MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressmplmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressmplmul 22066
Description: A restricted polynomial algebra has the same multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressmpl.s 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
ressmpl.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
ressmpl.u 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
ressmpl.b 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressmpl.1 (𝜑𝐼𝑉)
ressmpl.2 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressmpl.p 𝑃 = (𝑆s 𝐵)
Assertion
Ref Expression
ressmplmul ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋(.r𝑈)𝑌) = (𝑋(.r𝑃)𝑌))

Proof of Theorem ressmplmul
StepHypRef Expression
1 ressmpl.u . . . . . 6 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
2 eqid 2735 . . . . . 6 (𝐼 mPwSer 𝐻) = (𝐼 mPwSer 𝐻)
3 ressmpl.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑈)
4 eqid 2735 . . . . . 6 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
51, 2, 3, 4mplbasss 22035 . . . . 5 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
65sseli 3991 . . . 4 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
75sseli 3991 . . . 4 (𝑌𝐵𝑌 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
86, 7anim12i 613 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))
9 eqid 2735 . . . 4 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
10 ressmpl.h . . . 4 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
11 eqid 2735 . . . 4 ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))) = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
12 ressmpl.2 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
139, 10, 2, 4, 11, 12resspsrmul 22014 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))) → (𝑋(.r‘(𝐼 mPwSer 𝐻))𝑌) = (𝑋(.r‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))𝑌))
148, 13sylan2 593 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋(.r‘(𝐼 mPwSer 𝐻))𝑌) = (𝑋(.r‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))𝑌))
153fvexi 6921 . . . 4 𝐵 ∈ V
161, 2, 3mplval2 22034 . . . . 5 𝑈 = ((𝐼 mPwSer 𝐻) ↾s 𝐵)
17 eqid 2735 . . . . 5 (.r‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (.r‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
1816, 17ressmulr 17353 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (.r‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (.r𝑈))
1915, 18ax-mp 5 . . 3 (.r‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (.r𝑈)
2019oveqi 7444 . 2 (𝑋(.r‘(𝐼 mPwSer 𝐻))𝑌) = (𝑋(.r𝑈)𝑌)
21 fvex 6920 . . . . 5 (Base‘𝑆) ∈ V
22 ressmpl.s . . . . . . 7 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
23 eqid 2735 . . . . . . 7 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2422, 9, 23mplval2 22034 . . . . . 6 𝑆 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑆))
25 eqid 2735 . . . . . 6 (.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
2624, 25ressmulr 17353 . . . . 5 ((Base‘𝑆) ∈ V → (.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (.r𝑆))
2721, 26ax-mp 5 . . . 4 (.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (.r𝑆)
28 fvex 6920 . . . . 5 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∈ V
2911, 25ressmulr 17353 . . . . 5 ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∈ V → (.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (.r‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))))
3028, 29ax-mp 5 . . . 4 (.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (.r‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))
31 ressmpl.p . . . . . 6 𝑃 = (𝑆s 𝐵)
32 eqid 2735 . . . . . 6 (.r𝑆) = (.r𝑆)
3331, 32ressmulr 17353 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (.r𝑆) = (.r𝑃))
3415, 33ax-mp 5 . . . 4 (.r𝑆) = (.r𝑃)
3527, 30, 343eqtr3i 2771 . . 3 (.r‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))) = (.r𝑃)
3635oveqi 7444 . 2 (𝑋(.r‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))𝑌) = (𝑋(.r𝑃)𝑌)
3714, 20, 363eqtr3g 2798 1 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋(.r𝑈)𝑌) = (𝑋(.r𝑃)𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  s cress 17274  .rcmulr 17299  SubRingcsubrg 20586   mPwSer cmps 21942   mPoly cmpl 21944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-seq 14040  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-tset 17317  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-subg 19154  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-psr 21947  df-mpl 21949
This theorem is referenced by:  ressply1mul  22248
  Copyright terms: Public domain W3C validator