Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0sumshdiglem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0sumshdiglem1 44162
Description: Lemma 1 for nn0sumshdig 44164 (induction step). (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0sumshdiglem1 (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b𝑎) = 𝑦𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
Distinct variable group:   𝑘,𝑎,𝑦

Proof of Theorem nn0sumshdiglem1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveqeq2 6547 . . . 4 (𝑎 = 𝑥 → ((#b𝑎) = 𝑦 ↔ (#b𝑥) = 𝑦))
2 id 22 . . . . 5 (𝑎 = 𝑥𝑎 = 𝑥)
3 oveq2 7024 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑥 → (𝑘(digit‘2)𝑎) = (𝑘(digit‘2)𝑥))
43oveq1d 7031 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑥 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))
54sumeq2sdv 14894 . . . . 5 (𝑎 = 𝑥 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))
62, 5eqeq12d 2810 . . . 4 (𝑎 = 𝑥 → (𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ↔ 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))))
71, 6imbi12d 346 . . 3 (𝑎 = 𝑥 → (((#b𝑎) = 𝑦𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))))
87cbvralv 3403 . 2 (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b𝑎) = 𝑦𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))))
9 elnn0 11747 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ℕ0 ↔ (𝑎 ∈ ℕ ∨ 𝑎 = 0))
10 nn0sumshdiglemA 44160 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑎 / 2) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
1110expimpd 454 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑎 / 2) ∈ ℕ) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
12 nn0sumshdiglemB 44161 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
1312expimpd 454 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℕ ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
14 nneom 44068 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ℕ → ((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
1511, 13, 14mpjaodan 953 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ ℕ → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
16 eqcom 2802 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 = (𝑦 + 1) ↔ (𝑦 + 1) = 1)
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → (1 = (𝑦 + 1) ↔ (𝑦 + 1) = 1))
18 nncn 11494 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
19 1cnd 10482 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
2018, 19, 19addlsub 10904 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) = 1 ↔ 𝑦 = (1 − 1)))
21 1m1e0 11557 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 − 1) = 0
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → (1 − 1) = 0)
2322eqeq2d 2805 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 = (1 − 1) ↔ 𝑦 = 0))
2417, 20, 233bitrd 306 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → (1 = (𝑦 + 1) ↔ 𝑦 = 0))
25 oveq1 7023 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 0 → (𝑦 + 1) = (0 + 1))
2625oveq2d 7032 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 0 → (0..^(𝑦 + 1)) = (0..^(0 + 1)))
27 0p1e1 11607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 + 1) = 1
2827oveq2i 7027 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0..^(0 + 1)) = (0..^1)
29 fzo01 12969 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0..^1) = {0}
3028, 29eqtri 2819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0..^(0 + 1)) = {0}
3126, 30syl6eq 2847 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 0 → (0..^(𝑦 + 1)) = {0})
3231sumeq1d 14891 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 0 → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)))
33 0cn 10479 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℂ
34 oveq1 7023 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 0 → (𝑘(digit‘2)0) = (0(digit‘2)0))
35 2nn 11558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℕ
36 0z 11840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℤ
37 dig0 44147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℕ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0(digit‘2)0) = 0)
3835, 36, 37mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0(digit‘2)0) = 0
3934, 38syl6eq 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 0 → (𝑘(digit‘2)0) = 0)
40 oveq2 7024 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 0 → (2↑𝑘) = (2↑0))
41 2cn 11560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℂ
42 exp0 13283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2↑0) = 1
4440, 43syl6eq 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 0 → (2↑𝑘) = 1)
4539, 44oveq12d 7034 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)) = (0 · 1))
46 1re 10487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
47 mul02lem2 10664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 ∈ ℝ → (0 · 1) = 0)
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 · 1) = 0
4945, 48syl6eq 2847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)) = 0)
5049sumsn 14934 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)) = 0)
5133, 33, 50mp2an 688 . . . . . . . . . . . . 13 Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)) = 0
