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Theorem mplcoe1 21930
Description: Decompose a polynomial into a finite sum of monomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplcoe1.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplcoe1.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
mplcoe1.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
mplcoe1.o 1 = (1rβ€˜π‘…)
mplcoe1.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
mplcoe1.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
mplcoe1.n Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
mplcoe1.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
mplcoe1.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
mplcoe1 (πœ‘ β†’ 𝑋 = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))))
Distinct variable groups:   𝑦,π‘˜, 1   𝐡,π‘˜   𝑓,π‘˜,𝑦,𝐼   πœ‘,π‘˜,𝑦   𝑅,𝑓,𝑦   𝐷,π‘˜,𝑦   𝑃,π‘˜   0 ,𝑓,π‘˜,𝑦   𝑓,𝑋,π‘˜,𝑦   π‘˜,π‘Š,𝑦   Β· ,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑓)   𝐡(𝑦,𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑦,𝑓)   𝑅(π‘˜)   Β· (𝑦,𝑓)   1 (𝑓)   π‘Š(𝑓)
Proof of Theorem mplcoe1
Dummy variables 𝑀 π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplcoe1.p . . . . . 6 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
3 mplcoe1.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
4 mplcoe1.d . . . . . 6 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
5 mplcoe1.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
61, 2, 3, 4, 5mplelf 21895 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
76feqmptd 6953 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))
8 iftrue 4529 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ) β†’ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) = (π‘‹β€˜π‘¦))
98adantl 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 )) β†’ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) = (π‘‹β€˜π‘¦))
10 eldif 3953 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– (𝑋 supp 0 )) ↔ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 )))
11 ssidd 4000 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑋 supp 0 ) βŠ† (𝑋 supp 0 ))
12 ovex 7437 . . . . . . . . . . . . 13 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
134, 12rabex2 5327 . . . . . . . . . . . 12 𝐷 ∈ V
1413a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ V)
15 mplcoe1.z . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0gβ€˜π‘…)
1615fvexi 6898 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
1716a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 ∈ V)
186, 11, 14, 17suppssr 8178 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– (𝑋 supp 0 ))) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) = 0 )
1918ifeq2d 4543 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– (𝑋 supp 0 ))) β†’ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), (π‘‹β€˜π‘¦)) = if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))
20 ifid 4563 . . . . . . . . 9 if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), (π‘‹β€˜π‘¦)) = (π‘‹β€˜π‘¦)
2119, 20eqtr3di 2781 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– (𝑋 supp 0 ))) β†’ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) = (π‘‹β€˜π‘¦))
2210, 21sylan2br 594 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ))) β†’ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) = (π‘‹β€˜π‘¦))
2322anassrs 467 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 )) β†’ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) = (π‘‹β€˜π‘¦))
249, 23pm2.61dan 810 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) = (π‘‹β€˜π‘¦))
2524mpteq2dva 5241 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))
267, 25eqtr4d 2769 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))
27 suppssdm 8159 . . . . 5 (𝑋 supp 0 ) βŠ† dom 𝑋
2827, 6fssdm 6730 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 supp 0 ) βŠ† 𝐷)
29 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
30 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))
311, 29, 30, 15, 3mplelbas 21888 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ 𝐡 ↔ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑋 finSupp 0 ))
3231simprbi 496 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑋 finSupp 0 )
335, 32syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 finSupp 0 )
3433fsuppimpd 9368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 supp 0 ) ∈ Fin)
35 sseq1 4002 . . . . . . . 8 (𝑀 = βˆ… β†’ (𝑀 βŠ† 𝐷 ↔ βˆ… βŠ† 𝐷))
36 mpteq1 5234 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = βˆ… β†’ (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) = (π‘˜ ∈ βˆ… ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))))
37 mpt0 6685 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ βˆ… ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) = βˆ…
3836, 37eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = βˆ… β†’ (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) = βˆ…)
3938oveq2d 7420 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = βˆ… β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑃 Ξ£g βˆ…))
40 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
4140gsum0 18615 . . . . . . . . . 10 (𝑃 Ξ£g βˆ…) = (0gβ€˜π‘ƒ)
4239, 41eqtrdi 2782 . . . . . . . . 9 (𝑀 = βˆ… β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (0gβ€˜π‘ƒ))
43 noel 4325 . . . . . . . . . . . 12 Β¬ 𝑦 ∈ βˆ…
44 eleq2 2816 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = βˆ… β†’ (𝑦 ∈ 𝑀 ↔ 𝑦 ∈ βˆ…))
4543, 44mtbiri 327 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = βˆ… β†’ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑀)
4645iffalsed 4534 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = βˆ… β†’ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) = 0 )
4746mpteq2dv 5243 . . . . . . . . 9 (𝑀 = βˆ… β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 0 ))
4842, 47eqeq12d 2742 . . . . . . . 8 (𝑀 = βˆ… β†’ ((𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ↔ (0gβ€˜π‘ƒ) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 0 )))
