MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplelsfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplelsfi 20199
Description: A polynomial treated as a coefficient function has finitely many nonzero terms. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mplrcl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplrcl.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplelsfi.z 0 = (0g𝑅)
mplelsfi.f (𝜑𝐹𝐵)
mplelsfi.r (𝜑𝑅𝑉)
Assertion
Ref Expression
mplelsfi (𝜑𝐹 finSupp 0 )

Proof of Theorem mplelsfi
StepHypRef Expression
1 mplelsfi.f . 2 (𝜑𝐹𝐵)
2 mplrcl.p . . . 4 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3 eqid 2818 . . . 4 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
4 eqid 2818 . . . 4 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
5 mplelsfi.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
6 mplrcl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
72, 3, 4, 5, 6mplelbas 20138 . . 3 (𝐹𝐵 ↔ (𝐹 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ))
87simprbi 497 . 2 (𝐹𝐵𝐹 finSupp 0 )
91, 8syl 17 1 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145   finSupp cfsupp 8821  Basecbs 16471  0gc0g 16701   mPwSer cmps 20059   mPoly cmpl 20061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-1cn 10583  ax-addcl 10585
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-nn 11627  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-psr 20064  df-mpl 20066
This theorem is referenced by:  evlslem2  20220  evlslem6  20222  coe1sfi  20309  mdegldg  24587  mdegcl  24590  selvval2lem4  39014
  Copyright terms: Public domain W3C validator