Theorem ressmplmul 19855

Description: A restricted polynomial algebra has the same multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmpl.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
ressmpl.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
ressmpl.u	⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
ressmpl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressmpl.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
ressmpl.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressmpl.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ressmplmul	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(.r‘𝑈)𝑌) = (𝑋(.r‘𝑃)𝑌))

Proof of Theorem ressmplmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmpl.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
2		eqid 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝐻) = (𝐼 mPwSer 𝐻)
3		ressmpl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
4		eqid 2777	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
5	1, 2, 3, 4	mplbasss 19829	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
6	5	sseli 3816	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
7	5	sseli 3816	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
8	6, 7	anim12i 606	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))
9		eqid 2777	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
10		ressmpl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
11		eqid 2777	. . . 4 ⊢ ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))) = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
12		ressmpl.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
13	9, 10, 2, 4, 11, 12	resspsrmul 19814	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))) → (𝑋(.r‘(𝐼 mPwSer 𝐻))𝑌) = (𝑋(.r‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))𝑌))
14	8, 13	sylan2 586	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(.r‘(𝐼 mPwSer 𝐻))𝑌) = (𝑋(.r‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))𝑌))
15	3	fvexi 6460	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
16	1, 2, 3	mplval2 19828	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 mPwSer 𝐻) ↾s 𝐵)
17		eqid 2777	. . . . 5 ⊢ (.r‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (.r‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
18	16, 17	ressmulr 16398	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (.r‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (.r‘𝑈))
19	15, 18	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (.r‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (.r‘𝑈)
20	19	oveqi 6935	. 2 ⊢ (𝑋(.r‘(𝐼 mPwSer 𝐻))𝑌) = (𝑋(.r‘𝑈)𝑌)
21		fvex 6459	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) ∈ V
22		ressmpl.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
23		eqid 2777	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
24	22, 9, 23	mplval2 19828	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑆))
25		eqid 2777	. . . . . 6 ⊢ (.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
26	24, 25	ressmulr 16398	. . . . 5 ⊢ ((Base‘𝑆) ∈ V → (.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (.r‘𝑆))
27	21, 26	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (.r‘𝑆)
28		fvex 6459	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∈ V
29	11, 25	ressmulr 16398	. . . . 5 ⊢ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∈ V → (.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (.r‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (.r‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))
31		ressmpl.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
32		eqid 2777	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
33	31, 32	ressmulr 16398	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (.r‘𝑆) = (.r‘𝑃))
34	15, 33	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑃)
35	27, 30, 34	3eqtr3i 2809	. . 3 ⊢ (.r‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))) = (.r‘𝑃)
36	35	oveqi 6935	. 2 ⊢ (𝑋(.r‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))𝑌) = (𝑋(.r‘𝑃)𝑌)
37	14, 20, 36	3eqtr3g 2836	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(.r‘𝑈)𝑌) = (𝑋(.r‘𝑃)𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2106  Vcvv 3397  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255   ↾_s cress 16256  ._rcmulr 16339  SubRingcsubrg 19168   mPwSer cmps 19748   mPoly cmpl 19750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-ofr 7175  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-seq 13120  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-tset 16357  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-subg 17975  df-mgp 18877  df-ring 18936  df-subrg 19170  df-psr 19753  df-mpl 19755

This theorem is referenced by:  ressply1mul  19997