Theorem ressmplmul 22048

Description: A restricted polynomial algebra has the same multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmpl.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
ressmpl.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
ressmpl.u	⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
ressmpl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressmpl.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
ressmpl.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressmpl.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ressmplmul	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(.r‘𝑈)𝑌) = (𝑋(.r‘𝑃)𝑌))

Proof of Theorem ressmplmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmpl.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
2		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝐻) = (𝐼 mPwSer 𝐻)
3		ressmpl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
4		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
5	1, 2, 3, 4	mplbasss 22017	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
6	5	sseli 3979	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
7	5	sseli 3979	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
8	6, 7	anim12i 613	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
10		ressmpl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
11		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))) = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
12		ressmpl.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
13	9, 10, 2, 4, 11, 12	resspsrmul 21996	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))) → (𝑋(.r‘(𝐼 mPwSer 𝐻))𝑌) = (𝑋(.r‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))𝑌))
14	8, 13	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(.r‘(𝐼 mPwSer 𝐻))𝑌) = (𝑋(.r‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))𝑌))
15	3	fvexi 6920	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
16	1, 2, 3	mplval2 22016	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 mPwSer 𝐻) ↾s 𝐵)
17		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.r‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (.r‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
18	16, 17	ressmulr 17351	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (.r‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (.r‘𝑈))
19	15, 18	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (.r‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (.r‘𝑈)
20	19	oveqi 7444	. 2 ⊢ (𝑋(.r‘(𝐼 mPwSer 𝐻))𝑌) = (𝑋(.r‘𝑈)𝑌)
21		fvex 6919	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) ∈ V
22		ressmpl.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
23		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
24	22, 9, 23	mplval2 22016	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑆))
25		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
26	24, 25	ressmulr 17351	. . . . 5 ⊢ ((Base‘𝑆) ∈ V → (.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (.r‘𝑆))
27	21, 26	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (.r‘𝑆)
28		fvex 6919	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∈ V
29	11, 25	ressmulr 17351	. . . . 5 ⊢ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∈ V → (.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (.r‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (.r‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))
31		ressmpl.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
32		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
33	31, 32	ressmulr 17351	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (.r‘𝑆) = (.r‘𝑃))
34	15, 33	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑃)
35	27, 30, 34	3eqtr3i 2773	. . 3 ⊢ (.r‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))) = (.r‘𝑃)
36	35	oveqi 7444	. 2 ⊢ (𝑋(.r‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))𝑌) = (𝑋(.r‘𝑃)𝑌)
37	14, 20, 36	3eqtr3g 2800	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(.r‘𝑈)𝑌) = (𝑋(.r‘𝑃)𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247   ↾_s cress 17274  ._rcmulr 17298  SubRingcsubrg 20569   mPwSer cmps 21924   mPoly cmpl 21926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-seq 14043  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-tset 17316  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-psr 21929  df-mpl 21931

This theorem is referenced by:  ressply1mul  22232