Theorem normlem1 31039

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 22-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
normlem1.1	⊢ 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2	⊢ 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3	⊢ 𝐺 ∈ ℋ
normlem1.4	⊢ 𝑅 ∈ ℝ
normlem1.5	⊢ (abs‘𝑆) = 1

Assertion

Ref	Expression
normlem1	⊢ ((𝐹 −ℎ ((𝑆 · 𝑅) ·ℎ 𝐺)) ·ih (𝐹 −ℎ ((𝑆 · 𝑅) ·ℎ 𝐺))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))))

Proof of Theorem normlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem1.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 ∈ ℂ
2		normlem1.4	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ ℝ
3	2	recni 11268	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ ℂ
4	1, 3	mulcli 11261	. . 3 ⊢ (𝑆 · 𝑅) ∈ ℂ
5		normlem1.2	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ ℋ
6		normlem1.3	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ ℋ
7	4, 5, 6	normlem0 31038	. 2 ⊢ ((𝐹 −ℎ ((𝑆 · 𝑅) ·ℎ 𝐺)) ·ih (𝐹 −ℎ ((𝑆 · 𝑅) ·ℎ 𝐺))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘(𝑆 · 𝑅)) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + ((-(𝑆 · 𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + (((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
8	1, 3	cjmuli 15188	. . . . . . . 8 ⊢ (∗‘(𝑆 · 𝑅)) = ((∗‘𝑆) · (∗‘𝑅))
9	3	cjrebi 15173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ ↔ (∗‘𝑅) = 𝑅)
10	2, 9	mpbi 229	. . . . . . . . 9 ⊢ (∗‘𝑅) = 𝑅
11	10	oveq2i 7426	. . . . . . . 8 ⊢ ((∗‘𝑆) · (∗‘𝑅)) = ((∗‘𝑆) · 𝑅)
12	8, 11	eqtri 2754	. . . . . . 7 ⊢ (∗‘(𝑆 · 𝑅)) = ((∗‘𝑆) · 𝑅)
13	12	negeqi 11493	. . . . . 6 ⊢ -(∗‘(𝑆 · 𝑅)) = -((∗‘𝑆) · 𝑅)
14	1	cjcli 15168	. . . . . . 7 ⊢ (∗‘𝑆) ∈ ℂ
15	14, 3	mulneg2i 11701	. . . . . 6 ⊢ ((∗‘𝑆) · -𝑅) = -((∗‘𝑆) · 𝑅)
16	13, 15	eqtr4i 2757	. . . . 5 ⊢ -(∗‘(𝑆 · 𝑅)) = ((∗‘𝑆) · -𝑅)
17	16	oveq1i 7425	. . . 4 ⊢ (-(∗‘(𝑆 · 𝑅)) · (𝐹 ·ih 𝐺)) = (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))
18	17	oveq2i 7426	. . 3 ⊢ ((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘(𝑆 · 𝑅)) · (𝐹 ·ih 𝐺))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
19	1, 3	mulneg2i 11701	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 · -𝑅) = -(𝑆 · 𝑅)
20	19	eqcomi 2735	. . . . 5 ⊢ -(𝑆 · 𝑅) = (𝑆 · -𝑅)
21	20	oveq1i 7425	. . . 4 ⊢ (-(𝑆 · 𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) = ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹))
22	8	oveq2i 7426	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) = ((𝑆 · 𝑅) · ((∗‘𝑆) · (∗‘𝑅)))
23	3	cjcli 15168	. . . . . . . . 9 ⊢ (∗‘𝑅) ∈ ℂ
24	1, 3, 14, 23	mul4i 11451	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 · 𝑅) · ((∗‘𝑆) · (∗‘𝑅))) = ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝑅 · (∗‘𝑅)))
25		normlem1.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs‘𝑆) = 1
26	25	oveq1i 7425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs‘𝑆)↑2) = (1↑2)
27	1	absvalsqi 15392	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs‘𝑆)↑2) = (𝑆 · (∗‘𝑆))
28		sq1 14206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1↑2) = 1
29	26, 27, 28	3eqtr3i 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 · (∗‘𝑆)) = 1
30	10	oveq2i 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 · (∗‘𝑅)) = (𝑅 · 𝑅)
31	29, 30	oveq12i 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝑅 · (∗‘𝑅))) = (1 · (𝑅 · 𝑅))
32	3, 3	mulcli 11261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 · 𝑅) ∈ ℂ
33	32	mullidi 11259	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · (𝑅 · 𝑅)) = (𝑅 · 𝑅)
34	31, 33	eqtri 2754	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝑅 · (∗‘𝑅))) = (𝑅 · 𝑅)
35	24, 34	eqtri 2754	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 · 𝑅) · ((∗‘𝑆) · (∗‘𝑅))) = (𝑅 · 𝑅)
36	22, 35	eqtri 2754	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) = (𝑅 · 𝑅)
37	3	sqvali 14191	. . . . . 6 ⊢ (𝑅↑2) = (𝑅 · 𝑅)
38	36, 37	eqtr4i 2757	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) = (𝑅↑2)
39	38	oveq1i 7425	. . . 4 ⊢ (((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) · (𝐺 ·ih 𝐺)) = ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))
40	21, 39	oveq12i 7427	. . 3 ⊢ ((-(𝑆 · 𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + (((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) · (𝐺 ·ih 𝐺))) = (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
41	18, 40	oveq12i 7427	. 2 ⊢ (((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘(𝑆 · 𝑅)) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + ((-(𝑆 · 𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + (((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) · (𝐺 ·ih 𝐺)))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
42	7, 41	eqtri 2754	1 ⊢ ((𝐹 −ℎ ((𝑆 · 𝑅) ·ℎ 𝐺)) ·ih (𝐹 −ℎ ((𝑆 · 𝑅) ·ℎ 𝐺))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))))

Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6545  (class class class)co 7415  ℂcc 11146  ℝcr 11147  1c1 11149   + caddc 11151   · cmul 11153  -cneg 11485  2c2 12312  ↑cexp 14074  ∗ccj 15095  abscabs 15233   ℋchba 30848   ·_ℎ csm 30850   ·_ih csp 30851   −_ℎ cmv 30854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7737  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226  ax-hfvadd 30929  ax-hfvmul 30934  ax-hvmulass 30936  ax-hfi 31008  ax-his1 31011  ax-his2 31012  ax-his3 31013

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3968  df-nul 4325  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4908  df-iun 4997  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6497  df-fun 6547  df-fn 6548  df-f 6549  df-f1 6550  df-fo 6551  df-f1o 6552  df-fv 6553  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8966  df-dom 8967  df-sdom 8968  df-sup 9477  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12258  df-2 12320  df-3 12321  df-n0 12518  df-z 12604  df-uz 12868  df-rp 13022  df-seq 14015  df-exp 14075  df-cj 15098  df-re 15099  df-im 15100  df-sqrt 15234  df-abs 15235  df-hvsub 30900

This theorem is referenced by:  normlem4  31042