Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplneg 20684
 Description: The negative function on multivariate polynomials. (Contributed by SN, 25-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mplneg.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplneg.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplneg.n 𝑁 = (invg𝑅)
mplneg.m 𝑀 = (invg𝑃)
mplneg.i (𝜑𝐼𝑉)
mplneg.r (𝜑𝑅 ∈ Grp)
mplneg.x (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
mplneg (𝜑 → (𝑀𝑋) = (𝑁𝑋))

Proof of Theorem mplneg
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2801 . . . 4 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 mplneg.p . . . 4 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3 mplneg.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
4 mplneg.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
5 mplneg.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
61, 2, 3, 4, 5mplsubg 20678 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (SubGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
7 mplneg.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
82, 1, 3mplval2 20672 . . . 4 𝑃 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵)
9 eqid 2801 . . . 4 (invg‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (invg‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
10 mplneg.m . . . 4 𝑀 = (invg𝑃)
118, 9, 10subginv 18281 . . 3 ((𝐵 ∈ (SubGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑋𝐵) → ((invg‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘𝑋) = (𝑀𝑋))
126, 7, 11syl2anc 587 . 2 (𝜑 → ((invg‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘𝑋) = (𝑀𝑋))
13 eqid 2801 . . 3 {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
14 mplneg.n . . 3 𝑁 = (invg𝑅)
15 eqid 2801 . . 3 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
162, 1, 3, 15mplbasss 20673 . . . . 5 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
1716sseli 3914 . . . 4 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
187, 17syl 17 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
191, 4, 5, 13, 14, 15, 9, 18psrneg 20641 . 2 (𝜑 → ((invg‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘𝑋) = (𝑁𝑋))
2012, 19eqtr3d 2838 1 (𝜑 → (𝑀𝑋) = (𝑁𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  {crab 3113  ◡ccnv 5522   “ cima 5526   ∘ ccom 5527  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ↑m cmap 8393  Fincfn 8496  ℕcn 11629  ℕ0cn0 11889  Basecbs 16478  Grpcgrp 18098  invgcminusg 18099  SubGrpcsubg 18268   mPwSer cmps 20592   mPoly cmpl 20594 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-tset 16579  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-subg 18271  df-psr 20597  df-mpl 20599 This theorem is referenced by:  mhpinvcl  20803
 Copyright terms: Public domain W3C validator