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Theorem mplcoe1 21591
Description: Decompose a polynomial into a finite sum of monomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplcoe1.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplcoe1.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
mplcoe1.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
mplcoe1.o 1 = (1rβ€˜π‘…)
mplcoe1.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
mplcoe1.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
mplcoe1.n Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
mplcoe1.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
mplcoe1.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
mplcoe1 (πœ‘ β†’ 𝑋 = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))))
Distinct variable groups:   𝑦,π‘˜, 1   𝐡,π‘˜   𝑓,π‘˜,𝑦,𝐼   πœ‘,π‘˜,𝑦   𝑅,𝑓,𝑦   𝐷,π‘˜,𝑦   𝑃,π‘˜   0 ,𝑓,π‘˜,𝑦   𝑓,𝑋,π‘˜,𝑦   π‘˜,π‘Š,𝑦   Β· ,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑓)   𝐡(𝑦,𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑦,𝑓)   𝑅(π‘˜)   Β· (𝑦,𝑓)   1 (𝑓)   π‘Š(𝑓)
Proof of Theorem mplcoe1
Dummy variables 𝑀 π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplcoe1.p . . . . . 6 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
3 mplcoe1.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
4 mplcoe1.d . . . . . 6 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
5 mplcoe1.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
61, 2, 3, 4, 5mplelf 21556 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
76feqmptd 6960 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))
8 iftrue 4534 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ) β†’ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) = (π‘‹β€˜π‘¦))
98adantl 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 )) β†’ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) = (π‘‹β€˜π‘¦))
10 eldif 3958 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– (𝑋 supp 0 )) ↔ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 )))
11 ssidd 4005 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑋 supp 0 ) βŠ† (𝑋 supp 0 ))
12 ovex 7441 . . . . . . . . . . . . 13 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
134, 12rabex2 5334 . . . . . . . . . . . 12 𝐷 ∈ V
1413a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ V)
15 mplcoe1.z . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0gβ€˜π‘…)
1615fvexi 6905 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
1716a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 ∈ V)
186, 11, 14, 17suppssr 8180 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– (𝑋 supp 0 ))) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) = 0 )
1918ifeq2d 4548 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– (𝑋 supp 0 ))) β†’ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), (π‘‹β€˜π‘¦)) = if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))
20 ifid 4568 . . . . . . . . 9 if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), (π‘‹β€˜π‘¦)) = (π‘‹β€˜π‘¦)
2119, 20eqtr3di 2787 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– (𝑋 supp 0 ))) β†’ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) = (π‘‹β€˜π‘¦))
2210, 21sylan2br 595 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ))) β†’ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) = (π‘‹β€˜π‘¦))
2322anassrs 468 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 )) β†’ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) = (π‘‹β€˜π‘¦))
249, 23pm2.61dan 811 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) = (π‘‹β€˜π‘¦))
2524mpteq2dva 5248 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))
267, 25eqtr4d 2775 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))
27 suppssdm 8161 . . . . 5 (𝑋 supp 0 ) βŠ† dom 𝑋
2827, 6fssdm 6737 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 supp 0 ) βŠ† 𝐷)
29 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
30 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))
311, 29, 30, 15, 3mplelbas 21549 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ 𝐡 ↔ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑋 finSupp 0 ))
3231simprbi 497 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑋 finSupp 0 )
335, 32syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 finSupp 0 )
3433fsuppimpd 9368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 supp 0 ) ∈ Fin)
35 sseq1 4007 . . . . . . . 8 (𝑀 = βˆ… β†’ (𝑀 βŠ† 𝐷 ↔ βˆ… βŠ† 𝐷))
36 mpteq1 5241 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = βˆ… β†’ (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) = (π‘˜ ∈ βˆ… ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))))
37 mpt0 6692 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ βˆ… ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) = βˆ…
3836, 37eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = βˆ… β†’ (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) = βˆ…)
3938oveq2d 7424 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = βˆ… β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑃 Ξ£g βˆ…))
40 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
4140gsum0 18602 . . . . . . . . . 10 (𝑃 Ξ£g βˆ…) = (0gβ€˜π‘ƒ)
4239, 41eqtrdi 2788 . . . . . . . . 9 (𝑀 = βˆ… β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (0gβ€˜π‘ƒ))
43 noel 4330 . . . . . . . . . . . 12 Β¬ 𝑦 ∈ βˆ…
44 eleq2 2822 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = βˆ… β†’ (𝑦 ∈ 𝑀 ↔ 𝑦 ∈ βˆ…))
4543, 44mtbiri 326 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = βˆ… β†’ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑀)
4645iffalsed 4539 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = βˆ… β†’ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) = 0 )
4746mpteq2dv 5250 . . . . . . . . 9 (𝑀 = βˆ… β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 0 ))
