Theorem ply1ass23l 45675

Description: Associative identity with scalar and ring multiplication for the polynomial ring. (Contributed by AV, 14-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1ass23l.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1ass23l.t	⊢ × = (.r‘𝑃)
ply1ass23l.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1ass23l.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1ass23l.n	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1ass23l	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌) = (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)))

Proof of Theorem ply1ass23l

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. 2 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
2		1on 8288	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 1o ∈ On)
4		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
5		eqid 2739	. 2 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
6		eqid 2739	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
7		ply1ass23l.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
8		ply1ass23l.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑃)
9	7, 6, 8	ply1mulr 21379	. . 3 ⊢ × = (.r‘(1o mPoly 𝑅))
10	6, 1, 9	mplmulr 21373	. 2 ⊢ × = (.r‘(1o mPwSer 𝑅))
11		eqid 2739	. 2 ⊢ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) = (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
12		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
13	6, 1, 12, 11	mplbasss 21184	. . . . 5 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ⊆ (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
14		ply1ass23l.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
15	7, 14	ply1bascl2 21356	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
16	13, 15	sselid 3923	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
17	16	3ad2ant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
18	17	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
19	7, 14	ply1bascl2 21356	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
20	13, 19	sselid 3923	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
21	20	3ad2ant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
22	21	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
23		ply1ass23l.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
24		ply1ass23l.n	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
25	7, 6, 24	ply1vsca 21378	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝑅))
26	6, 1, 25	mplvsca2 21199	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(1o mPwSer 𝑅))
27		simpr1 1192	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝐾)
28	1, 3, 4, 5, 10, 11, 18, 22, 23, 26, 27	psrass23l 21158	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌) = (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  {crab 3069  ^◡ccnv 5587   “ cima 5591  Oncon0 6263  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  1_oc1o 8274   ↑_m cmap 8589  Fincfn 8707  ℕcn 11956  ℕ₀cn0 12216  Basecbs 16893  ._rcmulr 16944   ·_𝑠 cvsca 16947  Ringcrg 19764   mPwSer cmps 21088   mPoly cmpl 21090  Poly₁cpl1 21329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-ofr 7525  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-supp 7962  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-map 8591  df-pm 8592  df-ixp 8660  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-fsupp 9090  df-oi 9230  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-z 12303  df-dec 12420  df-uz 12565  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-seq 13703  df-hash 14026  df-struct 16829  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-mulr 16957  df-sca 16959  df-vsca 16960  df-tset 16962  df-ple 16963  df-0g 17133  df-gsum 17134  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-mhm 18411  df-grp 18561  df-minusg 18562  df-ghm 18813  df-cntz 18904  df-cmn 19369  df-abl 19370  df-mgp 19702  df-ur 19719  df-ring 19766  df-psr 21093  df-mpl 21095  df-opsr 21097  df-psr1 21332  df-ply1 21334

This theorem is referenced by:  ply1sclrmsm  45676