Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0sumshdiglem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nn0sumshdiglem1 47307
Description: Lemma 1 for nn0sumshdig 47309 (induction step). (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0sumshdiglem1 (𝑦 ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘Ž) = 𝑦 β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
Distinct variable group:   π‘˜,π‘Ž,𝑦
Proof of Theorem nn0sumshdiglem1
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveqeq2 6901 . . . 4 (π‘Ž = π‘₯ β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = 𝑦 ↔ (#bβ€˜π‘₯) = 𝑦))
2 id 22 . . . . 5 (π‘Ž = π‘₯ β†’ π‘Ž = π‘₯)
3 oveq2 7417 . . . . . . 7 (π‘Ž = π‘₯ β†’ (π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) = (π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯))
43oveq1d 7424 . . . . . 6 (π‘Ž = π‘₯ β†’ ((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)) = ((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜)))
54sumeq2sdv 15650 . . . . 5 (π‘Ž = π‘₯ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜)))
62, 5eqeq12d 2749 . . . 4 (π‘Ž = π‘₯ β†’ (π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)) ↔ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜))))
71, 6imbi12d 345 . . 3 (π‘Ž = π‘₯ β†’ (((#bβ€˜π‘Ž) = 𝑦 β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))) ↔ ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜)))))
87cbvralvw 3235 . 2 (βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘Ž) = 𝑦 β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜))))
9 elnn0 12474 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ β„•0 ↔ (π‘Ž ∈ β„• ∨ π‘Ž = 0))
10 nn0sumshdiglemA 47305 . . . . . . . . 9 (((π‘Ž ∈ β„• ∧ (π‘Ž / 2) ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜))) β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
1110expimpd 455 . . . . . . . 8 ((π‘Ž ∈ β„• ∧ (π‘Ž / 2) ∈ β„•) β†’ ((𝑦 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜)))) β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
12 nn0sumshdiglemB 47306 . . . . . . . . 9 (((π‘Ž ∈ β„• ∧ ((π‘Ž βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜))) β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
1312expimpd 455 . . . . . . . 8 ((π‘Ž ∈ β„• ∧ ((π‘Ž βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ ((𝑦 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜)))) β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
14 nneom 47213 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ β„• β†’ ((π‘Ž / 2) ∈ β„• ∨ ((π‘Ž βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0))
1511, 13, 14mpjaodan 958 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ β„• β†’ ((𝑦 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜)))) β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
16 eqcom 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 = (𝑦 + 1) ↔ (𝑦 + 1) = 1)
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ β„• β†’ (1 = (𝑦 + 1) ↔ (𝑦 + 1) = 1))
18 nncn 12220 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ β„• β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
19 1cnd 11209 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„‚)
2018, 19, 19addlsub 11630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ β„• β†’ ((𝑦 + 1) = 1 ↔ 𝑦 = (1 βˆ’ 1)))
21 1m1e0 12284 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 βˆ’ 1) = 0
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ β„• β†’ (1 βˆ’ 1) = 0)
2322eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ β„• β†’ (𝑦 = (1 βˆ’ 1) ↔ 𝑦 = 0))
2417, 20, 233bitrd 305 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ β„• β†’ (1 = (𝑦 + 1) ↔ 𝑦 = 0))
25 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 0 β†’ (𝑦 + 1) = (0 + 1))
2625oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 0 β†’ (0..^(𝑦 + 1)) = (0..^(0 + 1)))
27 0p1e1 12334 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 + 1) = 1
2827oveq2i 7420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0..^(0 + 1)) = (0..^1)
29 fzo01 13714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0..^1) = {0}
3028, 29eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0..^(0 + 1)) = {0}
3126, 30eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 0 β†’ (0..^(𝑦 + 1)) = {0})
3231sumeq1d 15647 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 0 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ {0} ((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜)))
33 0cn 11206 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ β„‚
34 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 0 β†’ (π‘˜(digitβ€˜2)0) = (0(digitβ€˜2)0))
35 2nn 12285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ β„•
36 0z 12569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ β„€
37 dig0 47292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ β„• ∧ 0 ∈ β„€) β†’ (0(digitβ€˜2)0) = 0)
3835, 36, 37mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0(digitβ€˜2)0) = 0
3934, 38eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 0 β†’ (π‘˜(digitβ€˜2)0) = 0)
40 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 0 β†’ (2β†‘π‘˜) = (2↑0))
41 2cn 12287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ β„‚
