Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0sumshdiglem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0sumshdiglem1 46793
Description: Lemma 1 for nn0sumshdig 46795 (induction step). (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0sumshdiglem1 (𝑦 ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘Ž) = 𝑦 β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
Distinct variable group:   π‘˜,π‘Ž,𝑦

Proof of Theorem nn0sumshdiglem1
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveqeq2 6852 . . . 4 (π‘Ž = π‘₯ β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = 𝑦 ↔ (#bβ€˜π‘₯) = 𝑦))
2 id 22 . . . . 5 (π‘Ž = π‘₯ β†’ π‘Ž = π‘₯)
3 oveq2 7366 . . . . . . 7 (π‘Ž = π‘₯ β†’ (π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) = (π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯))
43oveq1d 7373 . . . . . 6 (π‘Ž = π‘₯ β†’ ((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)) = ((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜)))
54sumeq2sdv 15594 . . . . 5 (π‘Ž = π‘₯ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜)))
62, 5eqeq12d 2749 . . . 4 (π‘Ž = π‘₯ β†’ (π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)) ↔ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜))))
71, 6imbi12d 345 . . 3 (π‘Ž = π‘₯ β†’ (((#bβ€˜π‘Ž) = 𝑦 β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))) ↔ ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜)))))
87cbvralvw 3224 . 2 (βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘Ž) = 𝑦 β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜))))
9 elnn0 12420 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ β„•0 ↔ (π‘Ž ∈ β„• ∨ π‘Ž = 0))
10 nn0sumshdiglemA 46791 . . . . . . . . 9 (((π‘Ž ∈ β„• ∧ (π‘Ž / 2) ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜))) β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
1110expimpd 455 . . . . . . . 8 ((π‘Ž ∈ β„• ∧ (π‘Ž / 2) ∈ β„•) β†’ ((𝑦 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜)))) β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
12 nn0sumshdiglemB 46792 . . . . . . . . 9 (((π‘Ž ∈ β„• ∧ ((π‘Ž βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜))) β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
1312expimpd 455 . . . . . . . 8 ((π‘Ž ∈ β„• ∧ ((π‘Ž βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ ((𝑦 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜)))) β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
14 nneom 46699 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ β„• β†’ ((π‘Ž / 2) ∈ β„• ∨ ((π‘Ž βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0))
1511, 13, 14mpjaodan 958 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ β„• β†’ ((𝑦 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜)))) β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
16 eqcom 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 = (𝑦 + 1) ↔ (𝑦 + 1) = 1)
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ β„• β†’ (1 = (𝑦 + 1) ↔ (𝑦 + 1) = 1))
18 nncn 12166 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ β„• β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
19 1cnd 11155 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„‚)
2018, 19, 19addlsub 11576 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ β„• β†’ ((𝑦 + 1) = 1 ↔ 𝑦 = (1 βˆ’ 1)))
21 1m1e0 12230 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 βˆ’ 1) = 0
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ β„• β†’ (1 βˆ’ 1) = 0)
2322eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ β„• β†’ (𝑦 = (1 βˆ’ 1) ↔ 𝑦 = 0))
2417, 20, 233bitrd 305 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ β„• β†’ (1 = (𝑦 + 1) ↔ 𝑦 = 0))
25 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 0 β†’ (𝑦 + 1) = (0 + 1))
2625oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 0 β†’ (0..^(𝑦 + 1)) = (0..^(0 + 1)))
27 0p1e1 12280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 + 1) = 1
2827oveq2i 7369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0..^(0 + 1)) = (0..^1)
29 fzo01 13660 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0..^1) = {0}
3028, 29eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0..^(0 + 1)) = {0}
3126, 30eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 0 β†’ (0..^(𝑦 + 1)) = {0})
3231sumeq1d 15591 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 0 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ {0} ((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜)))
33 0cn 11152 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ β„‚
34 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 0 β†’ (π‘˜(digitβ€˜2)0) = (0(digitβ€˜2)0))
35 2nn 12231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ β„•
36 0z 12515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ β„€
37 dig0 46778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ β„• ∧ 0 ∈ β„€) β†’ (0(digitβ€˜2)0) = 0)
3835, 36, 37mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0(digitβ€˜2)0) = 0
3934, 38eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 0 β†’ (π‘˜(digitβ€˜2)0) = 0)
40 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 0 β†’ (2β†‘π‘˜) = (2↑0))
