Theorem normlem1 30857

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 22-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
normlem1.1	⊢ 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2	⊢ 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3	⊢ 𝐺 ∈ ℋ
normlem1.4	⊢ 𝑅 ∈ ℝ
normlem1.5	⊢ (abs‘𝑆) = 1

Assertion

Ref	Expression
normlem1	⊢ ((𝐹 −ℎ ((𝑆 · 𝑅) ·ℎ 𝐺)) ·ih (𝐹 −ℎ ((𝑆 · 𝑅) ·ℎ 𝐺))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))))

Proof of Theorem normlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem1.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 ∈ ℂ
2		normlem1.4	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ ℝ
3	2	recni 11227	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ ℂ
4	1, 3	mulcli 11220	. . 3 ⊢ (𝑆 · 𝑅) ∈ ℂ
5		normlem1.2	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ ℋ
6		normlem1.3	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ ℋ
7	4, 5, 6	normlem0 30856	. 2 ⊢ ((𝐹 −ℎ ((𝑆 · 𝑅) ·ℎ 𝐺)) ·ih (𝐹 −ℎ ((𝑆 · 𝑅) ·ℎ 𝐺))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘(𝑆 · 𝑅)) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + ((-(𝑆 · 𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + (((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
8	1, 3	cjmuli 15138	. . . . . . . 8 ⊢ (∗‘(𝑆 · 𝑅)) = ((∗‘𝑆) · (∗‘𝑅))
9	3	cjrebi 15123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ ↔ (∗‘𝑅) = 𝑅)
10	2, 9	mpbi 229	. . . . . . . . 9 ⊢ (∗‘𝑅) = 𝑅
11	10	oveq2i 7413	. . . . . . . 8 ⊢ ((∗‘𝑆) · (∗‘𝑅)) = ((∗‘𝑆) · 𝑅)
12	8, 11	eqtri 2752	. . . . . . 7 ⊢ (∗‘(𝑆 · 𝑅)) = ((∗‘𝑆) · 𝑅)
13	12	negeqi 11452	. . . . . 6 ⊢ -(∗‘(𝑆 · 𝑅)) = -((∗‘𝑆) · 𝑅)
14	1	cjcli 15118	. . . . . . 7 ⊢ (∗‘𝑆) ∈ ℂ
15	14, 3	mulneg2i 11660	. . . . . 6 ⊢ ((∗‘𝑆) · -𝑅) = -((∗‘𝑆) · 𝑅)
16	13, 15	eqtr4i 2755	. . . . 5 ⊢ -(∗‘(𝑆 · 𝑅)) = ((∗‘𝑆) · -𝑅)
17	16	oveq1i 7412	. . . 4 ⊢ (-(∗‘(𝑆 · 𝑅)) · (𝐹 ·ih 𝐺)) = (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))
18	17	oveq2i 7413	. . 3 ⊢ ((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘(𝑆 · 𝑅)) · (𝐹 ·ih 𝐺))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
19	1, 3	mulneg2i 11660	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 · -𝑅) = -(𝑆 · 𝑅)
20	19	eqcomi 2733	. . . . 5 ⊢ -(𝑆 · 𝑅) = (𝑆 · -𝑅)
21	20	oveq1i 7412	. . . 4 ⊢ (-(𝑆 · 𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) = ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹))
22	8	oveq2i 7413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) = ((𝑆 · 𝑅) · ((∗‘𝑆) · (∗‘𝑅)))
23	3	cjcli 15118	. . . . . . . . 9 ⊢ (∗‘𝑅) ∈ ℂ
24	1, 3, 14, 23	mul4i 11410	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 · 𝑅) · ((∗‘𝑆) · (∗‘𝑅))) = ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝑅 · (∗‘𝑅)))
25		normlem1.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs‘𝑆) = 1
26	25	oveq1i 7412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs‘𝑆)↑2) = (1↑2)
27	1	absvalsqi 15342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs‘𝑆)↑2) = (𝑆 · (∗‘𝑆))
28		sq1 14160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1↑2) = 1
29	26, 27, 28	3eqtr3i 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 · (∗‘𝑆)) = 1
30	10	oveq2i 7413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 · (∗‘𝑅)) = (𝑅 · 𝑅)
31	29, 30	oveq12i 7414	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝑅 · (∗‘𝑅))) = (1 · (𝑅 · 𝑅))
32	3, 3	mulcli 11220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 · 𝑅) ∈ ℂ
33	32	mullidi 11218	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · (𝑅 · 𝑅)) = (𝑅 · 𝑅)
34	31, 33	eqtri 2752	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝑅 · (∗‘𝑅))) = (𝑅 · 𝑅)
35	24, 34	eqtri 2752	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 · 𝑅) · ((∗‘𝑆) · (∗‘𝑅))) = (𝑅 · 𝑅)
36	22, 35	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) = (𝑅 · 𝑅)
37	3	sqvali 14145	. . . . . 6 ⊢ (𝑅↑2) = (𝑅 · 𝑅)
38	36, 37	eqtr4i 2755	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) = (𝑅↑2)
39	38	oveq1i 7412	. . . 4 ⊢ (((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) · (𝐺 ·ih 𝐺)) = ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))
40	21, 39	oveq12i 7414	. . 3 ⊢ ((-(𝑆 · 𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + (((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) · (𝐺 ·ih 𝐺))) = (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
41	18, 40	oveq12i 7414	. 2 ⊢ (((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘(𝑆 · 𝑅)) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + ((-(𝑆 · 𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + (((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) · (𝐺 ·ih 𝐺)))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
42	7, 41	eqtri 2752	1 ⊢ ((𝐹 −ℎ ((𝑆 · 𝑅) ·ℎ 𝐺)) ·ih (𝐹 −ℎ ((𝑆 · 𝑅) ·ℎ 𝐺))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))))

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  ℂcc 11105  ℝcr 11106  1c1 11108   + caddc 11110   · cmul 11112  -cneg 11444  2c2 12266  ↑cexp 14028  ∗ccj 15045  abscabs 15183   ℋchba 30666   ·_ℎ csm 30668   ·_ih csp 30669   −_ℎ cmv 30672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-hfvadd 30747  ax-hfvmul 30752  ax-hvmulass 30754  ax-hfi 30826  ax-his1 30829  ax-his2 30830  ax-his3 30831

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12976  df-seq 13968  df-exp 14029  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-hvsub 30718

This theorem is referenced by:  normlem4  30860