Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0sumshdiglem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nn0sumshdiglem1 47396
Description: Lemma 1 for nn0sumshdig 47398 (induction step). (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0sumshdiglem1 (𝑦 ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘Ž) = 𝑦 β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
Distinct variable group:   π‘˜,π‘Ž,𝑦
Proof of Theorem nn0sumshdiglem1
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveqeq2 6901 . . . 4 (π‘Ž = π‘₯ β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = 𝑦 ↔ (#bβ€˜π‘₯) = 𝑦))
2 id 22 . . . . 5 (π‘Ž = π‘₯ β†’ π‘Ž = π‘₯)
3 oveq2 7421 . . . . . . 7 (π‘Ž = π‘₯ β†’ (π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) = (π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯))
43oveq1d 7428 . . . . . 6 (π‘Ž = π‘₯ β†’ ((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)) = ((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜)))
54sumeq2sdv 15656 . . . . 5 (π‘Ž = π‘₯ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜)))
62, 5eqeq12d 2746 . . . 4 (π‘Ž = π‘₯ β†’ (π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)) ↔ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜))))
71, 6imbi12d 343 . . 3 (π‘Ž = π‘₯ β†’ (((#bβ€˜π‘Ž) = 𝑦 β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))) ↔ ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜)))))
87cbvralvw 3232 . 2 (βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘Ž) = 𝑦 β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜))))
9 elnn0 12480 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ β„•0 ↔ (π‘Ž ∈ β„• ∨ π‘Ž = 0))
10 nn0sumshdiglemA 47394 . . . . . . . . 9 (((π‘Ž ∈ β„• ∧ (π‘Ž / 2) ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜))) β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
1110expimpd 452 . . . . . . . 8 ((π‘Ž ∈ β„• ∧ (π‘Ž / 2) ∈ β„•) β†’ ((𝑦 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜)))) β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
12 nn0sumshdiglemB 47395 . . . . . . . . 9 (((π‘Ž ∈ β„• ∧ ((π‘Ž βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜))) β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
1312expimpd 452 . . . . . . . 8 ((π‘Ž ∈ β„• ∧ ((π‘Ž βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ ((𝑦 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜)))) β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
14 nneom 47302 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ β„• β†’ ((π‘Ž / 2) ∈ β„• ∨ ((π‘Ž βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0))
1511, 13, 14mpjaodan 955 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ β„• β†’ ((𝑦 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜)))) β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
16 eqcom 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 = (𝑦 + 1) ↔ (𝑦 + 1) = 1)
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ β„• β†’ (1 = (𝑦 + 1) ↔ (𝑦 + 1) = 1))
18 nncn 12226 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ β„• β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
19 1cnd 11215 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„‚)
2018, 19, 19addlsub 11636 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ β„• β†’ ((𝑦 + 1) = 1 ↔ 𝑦 = (1 βˆ’ 1)))
21 1m1e0 12290 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 βˆ’ 1) = 0
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ β„• β†’ (1 βˆ’ 1) = 0)
2322eqeq2d 2741 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ β„• β†’ (𝑦 = (1 βˆ’ 1) ↔ 𝑦 = 0))
2417, 20, 233bitrd 304 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ β„• β†’ (1 = (𝑦 + 1) ↔ 𝑦 = 0))
25 oveq1 7420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 0 β†’ (𝑦 + 1) = (0 + 1))
2625oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 0 β†’ (0..^(𝑦 + 1)) = (0..^(0 + 1)))
27 0p1e1 12340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 + 1) = 1
2827oveq2i 7424 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0..^(0 + 1)) = (0..^1)
29 fzo01 13720 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0..^1) = {0}
3028, 29eqtri 2758 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0..^(0 + 1)) = {0}
3126, 30eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 0 β†’ (0..^(𝑦 + 1)) = {0})
3231sumeq1d 15653 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 0 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ {0} ((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜)))
33 0cn 11212 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ β„‚
34 oveq1 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 0 β†’ (π‘˜(digitβ€˜2)0) = (0(digitβ€˜2)0))
35 2nn 12291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ β„•
36 0z 12575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ β„€
37 dig0 47381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ β„• ∧ 0 ∈ β„€) β†’ (0(digitβ€˜2)0) = 0)
3835, 36, 37mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0(digitβ€˜2)0) = 0
3934, 38eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 0 β†’ (π‘˜(digitβ€˜2)0) = 0)
40 oveq2 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 0 β†’ (2β†‘π‘˜) = (2↑0))
41 2cn 12293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ β„‚
42 exp0 14037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ∈ β„‚ β†’ (2↑0) = 1)
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2↑0) = 1
4440, 43eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 0 β†’ (2β†‘π‘˜) = 1)
4539, 44oveq12d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 0 β†’ ((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜)) = (0 Β· 1))
