Theorem mplelf 22360

Description: A polynomial is defined as a function on the coefficients. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplelf.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplelf.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mplelf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplelf.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplelf.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mplelf	⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶𝐾)

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem mplelf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. 2 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		mplelf.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		mplelf.d	. 2 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4		eqid 2763	. 2 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
5		mplelf.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
6		mplelf.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	5, 1, 6, 4	mplbasss 22359	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
8		mplelf.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	7, 8	sselid 3911	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
10	1, 2, 3, 4, 9	psrelbas 22298	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶𝐾)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416  ^◡ccnv 5657   “ cima 5661  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ↑_m cmap 8885  Fincfn 9011  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646  Basecbs 17431   mPwSer cmps 22267   mPoly cmpl 22269

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-tset 17492  df-psr 22272  df-mpl 22274

This theorem is used by:  mplsubrglem  22366  mplvscaval  22378  mplmonmul  22400  mplcoe1  22401  mplbas2  22406  mplcoe4  22435  evlslem2  22443  evlslem6  22445  evlslem1  22446  evlsvvvallem2  22456  evlsvvval  22457  mhmcompl  22485  mplmapghm  22486  mhmcoaddmpl  22487  rhmcomulmpl  22488  evlsevl  22496  selvvvval  22506  ismhp3  22518  mhpmulcl  22525  mhpaddcl  22527  mhpinvcl  22528  mhpvscacl  22530  psdmplcl  22538  ply1basf  22575  mdegfval  26435  mdegleb  26437  mdegldg  26439  mdegaddle  26447  mdegvsca  26449  mdegle0  26450  mdegmullem  26451  0mplrim  34257  selvply1rhmlema  34261  selvply1rhmlemb  34262  selvply1rhmlem1  34263  selvply1rhmlem4  34266  selvply1rhm0  34269  extvfvvcl  34278  extvfvcl  34279  mplmulmvr  34282  evlextv  34285  mplvrpmfgalem  34287  mplvrpmga  34288  mplvrpmmhm  34289  issply  34304  esplyind  34318  evlselv  43883  mhpind  43888  evlsmhpvvval  43889  mhphf  43891