Theorem nn0sumshdiglem1 49732

Description: Lemma 1 for nn0sumshdig 49734 (induction step). (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0sumshdiglem1	⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝑦 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))

Distinct variable group:   𝑘,𝑎,𝑦

Proof of Theorem nn0sumshdiglem1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveqeq2 6894	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((#b‘𝑎) = 𝑦 ↔ (#b‘𝑥) = 𝑦))
2		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → 𝑎 = 𝑥)
3		oveq2 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑘(digit‘2)𝑎) = (𝑘(digit‘2)𝑥))
4	3	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))
5	4	sumeq2sdv 15870	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))
6	2, 5	eqeq12d 2777	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ↔ 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))))
7	1, 6	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (((#b‘𝑎) = 𝑦 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))))
8	7	cbvralvw 3241	. 2 ⊢ (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝑦 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))))
9		elnn0 12608	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 ↔ (𝑎 ∈ ℕ ∨ 𝑎 = 0))
10		nn0sumshdiglemA 49730	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑎 / 2) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
11	10	expimpd 459	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑎 / 2) ∈ ℕ) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
12		nn0sumshdiglemB 49731	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
13	12	expimpd 459	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
14		nneom 49638	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → ((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
15	11, 13, 14	mpjaodan 973	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
16		eqcom 2768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 = (𝑦 + 1) ↔ (𝑦 + 1) = 1)
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 = (𝑦 + 1) ↔ (𝑦 + 1) = 1))
18		nncn 12343	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
19		1cnd 11302	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
20	18, 19, 19	addlsub 11732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) = 1 ↔ 𝑦 = (1 − 1)))
21		1m1e0 12415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 − 1) = 0
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 − 1) = 0)
23	22	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 = (1 − 1) ↔ 𝑦 = 0))
24	17, 20, 23	3bitrd 308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 = (𝑦 + 1) ↔ 𝑦 = 0))
25		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 + 1) = (0 + 1))
26	25	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 0 → (0..^(𝑦 + 1)) = (0..^(0 + 1)))
27		0p1e1 12463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0 + 1) = 1
28	27	oveq2i 7431	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0..^(0 + 1)) = (0..^1)
29		fzo01 13882	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0..^1) = {0}
30	28, 29	eqtri 2784	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0..^(0 + 1)) = {0}
31	26, 30	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 0 → (0..^(𝑦 + 1)) = {0})
32	31	sumeq1d 15867	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 0 → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)))
33		0cn 11298	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℂ
34		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘(digit‘2)0) = (0(digit‘2)0))
35		2nn 12416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℕ
36		0z 12704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ∈ ℤ
37		dig0 49717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0(digit‘2)0) = 0)
38	35, 36, 37	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0(digit‘2)0) = 0
39	34, 38	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘(digit‘2)0) = 0)
40		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 0 → (2↑𝑘) = (2↑0))
41		2cn 12418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℂ
42		exp0 14208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2↑0) = 1
44	40, 43	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 0 → (2↑𝑘) = 1)
45	39, 44	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)) = (0 · 1))
46		1re 11308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℝ
47		mul02lem2 11487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 · 1) = 0)
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 · 1) = 0
49	45, 48	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)) = 0)
50	49	sumsn 15912	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)) = 0)
51	33, 33, 50	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)) = 0
52	32, 51	eqtr2di 2813	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 0 → 0 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)))
53	24, 52	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 = (𝑦 + 1) → 0 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘))))
54	53	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 = 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (1 = (𝑦 + 1) → 0 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘))))
55		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 0 → (#b‘𝑎) = (#b‘0))
56		blen0 49683	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (#b‘0) = 1
57	55, 56	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 0 → (#b‘𝑎) = 1)
58	57	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 0 → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ↔ 1 = (𝑦 + 1)))
59		id 23	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 0 → 𝑎 = 0)
60		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑘(digit‘2)𝑎) = (𝑘(digit‘2)0))
61	60	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)))
62	61	sumeq2sdv 15870	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 0 → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)))
63	59, 62	eqeq12d 2777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ↔ 0 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘))))
64	58, 63	imbi12d 347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 0 → (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ (1 = (𝑦 + 1) → 0 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)))))
65	64	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 = 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ (1 = (𝑦 + 1) → 0 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)))))
66	54, 65	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
67	66	a1d 26	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
68	67	expimpd 459	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
69	15, 68	jaoi 871	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∨ 𝑎 = 0) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
70	9, 69	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
71	70	com12 33	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → (𝑎 ∈ ℕ0 → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
72	71	ralrimiv 3154	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
73	72	ex 418	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
74	8, 73	biimtrid 245	1 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝑦 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  {csn 4584  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205   − cmin 11541   / cdiv 11973  ℕcn 12335  2c2 12397  ℕ₀cn0 12606  ℤcz 12693  ..^cfzo 13788  ↑cexp 14204  Σcsu 15853  #_bcblen 49680  digitcdig 49706

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ioc 13481  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-shft 15220  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-ef 16233  df-sin 16235  df-cos 16236  df-pi 16238  df-dvds 16423  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-lp 23454  df-perf 23455  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-haus 23633  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cncf 25199  df-limc 26186  df-dv 26187  df-log 26884  df-cxp 26885  df-logb 27093  df-blen 49681  df-dig 49707

This theorem is used by:  nn0sumshdiglem2  49733