HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem normlem1 30101
Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 22-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem1.1 ๐‘† โˆˆ โ„‚
normlem1.2 ๐น โˆˆ โ„‹
normlem1.3 ๐บ โˆˆ โ„‹
normlem1.4 ๐‘… โˆˆ โ„
normlem1.5 (absโ€˜๐‘†) = 1
Assertion
Ref Expression
normlem1 ((๐น โˆ’โ„Ž ((๐‘† ยท ๐‘…) ยทโ„Ž ๐บ)) ยทih (๐น โˆ’โ„Ž ((๐‘† ยท ๐‘…) ยทโ„Ž ๐บ))) = (((๐น ยทih ๐น) + (((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท -๐‘…) ยท (๐น ยทih ๐บ))) + (((๐‘† ยท -๐‘…) ยท (๐บ ยทih ๐น)) + ((๐‘…โ†‘2) ยท (๐บ ยทih ๐บ))))

Proof of Theorem normlem1
StepHypRef Expression
1 normlem1.1 . . . 4 ๐‘† โˆˆ โ„‚
2 normlem1.4 . . . . 5 ๐‘… โˆˆ โ„
32recni 11177 . . . 4 ๐‘… โˆˆ โ„‚
41, 3mulcli 11170 . . 3 (๐‘† ยท ๐‘…) โˆˆ โ„‚
5 normlem1.2 . . 3 ๐น โˆˆ โ„‹
6 normlem1.3 . . 3 ๐บ โˆˆ โ„‹
74, 5, 6normlem0 30100 . 2 ((๐น โˆ’โ„Ž ((๐‘† ยท ๐‘…) ยทโ„Ž ๐บ)) ยทih (๐น โˆ’โ„Ž ((๐‘† ยท ๐‘…) ยทโ„Ž ๐บ))) = (((๐น ยทih ๐น) + (-(โˆ—โ€˜(๐‘† ยท ๐‘…)) ยท (๐น ยทih ๐บ))) + ((-(๐‘† ยท ๐‘…) ยท (๐บ ยทih ๐น)) + (((๐‘† ยท ๐‘…) ยท (โˆ—โ€˜(๐‘† ยท ๐‘…))) ยท (๐บ ยทih ๐บ))))
81, 3cjmuli 15083 . . . . . . . 8 (โˆ—โ€˜(๐‘† ยท ๐‘…)) = ((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (โˆ—โ€˜๐‘…))
93cjrebi 15068 . . . . . . . . . 10 (๐‘… โˆˆ โ„ โ†” (โˆ—โ€˜๐‘…) = ๐‘…)
102, 9mpbi 229 . . . . . . . . 9 (โˆ—โ€˜๐‘…) = ๐‘…
1110oveq2i 7372 . . . . . . . 8 ((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (โˆ—โ€˜๐‘…)) = ((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท ๐‘…)
128, 11eqtri 2761 . . . . . . 7 (โˆ—โ€˜(๐‘† ยท ๐‘…)) = ((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท ๐‘…)
1312negeqi 11402 . . . . . 6 -(โˆ—โ€˜(๐‘† ยท ๐‘…)) = -((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท ๐‘…)
141cjcli 15063 . . . . . . 7 (โˆ—โ€˜๐‘†) โˆˆ โ„‚
1514, 3mulneg2i 11610 . . . . . 6 ((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท -๐‘…) = -((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท ๐‘…)
1613, 15eqtr4i 2764 . . . . 5 -(โˆ—โ€˜(๐‘† ยท ๐‘…)) = ((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท -๐‘…)
1716oveq1i 7371 . . . 4 (-(โˆ—โ€˜(๐‘† ยท ๐‘…)) ยท (๐น ยทih ๐บ)) = (((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท -๐‘…) ยท (๐น ยทih ๐บ))
1817oveq2i 7372 . . 3 ((๐น ยทih ๐น) + (-(โˆ—โ€˜(๐‘† ยท ๐‘…)) ยท (๐น ยทih ๐บ))) = ((๐น ยทih ๐น) + (((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท -๐‘…) ยท (๐น ยทih ๐บ)))
191, 3mulneg2i 11610 . . . . . 6 (๐‘† ยท -๐‘…) = -(๐‘† ยท ๐‘…)
2019eqcomi 2742 . . . . 5 -(๐‘† ยท ๐‘…) = (๐‘† ยท -๐‘…)
2120oveq1i 7371 . . . 4 (-(๐‘† ยท ๐‘…) ยท (๐บ ยทih ๐น)) = ((๐‘† ยท -๐‘…) ยท (๐บ ยทih ๐น))
228oveq2i 7372 . . . . . . 7 ((๐‘† ยท ๐‘…) ยท (โˆ—โ€˜(๐‘† ยท ๐‘…))) = ((๐‘† ยท ๐‘…) ยท ((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (โˆ—โ€˜๐‘…)))
