Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0sumshdiglem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nn0sumshdiglem1 47260
Description: Lemma 1 for nn0sumshdig 47262 (induction step). (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0sumshdiglem1 (𝑦 ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘Ž) = 𝑦 β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
Distinct variable group:   π‘˜,π‘Ž,𝑦
Proof of Theorem nn0sumshdiglem1
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveqeq2 6897 . . . 4 (π‘Ž = π‘₯ β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = 𝑦 ↔ (#bβ€˜π‘₯) = 𝑦))
2 id 22 . . . . 5 (π‘Ž = π‘₯ β†’ π‘Ž = π‘₯)
3 oveq2 7413 . . . . . . 7 (π‘Ž = π‘₯ β†’ (π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) = (π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯))
43oveq1d 7420 . . . . . 6 (π‘Ž = π‘₯ β†’ ((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)) = ((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜)))
54sumeq2sdv 15646 . . . . 5 (π‘Ž = π‘₯ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜)))
62, 5eqeq12d 2748 . . . 4 (π‘Ž = π‘₯ β†’ (π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)) ↔ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜))))
71, 6imbi12d 344 . . 3 (π‘Ž = π‘₯ β†’ (((#bβ€˜π‘Ž) = 𝑦 β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))) ↔ ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜)))))
87cbvralvw 3234 . 2 (βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘Ž) = 𝑦 β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜))))
9 elnn0 12470 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ β„•0 ↔ (π‘Ž ∈ β„• ∨ π‘Ž = 0))
10 nn0sumshdiglemA 47258 . . . . . . . . 9 (((π‘Ž ∈ β„• ∧ (π‘Ž / 2) ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜))) β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
1110expimpd 454 . . . . . . . 8 ((π‘Ž ∈ β„• ∧ (π‘Ž / 2) ∈ β„•) β†’ ((𝑦 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜)))) β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
12 nn0sumshdiglemB 47259 . . . . . . . . 9 (((π‘Ž ∈ β„• ∧ ((π‘Ž βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜))) β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
1312expimpd 454 . . . . . . . 8 ((π‘Ž ∈ β„• ∧ ((π‘Ž βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ ((𝑦 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜)))) β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
14 nneom 47166 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ β„• β†’ ((π‘Ž / 2) ∈ β„• ∨ ((π‘Ž βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0))
1511, 13, 14mpjaodan 957 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ β„• β†’ ((𝑦 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜)))) β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
16 eqcom 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 = (𝑦 + 1) ↔ (𝑦 + 1) = 1)
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ β„• β†’ (1 = (𝑦 + 1) ↔ (𝑦 + 1) = 1))
18 nncn 12216 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ β„• β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
19 1cnd 11205 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„‚)
2018, 19, 19addlsub 11626 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ β„• β†’ ((𝑦 + 1) = 1 ↔ 𝑦 = (1 βˆ’ 1)))
21 1m1e0 12280 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 βˆ’ 1) = 0
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ β„• β†’ (1 βˆ’ 1) = 0)
2322eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ β„• β†’ (𝑦 = (1 βˆ’ 1) ↔ 𝑦 = 0))
2417, 20, 233bitrd 304 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ β„• β†’ (1 = (𝑦 + 1) ↔ 𝑦 = 0))
25 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 0 β†’ (𝑦 + 1) = (0 + 1))
2625oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 0 β†’ (0..^(𝑦 + 1)) = (0..^(0 + 1)))
27 0p1e1 12330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 + 1) = 1
2827oveq2i 7416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0..^(0 + 1)) = (0..^1)
29 fzo01 13710 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0..^1) = {0}
3028, 29eqtri 2760 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0..^(0 + 1)) = {0}
3126, 30eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 0 β†’ (0..^(𝑦 + 1)) = {0})
3231sumeq1d 15643 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 0 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ {0} ((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜)))
33 0cn 11202 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ β„‚
34 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 0 β†’ (π‘˜(digitβ€˜2)0) = (0(digitβ€˜2)0))
35 2nn 12281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ β„•
36 0z 12565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ β„€
37 dig0 47245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ β„• ∧ 0 ∈ β„€) β†’ (0(digitβ€˜2)0) = 0)
3835, 36, 37mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0(digitβ€˜2)0) = 0
3934, 38eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 0 β†’ (π‘˜(digitβ€˜2)0) = 0)
40 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 0 β†’ (2β†‘π‘˜) = (2↑0))
41 2cn 12283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ β„‚
42 exp0 14027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ∈ β„‚ β†’ (2↑0) = 1)
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2↑0) = 1
4440, 43eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 0 β†’ (2β†‘π‘˜) = 1)
4539, 44oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 0 β†’ ((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜)) = (0 Β· 1))
46 1re 11210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
47 mul02lem2 11387 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 ∈ ℝ β†’ (0 Β· 1) = 0)
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 Β· 1) = 0
4945, 48eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 0 β†’ ((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜)) = 0)
5049sumsn 15688 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {0} ((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜)) = 0)
5133, 33, 50mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 Ξ£π‘˜ ∈ {0} ((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜)) = 0
5232, 51eqtr2di 2789 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 0 β†’ 0 = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜)))
5324, 52syl6bi 252 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„• β†’ (1 = (𝑦 + 1) β†’ 0 = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜))))
5453adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž = 0 ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ (1 = (𝑦 + 1) β†’ 0 = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜))))
55 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = 0 β†’ (#bβ€˜π‘Ž) = (#bβ€˜0))
56 blen0 47211 . . . . . . . . . . . . . 14 (#bβ€˜0) = 1
5755, 56eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = 0 β†’ (#bβ€˜π‘Ž) = 1)
5857eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = 0 β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) ↔ 1 = (𝑦 + 1)))
59 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = 0 β†’ π‘Ž = 0)
60 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž = 0 β†’ (π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) = (π‘˜(digitβ€˜2)0))
6160oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = 0 β†’ ((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)) = ((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜)))
6261sumeq2sdv 15646 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = 0 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜)))
6359, 62eqeq12d 2748 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = 0 β†’ (π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)) ↔ 0 = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜))))
6458, 63imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = 0 β†’ (((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))) ↔ (1 = (𝑦 + 1) β†’ 0 = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜)))))
6564adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž = 0 ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ (((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))) ↔ (1 = (𝑦 + 1) β†’ 0 = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜)))))
6654, 65mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž = 0 ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))))
6766a1d 25 . . . . . . . 8 ((π‘Ž = 0 ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜))) β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
6867expimpd 454 . . . . . . 7 (π‘Ž = 0 β†’ ((𝑦 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜)))) β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
6915, 68jaoi 855 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ β„• ∨ π‘Ž = 0) β†’ ((𝑦 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜)))) β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
709, 69sylbi 216 . . . . 5 (π‘Ž ∈ β„•0 β†’ ((𝑦 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜)))) β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
7170com12 32 . . . 4 ((𝑦 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜)))) β†’ (π‘Ž ∈ β„•0 β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
7271ralrimiv 3145 . . 3 ((𝑦 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜)))) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))))
7372ex 413 . 2 (𝑦 ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜))) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
748, 73biimtrid 241 1 (𝑦 ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘Ž) = 𝑦 β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  {csn 4627  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111   βˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  β„•cn 12208  2c2 12263  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  ..^cfzo 13623  β†‘cexp 14023  Ξ£csu 15628  #bcblen 47208  digitcdig 47234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-dvds 16194  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-log 26056  df-cxp 26057  df-logb 26259  df-blen 47209  df-dig 47235
This theorem is referenced by:  nn0sumshdiglem2  47261
  Copyright terms: Public domain W3C validator