Theorem fply1 34157

Description: Conditions for a function to be a univariate polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
fply1.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
fply1.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
fply1.3	⊢ 𝑃 = (Base‘(Poly1‘𝑅))
fply1.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶𝐵)
fply1.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
fply1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)

Proof of Theorem fply1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fply1.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶𝐵)
2		fply1.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	2	fvexi 6919	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
4		ovex 7473	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) ∈ V
5	3, 4	elmap 8924	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m (ℕ0 ↑m 1o)) ↔ 𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶𝐵)
6	1, 5	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m (ℕ0 ↑m 1o)))
7		df1o2 8508	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o = {∅}
8		snfi 9096	. . . . . . . . 9 ⊢ {∅} ∈ Fin
9	7, 8	eqeltri 2860	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ Fin
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → 1o ∈ Fin)
11		elmapi 8894	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → 𝑓:1o⟶ℕ0)
12	10, 11	fisuppfi 9388	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
13	12	rabeqc 3428	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑m 1o)
14	13	oveq2i 7451	. . . 4 ⊢ (𝐵 ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) = (𝐵 ↑m (ℕ0 ↑m 1o))
15	6, 14	eleqtrrdi 2875	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
16		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
17		eqid 2763	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
18		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) = (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
19		1oex 8511	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ V
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ V)
21	16, 2, 17, 18, 20	psrbas 22269	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) = (𝐵 ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
22	15, 21	eleqtrrd 2867	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
23		fply1.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
24		eqid 2763	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
25		fply1.1	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
26		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
27		fply1.3	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘(Poly1‘𝑅))
28	26, 27	ply1bas 22540	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
29	24, 16, 18, 25, 28	mplelbas 22325	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ))
30	22, 23, 29	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416  Vcvv 3454  ∅c0 4281  {csn 4588   class class class wbr 5106  ^◡ccnv 5654   “ cima 5658  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  1_oc1o 8494   ↑_m cmap 8872  Fincfn 8998   finSupp cfsupp 9378  ℕcn 12359  ℕ₀cn0 12630  Basecbs 17413  0_gc0g 17636   mPwSer cmps 22239   mPoly cmpl 22241  Poly₁cpl1 22522

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-fz 13664  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-tset 17473  df-ple 17474  df-psr 22244  df-mpl 22246  df-opsr 22248  df-psr1 22525  df-ply1 22527

This theorem is used by: (None)