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Theorem nn0sumshdiglemA 45976
Description: Lemma for nn0sumshdig 45980 (induction step, even multiplier). (Contributed by AV, 3-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0sumshdiglemA (((𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑎 / 2) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
Distinct variable group:   𝑘,𝑎,𝑥,𝑦

Proof of Theorem nn0sumshdiglemA
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12249 . . . 4 ((𝑎 / 2) ∈ ℕ → (𝑎 / 2) ∈ ℕ0)
2 blennn0em1 45948 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑎 / 2) ∈ ℕ0) → (#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1))
31, 2sylan2 593 . . 3 ((𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑎 / 2) ∈ ℕ) → (#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1))
4 fveqeq2 6792 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑎 / 2) → ((#b𝑥) = 𝑦 ↔ (#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦))
5 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑎 / 2) → 𝑥 = (𝑎 / 2))
6 oveq2 7292 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑎 / 2) → (𝑘(digit‘2)𝑥) = (𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)))
76oveq1d 7299 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑎 / 2) → ((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)) = ((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)))
87adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = (𝑎 / 2) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)) = ((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)))
98sumeq2dv 15424 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑎 / 2) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)))
105, 9eqeq12d 2755 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑎 / 2) → (𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)) ↔ (𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘))))
114, 10imbi12d 345 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑎 / 2) → (((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) ↔ ((#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦 → (𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)))))
1211rspcva 3560 . . . . . . . . 9 (((𝑎 / 2) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦 → (𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘))))
13 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) → (#b𝑎) = (𝑦 + 1))
1413oveq1d 7299 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) → ((#b𝑎) − 1) = ((𝑦 + 1) − 1))
15 nncn 11990 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
16 pncan1 11408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
1814, 17sylan9eq 2799 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((#b𝑎) − 1) = 𝑦)
1918eqeq2d 2750 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) ↔ (#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦))
20 nnz 12351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
2120adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℤ)
22 fzval3 13465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ℤ → (0...𝑦) = (0..^(𝑦 + 1)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0...𝑦) = (0..^(𝑦 + 1)))
2423eqcomd 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0..^(𝑦 + 1)) = (0...𝑦))
2524sumeq1d 15422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
26 nnnn0 12249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ0)
27 elnn0uz 12632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ (ℤ‘0))
2826, 27sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ (ℤ‘0))
2928adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ (ℤ‘0))
30 2nn 12055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 ∈ ℕ
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → 2 ∈ ℕ)
32 elfzelz 13265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 ∈ (0...𝑦) → 𝑘 ∈ ℤ)
3332adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → 𝑘 ∈ ℤ)
34 nnnn0 12249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑎 ∈ ℕ → 𝑎 ∈ ℕ0)
35 nn0rp0 13196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑎 ∈ ℕ0𝑎 ∈ (0[,)+∞))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑎 ∈ ℕ → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
3736ad4antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
38 digvalnn0 45956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
3931, 33, 37, 38syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
4039nn0cnd 12304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℂ)
41 2nn0 12259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 ∈ ℕ0
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 ∈ (0...𝑦) → 2 ∈ ℕ0)
43 elfznn0 13358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 ∈ (0...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4442, 43nn0expcld 13970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 ∈ (0...𝑦) → (2↑𝑘) ∈ ℕ0)
4544nn0cnd 12304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 ∈ (0...𝑦) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
4645adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
4740, 46mulcld 11004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
48 oveq1 7291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 0 → (𝑘(digit‘2)𝑎) = (0(digit‘2)𝑎))
49 oveq2 7292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 0 → (2↑𝑘) = (2↑0))
5048, 49oveq12d 7302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((0(digit‘2)𝑎) · (2↑0)))
51 2cn 12057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ∈ ℂ
52 exp0 13795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2↑0) = 1
5453oveq2i 7295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((0(digit‘2)𝑎) · (2↑0)) = ((0(digit‘2)𝑎) · 1)
