Theorem mplmul 22229

Description: The multiplication operation on multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplmul.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplmul.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
mplmul.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
mplmul.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
mplmul.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
mplmul.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mplmul	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∙ 𝐺) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐷   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝐺,𝑥   ℎ,𝑘,𝑥,𝑦,𝐼   𝜑,𝑘,𝑥   · ,𝑘,𝑥   𝑅,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦, ℎ)   𝐵(𝑥, 𝑦, ℎ, 𝑘)   𝐷(ℎ)   𝑃(𝑥, 𝑦, ℎ, 𝑘)   𝑅(𝑦, ℎ)   ∙ (𝑥, 𝑦, ℎ, 𝑘)   · (𝑦, ℎ)   𝐹(𝑦, ℎ)   𝐺(𝑦, ℎ)

Proof of Theorem mplmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. 2 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		eqid 2762	. 2 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
3		mplmul.m	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		mplmul.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
5		mplmul.t	. . 3 ⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
6	4, 1, 5	mplmulr 22226	. 2 ⊢ ∙ = (.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
7		mplmul.d	. 2 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
8		mplmul.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9	4, 1, 8, 2	mplbasss 22215	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
10		mplmul.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
11	9, 10	sselid 3932	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
12		mplmul.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
13	9, 12	sselid 3932	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
14	1, 2, 3, 6, 7, 11, 13	psrmulfval 22162	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∙ 𝐺) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3414   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ∘_f cof 7679   ∘_r cofr 7680   ↑_m cmap 8829  Fincfn 8955   ≤ cle 11271   − cmin 11468  ℕcn 12260  ℕ₀cn0 12531  Basecbs 17305  ._rcmulr 17347   Σ_g cgsu 17529   mPwSer cmps 22123   mPoly cmpl 22125

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-tset 17365  df-psr 22128  df-mpl 22130

This theorem is used by:  mplmonmul  22256  rhmcomulmpl  22344  mhpmulcl  22381  mdegmullem  26308  0mplrim  34026  selvply1rhmlemb  34031  mplmulmvr  34051  mplvrpmrhm  34059