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Theorem mplcoe1 21980
Description: Decompose a polynomial into a finite sum of monomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplcoe1.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplcoe1.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
mplcoe1.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
mplcoe1.o 1 = (1rβ€˜π‘…)
mplcoe1.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
mplcoe1.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
mplcoe1.n Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
mplcoe1.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
mplcoe1.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
mplcoe1 (πœ‘ β†’ 𝑋 = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))))
Distinct variable groups:   𝑦,π‘˜, 1   𝐡,π‘˜   𝑓,π‘˜,𝑦,𝐼   πœ‘,π‘˜,𝑦   𝑅,𝑓,𝑦   𝐷,π‘˜,𝑦   𝑃,π‘˜   0 ,𝑓,π‘˜,𝑦   𝑓,𝑋,π‘˜,𝑦   π‘˜,π‘Š,𝑦   Β· ,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑓)   𝐡(𝑦,𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑦,𝑓)   𝑅(π‘˜)   Β· (𝑦,𝑓)   1 (𝑓)   π‘Š(𝑓)
Proof of Theorem mplcoe1
Dummy variables 𝑀 π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplcoe1.p . . . . . 6 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 eqid 2727 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
3 mplcoe1.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
4 mplcoe1.d . . . . . 6 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
5 mplcoe1.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
61, 2, 3, 4, 5mplelf 21945 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
76feqmptd 6970 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))
8 iftrue 4536 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ) β†’ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) = (π‘‹β€˜π‘¦))
98adantl 480 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 )) β†’ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) = (π‘‹β€˜π‘¦))
10 eldif 3957 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– (𝑋 supp 0 )) ↔ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 )))
11 ssidd 4003 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑋 supp 0 ) βŠ† (𝑋 supp 0 ))
12 ovex 7457 . . . . . . . . . . . . 13 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
134, 12rabex2 5338 . . . . . . . . . . . 12 𝐷 ∈ V
1413a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ V)
15 mplcoe1.z . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0gβ€˜π‘…)
1615fvexi 6914 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
1716a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 ∈ V)
186, 11, 14, 17suppssr 8205 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– (𝑋 supp 0 ))) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) = 0 )
1918ifeq2d 4550 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– (𝑋 supp 0 ))) β†’ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), (π‘‹β€˜π‘¦)) = if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))
20 ifid 4570 . . . . . . . . 9 if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), (π‘‹β€˜π‘¦)) = (π‘‹β€˜π‘¦)
2119, 20eqtr3di 2782 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– (𝑋 supp 0 ))) β†’ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) = (π‘‹β€˜π‘¦))
2210, 21sylan2br 593 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ))) β†’ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) = (π‘‹β€˜π‘¦))
2322anassrs 466 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 )) β†’ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) = (π‘‹β€˜π‘¦))
249, 23pm2.61dan 811 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) = (π‘‹β€˜π‘¦))
2524mpteq2dva 5250 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))
267, 25eqtr4d 2770 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))
27 suppssdm 8186 . . . . 5 (𝑋 supp 0 ) βŠ† dom 𝑋
2827, 6fssdm 6745 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 supp 0 ) βŠ† 𝐷)
29 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
30 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))
311, 29, 30, 15, 3mplelbas 21938 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ 𝐡 ↔ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑋 finSupp 0 ))
3231simprbi 495 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑋 finSupp 0 )
335, 32syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 finSupp 0 )
3433fsuppimpd 9399 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 supp 0 ) ∈ Fin)
35 sseq1 4005 . . . . . . . 8 (𝑀 = βˆ… β†’ (𝑀 βŠ† 𝐷 ↔ βˆ… βŠ† 𝐷))
36 mpteq1 5243 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = βˆ… β†’ (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) = (π‘˜ ∈ βˆ… ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))))
37 mpt0 6700 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ βˆ… ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) = βˆ…
3836, 37eqtrdi 2783 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = βˆ… β†’ (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) = βˆ…)
3938oveq2d 7440 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = βˆ… β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑃 Ξ£g βˆ…))
40 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
4140gsum0 18649 . . . . . . . . . 10 (𝑃 Ξ£g βˆ…) = (0gβ€˜π‘ƒ)
4239, 41eqtrdi 2783 . . . . . . . . 9 (𝑀 = βˆ… β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (0gβ€˜π‘ƒ))
43 noel 4332 . . . . . . . . . . . 12 Β¬ 𝑦 ∈ βˆ…
44 eleq2 2817 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = βˆ… β†’ (𝑦 ∈ 𝑀 ↔ 𝑦 ∈ βˆ…))
4543, 44mtbiri 326 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = βˆ… β†’ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑀)
4645iffalsed 4541 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = βˆ… β†’ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) = 0 )
4746mpteq2dv 5252 . . . . . . . . 9 (𝑀 = βˆ… β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 0 ))
