Theorem mul2negsd 28202

Description: Surreal product of two negatives. (Contributed by Scott Fenton, 15-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulnegs1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
mulnegs1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
mul2negsd	⊢ (𝜑 → (( -us ‘𝐴) ·s ( -us ‘𝐵)) = (𝐴 ·s 𝐵))

Proof of Theorem mul2negsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulnegs1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		mulnegs1d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3	2	negscld 28083	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐵) ∈ No )
4	1, 3	mulnegs1d 28200	. 2 ⊢ (𝜑 → (( -us ‘𝐴) ·s ( -us ‘𝐵)) = ( -us ‘(𝐴 ·s ( -us ‘𝐵))))
5	1, 2	mulnegs2d 28201	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s ( -us ‘𝐵)) = ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐵)))
6	5	fveq2d 6910	. 2 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐴 ·s ( -us ‘𝐵))) = ( -us ‘( -us ‘(𝐴 ·s 𝐵))))
7	1, 2	mulscld 28175	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No )
8		negnegs 28090	. . 3 ⊢ ((𝐴 ·s 𝐵) ∈ No → ( -us ‘( -us ‘(𝐴 ·s 𝐵))) = (𝐴 ·s 𝐵))
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘( -us ‘(𝐴 ·s 𝐵))) = (𝐴 ·s 𝐵))
10	4, 6, 9	3eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → (( -us ‘𝐴) ·s ( -us ‘𝐵)) = (𝐴 ·s 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430   No csur 27698   -u_s cnegs 28065   ·_s cmuls 28146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-ot 4639  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-1o 8504  df-2o 8505  df-nadd 8702  df-no 27701  df-slt 27702  df-bday 27703  df-sle 27804  df-sslt 27840  df-scut 27842  df-0s 27883  df-made 27900  df-old 27901  df-left 27903  df-right 27904  df-norec 27985  df-norec2 27996  df-adds 28007  df-negs 28067  df-subs 28068  df-muls 28147

This theorem is referenced by:  absmuls  28282