Theorem fply1 33637

Description: Conditions for a function to be a univariate polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
fply1.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
fply1.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
fply1.3	⊢ 𝑃 = (Base‘(Poly1‘𝑅))
fply1.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶𝐵)
fply1.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
fply1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)

Proof of Theorem fply1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fply1.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶𝐵)
2		fply1.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	2	fvexi 6850	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
4		ovex 7395	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) ∈ V
5	3, 4	elmap 8814	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m (ℕ0 ↑m 1o)) ↔ 𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶𝐵)
6	1, 5	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m (ℕ0 ↑m 1o)))
7		df1o2 8407	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o = {∅}
8		snfi 8985	. . . . . . . . 9 ⊢ {∅} ∈ Fin
9	7, 8	eqeltri 2833	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ Fin
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → 1o ∈ Fin)
11		elmapi 8791	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → 𝑓:1o⟶ℕ0)
12	10, 11	fisuppfi 9279	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
13	12	rabeqc 3402	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑m 1o)
14	13	oveq2i 7373	. . . 4 ⊢ (𝐵 ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) = (𝐵 ↑m (ℕ0 ↑m 1o))
15	6, 14	eleqtrrdi 2848	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
16		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
17		eqid 2737	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
18		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) = (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
19		1oex 8410	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ V
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ V)
21	16, 2, 17, 18, 20	psrbas 21927	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) = (𝐵 ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
22	15, 21	eleqtrrd 2840	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
23		fply1.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
24		eqid 2737	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
25		fply1.1	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
26		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
27		fply1.3	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘(Poly1‘𝑅))
28	26, 27	ply1bas 22172	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
29	24, 16, 18, 25, 28	mplelbas 21983	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ))
30	22, 23, 29	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390  Vcvv 3430  ∅c0 4274  {csn 4568   class class class wbr 5086  ^◡ccnv 5625   “ cima 5629  ⟶wf 6490  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  1_oc1o 8393   ↑_m cmap 8768  Fincfn 8888   finSupp cfsupp 9269  ℕcn 12169  ℕ₀cn0 12432  Basecbs 17174  0_gc0g 17397   mPwSer cmps 21898   mPoly cmpl 21900  Poly₁cpl1 22154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7626  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-supp 8106  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-tset 17234  df-ple 17235  df-psr 21903  df-mpl 21905  df-opsr 21907  df-psr1 22157  df-ply1 22159

This theorem is referenced by: (None)