4842, 47eqeq12d 2743 . . . . . . . 8 (𝑀 = βˆ… β†’ ((𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ↔ (0gβ€˜π‘ƒ) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 0 )))
4935, 48imbi12d 343 . . . . . . 7 (𝑀 = βˆ… β†’ ((𝑀 βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))) ↔ (βˆ… βŠ† 𝐷 β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 0 ))))
5049imbi2d 339 . . . . . 6 (𝑀 = βˆ… β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑀 βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))) ↔ (πœ‘ β†’ (βˆ… βŠ† 𝐷 β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 0 )))))
51 sseq1 4005 . . . . . . . 8 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝑀 βŠ† 𝐷 ↔ π‘₯ βŠ† 𝐷))
52 mpteq1 5243 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = π‘₯ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) = (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))))
5352oveq2d 7440 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))))
54 eleq2 2817 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝑦 ∈ 𝑀 ↔ 𝑦 ∈ π‘₯))
5554ifbid 4553 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = π‘₯ β†’ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) = if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))
5655mpteq2dv 5252 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))
5753, 56eqeq12d 2743 . . . . . . . 8 (𝑀 = π‘₯ β†’ ((𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ↔ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))))
5851, 57imbi12d 343 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘₯ β†’ ((𝑀 βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))) ↔ (π‘₯ βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))))
5958imbi2d 339 . . . . . 6 (𝑀 = π‘₯ β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑀 βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))) ↔ (πœ‘ β†’ (π‘₯ βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))))))
60 sseq1 4005 . . . . . . . 8 (𝑀 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ (𝑀 βŠ† 𝐷 ↔ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷))
61 mpteq1 5243 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) = (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))))
6261oveq2d 7440 . . . . . . . . 9 (𝑀 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))))
63 eleq2 2817 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ (𝑦 ∈ 𝑀 ↔ 𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧})))
6463ifbid 4553 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) = if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))
6564mpteq2dv 5252 . . . . . . . . 9 (𝑀 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))
6662, 65eqeq12d 2743 . . . . . . . 8 (𝑀 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ ((𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ↔ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))))
6760, 66imbi12d 343 . . . . . . 7 (𝑀 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ ((𝑀 βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))) ↔ ((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))))
6867imbi2d 339 . . . . . 6 (𝑀 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑀 βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))) ↔ (πœ‘ β†’ ((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))))))
69 sseq1 4005 . . . . . . . 8 (𝑀 = (𝑋 supp 0 ) β†’ (𝑀 βŠ† 𝐷 ↔ (𝑋 supp 0 ) βŠ† 𝐷))
70 mpteq1 5243 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (𝑋 supp 0 ) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) = (π‘˜ ∈ (𝑋 supp 0 ) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))))
7170oveq2d 7440 . . . . . . . . 9 (𝑀 = (𝑋 supp 0 ) β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑋 supp 0 ) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))))
72 eleq2 2817 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = (𝑋 supp 0 ) β†’ (𝑦 ∈ 𝑀 ↔ 𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 )))
7372ifbid 4553 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (𝑋 supp 0 ) β†’ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) = if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))
7473mpteq2dv 5252 . . . . . . . . 9 (𝑀 = (𝑋 supp 0 ) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))
7571, 74eqeq12d 2743 . . . . . . . 8 (𝑀 = (𝑋 supp 0 ) β†’ ((𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ↔ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑋 supp 0 ) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))))
7669, 75imbi12d 343 . . . . . . 7 (𝑀 = (𝑋 supp 0 ) β†’ ((𝑀 βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))) ↔ ((𝑋 supp 0 ) βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑋 supp 0 ) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))))
7776imbi2d 339 . . . . . 6 (𝑀 = (𝑋 supp 0 ) β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑀 βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))) ↔ (πœ‘ β†’ ((𝑋 supp 0 ) βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑋 supp 0 ) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))))))
78 mplcoe1.i . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
79 mplcoe1.r . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
80 ringgrp 20183 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
8179, 80syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
821, 4, 15, 40, 78, 81mpl0 21953 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) = (𝐷 Γ— { 0 }))
83 fconstmpt 5742 . . . . . . . 8 (𝐷 Γ— { 0 }) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 0 )
8482, 83eqtrdi 2783 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 0 ))
8584a1d 25 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ… βŠ† 𝐷 β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 0 )))
86 ssun1 4172 . . . . . . . . . . 11 π‘₯ βŠ† (π‘₯ βˆͺ {𝑧})
87 sstr2 3987 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ βŠ† (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ ((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷 β†’ π‘₯ βŠ† 𝐷))
8886, 87ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷 β†’ π‘₯ βŠ† 𝐷)
