MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipidsq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipidsq 30729
Description: The inner product of a vector with itself is the square of the vector's norm. Equation I4 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 1-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipid.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ipid.6 𝑁 = (normCV𝑈)
ipid.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
Assertion
Ref Expression
ipidsq ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝐴) = ((𝑁𝐴)↑2))

Proof of Theorem ipidsq
StepHypRef Expression
1 ipid.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 eqid 2737 . . . 4 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
3 eqid 2737 . . . 4 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
4 ipid.6 . . . 4 𝑁 = (normCV𝑈)
5 ipid.7 . . . 4 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
61, 2, 3, 4, 5ipval2 30726 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝐴) = (((((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))) / 4))
763anidm23 1423 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝐴) = (((((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))) / 4))
81, 2, 3nv2 30651 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴( +𝑣𝑈)𝐴) = (2( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))
98fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐴)) = (𝑁‘(2( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
10 2re 12340 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
11 0le2 12368 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ 2
1210, 11pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)
131, 3, 4nvsge0 30683 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘(2( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = (2 · (𝑁𝐴)))
1412, 13mp3an2 1451 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘(2( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = (2 · (𝑁𝐴)))
159, 14eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐴)) = (2 · (𝑁𝐴)))
1615oveq1d 7446 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) = ((2 · (𝑁𝐴))↑2))
171, 4nvcl 30680 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
1817recnd 11289 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℂ)
19 2cn 12341 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
20 2nn0 12543 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
21 mulexp 14142 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑁𝐴) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((2 · (𝑁𝐴))↑2) = ((2↑2) · ((𝑁𝐴)↑2)))
2219, 20, 21mp3an13 1454 . . . . . . . . . 10 ((𝑁𝐴) ∈ ℂ → ((2 · (𝑁𝐴))↑2) = ((2↑2) · ((𝑁𝐴)↑2)))
2318, 22syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((2 · (𝑁𝐴))↑2) = ((2↑2) · ((𝑁𝐴)↑2)))
24 sq2 14236 . . . . . . . . . 10 (2↑2) = 4
2524oveq1i 7441 . . . . . . . . 9 ((2↑2) · ((𝑁𝐴)↑2)) = (4 · ((𝑁𝐴)↑2))
2623, 25eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((2 · (𝑁𝐴))↑2) = (4 · ((𝑁𝐴)↑2)))
2716, 26eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) = (4 · ((𝑁𝐴)↑2)))
28 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (0vec𝑈) = (0vec𝑈)
291, 2, 3, 28nvrinv 30670 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = (0vec𝑈))
3029fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))) = (𝑁‘(0vec𝑈)))
3128, 4nvz0 30687 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁‘(0vec𝑈)) = 0)
3231adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘(0vec𝑈)) = 0)
3330, 32eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))) = 0)
3433sq0id 14233 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) = 0)
3527, 34oveq12d 7449 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) = ((4 · ((𝑁𝐴)↑2)) − 0))
36 4cn 12351 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
3718sqcld 14184 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝐴)↑2) ∈ ℂ)
38 mulcl 11239 . . . . . . . 8 ((4 ∈ ℂ ∧ ((𝑁𝐴)↑2) ∈ ℂ) → (4 · ((𝑁𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
3936, 37, 38sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (4 · ((𝑁𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
4039subid1d 11609 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((4 · ((𝑁𝐴)↑2)) − 0) = (4 · ((𝑁𝐴)↑2)))
4135, 40eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) = (4 · ((𝑁𝐴)↑2)))
42 1re 11261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ
43 neg1rr 12381 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -1 ∈ ℝ
44 absreim 15332 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℝ ∧ -1 ∈ ℝ) → (abs‘(1 + (i · -1))) = (√‘((1↑2) + (-1↑2))))
4542, 43, 44mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs‘(1 + (i · -1))) = (√‘((1↑2) + (-1↑2)))
46 ax-icn 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 i ∈ ℂ
47 ax-1cn 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℂ
4846, 47mulneg2i 11710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (i · -1) = -(i · 1)
4946mulridi 11265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (i · 1) = i
5049negeqi 11501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -(i · 1) = -i
5148, 50eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (i · -1) = -i
5251oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 + (i · -1)) = (1 + -i)
5352fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs‘(1 + (i · -1))) = (abs‘(1 + -i))
54 sqneg 14156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 ∈ ℂ → (-1↑2) = (1↑2))
5547, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-1↑2) = (1↑2)
5655oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1↑2) + (-1↑2)) = ((1↑2) + (1↑2))
5756fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . . 15 (√‘((1↑2) + (-1↑2))) = (√‘((1↑2) + (1↑2)))
5845, 53, 573eqtr3i 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs‘(1 + -i)) = (√‘((1↑2) + (1↑2)))
59 absreim 15332 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (abs‘(1 + (i · 1))) = (√‘((1↑2) + (1↑2))))
6042, 42, 59mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs‘(1 + (i · 1))) = (√‘((1↑2) + (1↑2)))
6149oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + (i · 1)) = (1 + i)
6261fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs‘(1 + (i · 1))) = (abs‘(1 + i))