4842, 47eqeq12d 2748 . . . . . . . 8 (𝑀 = βˆ… β†’ ((𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ↔ (0gβ€˜π‘ƒ) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 0 )))
4935, 48imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑀 = βˆ… β†’ ((𝑀 βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))) ↔ (βˆ… βŠ† 𝐷 β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 0 ))))
5049imbi2d 340 . . . . . 6 (𝑀 = βˆ… β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑀 βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))) ↔ (πœ‘ β†’ (βˆ… βŠ† 𝐷 β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 0 )))))
51 sseq1 4007 . . . . . . . 8 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝑀 βŠ† 𝐷 ↔ π‘₯ βŠ† 𝐷))
52 mpteq1 5241 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = π‘₯ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) = (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))))
5352oveq2d 7424 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))))
54 eleq2 2822 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝑦 ∈ 𝑀 ↔ 𝑦 ∈ π‘₯))
5554ifbid 4551 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = π‘₯ β†’ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) = if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))
5655mpteq2dv 5250 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))
5753, 56eqeq12d 2748 . . . . . . . 8 (𝑀 = π‘₯ β†’ ((𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ↔ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))))
5851, 57imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘₯ β†’ ((𝑀 βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))) ↔ (π‘₯ βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))))
5958imbi2d 340 . . . . . 6 (𝑀 = π‘₯ β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑀 βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))) ↔ (πœ‘ β†’ (π‘₯ βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))))))
60 sseq1 4007 . . . . . . . 8 (𝑀 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ (𝑀 βŠ† 𝐷 ↔ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷))
61 mpteq1 5241 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) = (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))))
6261oveq2d 7424 . . . . . . . . 9 (𝑀 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))))
63 eleq2 2822 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ (𝑦 ∈ 𝑀 ↔ 𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧})))
6463ifbid 4551 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) = if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))
6564mpteq2dv 5250 . . . . . . . . 9 (𝑀 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))
6662, 65eqeq12d 2748 . . . . . . . 8 (𝑀 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ ((𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ↔ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))))
6760, 66imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑀 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ ((𝑀 βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))) ↔ ((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))))
6867imbi2d 340 . . . . . 6 (𝑀 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑀 βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))) ↔ (πœ‘ β†’ ((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))))))
69 sseq1 4007 . . . . . . . 8 (𝑀 = (𝑋 supp 0 ) β†’ (𝑀 βŠ† 𝐷 ↔ (𝑋 supp 0 ) βŠ† 𝐷))
70 mpteq1 5241 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (𝑋 supp 0 ) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) = (π‘˜ ∈ (𝑋 supp 0 ) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))))
7170oveq2d 7424 . . . . . . . . 9 (𝑀 = (𝑋 supp 0 ) β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑋 supp 0 ) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))))
72 eleq2 2822 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = (𝑋 supp 0 ) β†’ (𝑦 ∈ 𝑀 ↔ 𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 )))
7372ifbid 4551 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (𝑋 supp 0 ) β†’ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) = if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))
7473mpteq2dv 5250 . . . . . . . . 9 (𝑀 = (𝑋 supp 0 ) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))
7571, 74eqeq12d 2748 . . . . . . . 8 (𝑀 = (𝑋 supp 0 ) β†’ ((𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ↔ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑋 supp 0 ) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))))
7669, 75imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑀 = (𝑋 supp 0 ) β†’ ((𝑀 βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))) ↔ ((𝑋 supp 0 ) βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑋 supp 0 ) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))))
7776imbi2d 340 . . . . . 6 (𝑀 = (𝑋 supp 0 ) β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑀 βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))) ↔ (πœ‘ β†’ ((𝑋 supp 0 ) βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑋 supp 0 ) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))))))
78 mplcoe1.i . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
79 mplcoe1.r . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
80 ringgrp 20060 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
8179, 80syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
821, 4, 15, 40, 78, 81mpl0 21564 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) = (𝐷 Γ— { 0 }))
83 fconstmpt 5738 . . . . . . . 8 (𝐷 Γ— { 0 }) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 0 )
8482, 83eqtrdi 2788 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 0 ))
8584a1d 25 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ… βŠ† 𝐷 β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 0 )))
