MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulneg2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulneg2i 11076
Description: Product with negative is negative of product. (Contributed by NM, 31-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mulm1.1 𝐴 ∈ ℂ
mulneg.2 𝐵 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
mulneg2i (𝐴 · -𝐵) = -(𝐴 · 𝐵)

Proof of Theorem mulneg2i
StepHypRef Expression
1 mulm1.1 . 2 𝐴 ∈ ℂ
2 mulneg.2 . 2 𝐵 ∈ ℂ
3 mulneg2 11066 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · -𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
41, 2, 3mp2an 691 1 (𝐴 · -𝐵) = -(𝐴 · 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wcel 2111  (class class class)co 7135  cc 10524   · cmul 10531  -cneg 10860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861  df-neg 10862
This theorem is referenced by:  irec  13560  absi  14638  cphipval2  23845  ang180lem2  25396  atandm2  25463  efiasin  25474  lgsdir2lem5  25913  ax5seglem7  26729  ipidsq  28493  normlem1  28893  normlem3  28895  polid2i  28940  lnophmlem2  29800
  Copyright terms: Public domain W3C validator