Theorem ply1ass23l 22452

Description: Associative identity with scalar and ring multiplication for the polynomial ring. (Contributed by AV, 14-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1ass23l.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1ass23l.t	⊢ × = (.r‘𝑃)
ply1ass23l.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1ass23l.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1ass23l.n	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1ass23l	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌) = (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)))

Proof of Theorem ply1ass23l

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. 2 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
2		1on 8471	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 1o ∈ On)
4		simpl 488	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
5		eqid 2762	. 2 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
6		eqid 2762	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
7		ply1ass23l.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
8		ply1ass23l.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑃)
9	7, 6, 8	ply1mulr 22451	. . 3 ⊢ × = (.r‘(1o mPoly 𝑅))
10	6, 1, 9	mplmulr 22223	. 2 ⊢ × = (.r‘(1o mPwSer 𝑅))
11		eqid 2762	. 2 ⊢ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) = (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
12		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
13	6, 1, 12, 11	mplbasss 22212	. . . . 5 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ⊆ (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
14		ply1ass23l.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
15	7, 14	ply1bascl2 22430	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
16	13, 15	sselid 3932	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
17	16	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
18	17	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
19	7, 14	ply1bascl2 22430	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
20	13, 19	sselid 3932	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
21	20	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
22	21	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
23		ply1ass23l.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
24		ply1ass23l.n	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
25	7, 6, 24	ply1vsca 22450	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝑅))
26	6, 1, 25	mplvsca2 22229	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(1o mPwSer 𝑅))
27		simpr1 1213	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝐾)
28	1, 3, 4, 5, 10, 11, 18, 22, 23, 26, 27	psrass23l 22182	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌) = (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3414  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662  Oncon0 6361  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  1_oc1o 8451   ↑_m cmap 8829  Fincfn 8955  ℕcn 12260  ℕ₀cn0 12531  Basecbs 17305  ._rcmulr 17347   ·_𝑠 cvsca 17350  Ringcrg 20373   mPwSer cmps 22120   mPoly cmpl 22122  Poly₁cpl1 22403

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-hash 14397  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-tset 17365  df-ple 17366  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-mhm 18892  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-ghm 19342  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-ur 20322  df-ring 20375  df-psr 22125  df-mpl 22127  df-opsr 22129  df-psr1 22406  df-ply1 22408

This theorem is used by:  q1pvsca  34001  r1pvsca  34002  ply1sclrmsm  49301