Theorem ressmplvsca 21988

Description: A restricted power series algebra has the same scalar multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmpl.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
ressmpl.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
ressmpl.u	⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
ressmpl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressmpl.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
ressmpl.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressmpl.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ressmplvsca	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)𝑌))

Proof of Theorem ressmplvsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmpl.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
2		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝐻) = (𝐼 mPwSer 𝐻)
3		ressmpl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
4		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
5	1, 2, 3, 4	mplbasss 21954	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
6	5	sseli 3928	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
7		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
8		ressmpl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
9		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))) = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
10		ressmpl.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
11	7, 8, 2, 4, 9, 10	resspsrvsca 21934	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))) → (𝑋( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝐻))𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))𝑌))
12	6, 11	sylanr2 684	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝐻))𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))𝑌))
13	3	fvexi 6847	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
14	1, 2, 3	mplval2 21953	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 mPwSer 𝐻) ↾s 𝐵)
15		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
16	14, 15	ressvsca 17266	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = ( ·𝑠 ‘𝑈))
17	13, 16	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
18	17	oveqi 7371	. 2 ⊢ (𝑋( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝐻))𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑌)
19		fvex 6846	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) ∈ V
20		ressmpl.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
21		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
22	20, 7, 21	mplval2 21953	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑆))
23		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
24	22, 23	ressvsca 17266	. . . . 5 ⊢ ((Base‘𝑆) ∈ V → ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘𝑆))
25	19, 24	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘𝑆)
26		fvex 6846	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∈ V
27	9, 23	ressvsca 17266	. . . . 5 ⊢ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∈ V → ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))
29		ressmpl.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
30		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑆)
31	29, 30	ressvsca 17266	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑃))
32	13, 31	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
33	25, 28, 32	3eqtr3i 2766	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
34	33	oveqi 7371	. 2 ⊢ (𝑋( ·𝑠 ‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)𝑌)
35	12, 18, 34	3eqtr3g 2793	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3439  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  Basecbs 17138   ↾_s cress 17159   ·_𝑠 cvsca 17183  SubRingcsubrg 20504   mPwSer cmps 21862   mPoly cmpl 21864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8767  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-fsupp 9267  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-fz 13426  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-tset 17198  df-subg 19055  df-ring 20172  df-subrg 20505  df-psr 21867  df-mpl 21869

This theorem is referenced by:  ressply1vsca  22174