Theorem mplelf 22041

Description: A polynomial is defined as a function on the coefficients. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplelf.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplelf.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mplelf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplelf.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplelf.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mplelf	⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶𝐾)

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem mplelf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. 2 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		mplelf.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		mplelf.d	. 2 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4		eqid 2740	. 2 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
5		mplelf.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
6		mplelf.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	5, 1, 6, 4	mplbasss 22040	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
8		mplelf.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	7, 8	sselid 4006	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
10	1, 2, 3, 4, 9	psrelbas 21977	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {crab 3443  ^◡ccnv 5699   “ cima 5703  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↑_m cmap 8884  Fincfn 9003  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  Basecbs 17258   mPwSer cmps 21947   mPoly cmpl 21949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-tset 17330  df-psr 21952  df-mpl 21954

This theorem is referenced by:  mplsubrglem  22047  mplvscaval  22059  mplmonmul  22077  mplcoe1  22078  mplbas2  22083  mplcoe4  22118  evlslem2  22126  evlslem6  22128  evlslem1  22129  ismhp3  22169  mhpmulcl  22176  mhpaddcl  22178  mhpinvcl  22179  mhpvscacl  22181  psdmplcl  22189  ply1basf  22225  mhmcompl  22405  mhmcoaddmpl  22406  rhmcomulmpl  22407  mdegfval  26121  mdegleb  26123  mdegldg  26125  mdegaddle  26133  mdegvsca  26135  mdegle0  26136  mdegmullem  26137  mplmapghm  42511  evlsvvvallem2  42517  evlsvvval  42518  evlsevl  42526  selvvvval  42540  evlselv  42542  mhpind  42549  evlsmhpvvval  42550  mhphf  42552