Theorem mpladd 19926

Description: The addition operation on multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpladd.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mpladd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mpladd.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
mpladd.g	⊢ ✚ = (+g‘𝑃)
mpladd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mpladd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mpladd	⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌) = (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌))

Proof of Theorem mpladd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2772	. 2 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		eqid 2772	. 2 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
3		mpladd.a	. 2 ⊢ + = (+g‘𝑅)
4		mpladd.g	. . 3 ⊢ ✚ = (+g‘𝑃)
5		mpladd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
6	5	fvexi 6507	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
7		mpladd.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
8	7, 1, 5	mplval2 19915	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵)
9		eqid 2772	. . . . 5 ⊢ (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
10	8, 9	ressplusg 16458	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘𝑃))
11	6, 10	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘𝑃)
12	4, 11	eqtr4i 2799	. 2 ⊢ ✚ = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
13	7, 1, 5, 2	mplbasss 19916	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
14		mpladd.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
15	13, 14	sseldi 3852	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
16		mpladd.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
17	13, 16	sseldi 3852	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
18	1, 2, 3, 12, 15, 17	psradd 19866	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌) = (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1507   ∈ wcel 2048  Vcvv 3409  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970   ∘_𝑓 cof 7219  Basecbs 16329  +_gcplusg 16411   mPwSer cmps 19835   mPoly cmpl 19837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-of 7221  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-supp 7627  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-oadd 7901  df-er 8081  df-map 8200  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-fsupp 8621  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-7 11501  df-8 11502  df-9 11503  df-n0 11701  df-z 11787  df-uz 12052  df-fz 12702  df-struct 16331  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-ress 16337  df-plusg 16424  df-mulr 16425  df-sca 16427  df-vsca 16428  df-tset 16430  df-psr 19840  df-mpl 19842

This theorem is referenced by:  mplcoe1  19949  evlslem1  19998  mhpaddcl  20034  coe1add  20125  mdegaddle  24361