Theorem ply1ass23l 22184

Description: Associative identity with scalar and ring multiplication for the polynomial ring. (Contributed by AV, 14-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1ass23l.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1ass23l.t	⊢ × = (.r‘𝑃)
ply1ass23l.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1ass23l.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1ass23l.n	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1ass23l	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌) = (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)))

Proof of Theorem ply1ass23l

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. 2 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
2		1on 8421	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 1o ∈ On)
4		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
5		eqid 2737	. 2 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
6		eqid 2737	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
7		ply1ass23l.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
8		ply1ass23l.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑃)
9	7, 6, 8	ply1mulr 22183	. . 3 ⊢ × = (.r‘(1o mPoly 𝑅))
10	6, 1, 9	mplmulr 21980	. 2 ⊢ × = (.r‘(1o mPwSer 𝑅))
11		eqid 2737	. 2 ⊢ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) = (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
12		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
13	6, 1, 12, 11	mplbasss 21969	. . . . 5 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ⊆ (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
14		ply1ass23l.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
15	7, 14	ply1bascl2 22162	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
16	13, 15	sselid 3933	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
17	16	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
18	17	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
19	7, 14	ply1bascl2 22162	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
20	13, 19	sselid 3933	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
21	20	3ad2ant3 1136	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
22	21	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
23		ply1ass23l.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
24		ply1ass23l.n	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
25	7, 6, 24	ply1vsca 22182	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝑅))
26	6, 1, 25	mplvsca2 21986	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(1o mPwSer 𝑅))
27		simpr1 1196	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝐾)
28	1, 3, 4, 5, 10, 11, 18, 22, 23, 26, 27	psrass23l 21939	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌) = (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3401  ^◡ccnv 5633   “ cima 5637  Oncon0 6327  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  1_oc1o 8402   ↑_m cmap 8777  Fincfn 8897  ℕcn 12159  ℕ₀cn0 12415  Basecbs 17150  ._rcmulr 17192   ·_𝑠 cvsca 17195  Ringcrg 20185   mPwSer cmps 21877   mPoly cmpl 21879  Poly₁cpl1 22134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-of 7634  df-ofr 7635  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-supp 8115  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8647  df-map 8779  df-pm 8780  df-ixp 8850  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-fsupp 9279  df-oi 9429  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-seq 13939  df-hash 14268  df-struct 17088  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-sca 17207  df-vsca 17208  df-tset 17210  df-ple 17211  df-0g 17375  df-gsum 17376  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-mhm 18722  df-grp 18883  df-minusg 18884  df-ghm 19159  df-cntz 19263  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20093  df-ur 20134  df-ring 20187  df-psr 21882  df-mpl 21884  df-opsr 21886  df-psr1 22137  df-ply1 22139

This theorem is referenced by:  q1pvsca  33703  r1pvsca  33704  ply1sclrmsm  48773