41 2cn 12233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ β„‚
42 exp0 13977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ∈ β„‚ β†’ (2↑0) = 1)
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2↑0) = 1
4440, 43eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 0 β†’ (2β†‘π‘˜) = 1)
4539, 44oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 0 β†’ ((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜)) = (0 Β· 1))
46 1re 11160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
47 mul02lem2 11337 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 ∈ ℝ β†’ (0 Β· 1) = 0)
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 Β· 1) = 0
4945, 48eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 0 β†’ ((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜)) = 0)
5049sumsn 15636 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {0} ((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜)) = 0)
5133, 33, 50mp2an 691 . . . . . . . . . . . . 13 Ξ£π‘˜ ∈ {0} ((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜)) = 0
5232, 51eqtr2di 2790 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 0 β†’ 0 = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜)))
5324, 52syl6bi 253 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„• β†’ (1 = (𝑦 + 1) β†’ 0 = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜))))
5453adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž = 0 ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ (1 = (𝑦 + 1) β†’ 0 = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜))))
55 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = 0 β†’ (#bβ€˜π‘Ž) = (#bβ€˜0))
56 blen0 46744 . . . . . . . . . . . . . 14 (#bβ€˜0) = 1
5755, 56eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = 0 β†’ (#bβ€˜π‘Ž) = 1)
5857eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = 0 β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) ↔ 1 = (𝑦 + 1)))
59 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = 0 β†’ π‘Ž = 0)
60 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž = 0 β†’ (π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) = (π‘˜(digitβ€˜2)0))
6160oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = 0 β†’ ((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)) = ((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜)))
6261sumeq2sdv 15594 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = 0 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜)))
6359, 62eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = 0 β†’ (π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)) ↔ 0 = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜))))
6458, 63imbi12d 345 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = 0 β†’ (((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))) ↔ (1 = (𝑦 + 1) β†’ 0 = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜)))))
6564adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž = 0 ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ (((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))) ↔ (1 = (𝑦 + 1) β†’ 0 = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜)))))
6654, 65mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž = 0 ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))))
6766a1d 25 . . . . . . . 8 ((π‘Ž = 0 ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜))) β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
6867expimpd 455 . . . . . . 7 (π‘Ž = 0 β†’ ((𝑦 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜)))) β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
6915, 68jaoi 856 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ β„• ∨ π‘Ž = 0) β†’ ((𝑦 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜)))) β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
709, 69sylbi 216 . . . . 5 (π‘Ž ∈ β„•0 β†’ ((𝑦 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜)))) β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
7170com12 32 . . . 4 ((𝑦 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜)))) β†’ (π‘Ž ∈ β„•0 β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
7271ralrimiv 3139 . . 3 ((𝑦 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜)))) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))))
7372ex 414 . 2 (𝑦 ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜))) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
748, 73biimtrid 241 1 (𝑦 ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘Ž) = 𝑦 β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  {csn 4587  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   Β· cmul 11061   βˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  β„•cn 12158  2c2 12213  β„•0cn0 12418  β„€cz 12504  ..^cfzo 13573  β†‘cexp 13973  Ξ£csu 15576  #bcblen 46741  digitcdig 46767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957  df-cos 15958  df-pi 15960  df-dvds 16142  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-cxp 25929  df-logb 26131  df-blen 46742  df-dig 46768
This theorem is referenced by:  nn0sumshdiglem2  46794
  Copyright terms: Public domain W3C validator