Theorem normlem1 31313

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 22-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
normlem1.1	⊢ 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2	⊢ 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3	⊢ 𝐺 ∈ ℋ
normlem1.4	⊢ 𝑅 ∈ ℝ
normlem1.5	⊢ (abs‘𝑆) = 1

Assertion

Ref	Expression
normlem1	⊢ ((𝐹 −ℎ ((𝑆 · 𝑅) ·ℎ 𝐺)) ·ih (𝐹 −ℎ ((𝑆 · 𝑅) ·ℎ 𝐺))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))))

Proof of Theorem normlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem1.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 ∈ ℂ
2		normlem1.4	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ ℝ
3	2	recni 11196	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ ℂ
4	1, 3	mulcli 11189	. . 3 ⊢ (𝑆 · 𝑅) ∈ ℂ
5		normlem1.2	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ ℋ
6		normlem1.3	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ ℋ
7	4, 5, 6	normlem0 31312	. 2 ⊢ ((𝐹 −ℎ ((𝑆 · 𝑅) ·ℎ 𝐺)) ·ih (𝐹 −ℎ ((𝑆 · 𝑅) ·ℎ 𝐺))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘(𝑆 · 𝑅)) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + ((-(𝑆 · 𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + (((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
8	1, 3	cjmuli 15216	. . . . . . . 8 ⊢ (∗‘(𝑆 · 𝑅)) = ((∗‘𝑆) · (∗‘𝑅))
9	3	cjrebi 15201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ ↔ (∗‘𝑅) = 𝑅)
10	2, 9	mpbi 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (∗‘𝑅) = 𝑅
11	10	oveq2i 7407	. . . . . . . 8 ⊢ ((∗‘𝑆) · (∗‘𝑅)) = ((∗‘𝑆) · 𝑅)
12	8, 11	eqtri 2785	. . . . . . 7 ⊢ (∗‘(𝑆 · 𝑅)) = ((∗‘𝑆) · 𝑅)
13	12	negeqi 11423	. . . . . 6 ⊢ -(∗‘(𝑆 · 𝑅)) = -((∗‘𝑆) · 𝑅)
14	1	cjcli 15196	. . . . . . 7 ⊢ (∗‘𝑆) ∈ ℂ
15	14, 3	mulneg2i 11634	. . . . . 6 ⊢ ((∗‘𝑆) · -𝑅) = -((∗‘𝑆) · 𝑅)
16	13, 15	eqtr4i 2788	. . . . 5 ⊢ -(∗‘(𝑆 · 𝑅)) = ((∗‘𝑆) · -𝑅)
17	16	oveq1i 7406	. . . 4 ⊢ (-(∗‘(𝑆 · 𝑅)) · (𝐹 ·ih 𝐺)) = (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))
18	17	oveq2i 7407	. . 3 ⊢ ((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘(𝑆 · 𝑅)) · (𝐹 ·ih 𝐺))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
19	1, 3	mulneg2i 11634	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 · -𝑅) = -(𝑆 · 𝑅)
20	19	eqcomi 2771	. . . . 5 ⊢ -(𝑆 · 𝑅) = (𝑆 · -𝑅)
21	20	oveq1i 7406	. . . 4 ⊢ (-(𝑆 · 𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) = ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹))
22	8	oveq2i 7407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) = ((𝑆 · 𝑅) · ((∗‘𝑆) · (∗‘𝑅)))
23	3	cjcli 15196	. . . . . . . . 9 ⊢ (∗‘𝑅) ∈ ℂ
24	1, 3, 14, 23	mul4i 11380	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 · 𝑅) · ((∗‘𝑆) · (∗‘𝑅))) = ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝑅 · (∗‘𝑅)))
25		normlem1.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs‘𝑆) = 1
26	25	oveq1i 7406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs‘𝑆)↑2) = (1↑2)
27	1	absvalsqi 15421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs‘𝑆)↑2) = (𝑆 · (∗‘𝑆))
28		sq1 14208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1↑2) = 1
29	26, 27, 28	3eqtr3i 2793	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 · (∗‘𝑆)) = 1
30	10	oveq2i 7407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 · (∗‘𝑅)) = (𝑅 · 𝑅)
31	29, 30	oveq12i 7408	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝑅 · (∗‘𝑅))) = (1 · (𝑅 · 𝑅))
32	3, 3	mulcli 11189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 · 𝑅) ∈ ℂ
33	32	mullidi 11187	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · (𝑅 · 𝑅)) = (𝑅 · 𝑅)
34	31, 33	eqtri 2785	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝑅 · (∗‘𝑅))) = (𝑅 · 𝑅)
35	24, 34	eqtri 2785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 · 𝑅) · ((∗‘𝑆) · (∗‘𝑅))) = (𝑅 · 𝑅)
36	22, 35	eqtri 2785	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) = (𝑅 · 𝑅)
37	3	sqvali 14193	. . . . . 6 ⊢ (𝑅↑2) = (𝑅 · 𝑅)
38	36, 37	eqtr4i 2788	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) = (𝑅↑2)
39	38	oveq1i 7406	. . . 4 ⊢ (((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) · (𝐺 ·ih 𝐺)) = ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))
40	21, 39	oveq12i 7408	. . 3 ⊢ ((-(𝑆 · 𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + (((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) · (𝐺 ·ih 𝐺))) = (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
41	18, 40	oveq12i 7408	. 2 ⊢ (((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘(𝑆 · 𝑅)) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + ((-(𝑆 · 𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + (((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) · (𝐺 ·ih 𝐺)))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
42	7, 41	eqtri 2785	1 ⊢ ((𝐹 −ℎ ((𝑆 · 𝑅) ·ℎ 𝐺)) ·ih (𝐹 −ℎ ((𝑆 · 𝑅) ·ℎ 𝐺))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))))

Syntax hints:   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  ℝcr 11072  1c1 11074   + caddc 11076   · cmul 11078  -cneg 11415  2c2 12272  ↑cexp 14074  ∗ccj 15123  abscabs 15261   ℋchba 31122   ·_ℎ csm 31124   ·_ih csp 31125   −_ℎ cmv 31128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-hfvadd 31203  ax-hfvmul 31208  ax-hvmulass 31210  ax-hfi 31282  ax-his1 31285  ax-his2 31286  ax-his3 31287

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9388  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-rp 12994  df-seq 14015  df-exp 14075  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-hvsub 31174

This theorem is referenced by:  normlem4  31316