MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplmul 21367
Description: The multiplication operation on multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplmul.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplmul.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplmul.m · = (.r𝑅)
mplmul.t = (.r𝑃)
mplmul.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
mplmul.f (𝜑𝐹𝐵)
mplmul.g (𝜑𝐺𝐵)
Assertion
Ref Expression
mplmul (𝜑 → (𝐹 𝐺) = (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺‘(𝑘f𝑥)))))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐷   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝐺,𝑥   ,𝑘,𝑥,𝑦,𝐼   𝜑,𝑘,𝑥   · ,𝑘,𝑥   𝑅,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,)   𝐵(𝑥,𝑦,,𝑘)   𝐷()   𝑃(𝑥,𝑦,,𝑘)   𝑅(𝑦,)   (𝑥,𝑦,,𝑘)   · (𝑦,)   𝐹(𝑦,)   𝐺(𝑦,)

Proof of Theorem mplmul
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . 2 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 eqid 2737 . 2 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
3 mplmul.m . 2 · = (.r𝑅)
4 mplmul.t . . 3 = (.r𝑃)
5 mplmul.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑃)
65fvexi 6853 . . . 4 𝐵 ∈ V
7 mplmul.p . . . . . 6 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
87, 1, 5mplval2 21354 . . . . 5 𝑃 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵)
9 eqid 2737 . . . . 5 (.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
108, 9ressmulr 17148 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (.r𝑃))
116, 10ax-mp 5 . . 3 (.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (.r𝑃)
124, 11eqtr4i 2768 . 2 = (.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
13 mplmul.d . 2 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
147, 1, 5, 2mplbasss 21355 . . 3 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
15 mplmul.f . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
1614, 15sselid 3940 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
17 mplmul.g . . 3 (𝜑𝐺𝐵)
1814, 17sselid 3940 . 2 (𝜑𝐺 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
191, 2, 3, 12, 13, 16, 18psrmulfval 21306 1 (𝜑 → (𝐹 𝐺) = (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺‘(𝑘f𝑥)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  {crab 3405  Vcvv 3443   class class class wbr 5103  cmpt 5186  ccnv 5630  cima 5634  cfv 6493  (class class class)co 7351  f cof 7607  r cofr 7608  m cmap 8723  Fincfn 8841  cle 11148  cmin 11343  cn 12111  0cn0 12371  Basecbs 17043  .rcmulr 17094   Σg cgsu 17282   mPwSer cmps 21259   mPoly cmpl 21261
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-of 7609  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-supp 8085  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fsupp 9264  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-fz 13379  df-struct 16979  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-sca 17109  df-vsca 17110  df-tset 17112  df-psr 21264  df-mpl 21266
This theorem is referenced by:  mplmonmul  21389  mhpmulcl  21491  mdegmullem  25395
  Copyright terms: Public domain W3C validator