8988imim1i 63 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))) β†’ ((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))))
90 oveq1 7431 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) β†’ ((𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))))(+gβ€˜π‘ƒ)((π‘‹β€˜π‘§) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )))) = ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))(+gβ€˜π‘ƒ)((π‘‹β€˜π‘§) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )))))
91 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . 14 (+gβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜π‘ƒ)
921mplring 21966 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
9378, 79, 92syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Ring)
94 ringcmn 20223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ CMnd)
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ CMnd)
9695adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ 𝑃 ∈ CMnd)
97 simprll 777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ Fin)
98 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)
9998unssad 4187 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ π‘₯ βŠ† 𝐷)
10099sselda 3980 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ π‘˜ ∈ π‘₯) β†’ π‘˜ ∈ 𝐷)
10178adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
10279adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1031mpllmod 21965 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
104101, 102, 103syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
1056ffvelcdmda 7097 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
1061, 78, 79mplsca 21960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
107106adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
108107fveq2d 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
109105, 108eleqtrd 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
110 mplcoe1.o . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 = (1rβ€˜π‘…)
111 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ π‘˜ ∈ 𝐷)
1121, 3, 15, 110, 4, 101, 102, 111mplmon 21978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )) ∈ 𝐡)
113 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Scalarβ€˜π‘ƒ) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
114 mplcoe1.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
115 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
1163, 113, 114, 115lmodvscl 20766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ LMod ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )) ∈ 𝐡) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))) ∈ 𝐡)
117104, 109, 112, 116syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))) ∈ 𝐡)
118117adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))) ∈ 𝐡)
119100, 118syldan 589 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ π‘˜ ∈ π‘₯) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))) ∈ 𝐡)
120 vex 3475 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧 ∈ V
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ 𝑧 ∈ V)
122 simprlr 778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯)
12378, 79, 103syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ LMod)
124123adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
1256adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ 𝑋:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
12698unssbd 4188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ {𝑧} βŠ† 𝐷)
127120snss 4792 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ 𝐷 ↔ {𝑧} βŠ† 𝐷)
128126, 127sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐷)
129125, 128ffvelcdmd 7098 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (π‘‹β€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
130106adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
131130fveq2d 6904 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
132129, 131eleqtrd 2830 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (π‘‹β€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
13378adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
13479adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1351, 3, 15, 110, 4, 133, 134, 128mplmon 21978 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )) ∈ 𝐡)
1363, 113, 114, 115lmodvscl 20766 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ LMod ∧ (π‘‹β€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )) ∈ 𝐡) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))) ∈ 𝐡)
137124, 132, 135, 136syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))) ∈ 𝐡)
138 fveq2 6900 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑧 β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘‹β€˜π‘§))
139 equequ2 2021 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 𝑧 β†’ (𝑦 = π‘˜ ↔ 𝑦 = 𝑧))
140139ifbid 4553 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑧 β†’ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ) = if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))
141140mpteq2dv 5252 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑧 β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )))
142138, 141oveq12d 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑧 β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))) = ((π‘‹β€˜π‘§) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))))
1433, 91, 96, 97, 119, 121, 122, 137, 142gsumunsn 19920 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = ((𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))))(+gβ€˜π‘ƒ)((π‘‹β€˜π‘§) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )))))
144 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
145125ffvelcdmda 7097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
1462, 15ring0cl 20208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑅 ∈ Ring β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
14779, 146syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
148147ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
149145, 148ifcld 4576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
