Theorem ply1ass23l 22167

Description: Associative identity with scalar and ring multiplication for the polynomial ring. (Contributed by AV, 14-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1ass23l.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1ass23l.t	⊢ × = (.r‘𝑃)
ply1ass23l.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1ass23l.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1ass23l.n	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1ass23l	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌) = (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)))

Proof of Theorem ply1ass23l

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. 2 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
2		1on 8497	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 1o ∈ On)
4		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
5		eqid 2736	. 2 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
6		eqid 2736	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
7		ply1ass23l.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
8		ply1ass23l.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑃)
9	7, 6, 8	ply1mulr 22166	. . 3 ⊢ × = (.r‘(1o mPoly 𝑅))
10	6, 1, 9	mplmulr 21973	. 2 ⊢ × = (.r‘(1o mPwSer 𝑅))
11		eqid 2736	. 2 ⊢ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) = (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
12		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
13	6, 1, 12, 11	mplbasss 21962	. . . . 5 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ⊆ (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
14		ply1ass23l.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
15	7, 14	ply1bascl2 22145	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
16	13, 15	sselid 3961	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
17	16	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
18	17	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
19	7, 14	ply1bascl2 22145	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
20	13, 19	sselid 3961	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
21	20	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
22	21	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
23		ply1ass23l.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
24		ply1ass23l.n	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
25	7, 6, 24	ply1vsca 22165	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝑅))
26	6, 1, 25	mplvsca2 21979	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(1o mPwSer 𝑅))
27		simpr1 1195	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝐾)
28	1, 3, 4, 5, 10, 11, 18, 22, 23, 26, 27	psrass23l 21932	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌) = (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3420  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662  Oncon0 6357  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1_oc1o 8478   ↑_m cmap 8845  Fincfn 8964  ℕcn 12245  ℕ₀cn0 12506  Basecbs 17233  ._rcmulr 17277   ·_𝑠 cvsca 17280  Ringcrg 20198   mPwSer cmps 21869   mPoly cmpl 21871  Poly₁cpl1 22117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-hash 14354  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-tset 17295  df-ple 17296  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-mhm 18766  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-ghm 19201  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-ur 20147  df-ring 20200  df-psr 21874  df-mpl 21876  df-opsr 21878  df-psr1 22120  df-ply1 22122

This theorem is referenced by:  q1pvsca  33618  r1pvsca  33619  ply1sclrmsm  48326