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Theorem normlem1 31138
Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 22-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem1.1 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3 𝐺 ∈ ℋ
normlem1.4 𝑅 ∈ ℝ
normlem1.5 (abs‘𝑆) = 1
Assertion
Ref Expression
normlem1 ((𝐹 ((𝑆 · 𝑅) · 𝐺)) ·ih (𝐹 ((𝑆 · 𝑅) · 𝐺))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))))

Proof of Theorem normlem1
StepHypRef Expression
1 normlem1.1 . . . 4 𝑆 ∈ ℂ
2 normlem1.4 . . . . 5 𝑅 ∈ ℝ
32recni 11272 . . . 4 𝑅 ∈ ℂ
41, 3mulcli 11265 . . 3 (𝑆 · 𝑅) ∈ ℂ
5 normlem1.2 . . 3 𝐹 ∈ ℋ
6 normlem1.3 . . 3 𝐺 ∈ ℋ
74, 5, 6normlem0 31137 . 2 ((𝐹 ((𝑆 · 𝑅) · 𝐺)) ·ih (𝐹 ((𝑆 · 𝑅) · 𝐺))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘(𝑆 · 𝑅)) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + ((-(𝑆 · 𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + (((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
81, 3cjmuli 15224 . . . . . . . 8 (∗‘(𝑆 · 𝑅)) = ((∗‘𝑆) · (∗‘𝑅))
93cjrebi 15209 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ ↔ (∗‘𝑅) = 𝑅)
102, 9mpbi 230 . . . . . . . . 9 (∗‘𝑅) = 𝑅
1110oveq2i 7441 . . . . . . . 8 ((∗‘𝑆) · (∗‘𝑅)) = ((∗‘𝑆) · 𝑅)
128, 11eqtri 2762 . . . . . . 7 (∗‘(𝑆 · 𝑅)) = ((∗‘𝑆) · 𝑅)
1312negeqi 11498 . . . . . 6 -(∗‘(𝑆 · 𝑅)) = -((∗‘𝑆) · 𝑅)
141cjcli 15204 . . . . . . 7 (∗‘𝑆) ∈ ℂ
1514, 3mulneg2i 11707 . . . . . 6 ((∗‘𝑆) · -𝑅) = -((∗‘𝑆) · 𝑅)
1613, 15eqtr4i 2765 . . . . 5 -(∗‘(𝑆 · 𝑅)) = ((∗‘𝑆) · -𝑅)
1716oveq1i 7440 . . . 4 (-(∗‘(𝑆 · 𝑅)) · (𝐹 ·ih 𝐺)) = (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))
1817oveq2i 7441 . . 3 ((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘(𝑆 · 𝑅)) · (𝐹 ·ih 𝐺))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
191, 3mulneg2i 11707 . . . . . 6 (𝑆 · -𝑅) = -(𝑆 · 𝑅)
2019eqcomi 2743 . . . . 5 -(𝑆 · 𝑅) = (𝑆 · -𝑅)
2120oveq1i 7440 . . . 4 (-(𝑆 · 𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) = ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹))
228oveq2i 7441 . . . . . . 7 ((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) = ((𝑆 · 𝑅) · ((∗‘𝑆) · (∗‘𝑅)))
233cjcli 15204 . . . . . . . . 9 (∗‘𝑅) ∈ ℂ
241, 3, 14, 23mul4i 11455 . . . . . . . 8 ((𝑆 · 𝑅) · ((∗‘𝑆) · (∗‘𝑅))) = ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝑅 · (∗‘𝑅)))
25 normlem1.5 . . . . . . . . . . . 12 (abs‘𝑆) = 1
2625oveq1i 7440 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘𝑆)↑2) = (1↑2)
271absvalsqi 15428 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘𝑆)↑2) = (𝑆 · (∗‘𝑆))
28 sq1 14230 . . . . . . . . . . 11 (1↑2) = 1
2926, 27, 283eqtr3i 2770 . . . . . . . . . 10 (𝑆 · (∗‘𝑆)) = 1
3010oveq2i 7441 . . . . . . . . . 10 (𝑅 · (∗‘𝑅)) = (𝑅 · 𝑅)
3129, 30oveq12i 7442 . . . . . . . . 9 ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝑅 · (∗‘𝑅))) = (1 · (𝑅 · 𝑅))
323, 3mulcli 11265 . . . . . . . . . 10 (𝑅 · 𝑅) ∈ ℂ
3332mullidi 11263 . . . . . . . . 9 (1 · (𝑅 · 𝑅)) = (𝑅 · 𝑅)
3431, 33eqtri 2762 . . . . . . . 8 ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝑅 · (∗‘𝑅))) = (𝑅 · 𝑅)
3524, 34eqtri 2762 . . . . . . 7 ((𝑆 · 𝑅) · ((∗‘𝑆) · (∗‘𝑅))) = (𝑅 · 𝑅)
3622, 35eqtri 2762 . . . . . 6 ((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) = (𝑅 · 𝑅)
373sqvali 14215 . . . . . 6 (𝑅↑2) = (𝑅 · 𝑅)
3836, 37eqtr4i 2765 . . . . 5 ((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) = (𝑅↑2)
3938oveq1i 7440 . . . 4 (((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) · (𝐺 ·ih 𝐺)) = ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))
4021, 39oveq12i 7442 . . 3 ((-(𝑆 · 𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + (((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) · (𝐺 ·ih 𝐺))) = (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
4118, 40oveq12i 7442 . 2 (((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘(𝑆 · 𝑅)) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + ((-(𝑆 · 𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + (((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) · (𝐺 ·ih 𝐺)))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
427, 41eqtri 2762 1 ((𝐹 ((𝑆 · 𝑅) · 𝐺)) ·ih (𝐹 ((𝑆 · 𝑅) · 𝐺))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1536  wcel 2105  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  -cneg 11490  2c2 12318  cexp 14098  ccj 15131  abscabs 15269  chba 30947   · csm 30949   ·ih csp 30950   cmv 30953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-hfvadd 31028  ax-hfvmul 31033  ax-hvmulass 31035  ax-hfi 31107  ax-his1 31110  ax-his2 31111  ax-his3 31112
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-hvsub 30999
This theorem is referenced by:  normlem4  31141
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