Theorem mplelsfi 21952

Description: A polynomial treated as a coefficient function has finitely many nonzero terms. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplrcl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplelsfi.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mplelsfi.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mplelsfi	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Proof of Theorem mplelsfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplelsfi.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
2		mplrcl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
5		mplelsfi.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6		mplrcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	2, 3, 4, 5, 6	mplelbas 21948	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 ↔ (𝐹 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ))
8	7	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 finSupp 0 )
9	1, 8	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   finSupp cfsupp 9266  Basecbs 17138  0_gc0g 17361   mPwSer cmps 21862   mPoly cmpl 21864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-1cn 11086  ax-addcl 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-nn 12148  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-psr 21867  df-mpl 21869

This theorem is referenced by:  evlslem2  22036  evlslem6  22038  evlsvvvallem2  22049  evlsvvval  22050  psdmplcl  22107  coe1sfi  22156  mhmcompl  22326  mdegldg  26029  mdegcl  26032  extvfvcl  33703  evlextv  33709  mplvrpmfgalem  33711  mplvrpmrhm  33714  selvvvval  42849  evlselv  42851  mhpind  42858