5550, 54eqtrdi 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((0(digit‘2)𝑎) · 1))
5629, 47, 55fsum1p 15474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (((0(digit‘2)𝑎) · 1) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
57 0dig2nn0e 45969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 / 2) ∈ ℕ0) → (0(digit‘2)𝑎) = 0)
5834, 1, 57syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → (0(digit‘2)𝑎) = 0)
5958oveq1d 7299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ((0(digit‘2)𝑎) · 1) = (0 · 1))
60 1re 10984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1 ∈ ℝ
61 mul02lem2 11161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (1 ∈ ℝ → (0 · 1) = 0)
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0 · 1) = 0
6359, 62eqtrdi 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ((0(digit‘2)𝑎) · 1) = 0)
6463adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) → ((0(digit‘2)𝑎) · 1) = 0)
6564adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((0(digit‘2)𝑎) · 1) = 0)
66 1z 12359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ ℤ
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
68 0p1e1 12104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0 + 1) = 1
6968, 66eqeltri 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0 + 1) ∈ ℤ
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0 + 1) ∈ ℤ)
7130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → 2 ∈ ℕ)
72 elfzelz 13265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → 𝑘 ∈ ℤ)
7372adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → 𝑘 ∈ ℤ)
7436ad4antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
7571, 73, 74, 38syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
7675nn0cnd 12304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℂ)
77 2cnd 12060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → 2 ∈ ℂ)
78 elfznn 13294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑘 ∈ (1...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ)
7978nnnn0d 12302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑘 ∈ (1...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8068oveq1i 7294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((0 + 1)...𝑦) = (1...𝑦)
8179, 80eleq2s 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8277, 81expcld 13873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
8382adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
8476, 83mulcld 11004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
85 oveq1 7291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝑘(digit‘2)𝑎) = ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎))
86 oveq2 7292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (2↑𝑘) = (2↑(𝑖 + 1)))
8785, 86oveq12d 7302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))))
8867, 70, 21, 84, 87fsumshftm 15502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))))
8965, 88oveq12d 7302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((0(digit‘2)𝑎) · 1) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) = (0 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))))
901ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (𝑎 / 2) ∈ ℕ0)
9134ad4antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 𝑎 ∈ ℕ0)
92 elfzonn0 13441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → 𝑖 ∈ ℕ0)
9392adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
94 dignn0ehalf 45974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑎 / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) = (𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)))
9590, 91, 93, 94syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) = (𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)))
96 2cnd 12060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → 2 ∈ ℂ)
9796, 92expp1d 13874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (2↑(𝑖 + 1)) = ((2↑𝑖) · 2))
9897adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (2↑(𝑖 + 1)) = ((2↑𝑖) · 2))
9995, 98oveq12d 7302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = ((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)))
10030a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 2 ∈ ℕ)
101 elfzoelz 13396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → 𝑖 ∈ ℤ)
102101adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 𝑖 ∈ ℤ)
103 nn0rp0 13196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑎 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑎 / 2) ∈ (0[,)+∞))
1041, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑎 / 2) ∈ ℕ → (𝑎 / 2) ∈ (0[,)+∞))
105104ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (𝑎 / 2) ∈ (0[,)+∞))
106 digvalnn0 45956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ (𝑎 / 2) ∈ (0[,)+∞)) → (𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) ∈ ℕ0)
107100, 102, 105, 106syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) ∈ ℕ0)
108107nn0cnd 12304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) ∈ ℂ)
109 2re 12056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2 ∈ ℝ
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → 2 ∈ ℝ)
111110, 92reexpcld 13890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (2↑𝑖) ∈ ℝ)
112111recnd 11012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (2↑𝑖) ∈ ℂ)
113112adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (2↑𝑖) ∈ ℂ)
114 2cnd 12060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 2 ∈ ℂ)
115 mulass 10968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑖) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2) = ((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)))
