HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem normlem1 30919
Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 22-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem1.1 ๐‘† โˆˆ โ„‚
normlem1.2 ๐น โˆˆ โ„‹
normlem1.3 ๐บ โˆˆ โ„‹
normlem1.4 ๐‘… โˆˆ โ„
normlem1.5 (absโ€˜๐‘†) = 1
Assertion
Ref Expression
normlem1 ((๐น โˆ’โ„Ž ((๐‘† ยท ๐‘…) ยทโ„Ž ๐บ)) ยทih (๐น โˆ’โ„Ž ((๐‘† ยท ๐‘…) ยทโ„Ž ๐บ))) = (((๐น ยทih ๐น) + (((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท -๐‘…) ยท (๐น ยทih ๐บ))) + (((๐‘† ยท -๐‘…) ยท (๐บ ยทih ๐น)) + ((๐‘…โ†‘2) ยท (๐บ ยทih ๐บ))))

Proof of Theorem normlem1
StepHypRef Expression
1 normlem1.1 . . . 4 ๐‘† โˆˆ โ„‚
2 normlem1.4 . . . . 5 ๐‘… โˆˆ โ„
32recni 11258 . . . 4 ๐‘… โˆˆ โ„‚
41, 3mulcli 11251 . . 3 (๐‘† ยท ๐‘…) โˆˆ โ„‚
5 normlem1.2 . . 3 ๐น โˆˆ โ„‹
6 normlem1.3 . . 3 ๐บ โˆˆ โ„‹
74, 5, 6normlem0 30918 . 2 ((๐น โˆ’โ„Ž ((๐‘† ยท ๐‘…) ยทโ„Ž ๐บ)) ยทih (๐น โˆ’โ„Ž ((๐‘† ยท ๐‘…) ยทโ„Ž ๐บ))) = (((๐น ยทih ๐น) + (-(โˆ—โ€˜(๐‘† ยท ๐‘…)) ยท (๐น ยทih ๐บ))) + ((-(๐‘† ยท ๐‘…) ยท (๐บ ยทih ๐น)) + (((๐‘† ยท ๐‘…) ยท (โˆ—โ€˜(๐‘† ยท ๐‘…))) ยท (๐บ ยทih ๐บ))))
81, 3cjmuli 15168 . . . . . . . 8 (โˆ—โ€˜(๐‘† ยท ๐‘…)) = ((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (โˆ—โ€˜๐‘…))
93cjrebi 15153 . . . . . . . . . 10 (๐‘… โˆˆ โ„ โ†” (โˆ—โ€˜๐‘…) = ๐‘…)
102, 9mpbi 229 . . . . . . . . 9 (โˆ—โ€˜๐‘…) = ๐‘…
1110oveq2i 7431 . . . . . . . 8 ((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (โˆ—โ€˜๐‘…)) = ((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท ๐‘…)
128, 11eqtri 2756 . . . . . . 7 (โˆ—โ€˜(๐‘† ยท ๐‘…)) = ((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท ๐‘…)
1312negeqi 11483 . . . . . 6 -(โˆ—โ€˜(๐‘† ยท ๐‘…)) = -((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท ๐‘…)
141cjcli 15148 . . . . . . 7 (โˆ—โ€˜๐‘†) โˆˆ โ„‚
1514, 3mulneg2i 11691 . . . . . 6 ((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท -๐‘…) = -((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท ๐‘…)
1613, 15eqtr4i 2759 . . . . 5 -(โˆ—โ€˜(๐‘† ยท ๐‘…)) = ((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท -๐‘…)
1716oveq1i 7430 . . . 4 (-(โˆ—โ€˜(๐‘† ยท ๐‘…)) ยท (๐น ยทih ๐บ)) = (((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท -๐‘…) ยท (๐น ยทih ๐บ))
1817oveq2i 7431 . . 3 ((๐น ยทih ๐น) + (-(โˆ—โ€˜(๐‘† ยท ๐‘…)) ยท (๐น ยทih ๐บ))) = ((๐น ยทih ๐น) + (((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท -๐‘…) ยท (๐น ยทih ๐บ)))
191, 3mulneg2i 11691 . . . . . 6 (๐‘† ยท -๐‘…) = -(๐‘† ยท ๐‘…)
2019eqcomi 2737 . . . . 5 -(๐‘† ยท ๐‘…) = (๐‘† ยท -๐‘…)
2120oveq1i 7430 . . . 4 (-(๐‘† ยท ๐‘…) ยท (๐บ ยทih ๐น)) = ((๐‘† ยท -๐‘…) ยท (๐บ ยทih ๐น))
228oveq2i 7431 . . . . . . 7 ((๐‘† ยท ๐‘…) ยท (โˆ—โ€˜(๐‘† ยท ๐‘…))) = ((๐‘† ยท ๐‘…) ยท ((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (โˆ—โ€˜๐‘…)))