4935, 48imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑀 = βˆ… β†’ ((𝑀 βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))) ↔ (βˆ… βŠ† 𝐷 β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 0 ))))
5049imbi2d 340 . . . . . 6 (𝑀 = βˆ… β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑀 βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))) ↔ (πœ‘ β†’ (βˆ… βŠ† 𝐷 β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 0 )))))
51 sseq1 4002 . . . . . . . 8 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝑀 βŠ† 𝐷 ↔ π‘₯ βŠ† 𝐷))
52 mpteq1 5234 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = π‘₯ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) = (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))))
5352oveq2d 7420 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))))
54 eleq2 2816 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝑦 ∈ 𝑀 ↔ 𝑦 ∈ π‘₯))
5554ifbid 4546 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = π‘₯ β†’ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) = if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))
5655mpteq2dv 5243 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))
5753, 56eqeq12d 2742 . . . . . . . 8 (𝑀 = π‘₯ β†’ ((𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ↔ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))))
5851, 57imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘₯ β†’ ((𝑀 βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))) ↔ (π‘₯ βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))))
5958imbi2d 340 . . . . . 6 (𝑀 = π‘₯ β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑀 βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))) ↔ (πœ‘ β†’ (π‘₯ βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))))))
60 sseq1 4002 . . . . . . . 8 (𝑀 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ (𝑀 βŠ† 𝐷 ↔ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷))
61 mpteq1 5234 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) = (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))))
6261oveq2d 7420 . . . . . . . . 9 (𝑀 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))))
63 eleq2 2816 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ (𝑦 ∈ 𝑀 ↔ 𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧})))
6463ifbid 4546 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) = if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))
6564mpteq2dv 5243 . . . . . . . . 9 (𝑀 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))
6662, 65eqeq12d 2742 . . . . . . . 8 (𝑀 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ ((𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ↔ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))))
6760, 66imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑀 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ ((𝑀 βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))) ↔ ((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))))
6867imbi2d 340 . . . . . 6 (𝑀 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑀 βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))) ↔ (πœ‘ β†’ ((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))))))
69 sseq1 4002 . . . . . . . 8 (𝑀 = (𝑋 supp 0 ) β†’ (𝑀 βŠ† 𝐷 ↔ (𝑋 supp 0 ) βŠ† 𝐷))
70 mpteq1 5234 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (𝑋 supp 0 ) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) = (π‘˜ ∈ (𝑋 supp 0 ) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))))
7170oveq2d 7420 . . . . . . . . 9 (𝑀 = (𝑋 supp 0 ) β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑋 supp 0 ) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))))
72 eleq2 2816 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = (𝑋 supp 0 ) β†’ (𝑦 ∈ 𝑀 ↔ 𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 )))
7372ifbid 4546 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (𝑋 supp 0 ) β†’ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) = if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))
7473mpteq2dv 5243 . . . . . . . . 9 (𝑀 = (𝑋 supp 0 ) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))
7571, 74eqeq12d 2742 . . . . . . . 8 (𝑀 = (𝑋 supp 0 ) β†’ ((𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ↔ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑋 supp 0 ) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))))
7669, 75imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑀 = (𝑋 supp 0 ) β†’ ((𝑀 βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))) ↔ ((𝑋 supp 0 ) βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑋 supp 0 ) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))))
7776imbi2d 340 . . . . . 6 (𝑀 = (𝑋 supp 0 ) β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑀 βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ 𝑀, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))) ↔ (πœ‘ β†’ ((𝑋 supp 0 ) βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑋 supp 0 ) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))))))
78 mplcoe1.i . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
79 mplcoe1.r . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
80 ringgrp 20141 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
8179, 80syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
821, 4, 15, 40, 78, 81mpl0 21903 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) = (𝐷 Γ— { 0 }))
83 fconstmpt 5731 . . . . . . . 8 (𝐷 Γ— { 0 }) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 0 )
8482, 83eqtrdi 2782 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 0 ))
8584a1d 25 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ… βŠ† 𝐷 β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 0 )))
86 ssun1 4167 . . . . . . . . . . 11 π‘₯ βŠ† (π‘₯ βˆͺ {𝑧})
87 sstr2 3984 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ βŠ† (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ ((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷 β†’ π‘₯ βŠ† 𝐷))
