Theorem mplmul 21926

Description: The multiplication operation on multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplmul.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplmul.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
mplmul.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
mplmul.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
mplmul.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
mplmul.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mplmul	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∙ 𝐺) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐷   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝐺,𝑥   ℎ,𝑘,𝑥,𝑦,𝐼   𝜑,𝑘,𝑥   · ,𝑘,𝑥   𝑅,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,ℎ)   𝐵(𝑥,𝑦,ℎ,𝑘)   𝐷(ℎ)   𝑃(𝑥,𝑦,ℎ,𝑘)   𝑅(𝑦,ℎ)   ∙ (𝑥,𝑦,ℎ,𝑘)   · (𝑦,ℎ)   𝐹(𝑦,ℎ)   𝐺(𝑦,ℎ)

Proof of Theorem mplmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. 2 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		eqid 2730	. 2 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
3		mplmul.m	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		mplmul.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
5		mplmul.t	. . 3 ⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
6	4, 1, 5	mplmulr 21923	. 2 ⊢ ∙ = (.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
7		mplmul.d	. 2 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
8		mplmul.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9	4, 1, 8, 2	mplbasss 21912	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
10		mplmul.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
11	9, 10	sselid 3946	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
12		mplmul.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
13	9, 12	sselid 3946	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
14	1, 2, 3, 6, 7, 11, 13	psrmulfval 21858	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∙ 𝐺) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3408   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5190  ^◡ccnv 5639   “ cima 5643  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389   ∘_f cof 7653   ∘_r cofr 7654   ↑_m cmap 8801  Fincfn 8920   ≤ cle 11215   − cmin 11411  ℕcn 12187  ℕ₀cn0 12448  Basecbs 17185  ._rcmulr 17227   Σ_g cgsu 17409   mPwSer cmps 21819   mPoly cmpl 21821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-of 7655  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-er 8673  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fsupp 9319  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-fz 13475  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-tset 17245  df-psr 21824  df-mpl 21826

This theorem is referenced by:  mplmonmul  21949  mhpmulcl  22042  rhmcomulmpl  22275  mdegmullem  25989