Theorem mulneg1i 11766

Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 10-Feb-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
mulneg.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
mulneg1i	⊢ ( -𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵)

Proof of Theorem mulneg1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		mulneg.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3		mulneg1 11756	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ( -𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
4	1, 2, 3	mp2an 705	1 ⊢ ( -𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7421  ℂcc 11202   · cmul 11209   -cneg 11546

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-ltxr 11352  df-sub 11547  df-neg 11548

This theorem is used by:  recgt0ii  12227  crreczi  14376  sinhval  16328  coshval  16329  dvdslelem  16485  divalglem2  16571  divalglem6  16574  gcdaddmlem  16702  ncvspi  25483  ang180lem2  27144  ang180lem3  27145  1cubrlem  27175  asinsinlem  27225  asinsin  27226  asin1  27228  lgsdir2lem5  27662  nvpi  31275  ipasslem10  31447  normlem3  31720  cos9thpiminplylem5  34465  dvasin  38716  zlmodzxzequap  49705