5232, 51syl6req 2848 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 0 → 0 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)))
5324, 52syl6bi 254 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (1 = (𝑦 + 1) → 0 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘))))
5453adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 = 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (1 = (𝑦 + 1) → 0 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘))))
55 fveq2 6538 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 0 → (#b𝑎) = (#b‘0))
56 blen0 44113 . . . . . . . . . . . . . 14 (#b‘0) = 1
5755, 56syl6eq 2847 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 0 → (#b𝑎) = 1)
5857eqeq1d 2797 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 0 → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ↔ 1 = (𝑦 + 1)))
59 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 0 → 𝑎 = 0)
60 oveq2 7024 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = 0 → (𝑘(digit‘2)𝑎) = (𝑘(digit‘2)0))
6160oveq1d 7031 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 0 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)))
6261sumeq2sdv 14894 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 0 → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)))
6359, 62eqeq12d 2810 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 0 → (𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ↔ 0 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘))))
6458, 63imbi12d 346 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 0 → (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ (1 = (𝑦 + 1) → 0 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)))))
6564adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 = 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ (1 = (𝑦 + 1) → 0 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)))))
6654, 65mpbird 258 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
6766a1d 25 . . . . . . . 8 ((𝑎 = 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
6867expimpd 454 . . . . . . 7 (𝑎 = 0 → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
6915, 68jaoi 852 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℕ ∨ 𝑎 = 0) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
709, 69sylbi 218 . . . . 5 (𝑎 ∈ ℕ0 → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
7170com12 32 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → (𝑎 ∈ ℕ0 → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
7271ralrimiv 3148 . . 3 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
7372ex 413 . 2 (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
748, 73syl5bi 243 1 (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b𝑎) = 𝑦𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wo 842   = wceq 1522  wcel 2081  wral 3105  {csn 4472  cfv 6225  (class class class)co 7016  cc 10381  cr 10382  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386   · cmul 10388  cmin 10717   / cdiv 11145  cn 11486  2c2 11540  0cn0 11745  cz 11829  ..^cfzo 12883  cexp 13279  Σcsu 14876  #bcblen 44110  digitcdig 44136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461  ax-addf 10462  ax-mulf 10463
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-supp 7682  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-pm 8259  df-ixp 8311  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fsupp 8680  df-fi 8721  df-sup 8752  df-inf 8753  df-oi 8820  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xneg 12357  df-xadd 12358  df-xmul 12359  df-ioo 12592  df-ioc 12593  df-ico 12594  df-icc 12595  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-fl 13012  df-mod 13088  df-seq 13220  df-exp 13280  df-fac 13484  df-bc 13513  df-hash 13541  df-shft 14260  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-limsup 14662  df-clim 14679  df-rlim 14680  df-sum 14877  df-ef 15254  df-sin 15256  df-cos 15257  df-pi 15259  df-dvds 15441  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-starv 16409  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-unif 16417  df-hom 16418  df-cco 16419  df-rest 16525  df-topn 16526  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-topgen 16546  df-pt 16547  df-prds 16550  df-xrs 16604  df-qtop 16609  df-imas 16610  df-xps 16612  df-mre 16686  df-mrc 16687  df-acs 16689  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-submnd 17775  df-mulg 17982  df-cntz 18188  df-cmn 18635  df-psmet 20219  df-xmet 20220  df-met 20221  df-bl 20222  df-mopn 20223  df-fbas 20224  df-fg 20225  df-cnfld 20228  df-top 21186  df-topon 21203  df-topsp 21225  df-bases 21238  df-cld 21311  df-ntr 21312  df-cls 21313  df-nei 21390  df-lp 21428  df-perf 21429  df-cn 21519  df-cnp 21520  df-haus 21607  df-tx 21854  df-hmeo 22047  df-fil 22138  df-fm 22230  df-flim 22231  df-flf 22232  df-xms 22613  df-ms 22614  df-tms 22615  df-cncf 23169  df-limc 24147  df-dv 24148  df-log 24821  df-cxp 24822  df-logb 25024  df-blen 44111  df-dig 44137
This theorem is referenced by:  nn0sumshdiglem2  44163
  Copyright terms: Public domain W3C validator