Theorem normlem1 29373

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 22-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
normlem1.1	⊢ 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2	⊢ 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3	⊢ 𝐺 ∈ ℋ
normlem1.4	⊢ 𝑅 ∈ ℝ
normlem1.5	⊢ (abs‘𝑆) = 1

Assertion

Ref	Expression
normlem1	⊢ ((𝐹 −ℎ ((𝑆 · 𝑅) ·ℎ 𝐺)) ·ih (𝐹 −ℎ ((𝑆 · 𝑅) ·ℎ 𝐺))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))))

Proof of Theorem normlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem1.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 ∈ ℂ
2		normlem1.4	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ ℝ
3	2	recni 10920	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ ℂ
4	1, 3	mulcli 10913	. . 3 ⊢ (𝑆 · 𝑅) ∈ ℂ
5		normlem1.2	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ ℋ
6		normlem1.3	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ ℋ
7	4, 5, 6	normlem0 29372	. 2 ⊢ ((𝐹 −ℎ ((𝑆 · 𝑅) ·ℎ 𝐺)) ·ih (𝐹 −ℎ ((𝑆 · 𝑅) ·ℎ 𝐺))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘(𝑆 · 𝑅)) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + ((-(𝑆 · 𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + (((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
8	1, 3	cjmuli 14828	. . . . . . . 8 ⊢ (∗‘(𝑆 · 𝑅)) = ((∗‘𝑆) · (∗‘𝑅))
9	3	cjrebi 14813	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ ↔ (∗‘𝑅) = 𝑅)
10	2, 9	mpbi 229	. . . . . . . . 9 ⊢ (∗‘𝑅) = 𝑅
11	10	oveq2i 7266	. . . . . . . 8 ⊢ ((∗‘𝑆) · (∗‘𝑅)) = ((∗‘𝑆) · 𝑅)
12	8, 11	eqtri 2766	. . . . . . 7 ⊢ (∗‘(𝑆 · 𝑅)) = ((∗‘𝑆) · 𝑅)
13	12	negeqi 11144	. . . . . 6 ⊢ -(∗‘(𝑆 · 𝑅)) = -((∗‘𝑆) · 𝑅)
14	1	cjcli 14808	. . . . . . 7 ⊢ (∗‘𝑆) ∈ ℂ
15	14, 3	mulneg2i 11352	. . . . . 6 ⊢ ((∗‘𝑆) · -𝑅) = -((∗‘𝑆) · 𝑅)
16	13, 15	eqtr4i 2769	. . . . 5 ⊢ -(∗‘(𝑆 · 𝑅)) = ((∗‘𝑆) · -𝑅)
17	16	oveq1i 7265	. . . 4 ⊢ (-(∗‘(𝑆 · 𝑅)) · (𝐹 ·ih 𝐺)) = (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))
18	17	oveq2i 7266	. . 3 ⊢ ((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘(𝑆 · 𝑅)) · (𝐹 ·ih 𝐺))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
19	1, 3	mulneg2i 11352	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 · -𝑅) = -(𝑆 · 𝑅)
20	19	eqcomi 2747	. . . . 5 ⊢ -(𝑆 · 𝑅) = (𝑆 · -𝑅)
21	20	oveq1i 7265	. . . 4 ⊢ (-(𝑆 · 𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) = ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹))
22	8	oveq2i 7266	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) = ((𝑆 · 𝑅) · ((∗‘𝑆) · (∗‘𝑅)))
23	3	cjcli 14808	. . . . . . . . 9 ⊢ (∗‘𝑅) ∈ ℂ
24	1, 3, 14, 23	mul4i 11102	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 · 𝑅) · ((∗‘𝑆) · (∗‘𝑅))) = ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝑅 · (∗‘𝑅)))
25		normlem1.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs‘𝑆) = 1
26	25	oveq1i 7265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs‘𝑆)↑2) = (1↑2)
27	1	absvalsqi 15033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs‘𝑆)↑2) = (𝑆 · (∗‘𝑆))
28		sq1 13840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1↑2) = 1
29	26, 27, 28	3eqtr3i 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 · (∗‘𝑆)) = 1
30	10	oveq2i 7266	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 · (∗‘𝑅)) = (𝑅 · 𝑅)
31	29, 30	oveq12i 7267	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝑅 · (∗‘𝑅))) = (1 · (𝑅 · 𝑅))
32	3, 3	mulcli 10913	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 · 𝑅) ∈ ℂ
33	32	mulid2i 10911	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · (𝑅 · 𝑅)) = (𝑅 · 𝑅)
34	31, 33	eqtri 2766	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝑅 · (∗‘𝑅))) = (𝑅 · 𝑅)
35	24, 34	eqtri 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 · 𝑅) · ((∗‘𝑆) · (∗‘𝑅))) = (𝑅 · 𝑅)
36	22, 35	eqtri 2766	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) = (𝑅 · 𝑅)
37	3	sqvali 13825	. . . . . 6 ⊢ (𝑅↑2) = (𝑅 · 𝑅)
38	36, 37	eqtr4i 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) = (𝑅↑2)
39	38	oveq1i 7265	. . . 4 ⊢ (((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) · (𝐺 ·ih 𝐺)) = ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))
40	21, 39	oveq12i 7267	. . 3 ⊢ ((-(𝑆 · 𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + (((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) · (𝐺 ·ih 𝐺))) = (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
41	18, 40	oveq12i 7267	. 2 ⊢ (((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘(𝑆 · 𝑅)) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + ((-(𝑆 · 𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + (((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) · (𝐺 ·ih 𝐺)))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
42	7, 41	eqtri 2766	1 ⊢ ((𝐹 −ℎ ((𝑆 · 𝑅) ·ℎ 𝐺)) ·ih (𝐹 −ℎ ((𝑆 · 𝑅) ·ℎ 𝐺))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))))

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807  -cneg 11136  2c2 11958  ↑cexp 13710  ∗ccj 14735  abscabs 14873   ℋchba 29182   ·_ℎ csm 29184   ·_ih csp 29185   −_ℎ cmv 29188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-hfvadd 29263  ax-hfvmul 29268  ax-hvmulass 29270  ax-hfi 29342  ax-his1 29345  ax-his2 29346  ax-his3 29347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-hvsub 29234

This theorem is referenced by:  normlem4  29376