Theorem nn0sumshdiglem1 48809

Description: Lemma 1 for nn0sumshdig 48811 (induction step). (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0sumshdiglem1	⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝑦 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))

Distinct variable group:   𝑘,𝑎,𝑦

Proof of Theorem nn0sumshdiglem1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveqeq2 6841	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((#b‘𝑎) = 𝑦 ↔ (#b‘𝑥) = 𝑦))
2		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → 𝑎 = 𝑥)
3		oveq2 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑘(digit‘2)𝑎) = (𝑘(digit‘2)𝑥))
4	3	oveq1d 7371	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))
5	4	sumeq2sdv 15624	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))
6	2, 5	eqeq12d 2750	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ↔ 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))))
7	1, 6	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (((#b‘𝑎) = 𝑦 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))))
8	7	cbvralvw 3212	. 2 ⊢ (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝑦 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))))
9		elnn0 12401	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 ↔ (𝑎 ∈ ℕ ∨ 𝑎 = 0))
10		nn0sumshdiglemA 48807	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑎 / 2) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
11	10	expimpd 453	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑎 / 2) ∈ ℕ) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
12		nn0sumshdiglemB 48808	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
13	12	expimpd 453	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
14		nneom 48715	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → ((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
15	11, 13, 14	mpjaodan 960	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
16		eqcom 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 = (𝑦 + 1) ↔ (𝑦 + 1) = 1)
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 = (𝑦 + 1) ↔ (𝑦 + 1) = 1))
18		nncn 12151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
19		1cnd 11125	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
20	18, 19, 19	addlsub 11551	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) = 1 ↔ 𝑦 = (1 − 1)))
21		1m1e0 12215	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 − 1) = 0
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 − 1) = 0)
23	22	eqeq2d 2745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 = (1 − 1) ↔ 𝑦 = 0))
24	17, 20, 23	3bitrd 305	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 = (𝑦 + 1) ↔ 𝑦 = 0))
25		oveq1 7363	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 + 1) = (0 + 1))
26	25	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 0 → (0..^(𝑦 + 1)) = (0..^(0 + 1)))
27		0p1e1 12260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0 + 1) = 1
28	27	oveq2i 7367	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0..^(0 + 1)) = (0..^1)
29		fzo01 13661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0..^1) = {0}
30	28, 29	eqtri 2757	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0..^(0 + 1)) = {0}
31	26, 30	eqtrdi 2785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 0 → (0..^(𝑦 + 1)) = {0})
32	31	sumeq1d 15621	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 0 → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)))
33		0cn 11122	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℂ
34		oveq1 7363	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘(digit‘2)0) = (0(digit‘2)0))
35		2nn 12216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℕ
36		0z 12497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ∈ ℤ
37		dig0 48794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0(digit‘2)0) = 0)
38	35, 36, 37	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0(digit‘2)0) = 0
39	34, 38	eqtrdi 2785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘(digit‘2)0) = 0)
40		oveq2 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 0 → (2↑𝑘) = (2↑0))
41		2cn 12218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℂ
42		exp0 13986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2↑0) = 1
44	40, 43	eqtrdi 2785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 0 → (2↑𝑘) = 1)
45	39, 44	oveq12d 7374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)) = (0 · 1))
46		1re 11130	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℝ
47		mul02lem2 11308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 · 1) = 0)
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 · 1) = 0
49	45, 48	eqtrdi 2785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)) = 0)
50	49	sumsn 15667	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)) = 0)
51	33, 33, 50	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)) = 0
52	32, 51	eqtr2di 2786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 0 → 0 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)))
53	24, 52	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 = (𝑦 + 1) → 0 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘))))
54	53	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 = 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (1 = (𝑦 + 1) → 0 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘))))
55		fveq2 6832	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 0 → (#b‘𝑎) = (#b‘0))
56		blen0 48760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (#b‘0) = 1
57	55, 56	eqtrdi 2785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 0 → (#b‘𝑎) = 1)
58	57	eqeq1d 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 0 → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ↔ 1 = (𝑦 + 1)))
59		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 0 → 𝑎 = 0)
60		oveq2 7364	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑘(digit‘2)𝑎) = (𝑘(digit‘2)0))
61	60	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)))
62	61	sumeq2sdv 15624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 0 → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)))
63	59, 62	eqeq12d 2750	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ↔ 0 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘))))
64	58, 63	imbi12d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 0 → (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ (1 = (𝑦 + 1) → 0 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)))))
65	64	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 = 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ (1 = (𝑦 + 1) → 0 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)))))
66	54, 65	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
67	66	a1d 25	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
68	67	expimpd 453	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
69	15, 68	jaoi 857	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∨ 𝑎 = 0) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
70	9, 69	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
71	70	com12 32	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → (𝑎 ∈ ℕ0 → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
72	71	ralrimiv 3125	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
73	72	ex 412	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
74	8, 73	biimtrid 242	1 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝑦 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  {csn 4578  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℂcc 11022  ℝcr 11023  0cc0 11024  1c1 11025   + caddc 11027   · cmul 11029   − cmin 11362   / cdiv 11792  ℕcn 12143  2c2 12198  ℕ₀cn0 12399  ℤcz 12486  ..^cfzo 13568  ↑cexp 13982  Σcsu 15607  #_bcblen 48757  digitcdig 48783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102  ax-addf 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-fi 9312  df-sup 9343  df-inf 9344  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-ioo 13263  df-ioc 13264  df-ico 13265  df-icc 13266  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-fl 13710  df-mod 13788  df-seq 13923  df-exp 13983  df-fac 14195  df-bc 14224  df-hash 14252  df-shft 14988  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-limsup 15392  df-clim 15409  df-rlim 15410  df-sum 15608  df-ef 15988  df-sin 15990  df-cos 15991  df-pi 15993  df-dvds 16178  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-hom 17199  df-cco 17200  df-rest 17340  df-topn 17341  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-topgen 17361  df-pt 17362  df-prds 17365  df-xrs 17421  df-qtop 17426  df-imas 17427  df-xps 17429  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18707  df-mulg 18996  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-psmet 21299  df-xmet 21300  df-met 21301  df-bl 21302  df-mopn 21303  df-fbas 21304  df-fg 21305  df-cnfld 21308  df-top 22836  df-topon 22853  df-topsp 22875  df-bases 22888  df-cld 22961  df-ntr 22962  df-cls 22963  df-nei 23040  df-lp 23078  df-perf 23079  df-cn 23169  df-cnp 23170  df-haus 23257  df-tx 23504  df-hmeo 23697  df-fil 23788  df-fm 23880  df-flim 23881  df-flf 23882  df-xms 24262  df-ms 24263  df-tms 24264  df-cncf 24825  df-limc 25821  df-dv 25822  df-log 26519  df-cxp 26520  df-logb 26729  df-blen 48758  df-dig 48784

This theorem is referenced by:  nn0sumshdiglem2  48810