Theorem irec 14166

Description: The reciprocal of i. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
irec	⊢ (1 / i) = -i

Proof of Theorem irec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11127	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
2	1, 1	mulneg2i 11625	. . 3 ⊢ (i · -i) = -(i · i)
3		ixi 11807	. . . 4 ⊢ (i · i) = -1
4		ax-1cn 11126	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
5	1, 1	mulcli 11181	. . . . 5 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
6	4, 5	negcon2i 11505	. . . 4 ⊢ (1 = -(i · i) ↔ (i · i) = -1)
7	3, 6	mpbir 231	. . 3 ⊢ 1 = -(i · i)
8	2, 7	eqtr4i 2755	. 2 ⊢ (i · -i) = 1
9		negicn 11422	. . 3 ⊢ -i ∈ ℂ
10		ine0 11613	. . 3 ⊢ i ≠ 0
11	4, 1, 9, 10	divmuli 11936	. 2 ⊢ ((1 / i) = -i ↔ (i · -i) = 1)
12	8, 11	mpbir 231	1 ⊢ (1 / i) = -i

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7387  1c1 11069  ici 11070   · cmul 11073  -cneg 11406   / cdiv 11835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836

This theorem is referenced by:  imre  15074  crim  15081  cnpart  15206  sinhval  16122  dvsincos  25885  dvatan  26845  atantayl2  26848  sinh-conventional  49728