6358, 60, 623eqtr2i 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (abs‘(1 + -i)) = (abs‘(1 + i))
6463oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . 12 ((abs‘(1 + -i)) · (𝑁𝐴)) = ((abs‘(1 + i)) · (𝑁𝐴))
65 negicn 11509 . . . . . . . . . . . . . 14 -i ∈ ℂ
6647, 65addcli 11267 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + -i) ∈ ℂ
671, 3, 4nvs 30682 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 + -i) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘((1 + -i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = ((abs‘(1 + -i)) · (𝑁𝐴)))
6866, 67mp3an2 1451 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘((1 + -i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = ((abs‘(1 + -i)) · (𝑁𝐴)))
6947, 46addcli 11267 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + i) ∈ ℂ
701, 3, 4nvs 30682 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 + i) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘((1 + i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = ((abs‘(1 + i)) · (𝑁𝐴)))
7169, 70mp3an2 1451 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘((1 + i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = ((abs‘(1 + i)) · (𝑁𝐴)))
7264, 68, 713eqtr4a 2803 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘((1 + -i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = (𝑁‘((1 + i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
731, 2, 3nvdir 30650 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((1 + -i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
7447, 73mp3anr1 1460 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-i ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((1 + -i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
7565, 74mpanr1 703 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((1 + -i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
761, 3nvsid 30646 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) = 𝐴)
7776oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = (𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
7875, 77eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((1 + -i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) = (𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
7978fveq2d 6910 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘((1 + -i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = (𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))))
801, 2, 3nvdir 30650 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((1 + i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
8147, 80mp3anr1 1460 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (i ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((1 + i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
8246, 81mpanr1 703 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((1 + i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
8376oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = (𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
8482, 83eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((1 + i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) = (𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
8584fveq2d 6910 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘((1 + i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = (𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))))
8672, 79, 853eqtr3d 2785 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))) = (𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))))
8786oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2))
8887oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) = (((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))
891, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 30725 . . . . . . . . . . 11 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐴𝑋) ∧ i ∈ ℂ) → ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) ∈ ℂ)
9046, 89mpan2 691 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐴𝑋) → ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) ∈ ℂ)
91903anidm23 1423 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) ∈ ℂ)
9291subidd 11608 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) = 0)
9388, 92eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) = 0)
9493oveq2d 7447 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (i · (((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2))) = (i · 0))
95 it0e0 12488 . . . . . 6 (i · 0) = 0
9694, 95eqtrdi 2793 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (i · (((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2))) = 0)
9741, 96oveq12d 7449 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))) = ((4 · ((𝑁𝐴)↑2)) + 0))
9839addridd 11461 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((4 · ((𝑁𝐴)↑2)) + 0) = (4 · ((𝑁𝐴)↑2)))
9997, 98eqtr2d 2778 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (4 · ((𝑁𝐴)↑2)) = ((((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))))
10099oveq1d 7446 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((4 · ((𝑁𝐴)↑2)) / 4) = (((((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))) / 4))
101 4ne0 12374 . . . 4 4 ≠ 0
102 divcan3 11948 . . . 4 ((((𝑁𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0) → ((4 · ((𝑁𝐴)↑2)) / 4) = ((𝑁𝐴)↑2))
10336, 101, 102mp3an23 1455 . . 3 (((𝑁𝐴)↑2) ∈ ℂ → ((4 · ((𝑁𝐴)↑2)) / 4) = ((𝑁𝐴)↑2))
10437, 103syl 17 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((4 · ((𝑁𝐴)↑2)) / 4) = ((𝑁𝐴)↑2))
1057, 100, 1043eqtr2d 2783 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝐴) = ((𝑁𝐴)↑2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156  ici 11157   + caddc 11158   · cmul 11160  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  2c2 12321  4c4 12323  0cn0 12526  cexp 14102  csqrt 15272  abscabs 15273  NrmCVeccnv 30603   +𝑣 cpv 30604  BaseSetcba 30605   ·𝑠OLD cns 30606  0veccn0v 30607  normCVcnmcv 30609  ·𝑖OLDcdip 30719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-nmcv 30619  df-dip 30720
This theorem is referenced by:  ipnm  30730  ipz  30738  pythi  30869  siilem1  30870  hlipgt0  30933  htthlem  30936
  Copyright terms: Public domain W3C validator