Theorem ressmplvsca 21971

Description: A restricted power series algebra has the same scalar multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmpl.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
ressmpl.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
ressmpl.u	⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
ressmpl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressmpl.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
ressmpl.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressmpl.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ressmplvsca	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)𝑌))

Proof of Theorem ressmplvsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmpl.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
2		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝐻) = (𝐼 mPwSer 𝐻)
3		ressmpl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
4		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
5	1, 2, 3, 4	mplbasss 21939	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
6	5	sseli 3939	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
7		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
8		ressmpl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
9		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))) = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
10		ressmpl.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
11	7, 8, 2, 4, 9, 10	resspsrvsca 21919	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))) → (𝑋( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝐻))𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))𝑌))
12	6, 11	sylanr2 683	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝐻))𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))𝑌))
13	3	fvexi 6854	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
14	1, 2, 3	mplval2 21938	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 mPwSer 𝐻) ↾s 𝐵)
15		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
16	14, 15	ressvsca 17283	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = ( ·𝑠 ‘𝑈))
17	13, 16	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
18	17	oveqi 7382	. 2 ⊢ (𝑋( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝐻))𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑌)
19		fvex 6853	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) ∈ V
20		ressmpl.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
21		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
22	20, 7, 21	mplval2 21938	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑆))
23		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
24	22, 23	ressvsca 17283	. . . . 5 ⊢ ((Base‘𝑆) ∈ V → ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘𝑆))
25	19, 24	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘𝑆)
26		fvex 6853	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∈ V
27	9, 23	ressvsca 17283	. . . . 5 ⊢ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∈ V → ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))
29		ressmpl.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
30		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑆)
31	29, 30	ressvsca 17283	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑃))
32	13, 31	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
33	25, 28, 32	3eqtr3i 2760	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
34	33	oveqi 7382	. 2 ⊢ (𝑋( ·𝑠 ‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)𝑌)
35	12, 18, 34	3eqtr3g 2787	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155   ↾_s cress 17176   ·_𝑠 cvsca 17200  SubRingcsubrg 20489   mPwSer cmps 21846   mPoly cmpl 21848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-tset 17215  df-subg 19037  df-ring 20155  df-subrg 20490  df-psr 21851  df-mpl 21853

This theorem is referenced by:  ressply1vsca  22149