![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mplmul | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The multiplication operation on multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
mplmul.p | โข ๐ = (๐ผ mPoly ๐ ) |
mplmul.b | โข ๐ต = (Baseโ๐) |
mplmul.m | โข ยท = (.rโ๐ ) |
mplmul.t | โข โ = (.rโ๐) |
mplmul.d | โข ๐ท = {โ โ (โ0 โm ๐ผ) โฃ (โกโ โ โ) โ Fin} |
mplmul.f | โข (๐ โ ๐น โ ๐ต) |
mplmul.g | โข (๐ โ ๐บ โ ๐ต) |
Ref | Expression |
---|---|
mplmul | โข (๐ โ (๐น โ ๐บ) = (๐ โ ๐ท โฆ (๐ ฮฃg (๐ฅ โ {๐ฆ โ ๐ท โฃ ๐ฆ โr โค ๐} โฆ ((๐นโ๐ฅ) ยท (๐บโ(๐ โf โ ๐ฅ))))))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | eqid 2733 | . 2 โข (๐ผ mPwSer ๐ ) = (๐ผ mPwSer ๐ ) | |
2 | eqid 2733 | . 2 โข (Baseโ(๐ผ mPwSer ๐ )) = (Baseโ(๐ผ mPwSer ๐ )) | |
3 | mplmul.m | . 2 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
4 | mplmul.t | . . 3 โข โ = (.rโ๐) | |
5 | mplmul.b | . . . . 5 โข ๐ต = (Baseโ๐) | |
6 | 5 | fvexi 6860 | . . . 4 โข ๐ต โ V |
7 | mplmul.p | . . . . . 6 โข ๐ = (๐ผ mPoly ๐ ) | |
8 | 7, 1, 5 | mplval2 21425 | . . . . 5 โข ๐ = ((๐ผ mPwSer ๐ ) โพs ๐ต) |
9 | eqid 2733 | . . . . 5 โข (.rโ(๐ผ mPwSer ๐ )) = (.rโ(๐ผ mPwSer ๐ )) | |
10 | 8, 9 | ressmulr 17196 | . . . 4 โข (๐ต โ V โ (.rโ(๐ผ mPwSer ๐ )) = (.rโ๐)) |
11 | 6, 10 | ax-mp 5 | . . 3 โข (.rโ(๐ผ mPwSer ๐ )) = (.rโ๐) |
12 | 4, 11 | eqtr4i 2764 | . 2 โข โ = (.rโ(๐ผ mPwSer ๐ )) |
13 | mplmul.d | . 2 โข ๐ท = {โ โ (โ0 โm ๐ผ) โฃ (โกโ โ โ) โ Fin} | |
14 | 7, 1, 5, 2 | mplbasss 21426 | . . 3 โข ๐ต โ (Baseโ(๐ผ mPwSer ๐ )) |
15 | mplmul.f | . . 3 โข (๐ โ ๐น โ ๐ต) | |
16 | 14, 15 | sselid 3946 | . 2 โข (๐ โ ๐น โ (Baseโ(๐ผ mPwSer ๐ ))) |
17 | mplmul.g | . . 3 โข (๐ โ ๐บ โ ๐ต) | |
18 | 14, 17 | sselid 3946 | . 2 โข (๐ โ ๐บ โ (Baseโ(๐ผ mPwSer ๐ ))) |
19 | 1, 2, 3, 12, 13, 16, 18 | psrmulfval 21376 | 1 โข (๐ โ (๐น โ ๐บ) = (๐ โ ๐ท โฆ (๐ ฮฃg (๐ฅ โ {๐ฆ โ ๐ท โฃ ๐ฆ โr โค ๐} โฆ ((๐นโ๐ฅ) ยท (๐บโ(๐ โf โ ๐ฅ))))))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1542 โ wcel 2107 {crab 3406 Vcvv 3447 class class class wbr 5109 โฆ cmpt 5192 โกccnv 5636 โ cima 5640 โcfv 6500 (class class class)co 7361 โf cof 7619 โr cofr 7620 โm cmap 8771 Fincfn 8889 โค cle 11198 โ cmin 11393 โcn 12161 โ0cn0 12421 Basecbs 17091 .rcmulr 17142 ฮฃg cgsu 17330 mPwSer cmps 21329 mPoly cmpl 21331 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5246 ax-sep 5260 ax-nul 5267 ax-pow 5324 ax-pr 5388 ax-un 7676 ax-cnex 11115 ax-resscn 11116 ax-1cn 11117 ax-icn 11118 ax-addcl 11119 ax-addrcl 11120 ax-mulcl 11121 ax-mulrcl 11122 ax-mulcom 11123 ax-addass 11124 ax-mulass 11125 ax-distr 11126 ax-i2m1 11127 ax-1ne0 11128 ax-1rid 11129 ax-rnegex 11130 ax-rrecex 11131 ax-cnre 11132 ax-pre-lttri 11133 ax-pre-lttrn 11134 ax-pre-ltadd 11135 ax-pre-mulgt0 11136 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3449 df-sbc 3744 df-csb 3860 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-pss 3933 df-nul 4287 df-if 4491 df-pw 4566 df-sn 4591 df-pr 4593 df-tp 4595 df-op 4597 df-uni 4870 df-iun 4960 df-br 5110 df-opab 5172 df-mpt 5193 df-tr 5227 df-id 5535 df-eprel 5541 df-po 5549 df-so 5550 df-fr 5592 df-we 5594 df-xp 5643 df-rel 5644 df-cnv 5645 df-co 5646 df-dm 5647 df-rn 5648 df-res 5649 df-ima 5650 df-pred 6257 df-ord 6324 df-on 6325 df-lim 6326 df-suc 6327 df-iota 6452 df-fun 6502 df-fn 6503 df-f 6504 df-f1 6505 df-fo 6506 df-f1o 6507 df-fv 6508 df-riota 7317 df-ov 7364 df-oprab 7365 df-mpo 7366 df-of 7621 df-om 7807 df-1st 7925 df-2nd 7926 df-supp 8097 df-frecs 8216 df-wrecs 8247 df-recs 8321 df-rdg 8360 df-1o 8416 df-er 8654 df-map 8773 df-en 8890 df-dom 8891 df-sdom 8892 df-fin 8893 df-fsupp 9312 df-pnf 11199 df-mnf 11200 df-xr 11201 df-ltxr 11202 df-le 11203 df-sub 11395 df-neg 11396 df-nn 12162 df-2 12224 df-3 12225 df-4 12226 df-5 12227 df-6 12228 df-7 12229 df-8 12230 df-9 12231 df-n0 12422 df-z 12508 df-uz 12772 df-fz 13434 df-struct 17027 df-sets 17044 df-slot 17062 df-ndx 17074 df-base 17092 df-ress 17121 df-plusg 17154 df-mulr 17155 df-sca 17157 df-vsca 17158 df-tset 17160 df-psr 21334 df-mpl 21336 |
This theorem is referenced by: mplmonmul 21460 mhpmulcl 21562 mdegmullem 25466 rhmcomulmpl 40787 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |