Theorem fply1 33520

Description: Conditions for a function to be a univariate polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
fply1.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
fply1.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
fply1.3	⊢ 𝑃 = (Base‘(Poly1‘𝑅))
fply1.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶𝐵)
fply1.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
fply1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)

Proof of Theorem fply1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fply1.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶𝐵)
2		fply1.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	2	fvexi 6854	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
4		ovex 7402	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) ∈ V
5	3, 4	elmap 8821	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m (ℕ0 ↑m 1o)) ↔ 𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶𝐵)
6	1, 5	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m (ℕ0 ↑m 1o)))
7		df1o2 8418	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o = {∅}
8		snfi 8991	. . . . . . . . 9 ⊢ {∅} ∈ Fin
9	7, 8	eqeltri 2824	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ Fin
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → 1o ∈ Fin)
11		elmapi 8799	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → 𝑓:1o⟶ℕ0)
12	10, 11	fisuppfi 9298	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
13	12	rabeqc 3415	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑m 1o)
14	13	oveq2i 7380	. . . 4 ⊢ (𝐵 ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) = (𝐵 ↑m (ℕ0 ↑m 1o))
15	6, 14	eleqtrrdi 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
16		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
17		eqid 2729	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
18		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) = (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
19		1oex 8421	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ V
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ V)
21	16, 2, 17, 18, 20	psrbas 21875	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) = (𝐵 ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
22	15, 21	eleqtrrd 2831	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
23		fply1.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
24		eqid 2729	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
25		fply1.1	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
26		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
27		fply1.3	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘(Poly1‘𝑅))
28	26, 27	ply1bas 22112	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
29	24, 16, 18, 25, 28	mplelbas 21933	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ))
30	22, 23, 29	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3402  Vcvv 3444  ∅c0 4292  {csn 4585   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5630   “ cima 5634  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  1_oc1o 8404   ↑_m cmap 8776  Fincfn 8895   finSupp cfsupp 9288  ℕcn 12162  ℕ₀cn0 12418  Basecbs 17155  0_gc0g 17378   mPwSer cmps 21846   mPoly cmpl 21848  Poly₁cpl1 22094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-tset 17215  df-ple 17216  df-psr 21851  df-mpl 21853  df-opsr 21855  df-psr1 22097  df-ply1 22099

This theorem is referenced by: (None)