Theorem irec 14233

Description: The reciprocal of i. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
irec	⊢ (1 / i) = -i

Proof of Theorem irec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11154	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
2	1, 1	mulneg2i 11656	. . 3 ⊢ (i · -i) = -(i · i)
3		ixi 11838	. . . 4 ⊢ (i · i) = -1
4		ax-1cn 11153	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
5	1, 1	mulcli 11211	. . . . 5 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
6	4, 5	negcon2i 11536	. . . 4 ⊢ (1 = -(i · i) ↔ (i · i) = -1)
7	3, 6	mpbir 234	. . 3 ⊢ 1 = -(i · i)
8	2, 7	eqtr4i 2789	. 2 ⊢ (i · -i) = 1
9		negicn 11453	. . 3 ⊢ -i ∈ ℂ
10		ine0 11644	. . 3 ⊢ i ≠ 0
11	4, 1, 9, 10	divmuli 11964	. 2 ⊢ ((1 / i) = -i ↔ (i · -i) = 1)
12	8, 11	mpbir 234	1 ⊢ (1 / i) = -i

Syntax hints:   = wceq 1570  (class class class)co 7410  1c1 11096  ici 11097   · cmul 11100  -cneg 11437   / cdiv 11866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867

This theorem is referenced by:  imre  15155  crim  15162  cnpart  15287  sinhval  16205  dvsincos  26140  dvatan  27100  atantayl2  27103  sinh-conventional  50517