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Theorem normlem1 28886
Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 22-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem1.1 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3 𝐺 ∈ ℋ
normlem1.4 𝑅 ∈ ℝ
normlem1.5 (abs‘𝑆) = 1
Assertion
Ref Expression
normlem1 ((𝐹 ((𝑆 · 𝑅) · 𝐺)) ·ih (𝐹 ((𝑆 · 𝑅) · 𝐺))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))))

Proof of Theorem normlem1
StepHypRef Expression
1 normlem1.1 . . . 4 𝑆 ∈ ℂ
2 normlem1.4 . . . . 5 𝑅 ∈ ℝ
32recni 10654 . . . 4 𝑅 ∈ ℂ
41, 3mulcli 10647 . . 3 (𝑆 · 𝑅) ∈ ℂ
5 normlem1.2 . . 3 𝐹 ∈ ℋ
6 normlem1.3 . . 3 𝐺 ∈ ℋ
74, 5, 6normlem0 28885 . 2 ((𝐹 ((𝑆 · 𝑅) · 𝐺)) ·ih (𝐹 ((𝑆 · 𝑅) · 𝐺))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘(𝑆 · 𝑅)) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + ((-(𝑆 · 𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + (((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
81, 3cjmuli 14547 . . . . . . . 8 (∗‘(𝑆 · 𝑅)) = ((∗‘𝑆) · (∗‘𝑅))
93cjrebi 14532 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ ↔ (∗‘𝑅) = 𝑅)
102, 9mpbi 232 . . . . . . . . 9 (∗‘𝑅) = 𝑅
1110oveq2i 7166 . . . . . . . 8 ((∗‘𝑆) · (∗‘𝑅)) = ((∗‘𝑆) · 𝑅)
128, 11eqtri 2844 . . . . . . 7 (∗‘(𝑆 · 𝑅)) = ((∗‘𝑆) · 𝑅)
1312negeqi 10878 . . . . . 6 -(∗‘(𝑆 · 𝑅)) = -((∗‘𝑆) · 𝑅)
141cjcli 14527 . . . . . . 7 (∗‘𝑆) ∈ ℂ
1514, 3mulneg2i 11086 . . . . . 6 ((∗‘𝑆) · -𝑅) = -((∗‘𝑆) · 𝑅)
1613, 15eqtr4i 2847 . . . . 5 -(∗‘(𝑆 · 𝑅)) = ((∗‘𝑆) · -𝑅)
1716oveq1i 7165 . . . 4 (-(∗‘(𝑆 · 𝑅)) · (𝐹 ·ih 𝐺)) = (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))
1817oveq2i 7166 . . 3 ((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘(𝑆 · 𝑅)) · (𝐹 ·ih 𝐺))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
191, 3mulneg2i 11086 . . . . . 6 (𝑆 · -𝑅) = -(𝑆 · 𝑅)
2019eqcomi 2830 . . . . 5 -(𝑆 · 𝑅) = (𝑆 · -𝑅)
2120oveq1i 7165 . . . 4 (-(𝑆 · 𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) = ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹))
228oveq2i 7166 . . . . . . 7 ((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) = ((𝑆 · 𝑅) · ((∗‘𝑆) · (∗‘𝑅)))
233cjcli 14527 . . . . . . . . 9 (∗‘𝑅) ∈ ℂ
241, 3, 14, 23mul4i 10836 . . . . . . . 8 ((𝑆 · 𝑅) · ((∗‘𝑆) · (∗‘𝑅))) = ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝑅 · (∗‘𝑅)))
25 normlem1.5 . . . . . . . . . . . 12 (abs‘𝑆) = 1
2625oveq1i 7165 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘𝑆)↑2) = (1↑2)
271absvalsqi 14752 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘𝑆)↑2) = (𝑆 · (∗‘𝑆))
28 sq1 13557 . . . . . . . . . . 11 (1↑2) = 1
2926, 27, 283eqtr3i 2852 . . . . . . . . . 10 (𝑆 · (∗‘𝑆)) = 1
3010oveq2i 7166 . . . . . . . . . 10 (𝑅 · (∗‘𝑅)) = (𝑅 · 𝑅)
3129, 30oveq12i 7167 . . . . . . . . 9 ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝑅 · (∗‘𝑅))) = (1 · (𝑅 · 𝑅))
323, 3mulcli 10647 . . . . . . . . . 10 (𝑅 · 𝑅) ∈ ℂ
3332mulid2i 10645 . . . . . . . . 9 (1 · (𝑅 · 𝑅)) = (𝑅 · 𝑅)
3431, 33eqtri 2844 . . . . . . . 8 ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝑅 · (∗‘𝑅))) = (𝑅 · 𝑅)
3524, 34eqtri 2844 . . . . . . 7 ((𝑆 · 𝑅) · ((∗‘𝑆) · (∗‘𝑅))) = (𝑅 · 𝑅)
3622, 35eqtri 2844 . . . . . 6 ((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) = (𝑅 · 𝑅)
373sqvali 13542 . . . . . 6 (𝑅↑2) = (𝑅 · 𝑅)
3836, 37eqtr4i 2847 . . . . 5 ((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) = (𝑅↑2)
3938oveq1i 7165 . . . 4 (((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) · (𝐺 ·ih 𝐺)) = ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))
4021, 39oveq12i 7167 . . 3 ((-(𝑆 · 𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + (((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) · (𝐺 ·ih 𝐺))) = (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
4118, 40oveq12i 7167 . 2 (((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘(𝑆 · 𝑅)) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + ((-(𝑆 · 𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + (((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) · (𝐺 ·ih 𝐺)))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
427, 41eqtri 2844 1 ((𝐹 ((𝑆 · 𝑅) · 𝐺)) ·ih (𝐹 ((𝑆 · 𝑅) · 𝐺))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  wcel 2110  cfv 6354  (class class class)co 7155  cc 10534  cr 10535  1c1 10537   + caddc 10539   · cmul 10541  -cneg 10870  2c2 11691  cexp 13428  ccj 14454  abscabs 14592  chba 28695   · csm 28697   ·ih csp 28698   cmv 28701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-hfvadd 28776  ax-hfvmul 28781  ax-hvmulass 28783  ax-hfi 28855  ax-his1 28858  ax-his2 28859  ax-his3 28860
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-sup 8905  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-rp 12389  df-seq 13369  df-exp 13429  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-hvsub 28747
This theorem is referenced by:  normlem4  28889
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