116115eqcomd 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑖) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)) = (((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
117108, 113, 114, 116syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)) = (((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
11899, 117eqtrd 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = (((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
119118sumeq2dv 15424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
120 0cn 10976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 0 ∈ ℂ
121 pncan1 11408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (0 ∈ ℂ → ((0 + 1) − 1) = 0)
122120, 121ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((0 + 1) − 1) = 0
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 ∈ ℕ → ((0 + 1) − 1) = 0)
124123oveq1d 7299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ ℕ → (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) = (0...(𝑦 − 1)))
125 fzoval 13397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 ∈ ℤ → (0..^𝑦) = (0...(𝑦 − 1)))
126125eqcomd 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 ∈ ℤ → (0...(𝑦 − 1)) = (0..^𝑦))
12720, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ ℕ → (0...(𝑦 − 1)) = (0..^𝑦))
128124, 127eqtrd 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ ℕ → (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) = (0..^𝑦))
129128adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) = (0..^𝑦))
130129sumeq1d 15422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))))
131130oveq2d 7300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))) = (0 + Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))))
132 fzofi 13703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (0..^𝑦) ∈ Fin
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0..^𝑦) ∈ Fin)
134101peano2zd 12438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (𝑖 + 1) ∈ ℤ)
135134adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (𝑖 + 1) ∈ ℤ)
13636ad4antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
137 digvalnn0 45956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((2 ∈ ℕ ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
138100, 135, 136, 137syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
139138nn0cnd 12304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) ∈ ℂ)
14041a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → 2 ∈ ℕ0)
141 peano2nn0 12282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
14292, 141syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
143140, 142nn0expcld 13970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (2↑(𝑖 + 1)) ∈ ℕ0)
144143nn0cnd 12304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (2↑(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
145144adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (2↑(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
146139, 145mulcld 11004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) ∈ ℂ)
147133, 146fsumcl 15454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) ∈ ℂ)
148147addid2d 11185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0 + Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))))
149131, 148eqtrd 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))))
150 2cnd 12060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
151140, 92nn0expcld 13970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (2↑𝑖) ∈ ℕ0)
152151nn0cnd 12304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (2↑𝑖) ∈ ℂ)
153152adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (2↑𝑖) ∈ ℂ)
154108, 153mulcld 11004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) ∈ ℂ)
155133, 150, 154fsummulc1 15506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
156119, 149, 1553eqtr4d 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))) = (Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
15789, 156eqtrd 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((0(digit‘2)𝑎) · 1) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) = (Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
15825, 56, 1573eqtrd 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
159158adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
160 oveq1 7291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) = (𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)))
161 oveq2 7292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 = 𝑖 → (2↑𝑘) = (2↑𝑖))
162160, 161oveq12d 7302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)) = ((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)))
163162cbvsumv 15417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖))
164163a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)))
165164eqeq2d 2750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)) ↔ (𝑎 / 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖))))
166165biimpac 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑎 / 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)))
167166eqcomd 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) = (𝑎 / 2))
168167oveq1d 7299 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2) = ((𝑎 / 2) · 2))
169 nncn 11990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎 ∈ ℕ → 𝑎 ∈ ℂ)
170 2cnd 12060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
171 2ne0 12086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ≠ 0
172171a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
173169, 170, 172divcan1d 11761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 ∈ ℕ → ((𝑎 / 2) · 2) = 𝑎)
