Theorem mplelsfi 21932

Description: A polynomial treated as a coefficient function has finitely many nonzero terms. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplrcl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplelsfi.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mplelsfi.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mplelsfi	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Proof of Theorem mplelsfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplelsfi.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
2		mplrcl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
4		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
5		mplelsfi.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6		mplrcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	2, 3, 4, 5, 6	mplelbas 21928	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 ↔ (𝐹 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ))
8	7	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 finSupp 0 )
9	1, 8	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   finSupp cfsupp 9245  Basecbs 17120  0_gc0g 17343   mPwSer cmps 21841   mPoly cmpl 21843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-1cn 11064  ax-addcl 11066

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-nn 12126  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-psr 21846  df-mpl 21848

This theorem is referenced by:  evlslem2  22014  evlslem6  22016  psdmplcl  22077  coe1sfi  22126  mhmcompl  22295  mdegldg  25998  mdegcl  26001  mplvrpmfgalem  33574  mplvrpmrhm  33577  evlsvvvallem2  42665  evlsvvval  42666  selvvvval  42688  evlselv  42690  mhpind  42697