46 1re 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
47 mul02lem2 11397 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 ∈ ℝ β†’ (0 Β· 1) = 0)
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 Β· 1) = 0
4945, 48eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 0 β†’ ((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜)) = 0)
5049sumsn 15698 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {0} ((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜)) = 0)
5133, 33, 50mp2an 688 . . . . . . . . . . . . 13 Ξ£π‘˜ ∈ {0} ((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜)) = 0
5232, 51eqtr2di 2787 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 0 β†’ 0 = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜)))
5324, 52syl6bi 252 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„• β†’ (1 = (𝑦 + 1) β†’ 0 = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜))))
5453adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž = 0 ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ (1 = (𝑦 + 1) β†’ 0 = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜))))
55 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = 0 β†’ (#bβ€˜π‘Ž) = (#bβ€˜0))
56 blen0 47347 . . . . . . . . . . . . . 14 (#bβ€˜0) = 1
5755, 56eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = 0 β†’ (#bβ€˜π‘Ž) = 1)
5857eqeq1d 2732 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = 0 β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) ↔ 1 = (𝑦 + 1)))
59 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = 0 β†’ π‘Ž = 0)
60 oveq2 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž = 0 β†’ (π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) = (π‘˜(digitβ€˜2)0))
6160oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = 0 β†’ ((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)) = ((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜)))
6261sumeq2sdv 15656 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = 0 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜)))
6359, 62eqeq12d 2746 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = 0 β†’ (π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)) ↔ 0 = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜))))
6458, 63imbi12d 343 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = 0 β†’ (((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))) ↔ (1 = (𝑦 + 1) β†’ 0 = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜)))))
6564adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž = 0 ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ (((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))) ↔ (1 = (𝑦 + 1) β†’ 0 = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜)))))
6654, 65mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž = 0 ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))))
6766a1d 25 . . . . . . . 8 ((π‘Ž = 0 ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜))) β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
6867expimpd 452 . . . . . . 7 (π‘Ž = 0 β†’ ((𝑦 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜)))) β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
6915, 68jaoi 853 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ β„• ∨ π‘Ž = 0) β†’ ((𝑦 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜)))) β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
709, 69sylbi 216 . . . . 5 (π‘Ž ∈ β„•0 β†’ ((𝑦 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜)))) β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
7170com12 32 . . . 4 ((𝑦 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜)))) β†’ (π‘Ž ∈ β„•0 β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
7271ralrimiv 3143 . . 3 ((𝑦 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜)))) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))))
7372ex 411 . 2 (𝑦 ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜))) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
748, 73biimtrid 241 1 (𝑦 ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘Ž) = 𝑦 β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  {csn 4629  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  β„‚cc 11112  β„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   Β· cmul 11119   βˆ’ cmin 11450   / cdiv 11877  β„•cn 12218  2c2 12273  β„•0cn0 12478  β„€cz 12564  ..^cfzo 13633  β†‘cexp 14033  Ξ£csu 15638  #bcblen 47344  digitcdig 47370
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12479  df-z 12565  df-dec 12684  df-uz 12829  df-q 12939  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14034  df-fac 14240  df-bc 14269  df-hash 14297  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-dvds 16204  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17454  df-qtop 17459  df-imas 17460  df-xps 17462  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18708  df-mulg 18989  df-cntz 19224  df-cmn 19693  df-psmet 21138  df-xmet 21139  df-met 21140  df-bl 21141  df-mopn 21142  df-fbas 21143  df-fg 21144  df-cnfld 21147  df-top 22618  df-topon 22635  df-topsp 22657  df-bases 22671  df-cld 22745  df-ntr 22746  df-cls 22747  df-nei 22824  df-lp 22862  df-perf 22863  df-cn 22953  df-cnp 22954  df-haus 23041  df-tx 23288  df-hmeo 23481  df-fil 23572  df-fm 23664  df-flim 23665  df-flf 23666  df-xms 24048  df-ms 24049  df-tms 24050  df-cncf 24620  df-limc 25617  df-dv 25618  df-log 26299  df-cxp 26300  df-logb 26504  df-blen 47345  df-dig 47371
This theorem is referenced by:  nn0sumshdiglem2  47397
  Copyright terms: Public domain W3C validator