8886, 87ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷 β†’ π‘₯ βŠ† 𝐷)
8988imim1i 63 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))) β†’ ((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))))
90 oveq1 7411 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) β†’ ((𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))))(+gβ€˜π‘ƒ)((π‘‹β€˜π‘§) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )))) = ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))(+gβ€˜π‘ƒ)((π‘‹β€˜π‘§) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )))))
91 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (+gβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜π‘ƒ)
921mplring 21916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
9378, 79, 92syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Ring)
94 ringcmn 20179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ CMnd)
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ CMnd)
9695adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ 𝑃 ∈ CMnd)
97 simprll 776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ Fin)
98 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)
9998unssad 4182 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ π‘₯ βŠ† 𝐷)
10099sselda 3977 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ π‘˜ ∈ π‘₯) β†’ π‘˜ ∈ 𝐷)
10178adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
10279adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1031mpllmod 21915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
104101, 102, 103syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
1056ffvelcdmda 7079 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
1061, 78, 79mplsca 21910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
107106adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
108107fveq2d 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
109105, 108eleqtrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
110 mplcoe1.o . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 = (1rβ€˜π‘…)
111 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ π‘˜ ∈ 𝐷)
1121, 3, 15, 110, 4, 101, 102, 111mplmon 21928 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )) ∈ 𝐡)
113 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Scalarβ€˜π‘ƒ) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
114 mplcoe1.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
115 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
1163, 113, 114, 115lmodvscl 20722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ LMod ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )) ∈ 𝐡) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))) ∈ 𝐡)
117104, 109, 112, 116syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))) ∈ 𝐡)
118117adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))) ∈ 𝐡)
119100, 118syldan 590 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ π‘˜ ∈ π‘₯) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))) ∈ 𝐡)
120 vex 3472 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧 ∈ V
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ 𝑧 ∈ V)
122 simprlr 777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯)
12378, 79, 103syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ LMod)
124123adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
1256adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ 𝑋:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
12698unssbd 4183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ {𝑧} βŠ† 𝐷)
127120snss 4784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ 𝐷 ↔ {𝑧} βŠ† 𝐷)
128126, 127sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐷)
129125, 128ffvelcdmd 7080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (π‘‹β€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
130106adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
131130fveq2d 6888 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
132129, 131eleqtrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (π‘‹β€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
13378adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
13479adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1351, 3, 15, 110, 4, 133, 134, 128mplmon 21928 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )) ∈ 𝐡)
1363, 113, 114, 115lmodvscl 20722 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ LMod ∧ (π‘‹β€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )) ∈ 𝐡) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))) ∈ 𝐡)
137124, 132, 135, 136syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))) ∈ 𝐡)
138 fveq2 6884 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑧 β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘‹β€˜π‘§))
139 equequ2 2021 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 𝑧 β†’ (𝑦 = π‘˜ ↔ 𝑦 = 𝑧))
140139ifbid 4546 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑧 β†’ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ) = if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))
141140mpteq2dv 5243 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑧 β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )))
142138, 141oveq12d 7422 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑧 β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))) = ((π‘‹β€˜π‘§) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))))
1433, 91, 96, 97, 119, 121, 122, 137, 142gsumunsn 19878 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = ((𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))))(+gβ€˜π‘ƒ)((π‘‹β€˜π‘§) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )))))
144 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
145125ffvelcdmda 7079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
1462, 15ring0cl 20164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑅 ∈ Ring β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
