Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fply1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fply1 30534
Description: Conditions for a function to be an univariate polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
fply1.1 0 = (0g𝑅)
fply1.2 𝐵 = (Base‘𝑅)
fply1.3 𝑃 = (Base‘(Poly1𝑅))
fply1.4 (𝜑𝐹:(ℕ0𝑚 1o)⟶𝐵)
fply1.5 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
fply1 (𝜑𝐹𝑃)

Proof of Theorem fply1
StepHypRef Expression
1 fply1.4 . . . . 5 (𝜑𝐹:(ℕ0𝑚 1o)⟶𝐵)
2 fply1.2 . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
32fvexi 6544 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
4 ovex 7039 . . . . . 6 (ℕ0𝑚 1o) ∈ V
53, 4elmap 8276 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐵𝑚 (ℕ0𝑚 1o)) ↔ 𝐹:(ℕ0𝑚 1o)⟶𝐵)
61, 5sylibr 235 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐵𝑚 (ℕ0𝑚 1o)))
7 df1o2 7958 . . . . . . . . 9 1o = {∅}
8 snfi 8432 . . . . . . . . 9 {∅} ∈ Fin
97, 8eqeltri 2877 . . . . . . . 8 1o ∈ Fin
109a1i 11 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 1o) → 1o ∈ Fin)
11 elmapi 8269 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 1o) → 𝑓:1o⟶ℕ0)
1210, 11fisuppfi 8677 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 1o) → (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
1312rabeqc 3611 . . . . 5 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0𝑚 1o)
1413oveq2i 7018 . . . 4 (𝐵𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) = (𝐵𝑚 (ℕ0𝑚 1o))
156, 14syl6eleqr 2892 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐵𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
16 eqid 2793 . . . 4 (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
17 eqid 2793 . . . 4 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
18 eqid 2793 . . . 4 (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) = (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
19 1oex 7952 . . . . 5 1o ∈ V
2019a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1o ∈ V)
2116, 2, 17, 18, 20psrbas 19834 . . 3 (𝜑 → (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) = (𝐵𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
2215, 21eleqtrrd 2884 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
23 fply1.5 . 2 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
24 eqid 2793 . . 3 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
25 fply1.1 . . 3 0 = (0g𝑅)
26 eqid 2793 . . . 4 (Poly1𝑅) = (Poly1𝑅)
27 eqid 2793 . . . 4 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
28 fply1.3 . . . 4 𝑃 = (Base‘(Poly1𝑅))
2926, 27, 28ply1bas 20034 . . 3 𝑃 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
3024, 16, 18, 25, 29mplelbas 19886 . 2 (𝐹𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ))
3122, 23, 30sylanbrc 583 1 (𝜑𝐹𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1520  wcel 2079  {crab 3107  Vcvv 3432  c0 4206  {csn 4466   class class class wbr 4956  ccnv 5434  cima 5438  wf 6213  cfv 6217  (class class class)co 7007  1oc1o 7937  𝑚 cmap 8247  Fincfn 8347   finSupp cfsupp 8669  cn 11475  0cn0 11734  Basecbs 16300  0gc0g 16530   mPwSer cmps 19807   mPoly cmpl 19809  PwSer1cps1 20014  Poly1cpl1 20016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-of 7258  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-supp 7673  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-oadd 7948  df-er 8130  df-map 8249  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-fsupp 8670  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-4 11539  df-5 11540  df-6 11541  df-7 11542  df-8 11543  df-9 11544  df-n0 11735  df-z 11819  df-dec 11937  df-uz 12083  df-fz 12732  df-struct 16302  df-ndx 16303  df-slot 16304  df-base 16306  df-sets 16307  df-ress 16308  df-plusg 16395  df-mulr 16396  df-sca 16398  df-vsca 16399  df-tset 16401  df-ple 16402  df-psr 19812  df-mpl 19814  df-opsr 19816  df-psr1 20019  df-ply1 20021
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator