Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0sumshdiglem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0sumshdiglem1 48470
Description: Lemma 1 for nn0sumshdig 48472 (induction step). (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0sumshdiglem1 (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b𝑎) = 𝑦𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
Distinct variable group:   𝑘,𝑎,𝑦

Proof of Theorem nn0sumshdiglem1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveqeq2 6915 . . . 4 (𝑎 = 𝑥 → ((#b𝑎) = 𝑦 ↔ (#b𝑥) = 𝑦))
2 id 22 . . . . 5 (𝑎 = 𝑥𝑎 = 𝑥)
3 oveq2 7438 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑥 → (𝑘(digit‘2)𝑎) = (𝑘(digit‘2)𝑥))
43oveq1d 7445 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑥 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))
54sumeq2sdv 15735 . . . . 5 (𝑎 = 𝑥 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))
62, 5eqeq12d 2750 . . . 4 (𝑎 = 𝑥 → (𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ↔ 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))))
71, 6imbi12d 344 . . 3 (𝑎 = 𝑥 → (((#b𝑎) = 𝑦𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))))
87cbvralvw 3234 . 2 (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b𝑎) = 𝑦𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))))
9 elnn0 12525 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ℕ0 ↔ (𝑎 ∈ ℕ ∨ 𝑎 = 0))
10 nn0sumshdiglemA 48468 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑎 / 2) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
1110expimpd 453 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑎 / 2) ∈ ℕ) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
12 nn0sumshdiglemB 48469 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
1312expimpd 453 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℕ ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
14 nneom 48376 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ℕ → ((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
1511, 13, 14mpjaodan 960 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ ℕ → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
16 eqcom 2741 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 = (𝑦 + 1) ↔ (𝑦 + 1) = 1)
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → (1 = (𝑦 + 1) ↔ (𝑦 + 1) = 1))
18 nncn 12271 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
19 1cnd 11253 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
2018, 19, 19addlsub 11676 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) = 1 ↔ 𝑦 = (1 − 1)))
21 1m1e0 12335 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 − 1) = 0
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → (1 − 1) = 0)
2322eqeq2d 2745 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 = (1 − 1) ↔ 𝑦 = 0))
2417, 20, 233bitrd 305 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → (1 = (𝑦 + 1) ↔ 𝑦 = 0))
25 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 0 → (𝑦 + 1) = (0 + 1))
2625oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 0 → (0..^(𝑦 + 1)) = (0..^(0 + 1)))
27 0p1e1 12385 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 + 1) = 1
2827oveq2i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0..^(0 + 1)) = (0..^1)
29 fzo01 13782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0..^1) = {0}
3028, 29eqtri 2762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0..^(0 + 1)) = {0}
3126, 30eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 0 → (0..^(𝑦 + 1)) = {0})
3231sumeq1d 15732 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 0 → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)))
33 0cn 11250 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℂ
34 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 0 → (𝑘(digit‘2)0) = (0(digit‘2)0))
35 2nn 12336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℕ
36 0z 12621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℤ
37 dig0 48455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℕ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0(digit‘2)0) = 0)
3835, 36, 37mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0(digit‘2)0) = 0
3934, 38eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 0 → (𝑘(digit‘2)0) = 0)
40 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 0 → (2↑𝑘) = (2↑0))
41 2cn 12338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℂ
42 exp0 14102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2↑0) = 1
4440, 43eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 0 → (2↑𝑘) = 1)
4539, 44oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)) = (0 · 1))
46 1re 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
47 mul02lem2 11435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 ∈ ℝ → (0 · 1) = 0)
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 · 1) = 0
4945, 48eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)) = 0)
5049sumsn 15778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)) = 0)
5133, 33, 50mp2an 692 . . . . . . . . . . . . 13 Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)) = 0
5232, 51eqtr2di 2791 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 0 → 0 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)))
5324, 52biimtrdi 253 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (1 = (𝑦 + 1) → 0 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘))))
5453adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 = 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (1 = (𝑦 + 1) → 0 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘))))
55 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 0 → (#b𝑎) = (#b‘0))
56 blen0 48421 . . . . . . . . . . . . . 14 (#b‘0) = 1
5755, 56eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 0 → (#b𝑎) = 1)
5857eqeq1d 2736 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 0 → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ↔ 1 = (𝑦 + 1)))
59 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 0 → 𝑎 = 0)
60 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = 0 → (𝑘(digit‘2)𝑎) = (𝑘(digit‘2)0))
6160oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 0 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)))
6261sumeq2sdv 15735 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 0 → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)))
6359, 62eqeq12d 2750 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 0 → (𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ↔ 0 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘))))
6458, 63imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 0 → (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ (1 = (𝑦 + 1) → 0 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)))))
6564adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 = 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ (1 = (𝑦 + 1) → 0 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)))))
6654, 65mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
6766a1d 25 . . . . . . . 8 ((𝑎 = 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
6867expimpd 453 . . . . . . 7 (𝑎 = 0 → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
6915, 68jaoi 857 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℕ ∨ 𝑎 = 0) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
709, 69sylbi 217 . . . . 5 (𝑎 ∈ ℕ0 → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
7170com12 32 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → (𝑎 ∈ ℕ0 → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
7271ralrimiv 3142 . . 3 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
7372ex 412 . 2 (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
748, 73biimtrid 242 1 (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b𝑎) = 𝑦𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  {csn 4630  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  cmin 11489   / cdiv 11917  cn 12263  2c2 12318  0cn0 12523  cz 12610  ..^cfzo 13690  cexp 14098  Σcsu 15718  #bcblen 48418  digitcdig 48444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-dvds 16287  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916  df-log 26612  df-cxp 26613  df-logb 26822  df-blen 48419  df-dig 48445
This theorem is referenced by:  nn0sumshdiglem2  48471
  Copyright terms: Public domain W3C validator