14779, 146syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
148147ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
149145, 148ifcld 4569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
150149fmpttd 7109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )):𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
151 fvex 6897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Baseβ€˜π‘…) ∈ V
152151, 13elmap 8864 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐷) ↔ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )):𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
153150, 152sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐷))
15429, 2, 4, 30, 133psrbas 21834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐷))
155153, 154eleqtrrd 2830 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))
15613mptex 7219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ∈ V
157 funmpt 6579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Fun (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))
158156, 157, 163pm3.2i 1336 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ∈ V ∧ Fun (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ∧ 0 ∈ V)
159158a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ∈ V ∧ Fun (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ∧ 0 ∈ V))
160 eldifn 4122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– π‘₯) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ π‘₯)
161160adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– π‘₯)) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ π‘₯)
162161iffalsed 4534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– π‘₯)) β†’ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) = 0 )
16313a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ 𝐷 ∈ V)
164162, 163suppss2 8183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) supp 0 ) βŠ† π‘₯)
165 suppssfifsupp 9377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ∈ V ∧ Fun (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ∧ 0 ∈ V) ∧ (π‘₯ ∈ Fin ∧ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) supp 0 ) βŠ† π‘₯)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) finSupp 0 )
166159, 97, 164, 165syl12anc 834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) finSupp 0 )
1671, 29, 30, 15, 3mplelbas 21888 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ∈ 𝐡 ↔ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) finSupp 0 ))
168155, 166, 167sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ∈ 𝐡)
1691, 3, 144, 91, 168, 137mpladd 21906 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))(+gβ€˜π‘ƒ)((π‘‹β€˜π‘§) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )))) = ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ∘f (+gβ€˜π‘…)((π‘‹β€˜π‘§) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )))))
170 ovexd 7439 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )) ∈ V)
171 eqidd 2727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))
172 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
1731, 114, 2, 3, 172, 4, 129, 135mplvsca 21912 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))) = ((𝐷 Γ— {(π‘‹β€˜π‘§)}) ∘f (.rβ€˜π‘…)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))))
174129adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (π‘‹β€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
1752, 110ringidcl 20163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑅 ∈ Ring β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
176175, 146ifcld 4569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ Ring β†’ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
17779, 176syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
178177ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
179 fconstmpt 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐷 Γ— {(π‘‹β€˜π‘§)}) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (π‘‹β€˜π‘§))
180179a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (𝐷 Γ— {(π‘‹β€˜π‘§)}) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (π‘‹β€˜π‘§)))
181 eqidd 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )))
182163, 174, 178, 180, 181offval2 7686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ ((𝐷 Γ— {(π‘‹β€˜π‘§)}) ∘f (.rβ€˜π‘…)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))))
183173, 182eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))))
184163, 149, 170, 171, 183offval2 7686 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ∘f (+gβ€˜π‘…)((π‘‹β€˜π‘§) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )(+gβ€˜π‘…)((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )))))
185134, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
1862, 144, 15grplid 18895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (π‘‹β€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜π‘§)) = (π‘‹β€˜π‘§))
187185, 129, 186syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜π‘§)) = (π‘‹β€˜π‘§))
188187ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜π‘§)) = (π‘‹β€˜π‘§))
189 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ 𝑦 ∈ {𝑧})
190 velsn 4639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ {𝑧} ↔ 𝑦 = 𝑧)
191189, 190sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ 𝑦 = 𝑧)
192191fveq2d 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) = (π‘‹β€˜π‘§))
193188, 192eqtr4d 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜π‘§)) = (π‘‹β€˜π‘¦))
194122ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯)
195191, 194eqneltrd 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ π‘₯)
196195iffalsed 4534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) = 0 )
197191iftrued 4531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ) = 1 )
198197oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )) = ((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…) 1 ))
1992, 172, 110ringridm 20167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘‹β€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…) 1 ) = (π‘‹β€˜π‘§))
