Theorem mplmul 22141

Description: The multiplication operation on multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplmul.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplmul.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
mplmul.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
mplmul.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
mplmul.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
mplmul.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mplmul	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∙ 𝐺) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐷   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝐺,𝑥   ℎ,𝑘,𝑥,𝑦,𝐼   𝜑,𝑘,𝑥   · ,𝑘,𝑥   𝑅,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,ℎ)   𝐵(𝑥,𝑦,ℎ,𝑘)   𝐷(ℎ)   𝑃(𝑥,𝑦,ℎ,𝑘)   𝑅(𝑦,ℎ)   ∙ (𝑥,𝑦,ℎ,𝑘)   · (𝑦,ℎ)   𝐹(𝑦,ℎ)   𝐺(𝑦,ℎ)

Proof of Theorem mplmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. 2 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		eqid 2763	. 2 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
3		mplmul.m	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		mplmul.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
5		mplmul.t	. . 3 ⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
6	4, 1, 5	mplmulr 22138	. 2 ⊢ ∙ = (.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
7		mplmul.d	. 2 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
8		mplmul.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9	4, 1, 8, 2	mplbasss 22127	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
10		mplmul.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
11	9, 10	sselid 3936	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
12		mplmul.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
13	9, 12	sselid 3936	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
14	1, 2, 3, 6, 7, 11, 13	psrmulfval 22074	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∙ 𝐺) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {crab 3416   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ^◡ccnv 5662   “ cima 5666  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ∘_f cof 7674   ∘_r cofr 7675   ↑_m cmap 8825  Fincfn 8944   ≤ cle 11245   − cmin 11442  ℕcn 12234  ℕ₀cn0 12505  Basecbs 17270  ._rcmulr 17312   Σ_g cgsu 17494   mPwSer cmps 22035   mPoly cmpl 22037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-tset 17330  df-psr 22040  df-mpl 22042

This theorem is referenced by:  mplmonmul  22168  rhmcomulmpl  22256  mhpmulcl  22293  mdegmullem  26216  0mplrim  33882  selvply1rhmlemb  33887  mplmulmvr  33907  mplvrpmrhm  33915