MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplmon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplmon 19951
Description: A monomial is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplmon.s 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplmon.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplmon.z 0 = (0g𝑅)
mplmon.o 1 = (1r𝑅)
mplmon.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplmon.i (𝜑𝐼𝑊)
mplmon.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mplmon.x (𝜑𝑋𝐷)
Assertion
Ref Expression
mplmon (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )) ∈ 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐷   𝑓,𝐼   𝜑,𝑦   𝑦,𝑓,𝑋   𝑦, 0   𝑦, 1   𝑦,𝑅
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑦,𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑦,𝑓)   𝑅(𝑓)   1 (𝑓)   𝐼(𝑦)   𝑊(𝑦,𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem mplmon
StepHypRef Expression
1 mplmon.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 eqid 2772 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 mplmon.o . . . . . . . . 9 1 = (1r𝑅)
42, 3ringidcl 19035 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
5 mplmon.z . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑅)
62, 5ring0cl 19036 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
74, 6ifcld 4389 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑅))
81, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑅))
98adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑅))
109fmpttd 6696 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )):𝐷⟶(Base‘𝑅))
11 fvex 6506 . . . . 5 (Base‘𝑅) ∈ V
12 mplmon.d . . . . . 6 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
13 ovex 7002 . . . . . 6 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
1412, 13rabex2 5087 . . . . 5 𝐷 ∈ V
1511, 14elmap 8229 . . . 4 ((𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷) ↔ (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )):𝐷⟶(Base‘𝑅))
1610, 15sylibr 226 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷))
17 eqid 2772 . . . 4 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
18 eqid 2772 . . . 4 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
19 mplmon.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑊)
2017, 2, 12, 18, 19psrbas 19866 . . 3 (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷))
2116, 20eleqtrrd 2863 . 2 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
2214mptex 6806 . . . . 5 (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )) ∈ V
23 funmpt 6220 . . . . 5 Fun (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))
245fvexi 6507 . . . . 5 0 ∈ V
2522, 23, 243pm3.2i 1319 . . . 4 ((𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )) ∈ V ∧ Fun (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )) ∧ 0 ∈ V)
2625a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )) ∈ V ∧ Fun (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )) ∧ 0 ∈ V))
27 snfi 8385 . . . 4 {𝑋} ∈ Fin
2827a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝑋} ∈ Fin)
29 eldifsni 4590 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝐷 ∖ {𝑋}) → 𝑦𝑋)
3029adantl 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐷 ∖ {𝑋})) → 𝑦𝑋)
3130neneqd 2966 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐷 ∖ {𝑋})) → ¬ 𝑦 = 𝑋)
3231iffalsed 4355 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐷 ∖ {𝑋})) → if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ) = 0 )
3314a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ V)
3432, 33suppss2 7661 . . 3 (𝜑 → ((𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )) supp 0 ) ⊆ {𝑋})
35 suppssfifsupp 8637 . . 3 ((((𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )) ∈ V ∧ Fun (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )) ∧ 0 ∈ V) ∧ ({𝑋} ∈ Fin ∧ ((𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )) supp 0 ) ⊆ {𝑋})) → (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )) finSupp 0 )
3626, 28, 34, 35syl12anc 824 . 2 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )) finSupp 0 )
37 mplmon.s . . 3 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
38 mplmon.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
3937, 17, 18, 5, 38mplelbas 19918 . 2 ((𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )) finSupp 0 ))
4021, 36, 39sylanbrc 575 1 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2961  {crab 3086  Vcvv 3409  cdif 3820  wss 3823  ifcif 4344  {csn 4435   class class class wbr 4923  cmpt 5002  ccnv 5400  cima 5404  Fun wfun 6176  wf 6178  cfv 6182  (class class class)co 6970   supp csupp 7627  𝑚 cmap 8200  Fincfn 8300   finSupp cfsupp 8622  cn 11433  0cn0 11701  Basecbs 16333  0gc0g 16563  1rcur 18968  Ringcrg 19014   mPwSer cmps 19839   mPoly cmpl 19841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-of 7221  df-om 7391  df-1st 7495  df-2nd 7496  df-supp 7628  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-1o 7899  df-oadd 7903  df-er 8083  df-map 8202  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-fin 8304  df-fsupp 8623  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667  df-nn 11434  df-2 11497  df-3 11498  df-4 11499  df-5 11500  df-6 11501  df-7 11502  df-8 11503  df-9 11504  df-n0 11702  df-z 11788  df-uz 12053  df-fz 12703  df-struct 16335  df-ndx 16336  df-slot 16337  df-base 16339  df-sets 16340  df-ress 16341  df-plusg 16428  df-mulr 16429  df-sca 16431  df-vsca 16432  df-tset 16434  df-0g 16565  df-mgm 17704  df-sgrp 17746  df-mnd 17757  df-grp 17888  df-mgp 18957  df-ur 18969  df-ring 19016  df-psr 19844  df-mpl 19846
This theorem is referenced by:  mplmonmul  19952  mplcoe1  19953  mplbas2  19958  mplmon2  19980  mplmon2cl  19987  mplmon2mul  19988
  Copyright terms: Public domain W3C validator