Theorem mpladd 21990

Description: The addition operation on multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpladd.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mpladd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mpladd.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
mpladd.g	⊢ ✚ = (+g‘𝑃)
mpladd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mpladd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mpladd	⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌) = (𝑋 ∘f + 𝑌))

Proof of Theorem mpladd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. 2 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		eqid 2740	. 2 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
3		mpladd.a	. 2 ⊢ + = (+g‘𝑅)
4		mpladd.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
5		mpladd.g	. . 3 ⊢ ✚ = (+g‘𝑃)
6	4, 1, 5	mplplusg 21988	. 2 ⊢ ✚ = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
7		mpladd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
8	4, 1, 7, 2	mplbasss 21978	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
9		mpladd.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	8, 9	sselid 3920	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
11		mpladd.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
12	8, 11	sselid 3920	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
13	1, 2, 3, 6, 10, 12	psradd 21920	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌) = (𝑋 ∘f + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ∘_f cof 7625  Basecbs 17177  +_gcplusg 17218   mPwSer cmps 21886   mPoly cmpl 21888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-tset 17237  df-psr 21891  df-mpl 21893

This theorem is referenced by:  mplcoe1  22020  evlslem1  22065  mplmapghm  22105  mhmcoaddmpl  22106  mhpaddcl  22146  coe1add  22257  mdegaddle  26064  0mplrim  33705  selvply1rhmlem4  33714  mplvrpmmhm  33737  esplyind  33766  mhpind  43051