150149fmpttd 7128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )):𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
151 fvex 6913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Baseβ€˜π‘…) ∈ V
152151, 13elmap 8894 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐷) ↔ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )):𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
153150, 152sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐷))
15429, 2, 4, 30, 133psrbas 21883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐷))
155153, 154eleqtrrd 2831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))
15613mptex 7239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ∈ V
157 funmpt 6594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Fun (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))
158156, 157, 163pm3.2i 1336 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ∈ V ∧ Fun (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ∧ 0 ∈ V)
159158a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ∈ V ∧ Fun (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ∧ 0 ∈ V))
160 eldifn 4126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– π‘₯) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ π‘₯)
161160adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– π‘₯)) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ π‘₯)
162161iffalsed 4541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– π‘₯)) β†’ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) = 0 )
16313a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ 𝐷 ∈ V)
164162, 163suppss2 8210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) supp 0 ) βŠ† π‘₯)
165 suppssfifsupp 9409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ∈ V ∧ Fun (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ∧ 0 ∈ V) ∧ (π‘₯ ∈ Fin ∧ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) supp 0 ) βŠ† π‘₯)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) finSupp 0 )
166159, 97, 164, 165syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) finSupp 0 )
1671, 29, 30, 15, 3mplelbas 21938 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ∈ 𝐡 ↔ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) finSupp 0 ))
168155, 166, 167sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ∈ 𝐡)
1691, 3, 144, 91, 168, 137mpladd 21956 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))(+gβ€˜π‘ƒ)((π‘‹β€˜π‘§) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )))) = ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ∘f (+gβ€˜π‘…)((π‘‹β€˜π‘§) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )))))
170 ovexd 7459 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )) ∈ V)
171 eqidd 2728 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))
172 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
1731, 114, 2, 3, 172, 4, 129, 135mplvsca 21962 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))) = ((𝐷 Γ— {(π‘‹β€˜π‘§)}) ∘f (.rβ€˜π‘…)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))))
174129adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (π‘‹β€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
1752, 110ringidcl 20207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑅 ∈ Ring β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
176175, 146ifcld 4576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ Ring β†’ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
17779, 176syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
178177ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
179 fconstmpt 5742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐷 Γ— {(π‘‹β€˜π‘§)}) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (π‘‹β€˜π‘§))
180179a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (𝐷 Γ— {(π‘‹β€˜π‘§)}) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (π‘‹β€˜π‘§)))
181 eqidd 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )))
182163, 174, 178, 180, 181offval2 7709 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ ((𝐷 Γ— {(π‘‹β€˜π‘§)}) ∘f (.rβ€˜π‘…)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))))
183173, 182eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))))
184163, 149, 170, 171, 183offval2 7709 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ∘f (+gβ€˜π‘…)((π‘‹β€˜π‘§) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )(+gβ€˜π‘…)((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )))))
185134, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
1862, 144, 15grplid 18929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (π‘‹β€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜π‘§)) = (π‘‹β€˜π‘§))
187185, 129, 186syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜π‘§)) = (π‘‹β€˜π‘§))
188187ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜π‘§)) = (π‘‹β€˜π‘§))
189 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ 𝑦 ∈ {𝑧})
190 velsn 4646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ {𝑧} ↔ 𝑦 = 𝑧)
191189, 190sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ 𝑦 = 𝑧)
192191fveq2d 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) = (π‘‹β€˜π‘§))
193188, 192eqtr4d 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜π‘§)) = (π‘‹β€˜π‘¦))
194122ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯)
195191, 194eqneltrd 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ π‘₯)
196195iffalsed 4541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) = 0 )
197191iftrued 4538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ) = 1 )
198197oveq2d 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )) = ((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…) 1 ))
1992, 172, 110ringridm 20211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘‹β€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…) 1 ) = (π‘‹β€˜π‘§))
200134, 129, 199syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…) 1 ) = (π‘‹β€˜π‘§))
201200ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…) 1 ) = (π‘‹β€˜π‘§))