200134, 129, 199syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…) 1 ) = (π‘‹β€˜π‘§))
201200ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…) 1 ) = (π‘‹β€˜π‘§))
202198, 201eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )) = (π‘‹β€˜π‘§))
203196, 202oveq12d 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ (if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )(+gβ€˜π‘…)((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))) = ( 0 (+gβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜π‘§)))
204 elun2 4172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ {𝑧} β†’ 𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}))
205204adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ 𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}))
206205iftrued 4531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) = (π‘‹β€˜π‘¦))
207193, 203, 2063eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ (if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )(+gβ€˜π‘…)((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))) = if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))
20881ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
2092, 144, 15grprid 18896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ Grp ∧ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )(+gβ€˜π‘…) 0 ) = if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))
210208, 149, 209syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )(+gβ€˜π‘…) 0 ) = if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))
211210adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ (if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )(+gβ€˜π‘…) 0 ) = if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))
212 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ {𝑧})
213212, 190sylnib 328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ Β¬ 𝑦 = 𝑧)
214213iffalsed 4534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ) = 0 )
215214oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )) = ((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…) 0 ))
2162, 172, 15ringrz 20191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘‹β€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 )
217134, 129, 216syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 )
218217ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 )
219215, 218eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )) = 0 )
220219oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ (if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )(+gβ€˜π‘…)((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))) = (if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )(+gβ€˜π‘…) 0 ))
221 elun 4143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↔ (𝑦 ∈ π‘₯ ∨ 𝑦 ∈ {𝑧}))
222 orcom 867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ π‘₯ ∨ 𝑦 ∈ {𝑧}) ↔ (𝑦 ∈ {𝑧} ∨ 𝑦 ∈ π‘₯))
223221, 222bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↔ (𝑦 ∈ {𝑧} ∨ 𝑦 ∈ π‘₯))
224 biorf 933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Β¬ 𝑦 ∈ {𝑧} β†’ (𝑦 ∈ π‘₯ ↔ (𝑦 ∈ {𝑧} ∨ 𝑦 ∈ π‘₯)))
225223, 224bitr4id 290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Β¬ 𝑦 ∈ {𝑧} β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↔ 𝑦 ∈ π‘₯))
226225adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↔ 𝑦 ∈ π‘₯))
227226ifbid 4546 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ) = if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))
228211, 220, 2273eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ {𝑧}) β†’ (if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )(+gβ€˜π‘…)((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))) = if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))
229207, 228pm2.61dan 810 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )(+gβ€˜π‘…)((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))) = if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))
230229mpteq2dva 5241 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )(+gβ€˜π‘…)((π‘‹β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))
231169, 184, 2303eqtrrd 2771 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) = ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))(+gβ€˜π‘ƒ)((π‘‹β€˜π‘§) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )))))
232143, 231eqeq12d 2742 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ ((𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) ↔ ((𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))))(+gβ€˜π‘ƒ)((π‘‹β€˜π‘§) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 )))) = ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))(+gβ€˜π‘ƒ)((π‘‹β€˜π‘§) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑧, 1 , 0 ))))))
23390, 232imbitrrid 245 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷)) β†’ ((𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))))
234233expr 456 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯)) β†’ ((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷 β†’ ((𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )) β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))))
235234a2d 29 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯)) β†’ (((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))) β†’ ((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))))
23689, 235syl5 34 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯)) β†’ ((π‘₯ βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))) β†’ ((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))))
237236expcom 413 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ (πœ‘ β†’ ((π‘₯ βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))) β†’ ((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))))))
238237a2d 29 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ ((πœ‘ β†’ (π‘₯ βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ π‘₯, (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))) β†’ (πœ‘ β†’ ((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))))))
