Theorem nn0sumshdiglem1 48614

Description: Lemma 1 for nn0sumshdig 48616 (induction step). (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0sumshdiglem1	⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝑦 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))

Distinct variable group:   𝑘,𝑎,𝑦

Proof of Theorem nn0sumshdiglem1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveqeq2 6870	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((#b‘𝑎) = 𝑦 ↔ (#b‘𝑥) = 𝑦))
2		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → 𝑎 = 𝑥)
3		oveq2 7398	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑘(digit‘2)𝑎) = (𝑘(digit‘2)𝑥))
4	3	oveq1d 7405	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))
5	4	sumeq2sdv 15676	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))
6	2, 5	eqeq12d 2746	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ↔ 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))))
7	1, 6	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (((#b‘𝑎) = 𝑦 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))))
8	7	cbvralvw 3216	. 2 ⊢ (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝑦 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))))
9		elnn0 12451	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 ↔ (𝑎 ∈ ℕ ∨ 𝑎 = 0))
10		nn0sumshdiglemA 48612	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑎 / 2) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
11	10	expimpd 453	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑎 / 2) ∈ ℕ) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
12		nn0sumshdiglemB 48613	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
13	12	expimpd 453	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
14		nneom 48520	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → ((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
15	11, 13, 14	mpjaodan 960	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
16		eqcom 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 = (𝑦 + 1) ↔ (𝑦 + 1) = 1)
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 = (𝑦 + 1) ↔ (𝑦 + 1) = 1))
18		nncn 12201	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
19		1cnd 11176	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
20	18, 19, 19	addlsub 11601	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) = 1 ↔ 𝑦 = (1 − 1)))
21		1m1e0 12265	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 − 1) = 0
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 − 1) = 0)
23	22	eqeq2d 2741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 = (1 − 1) ↔ 𝑦 = 0))
24	17, 20, 23	3bitrd 305	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 = (𝑦 + 1) ↔ 𝑦 = 0))
25		oveq1 7397	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 + 1) = (0 + 1))
26	25	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 0 → (0..^(𝑦 + 1)) = (0..^(0 + 1)))
27		0p1e1 12310	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0 + 1) = 1
28	27	oveq2i 7401	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0..^(0 + 1)) = (0..^1)
29		fzo01 13715	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0..^1) = {0}
30	28, 29	eqtri 2753	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0..^(0 + 1)) = {0}
31	26, 30	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 0 → (0..^(𝑦 + 1)) = {0})
32	31	sumeq1d 15673	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 0 → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)))
33		0cn 11173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℂ
34		oveq1 7397	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘(digit‘2)0) = (0(digit‘2)0))
35		2nn 12266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℕ
36		0z 12547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ∈ ℤ
37		dig0 48599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0(digit‘2)0) = 0)
38	35, 36, 37	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0(digit‘2)0) = 0
39	34, 38	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘(digit‘2)0) = 0)
40		oveq2 7398	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 0 → (2↑𝑘) = (2↑0))
41		2cn 12268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℂ
42		exp0 14037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2↑0) = 1
44	40, 43	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 0 → (2↑𝑘) = 1)
45	39, 44	oveq12d 7408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)) = (0 · 1))
46		1re 11181	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℝ
47		mul02lem2 11358	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 · 1) = 0)
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 · 1) = 0
49	45, 48	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)) = 0)
50	49	sumsn 15719	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)) = 0)
51	33, 33, 50	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)) = 0
52	32, 51	eqtr2di 2782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 0 → 0 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)))
53	24, 52	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 = (𝑦 + 1) → 0 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘))))
54	53	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 = 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (1 = (𝑦 + 1) → 0 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘))))
55		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 0 → (#b‘𝑎) = (#b‘0))
56		blen0 48565	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (#b‘0) = 1
57	55, 56	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 0 → (#b‘𝑎) = 1)
58	57	eqeq1d 2732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 0 → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ↔ 1 = (𝑦 + 1)))
59		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 0 → 𝑎 = 0)
60		oveq2 7398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑘(digit‘2)𝑎) = (𝑘(digit‘2)0))
61	60	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)))
62	61	sumeq2sdv 15676	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 0 → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)))
63	59, 62	eqeq12d 2746	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ↔ 0 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘))))
64	58, 63	imbi12d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 0 → (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ (1 = (𝑦 + 1) → 0 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)))))
65	64	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 = 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ (1 = (𝑦 + 1) → 0 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)))))
66	54, 65	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
67	66	a1d 25	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
68	67	expimpd 453	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
69	15, 68	jaoi 857	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∨ 𝑎 = 0) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
70	9, 69	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
71	70	com12 32	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → (𝑎 ∈ ℕ0 → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
72	71	ralrimiv 3125	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
73	72	ex 412	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
74	8, 73	biimtrid 242	1 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝑦 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  {csn 4592  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   − cmin 11412   / cdiv 11842  ℕcn 12193  2c2 12248  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  ..^cfzo 13622  ↑cexp 14033  Σcsu 15659  #_bcblen 48562  digitcdig 48588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ioc 13318  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-fac 14246  df-bc 14275  df-hash 14303  df-shft 15040  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15444  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-ef 16040  df-sin 16042  df-cos 16043  df-pi 16045  df-dvds 16230  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-lp 23030  df-perf 23031  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-haus 23209  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-fil 23740  df-fm 23832  df-flim 23833  df-flf 23834  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-cncf 24778  df-limc 25774  df-dv 25775  df-log 26472  df-cxp 26473  df-logb 26682  df-blen 48563  df-dig 48589

This theorem is referenced by:  nn0sumshdiglem2  48615