202198, 201eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )) = (π‘‹β€˜π‘§))
203196, 202oveq12d 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ (if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )(+gβ€˜π‘…)((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))) = ( 0 (+gβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜π‘§)))
204 elun2 4177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ {𝑧} β†’ 𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}))
205204adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ 𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}))
206205iftrued 4538 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) = (π‘‹β€˜π‘¦))
207193, 203, 2063eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ (if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )(+gβ€˜π‘…)((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))) = if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))
20881ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
2092, 144, 15grprid 18930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ Grp ∧ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )(+gβ€˜π‘…) 0 ) = if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))
210208, 149, 209syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )(+gβ€˜π‘…) 0 ) = if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))
211210adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ (if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )(+gβ€˜π‘…) 0 ) = if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))
212 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ {𝑧})
213212, 190sylnib 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ Β¬ 𝑦 = 𝑧)
214213iffalsed 4541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ) = 0 )
215214oveq2d 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )) = ((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…) 0 ))
2162, 172, 15ringrz 20235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘‹β€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 )
217134, 129, 216syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 )
218217ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 )
219215, 218eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )) = 0 )
220219oveq2d 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ (if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )(+gβ€˜π‘…)((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))) = (if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )(+gβ€˜π‘…) 0 ))
221 elun 4147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↔ (𝑦 ∈ π‘₯ ∨ 𝑦 ∈ {𝑧}))
222 orcom 868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ π‘₯ ∨ 𝑦 ∈ {𝑧}) ↔ (𝑦 ∈ {𝑧} ∨ 𝑦 ∈ π‘₯))
223221, 222bitri 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↔ (𝑦 ∈ {𝑧} ∨ 𝑦 ∈ π‘₯))
224 biorf 934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Β¬ 𝑦 ∈ {𝑧} β†’ (𝑦 ∈ π‘₯ ↔ (𝑦 ∈ {𝑧} ∨ 𝑦 ∈ π‘₯)))
225223, 224bitr4id 289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Β¬ 𝑦 ∈ {𝑧} β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↔ 𝑦 ∈ π‘₯))
226225adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↔ 𝑦 ∈ π‘₯))
227226ifbid 4553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) = if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))
228211, 220, 2273eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ (if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )(+gβ€˜π‘…)((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))) = if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))
229207, 228pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )(+gβ€˜π‘…)((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))) = if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))
230229mpteq2dva 5250 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )(+gβ€˜π‘…)((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))
231169, 184, 2303eqtrrd 2772 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) = ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))(+gβ€˜π‘ƒ)((π‘‹β€˜π‘§) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )))))
232143, 231eqeq12d 2743 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ ((𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ↔ ((𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))))(+gβ€˜π‘ƒ)((π‘‹β€˜π‘§) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )))) = ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))(+gβ€˜π‘ƒ)((π‘‹β€˜π‘§) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))))))
23390, 232imbitrrid 245 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ ((𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))))
234233expr 455 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯)) β†’ ((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷 β†’ ((𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))))
235234a2d 29 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯)) β†’ (((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))) β†’ ((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))))
23689, 235syl5 34 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯)) β†’ ((π‘₯ βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))) β†’ ((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))))
237236expcom 412 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ (πœ‘ β†’ ((π‘₯ βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))) β†’ ((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))))))
238237a2d 29 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ ((πœ‘ β†’ (π‘₯ βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))) β†’ (πœ‘ β†’ ((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))))))
23950, 59, 68, 77, 85, 238findcard2s 9194 . . . . 5 ((𝑋 supp 0 ) ∈ Fin β†’ (πœ‘ β†’ ((𝑋 supp 0 ) βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑋 supp 0 ) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))))
