Theorem mplelf 21963

Description: A polynomial is defined as a function on the coefficients. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplelf.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplelf.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mplelf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplelf.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplelf.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mplelf	⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶𝐾)

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem mplelf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. 2 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		mplelf.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		mplelf.d	. 2 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4		eqid 2736	. 2 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
5		mplelf.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
6		mplelf.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	5, 1, 6, 4	mplbasss 21962	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
8		mplelf.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	7, 8	sselid 3961	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
10	1, 2, 3, 4, 9	psrelbas 21899	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3420  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8845  Fincfn 8964  ℕcn 12245  ℕ₀cn0 12506  Basecbs 17233   mPwSer cmps 21869   mPoly cmpl 21871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-tset 17295  df-psr 21874  df-mpl 21876

This theorem is referenced by:  mplsubrglem  21969  mplvscaval  21981  mplmonmul  21999  mplcoe1  22000  mplbas2  22005  mplcoe4  22034  evlslem2  22042  evlslem6  22044  evlslem1  22045  ismhp3  22085  mhpmulcl  22092  mhpaddcl  22094  mhpinvcl  22095  mhpvscacl  22097  psdmplcl  22105  ply1basf  22143  mhmcompl  22323  mhmcoaddmpl  22324  rhmcomulmpl  22325  mdegfval  26024  mdegleb  26026  mdegldg  26028  mdegaddle  26036  mdegvsca  26038  mdegle0  26039  mdegmullem  26040  mplmapghm  42546  evlsvvvallem2  42552  evlsvvval  42553  evlsevl  42561  selvvvval  42575  evlselv  42577  mhpind  42584  evlsmhpvvval  42585  mhphf  42587