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Theorem normlem1 31129
Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 22-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem1.1 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3 𝐺 ∈ ℋ
normlem1.4 𝑅 ∈ ℝ
normlem1.5 (abs‘𝑆) = 1
Assertion
Ref Expression
normlem1 ((𝐹 ((𝑆 · 𝑅) · 𝐺)) ·ih (𝐹 ((𝑆 · 𝑅) · 𝐺))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))))

Proof of Theorem normlem1
StepHypRef Expression
1 normlem1.1 . . . 4 𝑆 ∈ ℂ
2 normlem1.4 . . . . 5 𝑅 ∈ ℝ
32recni 11275 . . . 4 𝑅 ∈ ℂ
41, 3mulcli 11268 . . 3 (𝑆 · 𝑅) ∈ ℂ
5 normlem1.2 . . 3 𝐹 ∈ ℋ
6 normlem1.3 . . 3 𝐺 ∈ ℋ
74, 5, 6normlem0 31128 . 2 ((𝐹 ((𝑆 · 𝑅) · 𝐺)) ·ih (𝐹 ((𝑆 · 𝑅) · 𝐺))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘(𝑆 · 𝑅)) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + ((-(𝑆 · 𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + (((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
81, 3cjmuli 15228 . . . . . . . 8 (∗‘(𝑆 · 𝑅)) = ((∗‘𝑆) · (∗‘𝑅))
93cjrebi 15213 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ ↔ (∗‘𝑅) = 𝑅)
102, 9mpbi 230 . . . . . . . . 9 (∗‘𝑅) = 𝑅
1110oveq2i 7442 . . . . . . . 8 ((∗‘𝑆) · (∗‘𝑅)) = ((∗‘𝑆) · 𝑅)
128, 11eqtri 2765 . . . . . . 7 (∗‘(𝑆 · 𝑅)) = ((∗‘𝑆) · 𝑅)
1312negeqi 11501 . . . . . 6 -(∗‘(𝑆 · 𝑅)) = -((∗‘𝑆) · 𝑅)
141cjcli 15208 . . . . . . 7 (∗‘𝑆) ∈ ℂ
1514, 3mulneg2i 11710 . . . . . 6 ((∗‘𝑆) · -𝑅) = -((∗‘𝑆) · 𝑅)
1613, 15eqtr4i 2768 . . . . 5 -(∗‘(𝑆 · 𝑅)) = ((∗‘𝑆) · -𝑅)
1716oveq1i 7441 . . . 4 (-(∗‘(𝑆 · 𝑅)) · (𝐹 ·ih 𝐺)) = (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))
1817oveq2i 7442 . . 3 ((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘(𝑆 · 𝑅)) · (𝐹 ·ih 𝐺))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
191, 3mulneg2i 11710 . . . . . 6 (𝑆 · -𝑅) = -(𝑆 · 𝑅)
2019eqcomi 2746 . . . . 5 -(𝑆 · 𝑅) = (𝑆 · -𝑅)
2120oveq1i 7441 . . . 4 (-(𝑆 · 𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) = ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹))
228oveq2i 7442 . . . . . . 7 ((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) = ((𝑆 · 𝑅) · ((∗‘𝑆) · (∗‘𝑅)))
233cjcli 15208 . . . . . . . . 9 (∗‘𝑅) ∈ ℂ
241, 3, 14, 23mul4i 11458 . . . . . . . 8 ((𝑆 · 𝑅) · ((∗‘𝑆) · (∗‘𝑅))) = ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝑅 · (∗‘𝑅)))
25 normlem1.5 . . . . . . . . . . . 12 (abs‘𝑆) = 1
2625oveq1i 7441 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘𝑆)↑2) = (1↑2)
271absvalsqi 15432 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘𝑆)↑2) = (𝑆 · (∗‘𝑆))
28 sq1 14234 . . . . . . . . . . 11 (1↑2) = 1
2926, 27, 283eqtr3i 2773 . . . . . . . . . 10 (𝑆 · (∗‘𝑆)) = 1
3010oveq2i 7442 . . . . . . . . . 10 (𝑅 · (∗‘𝑅)) = (𝑅 · 𝑅)
3129, 30oveq12i 7443 . . . . . . . . 9 ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝑅 · (∗‘𝑅))) = (1 · (𝑅 · 𝑅))
323, 3mulcli 11268 . . . . . . . . . 10 (𝑅 · 𝑅) ∈ ℂ
3332mullidi 11266 . . . . . . . . 9 (1 · (𝑅 · 𝑅)) = (𝑅 · 𝑅)
3431, 33eqtri 2765 . . . . . . . 8 ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝑅 · (∗‘𝑅))) = (𝑅 · 𝑅)
3524, 34eqtri 2765 . . . . . . 7 ((𝑆 · 𝑅) · ((∗‘𝑆) · (∗‘𝑅))) = (𝑅 · 𝑅)
3622, 35eqtri 2765 . . . . . 6 ((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) = (𝑅 · 𝑅)
373sqvali 14219 . . . . . 6 (𝑅↑2) = (𝑅 · 𝑅)
3836, 37eqtr4i 2768 . . . . 5 ((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) = (𝑅↑2)
3938oveq1i 7441 . . . 4 (((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) · (𝐺 ·ih 𝐺)) = ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))
4021, 39oveq12i 7443 . . 3 ((-(𝑆 · 𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + (((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) · (𝐺 ·ih 𝐺))) = (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
4118, 40oveq12i 7443 . 2 (((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘(𝑆 · 𝑅)) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + ((-(𝑆 · 𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + (((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) · (𝐺 ·ih 𝐺)))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
427, 41eqtri 2765 1 ((𝐹 ((𝑆 · 𝑅) · 𝐺)) ·ih (𝐹 ((𝑆 · 𝑅) · 𝐺))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  wcel 2108  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  -cneg 11493  2c2 12321  cexp 14102  ccj 15135  abscabs 15273  chba 30938   · csm 30940   ·ih csp 30941   cmv 30944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-hfvadd 31019  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulass 31026  ax-hfi 31098  ax-his1 31101  ax-his2 31102  ax-his3 31103
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-hvsub 30990
This theorem is referenced by:  normlem4  31132
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