Theorem nn0sumshdiglem1 48985

Description: Lemma 1 for nn0sumshdig 48987 (induction step). (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0sumshdiglem1	⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝑦 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))

Distinct variable group:   𝑘,𝑎,𝑦

Proof of Theorem nn0sumshdiglem1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveqeq2 6851	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((#b‘𝑎) = 𝑦 ↔ (#b‘𝑥) = 𝑦))
2		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → 𝑎 = 𝑥)
3		oveq2 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑘(digit‘2)𝑎) = (𝑘(digit‘2)𝑥))
4	3	oveq1d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))
5	4	sumeq2sdv 15638	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))
6	2, 5	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ↔ 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))))
7	1, 6	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (((#b‘𝑎) = 𝑦 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))))
8	7	cbvralvw 3216	. 2 ⊢ (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝑦 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))))
9		elnn0 12415	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 ↔ (𝑎 ∈ ℕ ∨ 𝑎 = 0))
10		nn0sumshdiglemA 48983	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑎 / 2) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
11	10	expimpd 453	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑎 / 2) ∈ ℕ) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
12		nn0sumshdiglemB 48984	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
13	12	expimpd 453	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
14		nneom 48891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → ((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
15	11, 13, 14	mpjaodan 961	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
16		eqcom 2744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 = (𝑦 + 1) ↔ (𝑦 + 1) = 1)
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 = (𝑦 + 1) ↔ (𝑦 + 1) = 1))
18		nncn 12165	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
19		1cnd 11139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
20	18, 19, 19	addlsub 11565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) = 1 ↔ 𝑦 = (1 − 1)))
21		1m1e0 12229	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 − 1) = 0
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 − 1) = 0)
23	22	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 = (1 − 1) ↔ 𝑦 = 0))
24	17, 20, 23	3bitrd 305	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 = (𝑦 + 1) ↔ 𝑦 = 0))
25		oveq1 7375	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 + 1) = (0 + 1))
26	25	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 0 → (0..^(𝑦 + 1)) = (0..^(0 + 1)))
27		0p1e1 12274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0 + 1) = 1
28	27	oveq2i 7379	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0..^(0 + 1)) = (0..^1)
29		fzo01 13675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0..^1) = {0}
30	28, 29	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0..^(0 + 1)) = {0}
31	26, 30	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 0 → (0..^(𝑦 + 1)) = {0})
32	31	sumeq1d 15635	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 0 → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)))
33		0cn 11136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℂ
34		oveq1 7375	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘(digit‘2)0) = (0(digit‘2)0))
35		2nn 12230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℕ
36		0z 12511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ∈ ℤ
37		dig0 48970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0(digit‘2)0) = 0)
38	35, 36, 37	mp2an 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0(digit‘2)0) = 0
39	34, 38	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘(digit‘2)0) = 0)
40		oveq2 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 0 → (2↑𝑘) = (2↑0))
41		2cn 12232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℂ
42		exp0 14000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2↑0) = 1
44	40, 43	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 0 → (2↑𝑘) = 1)
45	39, 44	oveq12d 7386	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)) = (0 · 1))
46		1re 11144	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℝ
47		mul02lem2 11322	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 · 1) = 0)
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 · 1) = 0
49	45, 48	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)) = 0)
50	49	sumsn 15681	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)) = 0)
51	33, 33, 50	mp2an 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)) = 0
52	32, 51	eqtr2di 2789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 0 → 0 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)))
53	24, 52	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 = (𝑦 + 1) → 0 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘))))
54	53	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 = 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (1 = (𝑦 + 1) → 0 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘))))
55		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 0 → (#b‘𝑎) = (#b‘0))
56		blen0 48936	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (#b‘0) = 1
57	55, 56	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 0 → (#b‘𝑎) = 1)
58	57	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 0 → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ↔ 1 = (𝑦 + 1)))
59		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 0 → 𝑎 = 0)
60		oveq2 7376	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑘(digit‘2)𝑎) = (𝑘(digit‘2)0))
61	60	oveq1d 7383	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)))
62	61	sumeq2sdv 15638	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 0 → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)))
63	59, 62	eqeq12d 2753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ↔ 0 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘))))
64	58, 63	imbi12d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 0 → (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ (1 = (𝑦 + 1) → 0 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)))))
65	64	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 = 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ (1 = (𝑦 + 1) → 0 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)0) · (2↑𝑘)))))
66	54, 65	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
67	66	a1d 25	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
68	67	expimpd 453	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
69	15, 68	jaoi 858	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∨ 𝑎 = 0) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
70	9, 69	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
71	70	com12 32	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → (𝑎 ∈ ℕ0 → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
72	71	ralrimiv 3129	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
73	72	ex 412	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
74	8, 73	biimtrid 242	1 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = 𝑦 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {csn 4582  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   − cmin 11376   / cdiv 11806  ℕcn 12157  2c2 12212  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ..^cfzo 13582  ↑cexp 13996  Σcsu 15621  #_bcblen 48933  digitcdig 48959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-bc 14238  df-hash 14266  df-shft 15002  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-limsup 15406  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-ef 16002  df-sin 16004  df-cos 16005  df-pi 16007  df-dvds 16192  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-mulg 19013  df-cntz 19261  df-cmn 19726  df-psmet 21316  df-xmet 21317  df-met 21318  df-bl 21319  df-mopn 21320  df-fbas 21321  df-fg 21322  df-cnfld 21325  df-top 22853  df-topon 22870  df-topsp 22892  df-bases 22905  df-cld 22978  df-ntr 22979  df-cls 22980  df-nei 23057  df-lp 23095  df-perf 23096  df-cn 23186  df-cnp 23187  df-haus 23274  df-tx 23521  df-hmeo 23714  df-fil 23805  df-fm 23897  df-flim 23898  df-flf 23899  df-xms 24279  df-ms 24280  df-tms 24281  df-cncf 24842  df-limc 25838  df-dv 25839  df-log 26536  df-cxp 26537  df-logb 26746  df-blen 48934  df-dig 48960

This theorem is referenced by:  nn0sumshdiglem2  48986