86 ssun1 4172 . . . . . . . . . . 11 π‘₯ βŠ† (π‘₯ βˆͺ {𝑧})
87 sstr2 3989 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ βŠ† (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ ((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷 β†’ π‘₯ βŠ† 𝐷))
8886, 87ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷 β†’ π‘₯ βŠ† 𝐷)
8988imim1i 63 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))) β†’ ((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))))
90 oveq1 7415 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) β†’ ((𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))))(+gβ€˜π‘ƒ)((π‘‹β€˜π‘§) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )))) = ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))(+gβ€˜π‘ƒ)((π‘‹β€˜π‘§) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )))))
91 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (+gβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜π‘ƒ)
921mplring 21577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
9378, 79, 92syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Ring)
94 ringcmn 20098 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ CMnd)
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ CMnd)
9695adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ 𝑃 ∈ CMnd)
97 simprll 777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ Fin)
98 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)
9998unssad 4187 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ π‘₯ βŠ† 𝐷)
10099sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ π‘˜ ∈ π‘₯) β†’ π‘˜ ∈ 𝐷)
10178adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
10279adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1031mpllmod 21576 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
104101, 102, 103syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
1056ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
1061, 78, 79mplsca 21571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
107106adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
108107fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
109105, 108eleqtrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
110 mplcoe1.o . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 = (1rβ€˜π‘…)
111 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ π‘˜ ∈ 𝐷)
1121, 3, 15, 110, 4, 101, 102, 111mplmon 21589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )) ∈ 𝐡)
113 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Scalarβ€˜π‘ƒ) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
114 mplcoe1.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
115 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
1163, 113, 114, 115lmodvscl 20488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ LMod ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )) ∈ 𝐡) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))) ∈ 𝐡)
117104, 109, 112, 116syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))) ∈ 𝐡)
118117adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))) ∈ 𝐡)
119100, 118syldan 591 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ π‘˜ ∈ π‘₯) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))) ∈ 𝐡)
120 vex 3478 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧 ∈ V
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ 𝑧 ∈ V)
122 simprlr 778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯)
12378, 79, 103syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ LMod)
124123adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
1256adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ 𝑋:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
12698unssbd 4188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ {𝑧} βŠ† 𝐷)
127120snss 4789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ 𝐷 ↔ {𝑧} βŠ† 𝐷)
128126, 127sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐷)
129125, 128ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (π‘‹β€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
130106adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
131130fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
132129, 131eleqtrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (π‘‹β€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
13378adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
13479adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1351, 3, 15, 110, 4, 133, 134, 128mplmon 21589 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )) ∈ 𝐡)
1363, 113, 114, 115lmodvscl 20488 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ LMod ∧ (π‘‹β€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )) ∈ 𝐡) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))) ∈ 𝐡)
137124, 132, 135, 136syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))) ∈ 𝐡)
138 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑧 β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘‹β€˜π‘§))
139 equequ2 2029 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 𝑧 β†’ (𝑦 = π‘˜ ↔ 𝑦 = 𝑧))
140139ifbid 4551 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑧 β†’ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ) = if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))
141140mpteq2dv 5250 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑧 β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )))
142138, 141oveq12d 7426 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑧 β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))) = ((π‘‹β€˜π‘§) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))))
1433, 91, 96, 97, 119, 121, 122, 137, 142gsumunsn 19827 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = ((𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))))(+gβ€˜π‘ƒ)((π‘‹β€˜π‘§) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )))))
144 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