24034, 239mpcom 38 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋 supp 0 ) βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑋 supp 0 ) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))))
24128, 240mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑋 supp 0 ) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))
24226, 241eqtr4d 2770 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑋 supp 0 ) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))))
24328resmptd 6047 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) β†Ύ (𝑋 supp 0 )) = (π‘˜ ∈ (𝑋 supp 0 ) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))))
244243oveq2d 7440 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑃 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) β†Ύ (𝑋 supp 0 ))) = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑋 supp 0 ) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))))
245117fmpttd 7128 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))):𝐷⟢𝐡)
2466, 11, 14, 17suppssr 8205 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐷 βˆ– (𝑋 supp 0 ))) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = 0 )
247246oveq1d 7439 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐷 βˆ– (𝑋 supp 0 ))) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))) = ( 0 Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))
248 eldifi 4125 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (𝐷 βˆ– (𝑋 supp 0 )) β†’ π‘˜ ∈ 𝐷)
249107fveq2d 6904 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
25015, 249eqtrid 2779 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 0 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
251250oveq1d 7439 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ ( 0 Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))) = ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))
252 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
2533, 113, 114, 252, 40lmod0vs 20783 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )) ∈ 𝐡) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))) = (0gβ€˜π‘ƒ))
254104, 112, 253syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))) = (0gβ€˜π‘ƒ))
255251, 254eqtrd 2767 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ ( 0 Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))) = (0gβ€˜π‘ƒ))
256248, 255sylan2 591 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐷 βˆ– (𝑋 supp 0 ))) β†’ ( 0 Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))) = (0gβ€˜π‘ƒ))
257247, 256eqtrd 2767 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐷 βˆ– (𝑋 supp 0 ))) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))) = (0gβ€˜π‘ƒ))
258257, 14suppss2 8210 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) supp (0gβ€˜π‘ƒ)) βŠ† (𝑋 supp 0 ))
25913mptex 7239 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) ∈ V
260 funmpt 6594 . . . . . . 7 Fun (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))
261 fvex 6913 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ V
262259, 260, 2613pm3.2i 1336 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) ∈ V ∧ Fun (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) ∧ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ V)
263262a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) ∈ V ∧ Fun (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) ∧ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ V))
264 suppssfifsupp 9409 . . . . 5 ((((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) ∈ V ∧ Fun (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) ∧ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ V) ∧ ((𝑋 supp 0 ) ∈ Fin ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) supp (0gβ€˜π‘ƒ)) βŠ† (𝑋 supp 0 ))) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) finSupp (0gβ€˜π‘ƒ))
265263, 34, 258, 264syl12anc 835 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) finSupp (0gβ€˜π‘ƒ))
2663, 40, 95, 14, 245, 258, 265gsumres 19873 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑃 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) β†Ύ (𝑋 supp 0 ))) = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))))
267244, 266eqtr3d 2769 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑋 supp 0 ) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))))
268242, 267eqtrd 2767 1 (πœ‘ β†’ 𝑋 = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3428  Vcvv 3471   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4324  ifcif 4530  {csn 4630   class class class wbr 5150   ↦ cmpt 5233   Γ— cxp 5678  β—‘ccnv 5679   β†Ύ cres 5682   β€œ cima 5683  Fun wfun 6545  βŸΆwf 6547  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424   ∘f cof 7687   supp csupp 8169   ↑m cmap 8849  Fincfn 8968   finSupp cfsupp 9391  β„•cn 12248  β„•0cn0 12508  Basecbs 17185  +gcplusg 17238  .rcmulr 17239  Scalarcsca 17241   ·𝑠 cvsca 17242  0gc0g 17426   Ξ£g cgsu 17427  Grpcgrp 18895  CMndccmn 19740  1rcur 20126  Ringcrg 20178  LModclmod 20748   mPwSer cmps 21842   mPoly cmpl 21844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7689  df-ofr 7690  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8170  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-map 8851  df-pm 8852  df-ixp 8921  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9392  df-sup 9471  df-oi 9539  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-seq 14005  df-hash 14328  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-ip 17256  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-hom 17262  df-cco 17263  df-0g 17428  df-gsum 17429  df-prds 17434  df-pws 17436  df-mre 17571  df-mrc 17572  df-acs 17574  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-sbg 18900  df-mulg 19029  df-subg 19083  df-ghm 19173  df-cntz 19273  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-subrng 20488  df-subrg 20513  df-lmod 20750  df-lss 20821  df-psr 21847  df-mpl 21849
This theorem is referenced by:  mplbas2  21985  mplcoe4  22020  ply1coe  22222
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