Theorem mplelsfi 22329

Description: A polynomial treated as a coefficient function has finitely many nonzero terms. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplrcl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplelsfi.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mplelsfi.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mplelsfi	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Proof of Theorem mplelsfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplelsfi.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
2		mplrcl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
5		mplelsfi.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6		mplrcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	2, 3, 4, 5, 6	mplelbas 22325	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 ↔ (𝐹 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ))
8	7	simprbi 503	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 finSupp 0 )
9	1, 8	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   finSupp cfsupp 9378  Basecbs 17413  0_gc0g 17636   mPwSer cmps 22239   mPoly cmpl 22241

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-1cn 11282  ax-addcl 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-nn 12360  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-psr 22244  df-mpl 22246

This theorem is used by:  evlslem2  22415  evlslem6  22417  evlsvvvallem2  22428  evlsvvval  22429  mhmcompl  22457  selvvvval  22478  psdmplcl  22510  coe1sfi  22558  mdegldg  26411  mdegcl  26414  selvply1rhmlema  34217  selvply1rhmlemb  34218  selvply1rhmlem1  34219  extvfvcl  34235  evlextv  34241  mplvrpmfgalem  34243  mplvrpmrhm  34246  evlselv  43808  mhpind  43813