23950, 59, 68, 77, 85, 238findcard2s 9164 . . . . 5 ((𝑋 supp 0 ) ∈ Fin β†’ (πœ‘ β†’ ((𝑋 supp 0 ) βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑋 supp 0 ) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))))
24034, 239mpcom 38 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋 supp 0 ) βŠ† 𝐷 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑋 supp 0 ) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 ))))
24128, 240mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑋 supp 0 ) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 ∈ (𝑋 supp 0 ), (π‘‹β€˜π‘¦), 0 )))
24226, 241eqtr4d 2769 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑋 supp 0 ) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))))
24328resmptd 6033 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) β†Ύ (𝑋 supp 0 )) = (π‘˜ ∈ (𝑋 supp 0 ) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))))
244243oveq2d 7420 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑃 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) β†Ύ (𝑋 supp 0 ))) = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑋 supp 0 ) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))))
245117fmpttd 7109 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))):𝐷⟢𝐡)
2466, 11, 14, 17suppssr 8178 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐷 βˆ– (𝑋 supp 0 ))) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = 0 )
247246oveq1d 7419 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐷 βˆ– (𝑋 supp 0 ))) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))) = ( 0 Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))
248 eldifi 4121 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (𝐷 βˆ– (𝑋 supp 0 )) β†’ π‘˜ ∈ 𝐷)
249107fveq2d 6888 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
25015, 249eqtrid 2778 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 0 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
251250oveq1d 7419 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ ( 0 Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))) = ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))
252 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
2533, 113, 114, 252, 40lmod0vs 20739 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )) ∈ 𝐡) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))) = (0gβ€˜π‘ƒ))
254104, 112, 253syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))) = (0gβ€˜π‘ƒ))
255251, 254eqtrd 2766 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ ( 0 Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))) = (0gβ€˜π‘ƒ))
256248, 255sylan2 592 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐷 βˆ– (𝑋 supp 0 ))) β†’ ( 0 Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))) = (0gβ€˜π‘ƒ))
257247, 256eqtrd 2766 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐷 βˆ– (𝑋 supp 0 ))) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))) = (0gβ€˜π‘ƒ))
258257, 14suppss2 8183 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) supp (0gβ€˜π‘ƒ)) βŠ† (𝑋 supp 0 ))
25913mptex 7219 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) ∈ V
260 funmpt 6579 . . . . . . 7 Fun (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))
261 fvex 6897 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ V
262259, 260, 2613pm3.2i 1336 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) ∈ V ∧ Fun (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) ∧ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ V)
263262a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) ∈ V ∧ Fun (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) ∧ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ V))
264 suppssfifsupp 9377 . . . . 5 ((((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) ∈ V ∧ Fun (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) ∧ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ V) ∧ ((𝑋 supp 0 ) ∈ Fin ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) supp (0gβ€˜π‘ƒ)) βŠ† (𝑋 supp 0 ))) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) finSupp (0gβ€˜π‘ƒ))
265263, 34, 258, 264syl12anc 834 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) finSupp (0gβ€˜π‘ƒ))
2663, 40, 95, 14, 245, 258, 265gsumres 19831 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑃 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 )))) β†Ύ (𝑋 supp 0 ))) = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))))
267244, 266eqtr3d 2768 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑋 supp 0 ) ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))) = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))))
268242, 267eqtrd 2766 1 (πœ‘ β†’ 𝑋 = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘˜, 1 , 0 ))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940   βˆͺ cun 3941   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  ifcif 4523  {csn 4623   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667  β—‘ccnv 5668   β†Ύ cres 5671   β€œ cima 5672  Fun wfun 6530  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∘f cof 7664   supp csupp 8143   ↑m cmap 8819  Fincfn 8938   finSupp cfsupp 9360  β„•cn 12213  β„•0cn0 12473  Basecbs 17151  +gcplusg 17204  .rcmulr 17205  Scalarcsca 17207   ·𝑠 cvsca 17208  0gc0g 17392   Ξ£g cgsu 17393  Grpcgrp 18861  CMndccmn 19698  1rcur 20084  Ringcrg 20136  LModclmod 20704   mPwSer cmps 21794   mPoly cmpl 21796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14294  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18994  df-subg 19048  df-ghm 19137  df-cntz 19231  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-subrng 20444  df-subrg 20469  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-psr 21799  df-mpl 21801
This theorem is referenced by:  mplbas2  21935  mplcoe4  21970  ply1coe  22168
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