Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fply1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fply1 33105
Description: Conditions for a function to be a univariate polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
fply1.1 0 = (0gβ€˜π‘…)
fply1.2 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
fply1.3 𝑃 = (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…))
fply1.4 (πœ‘ β†’ 𝐹:(β„•0 ↑m 1o)⟢𝐡)
fply1.5 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
fply1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)

Proof of Theorem fply1
StepHypRef Expression
1 fply1.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:(β„•0 ↑m 1o)⟢𝐡)
2 fply1.2 . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
32fvexi 6895 . . . . . 6 𝐡 ∈ V
4 ovex 7434 . . . . . 6 (β„•0 ↑m 1o) ∈ V
53, 4elmap 8861 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐡 ↑m (β„•0 ↑m 1o)) ↔ 𝐹:(β„•0 ↑m 1o)⟢𝐡)
61, 5sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐡 ↑m (β„•0 ↑m 1o)))
7 df1o2 8468 . . . . . . . . 9 1o = {βˆ…}
8 snfi 9040 . . . . . . . . 9 {βˆ…} ∈ Fin
97, 8eqeltri 2821 . . . . . . . 8 1o ∈ Fin
109a1i 11 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 1o) β†’ 1o ∈ Fin)
11 elmapi 8839 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 1o) β†’ 𝑓:1oβŸΆβ„•0)
1210, 11fisuppfi 9366 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 1o) β†’ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin)
1312rabeqc 3436 . . . . 5 {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} = (β„•0 ↑m 1o)
1413oveq2i 7412 . . . 4 (𝐡 ↑m {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) = (𝐡 ↑m (β„•0 ↑m 1o))
156, 14eleqtrrdi 2836 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐡 ↑m {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}))
16 eqid 2724 . . . 4 (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
17 eqid 2724 . . . 4 {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
18 eqid 2724 . . . 4 (Baseβ€˜(1o mPwSer 𝑅)) = (Baseβ€˜(1o mPwSer 𝑅))
19 1oex 8471 . . . . 5 1o ∈ V
2019a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1o ∈ V)
2116, 2, 17, 18, 20psrbas 21806 . . 3 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(1o mPwSer 𝑅)) = (𝐡 ↑m {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}))
2215, 21eleqtrrd 2828 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜(1o mPwSer 𝑅)))
23 fply1.5 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
24 eqid 2724 . . 3 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
25 fply1.1 . . 3 0 = (0gβ€˜π‘…)
26 eqid 2724 . . . 4 (Poly1β€˜π‘…) = (Poly1β€˜π‘…)
27 eqid 2724 . . . 4 (PwSer1β€˜π‘…) = (PwSer1β€˜π‘…)
28 fply1.3 . . . 4 𝑃 = (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…))
2926, 27, 28ply1bas 22037 . . 3 𝑃 = (Baseβ€˜(1o mPoly 𝑅))
3024, 16, 18, 25, 29mplelbas 21860 . 2 (𝐹 ∈ 𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (Baseβ€˜(1o mPwSer 𝑅)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ))
3122, 23, 30sylanbrc 582 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3424  Vcvv 3466  βˆ…c0 4314  {csn 4620   class class class wbr 5138  β—‘ccnv 5665   β€œ cima 5669  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  1oc1o 8454   ↑m cmap 8816  Fincfn 8935   finSupp cfsupp 9357  β„•cn 12209  β„•0cn0 12469  Basecbs 17143  0gc0g 17384   mPwSer cmps 21766   mPoly cmpl 21768  PwSer1cps1 22017  Poly1cpl1 22019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-tset 17215  df-ple 17216  df-psr 21771  df-mpl 21773  df-opsr 21775  df-psr1 22022  df-ply1 22024
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator