MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressmplvsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressmplvsca 20699
Description: A restricted power series algebra has the same scalar multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressmpl.s 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
ressmpl.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
ressmpl.u 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
ressmpl.b 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressmpl.1 (𝜑𝐼𝑉)
ressmpl.2 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressmpl.p 𝑃 = (𝑆s 𝐵)
Assertion
Ref Expression
ressmplvsca ((𝜑 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝐵)) → (𝑋( ·𝑠𝑈)𝑌) = (𝑋( ·𝑠𝑃)𝑌))

Proof of Theorem ressmplvsca
StepHypRef Expression
1 ressmpl.u . . . . 5 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
2 eqid 2798 . . . . 5 (𝐼 mPwSer 𝐻) = (𝐼 mPwSer 𝐻)
3 ressmpl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑈)
4 eqid 2798 . . . . 5 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
51, 2, 3, 4mplbasss 20670 . . . 4 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
65sseli 3911 . . 3 (𝑌𝐵𝑌 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
7 eqid 2798 . . . 4 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
8 ressmpl.h . . . 4 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
9 eqid 2798 . . . 4 ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))) = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
10 ressmpl.2 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
117, 8, 2, 4, 9, 10resspsrvsca 20656 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑇𝑌 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))) → (𝑋( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝐻))𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))𝑌))
126, 11sylanr2 682 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝐻))𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))𝑌))
133fvexi 6659 . . . 4 𝐵 ∈ V
141, 2, 3mplval2 20669 . . . . 5 𝑈 = ((𝐼 mPwSer 𝐻) ↾s 𝐵)
15 eqid 2798 . . . . 5 ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
1614, 15ressvsca 16643 . . . 4 (𝐵 ∈ V → ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = ( ·𝑠𝑈))
1713, 16ax-mp 5 . . 3 ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = ( ·𝑠𝑈)
1817oveqi 7148 . 2 (𝑋( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝐻))𝑌) = (𝑋( ·𝑠𝑈)𝑌)
19 fvex 6658 . . . . 5 (Base‘𝑆) ∈ V
20 ressmpl.s . . . . . . 7 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
21 eqid 2798 . . . . . . 7 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2220, 7, 21mplval2 20669 . . . . . 6 𝑆 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑆))
23 eqid 2798 . . . . . 6 ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
2422, 23ressvsca 16643 . . . . 5 ((Base‘𝑆) ∈ V → ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ( ·𝑠𝑆))
2519, 24ax-mp 5 . . . 4 ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ( ·𝑠𝑆)
26 fvex 6658 . . . . 5 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∈ V
279, 23ressvsca 16643 . . . . 5 ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∈ V → ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))))
2826, 27ax-mp 5 . . . 4 ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))
29 ressmpl.p . . . . . 6 𝑃 = (𝑆s 𝐵)
30 eqid 2798 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑆) = ( ·𝑠𝑆)
3129, 30ressvsca 16643 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → ( ·𝑠𝑆) = ( ·𝑠𝑃))
3213, 31ax-mp 5 . . . 4 ( ·𝑠𝑆) = ( ·𝑠𝑃)
3325, 28, 323eqtr3i 2829 . . 3 ( ·𝑠 ‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))) = ( ·𝑠𝑃)
3433oveqi 7148 . 2 (𝑋( ·𝑠 ‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))𝑌) = (𝑋( ·𝑠𝑃)𝑌)
3512, 18, 343eqtr3g 2856 1 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝐵)) → (𝑋( ·𝑠𝑈)𝑌) = (𝑋( ·𝑠𝑃)𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2111  Vcvv 3441  cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  s cress 16476   ·𝑠 cvsca 16561  SubRingcsubrg 19524   mPwSer cmps 20589   mPoly cmpl 20591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-tset 16576  df-subg 18268  df-ring 19292  df-subrg 19526  df-psr 20594  df-mpl 20596
This theorem is referenced by:  ressply1vsca  20861
  Copyright terms: Public domain W3C validator