle2  26064  deg1le0  26066  fply1  33517