233cjcli 15063 . . . . . . . . 9 (โˆ—โ€˜๐‘…) โˆˆ โ„‚
241, 3, 14, 23mul4i 11360 . . . . . . . 8 ((๐‘† ยท ๐‘…) ยท ((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (โˆ—โ€˜๐‘…))) = ((๐‘† ยท (โˆ—โ€˜๐‘†)) ยท (๐‘… ยท (โˆ—โ€˜๐‘…)))
25 normlem1.5 . . . . . . . . . . . 12 (absโ€˜๐‘†) = 1
2625oveq1i 7371 . . . . . . . . . . 11 ((absโ€˜๐‘†)โ†‘2) = (1โ†‘2)
271absvalsqi 15287 . . . . . . . . . . 11 ((absโ€˜๐‘†)โ†‘2) = (๐‘† ยท (โˆ—โ€˜๐‘†))
28 sq1 14108 . . . . . . . . . . 11 (1โ†‘2) = 1
2926, 27, 283eqtr3i 2769 . . . . . . . . . 10 (๐‘† ยท (โˆ—โ€˜๐‘†)) = 1
3010oveq2i 7372 . . . . . . . . . 10 (๐‘… ยท (โˆ—โ€˜๐‘…)) = (๐‘… ยท ๐‘…)
3129, 30oveq12i 7373 . . . . . . . . 9 ((๐‘† ยท (โˆ—โ€˜๐‘†)) ยท (๐‘… ยท (โˆ—โ€˜๐‘…))) = (1 ยท (๐‘… ยท ๐‘…))
323, 3mulcli 11170 . . . . . . . . . 10 (๐‘… ยท ๐‘…) โˆˆ โ„‚
3332mulid2i 11168 . . . . . . . . 9 (1 ยท (๐‘… ยท ๐‘…)) = (๐‘… ยท ๐‘…)
3431, 33eqtri 2761 . . . . . . . 8 ((๐‘† ยท (โˆ—โ€˜๐‘†)) ยท (๐‘… ยท (โˆ—โ€˜๐‘…))) = (๐‘… ยท ๐‘…)
3524, 34eqtri 2761 . . . . . . 7 ((๐‘† ยท ๐‘…) ยท ((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (โˆ—โ€˜๐‘…))) = (๐‘… ยท ๐‘…)
3622, 35eqtri 2761 . . . . . 6 ((๐‘† ยท ๐‘…) ยท (โˆ—โ€˜(๐‘† ยท ๐‘…))) = (๐‘… ยท ๐‘…)
373sqvali 14093 . . . . . 6 (๐‘…โ†‘2) = (๐‘… ยท ๐‘…)
3836, 37eqtr4i 2764 . . . . 5 ((๐‘† ยท ๐‘…) ยท (โˆ—โ€˜(๐‘† ยท ๐‘…))) = (๐‘…โ†‘2)
3938oveq1i 7371 . . . 4 (((๐‘† ยท ๐‘…) ยท (โˆ—โ€˜(๐‘† ยท ๐‘…))) ยท (๐บ ยทih ๐บ)) = ((๐‘…โ†‘2) ยท (๐บ ยทih ๐บ))
4021, 39oveq12i 7373 . . 3 ((-(๐‘† ยท ๐‘…) ยท (๐บ ยทih ๐น)) + (((๐‘† ยท ๐‘…) ยท (โˆ—โ€˜(๐‘† ยท ๐‘…))) ยท (๐บ ยทih ๐บ))) = (((๐‘† ยท -๐‘…) ยท (๐บ ยทih ๐น)) + ((๐‘…โ†‘2) ยท (๐บ ยทih ๐บ)))
4118, 40oveq12i 7373 . 2 (((๐น ยทih ๐น) + (-(โˆ—โ€˜(๐‘† ยท ๐‘…)) ยท (๐น ยทih ๐บ))) + ((-(๐‘† ยท ๐‘…) ยท (๐บ ยทih ๐น)) + (((๐‘† ยท ๐‘…) ยท (โˆ—โ€˜(๐‘† ยท ๐‘…))) ยท (๐บ ยทih ๐บ)))) = (((๐น ยทih ๐น) + (((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท -๐‘…) ยท (๐น ยทih ๐บ))) + (((๐‘† ยท -๐‘…) ยท (๐บ ยทih ๐น)) + ((๐‘…โ†‘2) ยท (๐บ ยทih ๐บ))))
427, 41eqtri 2761 1 ((๐น โˆ’โ„Ž ((๐‘† ยท ๐‘…) ยทโ„Ž ๐บ)) ยทih (๐น โˆ’โ„Ž ((๐‘† ยท ๐‘…) ยทโ„Ž ๐บ))) = (((๐น ยทih ๐น) + (((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท -๐‘…) ยท (๐น ยทih ๐บ))) + (((๐‘† ยท -๐‘…) ยท (๐บ ยทih ๐น)) + ((๐‘…โ†‘2) ยท (๐บ ยทih ๐บ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  1c1 11060   + caddc 11062   ยท cmul 11064  -cneg 11394  2c2 12216  โ†‘cexp 13976  โˆ—ccj 14990  abscabs 15128   โ„‹chba 29910   ยทโ„Ž csm 29912   ยทih csp 29913   โˆ’โ„Ž cmv 29916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-hfvadd 29991  ax-hfvmul 29996  ax-hvmulass 29998  ax-hfi 30070  ax-his1 30073  ax-his2 30074  ax-his3 30075
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-hvsub 29962
This theorem is referenced by:  normlem4  30104
  Copyright terms: Public domain W3C validator