145125ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
1462, 15ring0cl 20083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑅 ∈ Ring β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
14779, 146syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
148147ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
149145, 148ifcld 4574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
150149fmpttd 7114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )):𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
151 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Baseβ€˜π‘…) ∈ V
152151, 13elmap 8864 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐷) ↔ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )):𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
153150, 152sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐷))
15429, 2, 4, 30, 133psrbas 21496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐷))
155153, 154eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))
15613mptex 7224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ∈ V
157 funmpt 6586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Fun (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))
158156, 157, 163pm3.2i 1339 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ∈ V ∧ Fun (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ∧ 0 ∈ V)
159158a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ∈ V ∧ Fun (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ∧ 0 ∈ V))
160 eldifn 4127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– π‘₯) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ π‘₯)
161160adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– π‘₯)) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ π‘₯)
162161iffalsed 4539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– π‘₯)) β†’ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) = 0 )
16313a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ 𝐷 ∈ V)
164162, 163suppss2 8184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) supp 0 ) βŠ† π‘₯)
165 suppssfifsupp 9377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ∈ V ∧ Fun (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ∧ 0 ∈ V) ∧ (π‘₯ ∈ Fin ∧ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) supp 0 ) βŠ† π‘₯)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) finSupp 0 )
166159, 97, 164, 165syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) finSupp 0 )
1671, 29, 30, 15, 3mplelbas 21549 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ∈ 𝐡 ↔ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) finSupp 0 ))
168155, 166, 167sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ∈ 𝐡)
1691, 3, 144, 91, 168, 137mpladd 21567 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))(+gβ€˜π‘ƒ)((π‘‹β€˜π‘§) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )))) = ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ∘f (+gβ€˜π‘…)((π‘‹β€˜π‘§) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )))))
170 ovexd 7443 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )) ∈ V)
171 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))
172 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
1731, 114, 2, 3, 172, 4, 129, 135mplvsca 21573 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))) = ((𝐷 Γ— {(π‘‹β€˜π‘§)}) ∘f (.rβ€˜π‘…)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))))
174129adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (π‘‹β€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
1752, 110ringidcl 20082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑅 ∈ Ring β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
176175, 146ifcld 4574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ Ring β†’ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
17779, 176syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
178177ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
179 fconstmpt 5738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐷 Γ— {(π‘‹β€˜π‘§)}) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (π‘‹β€˜π‘§))
180179a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (𝐷 Γ— {(π‘‹β€˜π‘§)}) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (π‘‹β€˜π‘§)))
181 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )))
182163, 174, 178, 180, 181offval2 7689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ ((𝐷 Γ— {(π‘‹β€˜π‘§)}) ∘f (.rβ€˜π‘…)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))))
183173, 182eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))))
184163, 149, 170, 171, 183offval2 7689 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ∘f (+gβ€˜π‘…)((π‘‹β€˜π‘§) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )(+gβ€˜π‘…)((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )))))
185134, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
1862, 144, 15grplid 18851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (π‘‹β€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜π‘§)) = (π‘‹β€˜π‘§))
187185, 129, 186syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜π‘§)) = (π‘‹β€˜π‘§))
188187ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜π‘§)) = (π‘‹β€˜π‘§))
189 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ 𝑦 ∈ {𝑧})
190 velsn 4644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ {𝑧} ↔ 𝑦 = 𝑧)
191189, 190sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ 𝑦 = 𝑧)
192191fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) = (π‘‹β€˜π‘§))
193188, 192eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜π‘§)) = (π‘‹β€˜π‘¦))
194122ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯)
195191, 194eqneltrd 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ π‘₯)
196195iffalsed 4539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) = 0 )
