Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressmplmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressmplmul 20239
 Description: A restricted polynomial algebra has the same multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressmpl.s 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
ressmpl.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
ressmpl.u 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
ressmpl.b 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressmpl.1 (𝜑𝐼𝑉)
ressmpl.2 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressmpl.p 𝑃 = (𝑆s 𝐵)
Assertion
Ref Expression
ressmplmul ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋(.r𝑈)𝑌) = (𝑋(.r𝑃)𝑌))

Proof of Theorem ressmplmul
StepHypRef Expression
1 ressmpl.u . . . . . 6 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
2 eqid 2824 . . . . . 6 (𝐼 mPwSer 𝐻) = (𝐼 mPwSer 𝐻)
3 ressmpl.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑈)
4 eqid 2824 . . . . . 6 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
51, 2, 3, 4mplbasss 20212 . . . . 5 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
65sseli 3949 . . . 4 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
75sseli 3949 . . . 4 (𝑌𝐵𝑌 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
86, 7anim12i 615 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))
9 eqid 2824 . . . 4 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
10 ressmpl.h . . . 4 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
11 eqid 2824 . . . 4 ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))) = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
12 ressmpl.2 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
139, 10, 2, 4, 11, 12resspsrmul 20197 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))) → (𝑋(.r‘(𝐼 mPwSer 𝐻))𝑌) = (𝑋(.r‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))𝑌))
148, 13sylan2 595 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋(.r‘(𝐼 mPwSer 𝐻))𝑌) = (𝑋(.r‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))𝑌))
153fvexi 6675 . . . 4 𝐵 ∈ V
161, 2, 3mplval2 20211 . . . . 5 𝑈 = ((𝐼 mPwSer 𝐻) ↾s 𝐵)
17 eqid 2824 . . . . 5 (.r‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (.r‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
1816, 17ressmulr 16625 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (.r‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (.r𝑈))
1915, 18ax-mp 5 . . 3 (.r‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (.r𝑈)
2019oveqi 7162 . 2 (𝑋(.r‘(𝐼 mPwSer 𝐻))𝑌) = (𝑋(.r𝑈)𝑌)
21 fvex 6674 . . . . 5 (Base‘𝑆) ∈ V
22 ressmpl.s . . . . . . 7 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
23 eqid 2824 . . . . . . 7 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2422, 9, 23mplval2 20211 . . . . . 6 𝑆 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑆))
25 eqid 2824 . . . . . 6 (.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
2624, 25ressmulr 16625 . . . . 5 ((Base‘𝑆) ∈ V → (.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (.r𝑆))
2721, 26ax-mp 5 . . . 4 (.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (.r𝑆)
28 fvex 6674 . . . . 5 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∈ V
2911, 25ressmulr 16625 . . . . 5 ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∈ V → (.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (.r‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))))
3028, 29ax-mp 5 . . . 4 (.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (.r‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))
31 ressmpl.p . . . . . 6 𝑃 = (𝑆s 𝐵)
32 eqid 2824 . . . . . 6 (.r𝑆) = (.r𝑆)
3331, 32ressmulr 16625 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (.r𝑆) = (.r𝑃))
3415, 33ax-mp 5 . . . 4 (.r𝑆) = (.r𝑃)
3527, 30, 343eqtr3i 2855 . . 3 (.r‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))) = (.r𝑃)
3635oveqi 7162 . 2 (𝑋(.r‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))𝑌) = (𝑋(.r𝑃)𝑌)
3714, 20, 363eqtr3g 2882 1 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋(.r𝑈)𝑌) = (𝑋(.r𝑃)𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3480  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  Basecbs 16483   ↾s cress 16484  .rcmulr 16566  SubRingcsubrg 19531   mPwSer cmps 20131   mPoly cmpl 20133 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-ofr 7404  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-seq 13374  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-tset 16584  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-subg 18276  df-mgp 19240  df-ring 19299  df-subrg 19533  df-psr 20136  df-mpl 20138 This theorem is referenced by:  ressply1mul  20399
 Copyright terms: Public domain W3C validator