42 exp0 14031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ∈ β„‚ β†’ (2↑0) = 1)
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2↑0) = 1
4440, 43eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 0 β†’ (2β†‘π‘˜) = 1)
4539, 44oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 0 β†’ ((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜)) = (0 Β· 1))
46 1re 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
47 mul02lem2 11391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 ∈ ℝ β†’ (0 Β· 1) = 0)
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 Β· 1) = 0
4945, 48eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 0 β†’ ((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜)) = 0)
5049sumsn 15692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {0} ((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜)) = 0)
5133, 33, 50mp2an 691 . . . . . . . . . . . . 13 Ξ£π‘˜ ∈ {0} ((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜)) = 0
5232, 51eqtr2di 2790 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 0 β†’ 0 = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜)))
5324, 52syl6bi 253 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„• β†’ (1 = (𝑦 + 1) β†’ 0 = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜))))
5453adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž = 0 ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ (1 = (𝑦 + 1) β†’ 0 = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜))))
55 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = 0 β†’ (#bβ€˜π‘Ž) = (#bβ€˜0))
56 blen0 47258 . . . . . . . . . . . . . 14 (#bβ€˜0) = 1
5755, 56eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = 0 β†’ (#bβ€˜π‘Ž) = 1)
5857eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = 0 β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) ↔ 1 = (𝑦 + 1)))
59 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = 0 β†’ π‘Ž = 0)
60 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž = 0 β†’ (π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) = (π‘˜(digitβ€˜2)0))
6160oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = 0 β†’ ((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)) = ((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜)))
6261sumeq2sdv 15650 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = 0 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜)))
6359, 62eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = 0 β†’ (π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)) ↔ 0 = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜))))
6458, 63imbi12d 345 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = 0 β†’ (((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))) ↔ (1 = (𝑦 + 1) β†’ 0 = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜)))))
6564adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž = 0 ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ (((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))) ↔ (1 = (𝑦 + 1) β†’ 0 = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)0) Β· (2β†‘π‘˜)))))
6654, 65mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž = 0 ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))))
6766a1d 25 . . . . . . . 8 ((π‘Ž = 0 ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜))) β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
6867expimpd 455 . . . . . . 7 (π‘Ž = 0 β†’ ((𝑦 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜)))) β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
6915, 68jaoi 856 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ β„• ∨ π‘Ž = 0) β†’ ((𝑦 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜)))) β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
709, 69sylbi 216 . . . . 5 (π‘Ž ∈ β„•0 β†’ ((𝑦 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜)))) β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
7170com12 32 . . . 4 ((𝑦 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜)))) β†’ (π‘Ž ∈ β„•0 β†’ ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
7271ralrimiv 3146 . . 3 ((𝑦 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜)))) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))))
7372ex 414 . 2 (𝑦 ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ π‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘₯) Β· (2β†‘π‘˜))) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
748, 73biimtrid 241 1 (𝑦 ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘Ž) = 𝑦 β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝑦)((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜))) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 ((#bβ€˜π‘Ž) = (𝑦 + 1) β†’ π‘Ž = Ξ£π‘˜ ∈ (0..^(𝑦 + 1))((π‘˜(digitβ€˜2)π‘Ž) Β· (2β†‘π‘˜)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  {csn 4629  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  ..^cfzo 13627  β†‘cexp 14027  Ξ£csu 15632  #bcblen 47255  digitcdig 47281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-dvds 16198  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-cxp 26066  df-logb 26270  df-blen 47256  df-dig 47282
This theorem is referenced by:  nn0sumshdiglem2  47308
  Copyright terms: Public domain W3C validator