197191iftrued 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ) = 1 )
198197oveq2d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )) = ((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…) 1 ))
1992, 172, 110ringridm 20086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘‹β€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…) 1 ) = (π‘‹β€˜π‘§))
200134, 129, 199syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…) 1 ) = (π‘‹β€˜π‘§))
201200ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…) 1 ) = (π‘‹β€˜π‘§))
202198, 201eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )) = (π‘‹β€˜π‘§))
203196, 202oveq12d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ (if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )(+gβ€˜π‘…)((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))) = ( 0 (+gβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜π‘§)))
204 elun2 4177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ {𝑧} β†’ 𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}))
205204adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ 𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}))
206205iftrued 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) = (π‘‹β€˜π‘¦))
207193, 203, 2063eqtr4d 2782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ (if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )(+gβ€˜π‘…)((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))) = if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))
20881ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
2092, 144, 15grprid 18852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ Grp ∧ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )(+gβ€˜π‘…) 0 ) = if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))
210208, 149, 209syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )(+gβ€˜π‘…) 0 ) = if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))
211210adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ (if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )(+gβ€˜π‘…) 0 ) = if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))
212 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ {𝑧})
213212, 190sylnib 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ Β¬ 𝑦 = 𝑧)
214213iffalsed 4539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ) = 0 )
215214oveq2d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )) = ((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…) 0 ))
2162, 172, 15ringrz 20107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘‹β€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 )
217134, 129, 216syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 )
218217ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 )
219215, 218eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )) = 0 )
220219oveq2d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ (if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )(+gβ€˜π‘…)((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))) = (if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )(+gβ€˜π‘…) 0 ))
221 elun 4148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↔ (𝑦 ∈ π‘₯ ∨ 𝑦 ∈ {𝑧}))
222 orcom 868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ π‘₯ ∨ 𝑦 ∈ {𝑧}) ↔ (𝑦 ∈ {𝑧} ∨ 𝑦 ∈ π‘₯))
223221, 222bitri 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↔ (𝑦 ∈ {𝑧} ∨ 𝑦 ∈ π‘₯))
224 biorf 935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Β¬ 𝑦 ∈ {𝑧} β†’ (𝑦 ∈ π‘₯ ↔ (𝑦 ∈ {𝑧} ∨ 𝑦 ∈ π‘₯)))
225223, 224bitr4id 289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Β¬ 𝑦 ∈ {𝑧} β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↔ 𝑦 ∈ π‘₯))
226225adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↔ 𝑦 ∈ π‘₯))
227226ifbid 4551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) = if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))
228211, 220, 2273eqtr4d 2782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ (if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )(+gβ€˜π‘…)((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))) = if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))
229207, 228pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )(+gβ€˜π‘…)((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))) = if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))
230229mpteq2dva 5248 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )(+gβ€˜π‘…)((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))
231169, 184, 2303eqtrrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) = ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))(+gβ€˜π‘ƒ)((π‘‹β€˜π‘§) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )))))
232143, 231eqeq12d 2748 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ ((𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ↔ ((𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))))(+gβ€˜π‘ƒ)((π‘‹β€˜π‘§) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )))) = ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))(+gβ€˜π‘ƒ)((π‘‹β€˜π‘§) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))))))
23390, 232imbitrrid 245 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ ((𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))))
234233expr 457 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯)) β†’ ((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷 β†’ ((𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))))
235234a2d 29 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯)) β†’ (((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))) β†’ ((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))))
23689, 235syl5 34 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯)) β†’ ((π‘₯ βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))) β†’ ((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))))