174173ad3antlr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑎 / 2) · 2) = 𝑎)
175174adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((𝑎 / 2) · 2) = 𝑎)
176159, 168, 1753eqtrrd 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
177176ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)) → (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
178177imim2i 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦 → (𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘))) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦 → (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
179178com13 88 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦 → (((#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦 → (𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
18019, 179sylbid 239 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) → (((#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦 → (𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
181180com23 86 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦 → (𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘))) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
182181exp31 420 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (((#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦 → (𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘))) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
183182com25 99 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (((#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦 → (𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
184183com14 96 . . . . . . . . 9 (((#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦 → (𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘))) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
18512, 184syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑎 / 2) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
186185ex 413 . . . . . . 7 ((𝑎 / 2) ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
187186com25 99 . . . . . 6 ((𝑎 / 2) ∈ ℕ0 → (((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
188187expdcom 415 . . . . 5 ((𝑎 / 2) ∈ ℕ → (𝑎 ∈ ℕ → ((𝑎 / 2) ∈ ℕ0 → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))))
1891, 188mpid 44 . . . 4 ((𝑎 / 2) ∈ ℕ → (𝑎 ∈ ℕ → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
190189impcom 408 . . 3 ((𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑎 / 2) ∈ ℕ) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
1913, 190mpd 15 . 2 ((𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑎 / 2) ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
192191imp 407 1 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑎 / 2) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2944  wral 3065  cfv 6437  (class class class)co 7284  Fincfn 8742  cc 10878  cr 10879  0cc0 10880  1c1 10881   + caddc 10883   · cmul 10885  +∞cpnf 11015  cmin 11214   / cdiv 11641  cn 11982  2c2 12037  0cn0 12242  cz 12328  cuz 12591  [,)cico 13090  ...cfz 13248  ..^cfzo 13391  cexp 13791  Σcsu 15406  #bcblen 45926  digitcdig 45952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-rep 5210  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-inf2 9408  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957  ax-pre-sup 10958  ax-addf 10959  ax-mulf 10960
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-iin 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-isom 6446  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-of 7542  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-supp 7987  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-1o 8306  df-2o 8307  df-er 8507  df-map 8626  df-pm 8627  df-ixp 8695  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-fin 8746  df-fsupp 9138  df-fi 9179  df-sup 9210  df-inf 9211  df-oi 9278  df-card 9706  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-div 11642  df-nn 11983  df-2 12045  df-3 12046  df-4 12047  df-5 12048  df-6 12049  df-7 12050  df-8 12051  df-9 12052  df-n0 12243  df-z 12329  df-dec 12447  df-uz 12592  df-q 12698  df-rp 12740  df-xneg 12857  df-xadd 12858  df-xmul 12859  df-ioo 13092  df-ioc 13093  df-ico 13094  df-icc 13095  df-fz 13249  df-fzo 13392  df-fl 13521  df-mod 13599  df-seq 13731  df-exp 13792  df-fac 13997  df-bc 14026  df-hash 14054  df-shft 14787  df-cj 14819  df-re 14820  df-im 14821  df-sqrt 14955  df-abs 14956  df-limsup 15189  df-clim 15206  df-rlim 15207  df-sum 15407  df-ef 15786  df-sin 15788  df-cos 15789  df-pi 15791  df-struct 16857  df-sets 16874  df-slot 16892  df-ndx 16904  df-base 16922  df-ress 16951  df-plusg 16984  df-mulr 16985  df-starv 16986  df-sca 16987  df-vsca 16988  df-ip 16989  df-tset 16990  df-ple 16991  df-ds 16993  df-unif 16994  df-hom 16995  df-cco 16996  df-rest 17142  df-topn 17143  df-0g 17161  df-gsum 17162  df-topgen 17163  df-pt 17164  df-prds 17167  df-xrs 17222  df-qtop 17227  df-imas 17228  df-xps 17230  df-mre 17304  df-mrc 17305  df-acs 17307  df-mgm 18335  df-sgrp 18384  df-mnd 18395  df-submnd 18440  df-mulg 18710  df-cntz 18932  df-cmn 19397  df-psmet 20598  df-xmet 20599  df-met 20600  df-bl 20601  df-mopn 20602  df-fbas 20603  df-fg 20604  df-cnfld 20607  df-top 22052  df-topon 22069  df-topsp 22091  df-bases 22105  df-cld 22179  df-ntr 22180  df-cls 22181  df-nei 22258  df-lp 22296  df-perf 22297  df-cn 22387  df-cnp 22388  df-haus 22475  df-tx 22722  df-hmeo 22915  df-fil 23006  df-fm 23098  df-flim 23099  df-flf 23100  df-xms 23482  df-ms 23483  df-tms 23484  df-cncf 24050  df-limc 25039  df-dv 25040  df-log 25721  df-logb 25924  df-blen 45927  df-dig 45953
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