Theorem mulneg2i 11658

Description: Product with negative is negative of product. (Contributed by NM, 31-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
mulneg.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
mulneg2i	⊢ (𝐴 · -𝐵) = -(𝐴 · 𝐵)

Proof of Theorem mulneg2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		mulneg.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3		mulneg2 11648	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · -𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
4	1, 2, 3	mp2an 691	1 ⊢ (𝐴 · -𝐵) = -(𝐴 · 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7406  ℂcc 11105   · cmul 11112  -cneg 11442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-ltxr 11250  df-sub 11443  df-neg 11444

This theorem is referenced by:  irec  14162  absi  15230  cphipval2  24750  ang180lem2  26305  atandm2  26372  efiasin  26383  lgsdir2lem5  26822  ax5seglem7  28183  ipidsq  29951  normlem1  30351  normlem3  30353  polid2i  30398  lnophmlem2  31258