237236expcom 414 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ (πœ‘ β†’ ((π‘₯ βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))) β†’ ((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))))))
238237a2d 29 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ ((πœ‘ β†’ (π‘₯ βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))) β†’ (πœ‘ β†’ ((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))))))
23950, 59, 68, 77, 85, 238findcard2s 9164 . . . . 5 ((𝑋 supp 0 ) ∈ Fin β†’ (πœ‘ β†’ ((𝑋 supp 0 ) βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑋 supp 0 ) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))))
24034, 239mpcom 38 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋 supp 0 ) βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑋 supp 0 ) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))))
24128, 240mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑋 supp 0 ) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))
24226, 241eqtr4d 2775 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑋 supp 0 ) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))))
24328resmptd 6040 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) β†Ύ (𝑋 supp 0 )) = (π‘˜ ∈ (𝑋 supp 0 ) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))))
244243oveq2d 7424 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑃 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) β†Ύ (𝑋 supp 0 ))) = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑋 supp 0 ) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))))
245117fmpttd 7114 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))):𝐷⟢𝐡)
2466, 11, 14, 17suppssr 8180 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐷 βˆ– (𝑋 supp 0 ))) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = 0 )
247246oveq1d 7423 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐷 βˆ– (𝑋 supp 0 ))) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))) = ( 0 Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))
248 eldifi 4126 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (𝐷 βˆ– (𝑋 supp 0 )) β†’ π‘˜ ∈ 𝐷)
249107fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
25015, 249eqtrid 2784 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 0 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
251250oveq1d 7423 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ ( 0 Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))) = ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))
252 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
2533, 113, 114, 252, 40lmod0vs 20504 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )) ∈ 𝐡) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))) = (0gβ€˜π‘ƒ))
254104, 112, 253syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))) = (0gβ€˜π‘ƒ))
255251, 254eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ ( 0 Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))) = (0gβ€˜π‘ƒ))
256248, 255sylan2 593 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐷 βˆ– (𝑋 supp 0 ))) β†’ ( 0 Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))) = (0gβ€˜π‘ƒ))
257247, 256eqtrd 2772 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐷 βˆ– (𝑋 supp 0 ))) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))) = (0gβ€˜π‘ƒ))
258257, 14suppss2 8184 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) supp (0gβ€˜π‘ƒ)) βŠ† (𝑋 supp 0 ))
25913mptex 7224 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) ∈ V
260 funmpt 6586 . . . . . . 7 Fun (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))
261 fvex 6904 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ V
262259, 260, 2613pm3.2i 1339 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) ∈ V ∧ Fun (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) ∧ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ V)
263262a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) ∈ V ∧ Fun (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) ∧ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ V))
264 suppssfifsupp 9377 . . . . 5 ((((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) ∈ V ∧ Fun (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) ∧ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ V) ∧ ((𝑋 supp 0 ) ∈ Fin ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) supp (0gβ€˜π‘ƒ)) βŠ† (𝑋 supp 0 ))) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) finSupp (0gβ€˜π‘ƒ))
265263, 34, 258, 264syl12anc 835 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) finSupp (0gβ€˜π‘ƒ))
2663, 40, 95, 14, 245, 258, 265gsumres 19780 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑃 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) β†Ύ (𝑋 supp 0 ))) = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))))
267244, 266eqtr3d 2774 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑋 supp 0 ) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))))
268242, 267eqtrd 2772 1 (πœ‘ β†’ 𝑋 = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  ifcif 4528  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∘f cof 7667   supp csupp 8145   ↑m cmap 8819  Fincfn 8938   finSupp cfsupp 9360  β„•cn 12211  β„•0cn0 12471  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  .rcmulr 17197  Scalarcsca 17199   ·𝑠 cvsca 17200  0gc0g 17384   Ξ£g cgsu 17385  Grpcgrp 18818  CMndccmn 19647  1rcur 20003  Ringcrg 20055  LModclmod 20470   mPwSer cmps 21456   mPoly cmpl 21458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-ofr 7670  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-hash 14290  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-subrg 20316  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-psr 21461  df-mpl 21463
This theorem is referenced by:  mplbas2  21596  mplcoe4  21631  ply1coe  21819
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