Theorem ressmplvsca 19867

Description: A restricted power series algebra has the same scalar multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmpl.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
ressmpl.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
ressmpl.u	⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
ressmpl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressmpl.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
ressmpl.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressmpl.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ressmplvsca	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)𝑌))

Proof of Theorem ressmplvsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmpl.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
2		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝐻) = (𝐼 mPwSer 𝐻)
3		ressmpl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
4		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
5	1, 2, 3, 4	mplbasss 19840	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
6	5	sseli 3817	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
7		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
8		ressmpl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
9		eqid 2778	. . . 4 ⊢ ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))) = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
10		ressmpl.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
11	7, 8, 2, 4, 9, 10	resspsrvsca 19826	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))) → (𝑋( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝐻))𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))𝑌))
12	6, 11	sylanr2 673	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝐻))𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))𝑌))
13	3	fvexi 6462	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
14	1, 2, 3	mplval2 19839	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 mPwSer 𝐻) ↾s 𝐵)
15		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
16	14, 15	ressvsca 16435	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = ( ·𝑠 ‘𝑈))
17	13, 16	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
18	17	oveqi 6937	. 2 ⊢ (𝑋( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝐻))𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑌)
19		fvex 6461	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) ∈ V
20		ressmpl.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
21		eqid 2778	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
22	20, 7, 21	mplval2 19839	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑆))
23		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
24	22, 23	ressvsca 16435	. . . . 5 ⊢ ((Base‘𝑆) ∈ V → ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘𝑆))
25	19, 24	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘𝑆)
26		fvex 6461	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∈ V
27	9, 23	ressvsca 16435	. . . . 5 ⊢ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∈ V → ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))
29		ressmpl.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
30		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑆)
31	29, 30	ressvsca 16435	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑃))
32	13, 31	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
33	25, 28, 32	3eqtr3i 2810	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
34	33	oveqi 6937	. 2 ⊢ (𝑋( ·𝑠 ‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)𝑌)
35	12, 18, 34	3eqtr3g 2837	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  Vcvv 3398  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  Basecbs 16266   ↾_s cress 16267   ·_𝑠 cvsca 16353  SubRingcsubrg 19179   mPwSer cmps 19759   mPoly cmpl 19761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-7 11448  df-8 11449  df-9 11450  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-fz 12649  df-struct 16268  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-ress 16274  df-plusg 16362  df-mulr 16363  df-sca 16365  df-vsca 16366  df-tset 16368  df-subg 17986  df-ring 18947  df-subrg 19181  df-psr 19764  df-mpl 19766

This theorem is referenced by:  ressply1vsca  20009