233cjcli 15148 . . . . . . . . 9 (โˆ—โ€˜๐‘…) โˆˆ โ„‚
241, 3, 14, 23mul4i 11441 . . . . . . . 8 ((๐‘† ยท ๐‘…) ยท ((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (โˆ—โ€˜๐‘…))) = ((๐‘† ยท (โˆ—โ€˜๐‘†)) ยท (๐‘… ยท (โˆ—โ€˜๐‘…)))
25 normlem1.5 . . . . . . . . . . . 12 (absโ€˜๐‘†) = 1
2625oveq1i 7430 . . . . . . . . . . 11 ((absโ€˜๐‘†)โ†‘2) = (1โ†‘2)
271absvalsqi 15372 . . . . . . . . . . 11 ((absโ€˜๐‘†)โ†‘2) = (๐‘† ยท (โˆ—โ€˜๐‘†))
28 sq1 14190 . . . . . . . . . . 11 (1โ†‘2) = 1
2926, 27, 283eqtr3i 2764 . . . . . . . . . 10 (๐‘† ยท (โˆ—โ€˜๐‘†)) = 1
3010oveq2i 7431 . . . . . . . . . 10 (๐‘… ยท (โˆ—โ€˜๐‘…)) = (๐‘… ยท ๐‘…)
3129, 30oveq12i 7432 . . . . . . . . 9 ((๐‘† ยท (โˆ—โ€˜๐‘†)) ยท (๐‘… ยท (โˆ—โ€˜๐‘…))) = (1 ยท (๐‘… ยท ๐‘…))
323, 3mulcli 11251 . . . . . . . . . 10 (๐‘… ยท ๐‘…) โˆˆ โ„‚
3332mullidi 11249 . . . . . . . . 9 (1 ยท (๐‘… ยท ๐‘…)) = (๐‘… ยท ๐‘…)
3431, 33eqtri 2756 . . . . . . . 8 ((๐‘† ยท (โˆ—โ€˜๐‘†)) ยท (๐‘… ยท (โˆ—โ€˜๐‘…))) = (๐‘… ยท ๐‘…)
3524, 34eqtri 2756 . . . . . . 7 ((๐‘† ยท ๐‘…) ยท ((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (โˆ—โ€˜๐‘…))) = (๐‘… ยท ๐‘…)
3622, 35eqtri 2756 . . . . . 6 ((๐‘† ยท ๐‘…) ยท (โˆ—โ€˜(๐‘† ยท ๐‘…))) = (๐‘… ยท ๐‘…)
373sqvali 14175 . . . . . 6 (๐‘…โ†‘2) = (๐‘… ยท ๐‘…)
3836, 37eqtr4i 2759 . . . . 5 ((๐‘† ยท ๐‘…) ยท (โˆ—โ€˜(๐‘† ยท ๐‘…))) = (๐‘…โ†‘2)
3938oveq1i 7430 . . . 4 (((๐‘† ยท ๐‘…) ยท (โˆ—โ€˜(๐‘† ยท ๐‘…))) ยท (๐บ ยทih ๐บ)) = ((๐‘…โ†‘2) ยท (๐บ ยทih ๐บ))
4021, 39oveq12i 7432 . . 3 ((-(๐‘† ยท ๐‘…) ยท (๐บ ยทih ๐น)) + (((๐‘† ยท ๐‘…) ยท (โˆ—โ€˜(๐‘† ยท ๐‘…))) ยท (๐บ ยทih ๐บ))) = (((๐‘† ยท -๐‘…) ยท (๐บ ยทih ๐น)) + ((๐‘…โ†‘2) ยท (๐บ ยทih ๐บ)))
4118, 40oveq12i 7432 . 2 (((๐น ยทih ๐น) + (-(โˆ—โ€˜(๐‘† ยท ๐‘…)) ยท (๐น ยทih ๐บ))) + ((-(๐‘† ยท ๐‘…) ยท (๐บ ยทih ๐น)) + (((๐‘† ยท ๐‘…) ยท (โˆ—โ€˜(๐‘† ยท ๐‘…))) ยท (๐บ ยทih ๐บ)))) = (((๐น ยทih ๐น) + (((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท -๐‘…) ยท (๐น ยทih ๐บ))) + (((๐‘† ยท -๐‘…) ยท (๐บ ยทih ๐น)) + ((๐‘…โ†‘2) ยท (๐บ ยทih ๐บ))))
427, 41eqtri 2756 1 ((๐น โˆ’โ„Ž ((๐‘† ยท ๐‘…) ยทโ„Ž ๐บ)) ยทih (๐น โˆ’โ„Ž ((๐‘† ยท ๐‘…) ยทโ„Ž ๐บ))) = (((๐น ยทih ๐น) + (((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท -๐‘…) ยท (๐น ยทih ๐บ))) + (((๐‘† ยท -๐‘…) ยท (๐บ ยทih ๐น)) + ((๐‘…โ†‘2) ยท (๐บ ยทih ๐บ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11136  โ„cr 11137  1c1 11139   + caddc 11141   ยท cmul 11143  -cneg 11475  2c2 12297  โ†‘cexp 14058  โˆ—ccj 15075  abscabs 15213   โ„‹chba 30728   ยทโ„Ž csm 30730   ยทih csp 30731   โˆ’โ„Ž cmv 30734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-hfvadd 30809  ax-hfvmul 30814  ax-hvmulass 30816  ax-hfi 30888  ax-his1 30891  ax-his2 30892  ax-his3 30893
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-hvsub 30780
This theorem is referenced by:  normlem4  30922
  Copyright terms: Public domain W3C validator