Theorem fply1 30534

Description: Conditions for a function to be an univariate polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
fply1.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
fply1.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
fply1.3	⊢ 𝑃 = (Base‘(Poly1‘𝑅))
fply1.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:(ℕ0 ↑𝑚 1o)⟶𝐵)
fply1.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
fply1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)

Proof of Theorem fply1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fply1.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(ℕ0 ↑𝑚 1o)⟶𝐵)
2		fply1.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	2	fvexi 6544	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
4		ovex 7039	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ∈ V
5	3, 4	elmap 8276	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (ℕ0 ↑𝑚 1o)) ↔ 𝐹:(ℕ0 ↑𝑚 1o)⟶𝐵)
6	1, 5	sylibr 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (ℕ0 ↑𝑚 1o)))
7		df1o2 7958	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o = {∅}
8		snfi 8432	. . . . . . . . 9 ⊢ {∅} ∈ Fin
9	7, 8	eqeltri 2877	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ Fin
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) → 1o ∈ Fin)
11		elmapi 8269	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) → 𝑓:1o⟶ℕ0)
12	10, 11	fisuppfi 8677	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) → (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
13	12	rabeqc 3611	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑𝑚 1o)
14	13	oveq2i 7018	. . . 4 ⊢ (𝐵 ↑𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) = (𝐵 ↑𝑚 (ℕ0 ↑𝑚 1o))
15	6, 14	syl6eleqr 2892	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
16		eqid 2793	. . . 4 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
17		eqid 2793	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
18		eqid 2793	. . . 4 ⊢ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) = (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
19		1oex 7952	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ V
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ V)
21	16, 2, 17, 18, 20	psrbas 19834	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) = (𝐵 ↑𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
22	15, 21	eleqtrrd 2884	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
23		fply1.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
24		eqid 2793	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
25		fply1.1	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
26		eqid 2793	. . . 4 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
27		eqid 2793	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
28		fply1.3	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘(Poly1‘𝑅))
29	26, 27, 28	ply1bas 20034	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
30	24, 16, 18, 25, 29	mplelbas 19886	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ))
31	22, 23, 30	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1520   ∈ wcel 2079  {crab 3107  Vcvv 3432  ∅c0 4206  {csn 4466   class class class wbr 4956  ^◡ccnv 5434   “ cima 5438  ⟶wf 6213  ‘cfv 6217  (class class class)co 7007  1_oc1o 7937   ↑_𝑚 cmap 8247  Fincfn 8347   finSupp cfsupp 8669  ℕcn 11475  ℕ₀cn0 11734  Basecbs 16300  0_gc0g 16530   mPwSer cmps 19807   mPoly cmpl 19809  PwSer₁cps1 20014  Poly₁cpl1 20016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-of 7258  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-supp 7673  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-oadd 7948  df-er 8130  df-map 8249  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-fsupp 8670  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-4 11539  df-5 11540  df-6 11541  df-7 11542  df-8 11543  df-9 11544  df-n0 11735  df-z 11819  df-dec 11937  df-uz 12083  df-fz 12732  df-struct 16302  df-ndx 16303  df-slot 16304  df-base 16306  df-sets 16307  df-ress 16308  df-plusg 16395  df-mulr 16396  df-sca 16398  df-vsca 16399  df-tset 16401  df-ple 16402  df-psr 19812  df-mpl 19814  df-opsr 19816  df-psr1 20019  df-ply1 20021

This theorem is referenced by: (None)