Theorem ply1ass23l 22109

Description: Associative identity with scalar and ring multiplication for the polynomial ring. (Contributed by AV, 14-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1ass23l.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1ass23l.t	⊢ × = (.r‘𝑃)
ply1ass23l.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1ass23l.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1ass23l.n	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1ass23l	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌) = (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)))

Proof of Theorem ply1ass23l

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. 2 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
2		1on 8400	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 1o ∈ On)
4		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
5		eqid 2729	. 2 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
6		eqid 2729	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
7		ply1ass23l.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
8		ply1ass23l.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑃)
9	7, 6, 8	ply1mulr 22108	. . 3 ⊢ × = (.r‘(1o mPoly 𝑅))
10	6, 1, 9	mplmulr 21915	. 2 ⊢ × = (.r‘(1o mPwSer 𝑅))
11		eqid 2729	. 2 ⊢ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) = (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
12		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
13	6, 1, 12, 11	mplbasss 21904	. . . . 5 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ⊆ (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
14		ply1ass23l.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
15	7, 14	ply1bascl2 22087	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
16	13, 15	sselid 3933	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
17	16	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
18	17	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
19	7, 14	ply1bascl2 22087	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
20	13, 19	sselid 3933	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
21	20	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
22	21	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
23		ply1ass23l.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
24		ply1ass23l.n	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
25	7, 6, 24	ply1vsca 22107	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝑅))
26	6, 1, 25	mplvsca2 21921	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(1o mPwSer 𝑅))
27		simpr1 1195	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝐾)
28	1, 3, 4, 5, 10, 11, 18, 22, 23, 26, 27	psrass23l 21874	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌) = (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3394  ^◡ccnv 5618   “ cima 5622  Oncon0 6307  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  1_oc1o 8381   ↑_m cmap 8753  Fincfn 8872  ℕcn 12128  ℕ₀cn0 12384  Basecbs 17120  ._rcmulr 17162   ·_𝑠 cvsca 17165  Ringcrg 20118   mPwSer cmps 21811   mPoly cmpl 21813  Poly₁cpl1 22059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-ofr 7614  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-tset 17180  df-ple 17181  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-mhm 18657  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-ghm 19092  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-ur 20067  df-ring 20120  df-psr 21816  df-mpl 21818  df-opsr 21820  df-psr1 22062  df-ply1 22064

This theorem is referenced by:  q1pvsca  33537  r1pvsca  33538  ply1sclrmsm  48378