Theorem fply1 33917

Description: Conditions for a function to be a univariate polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
fply1.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
fply1.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
fply1.3	⊢ 𝑃 = (Base‘(Poly1‘𝑅))
fply1.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶𝐵)
fply1.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
fply1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)

Proof of Theorem fply1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fply1.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶𝐵)
2		fply1.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	2	fvexi 6900	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
4		ovex 7453	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) ∈ V
5	3, 4	elmap 8876	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m (ℕ0 ↑m 1o)) ↔ 𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶𝐵)
6	1, 5	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m (ℕ0 ↑m 1o)))
7		df1o2 8467	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o = {∅}
8		snfi 9048	. . . . . . . . 9 ⊢ {∅} ∈ Fin
9	7, 8	eqeltri 2861	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ Fin
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → 1o ∈ Fin)
11		elmapi 8853	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → 𝑓:1o⟶ℕ0)
12	10, 11	fisuppfi 9339	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
13	12	rabeqc 3430	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑m 1o)
14	13	oveq2i 7431	. . . 4 ⊢ (𝐵 ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) = (𝐵 ↑m (ℕ0 ↑m 1o))
15	6, 14	eleqtrrdi 2876	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
16		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
17		eqid 2765	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
18		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) = (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
19		1oex 8470	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ V
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ V)
21	16, 2, 17, 18, 20	psrbas 22139	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) = (𝐵 ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
22	15, 21	eleqtrrd 2868	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
23		fply1.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
24		eqid 2765	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
25		fply1.1	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
26		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
27		fply1.3	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘(Poly1‘𝑅))
28	26, 27	ply1bas 22410	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
29	24, 16, 18, 25, 28	mplelbas 22195	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ))
30	22, 23, 29	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {crab 3418  Vcvv 3457  ∅c0 4286  {csn 4591   class class class wbr 5111  ^◡ccnv 5662   “ cima 5666  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7420  1_oc1o 8453   ↑_m cmap 8831  Fincfn 8950   finSupp cfsupp 9329  ℕcn 12253  ℕ₀cn0 12524  Basecbs 17296  0_gc0g 17519   mPwSer cmps 22109   mPoly cmpl 22111  Poly₁cpl1 22392

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-cnex 11176  ax-resscn 11177  ax-1cn 11178  ax-icn 11179  ax-addcl 11180  ax-addrcl 11181  ax-mulcl 11182  ax-mulrcl 11183  ax-mulcom 11184  ax-addass 11185  ax-mulass 11186  ax-distr 11187  ax-i2m1 11188  ax-1ne0 11189  ax-1rid 11190  ax-rnegex 11191  ax-rrecex 11192  ax-cnre 11193  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196  ax-pre-mulgt0 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7870  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-fin 8954  df-fsupp 9330  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-xr 11267  df-ltxr 11268  df-le 11269  df-sub 11463  df-neg 11464  df-nn 12254  df-2 12323  df-3 12324  df-4 12325  df-5 12326  df-6 12327  df-7 12328  df-8 12329  df-9 12330  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12733  df-uz 12884  df-fz 13557  df-struct 17234  df-sets 17251  df-slot 17269  df-ndx 17281  df-base 17297  df-ress 17318  df-plusg 17350  df-mulr 17351  df-sca 17353  df-vsca 17354  df-tset 17356  df-ple 17357  df-psr 22114  df-mpl 22116  df-opsr 22118  df-psr1 22395  df-ply1 22397

This theorem is used by: (None)