Theorem mplelsfi 22249

Description: A polynomial treated as a coefficient function has finitely many nonzero terms. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplrcl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplelsfi.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mplelsfi.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mplelsfi	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Proof of Theorem mplelsfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplelsfi.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
2		mplrcl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
5		mplelsfi.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6		mplrcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	2, 3, 4, 5, 6	mplelbas 22245	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 ↔ (𝐹 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ))
8	7	simprbi 503	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 finSupp 0 )
9	1, 8	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409   finSupp cfsupp 9331  Basecbs 17334  0_gc0g 17557   mPwSer cmps 22159   mPoly cmpl 22161

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-1cn 11215  ax-addcl 11217

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-nn 12291  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-psr 22164  df-mpl 22166

This theorem is used by:  evlslem2  22335  evlslem6  22337  evlsvvvallem2  22348  evlsvvval  22349  mhmcompl  22377  selvvvval  22398  psdmplcl  22430  coe1sfi  22478  mdegldg  26331  mdegcl  26334  selvply1rhmlema  34069  selvply1rhmlemb  34070  selvply1rhmlem1  34071  extvfvcl  34087  evlextv  34093  mplvrpmfgalem  34095  mplvrpmrhm  34098  evlselv  43533  mhpind  43538