Theorem irec 14350

Description: The reciprocal of i. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
irec	⊢ (1 / i) = -i

Proof of Theorem irec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11264	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
2	1, 1	mulneg2i 11768	. . 3 ⊢ (i · -i) = -(i · i)
3		ixi 11950	. . . 4 ⊢ (i · i) = -1
4		ax-1cn 11263	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
5	1, 1	mulcli 11321	. . . . 5 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
6	4, 5	negcon2i 11646	. . . 4 ⊢ (1 = -(i · i) ↔ (i · i) = -1)
7	3, 6	mpbir 234	. . 3 ⊢ 1 = -(i · i)
8	2, 7	eqtr4i 2786	. 2 ⊢ (i · -i) = 1
9		negicn 11563	. . 3 ⊢ -i ∈ ℂ
10		ine0 11756	. . 3 ⊢ i ≠ 0
11	4, 1, 9, 10	divmuli 12076	. 2 ⊢ ((1 / i) = -i ↔ (i · -i) = 1)
12	8, 11	mpbir 234	1 ⊢ (1 / i) = -i

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569  (class class class)co 7422  1c1 11206  ici 11207   · cmul 11210   -cneg 11547   / cdiv 11978

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-div 11979

This theorem is used by:  imre  15282  crim  15289  cnpart  15414  sinhval  16329  dvsincos  26308  dvatan  27270  atantayl2  27273  sinh-conventional  51014