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Theorem ipidsq 29963
Description: The inner product of a vector with itself is the square of the vector's norm. Equation I4 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 1-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipid.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
ipid.6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
ipid.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
ipidsq ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐴) = ((π‘β€˜π΄)↑2))

Proof of Theorem ipidsq
StepHypRef Expression
1 ipid.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 eqid 2733 . . . 4 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
3 eqid 2733 . . . 4 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
4 ipid.6 . . . 4 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
5 ipid.7 . . . 4 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
61, 2, 3, 4, 5ipval2 29960 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐴) = (((((π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐴))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2)))) / 4))
763anidm23 1422 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐴) = (((((π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐴))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2)))) / 4))
81, 2, 3nv2 29885 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐴) = (2( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))
98fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐴)) = (π‘β€˜(2( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))
10 2re 12286 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
11 0le2 12314 . . . . . . . . . . . 12 0 ≀ 2
1210, 11pm3.2i 472 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 2)
131, 3, 4nvsge0 29917 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 2) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(2( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)) = (2 Β· (π‘β€˜π΄)))
1412, 13mp3an2 1450 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(2( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)) = (2 Β· (π‘β€˜π΄)))
159, 14eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐴)) = (2 Β· (π‘β€˜π΄)))
1615oveq1d 7424 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐴))↑2) = ((2 Β· (π‘β€˜π΄))↑2))
171, 4nvcl 29914 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ)
1817recnd 11242 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ β„‚)
19 2cn 12287 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ β„‚
20 2nn0 12489 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ β„•0
21 mulexp 14067 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ β„‚ ∧ (π‘β€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„•0) β†’ ((2 Β· (π‘β€˜π΄))↑2) = ((2↑2) Β· ((π‘β€˜π΄)↑2)))
2219, 20, 21mp3an13 1453 . . . . . . . . . 10 ((π‘β€˜π΄) ∈ β„‚ β†’ ((2 Β· (π‘β€˜π΄))↑2) = ((2↑2) Β· ((π‘β€˜π΄)↑2)))
2318, 22syl 17 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((2 Β· (π‘β€˜π΄))↑2) = ((2↑2) Β· ((π‘β€˜π΄)↑2)))
24 sq2 14161 . . . . . . . . . 10 (2↑2) = 4
2524oveq1i 7419 . . . . . . . . 9 ((2↑2) Β· ((π‘β€˜π΄)↑2)) = (4 Β· ((π‘β€˜π΄)↑2))
2623, 25eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((2 Β· (π‘β€˜π΄))↑2) = (4 Β· ((π‘β€˜π΄)↑2)))
2716, 26eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐴))↑2) = (4 Β· ((π‘β€˜π΄)↑2)))
28 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (0vecβ€˜π‘ˆ) = (0vecβ€˜π‘ˆ)
291, 2, 3, 28nvrinv 29904 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)) = (0vecβ€˜π‘ˆ))
3029fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))) = (π‘β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ)))
3128, 4nvz0 29921 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (π‘β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ)) = 0)
3231adantr 482 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ)) = 0)
3330, 32eqtrd 2773 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))) = 0)
3433sq0id 14158 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2) = 0)
3527, 34oveq12d 7427 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐴))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2)) = ((4 Β· ((π‘β€˜π΄)↑2)) βˆ’ 0))
36 4cn 12297 . . . . . . . 8 4 ∈ β„‚
3718sqcld 14109 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜π΄)↑2) ∈ β„‚)
38 mulcl 11194 . . . . . . . 8 ((4 ∈ β„‚ ∧ ((π‘β€˜π΄)↑2) ∈ β„‚) β†’ (4 Β· ((π‘β€˜π΄)↑2)) ∈ β„‚)
3936, 37, 38sylancr 588 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (4 Β· ((π‘β€˜π΄)↑2)) ∈ β„‚)
4039subid1d 11560 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((4 Β· ((π‘β€˜π΄)↑2)) βˆ’ 0) = (4 Β· ((π‘β€˜π΄)↑2)))
4135, 40eqtrd 2773 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐴))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2)) = (4 Β· ((π‘β€˜π΄)↑2)))
42 1re 11214 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ
43 neg1rr 12327 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -1 ∈ ℝ
44 absreim 15240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℝ ∧ -1 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜(1 + (i Β· -1))) = (βˆšβ€˜((1↑2) + (-1↑2))))
4542, 43, 44mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (absβ€˜(1 + (i Β· -1))) = (βˆšβ€˜((1↑2) + (-1↑2)))
46 ax-icn 11169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 i ∈ β„‚
47 ax-1cn 11168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ β„‚
4846, 47mulneg2i 11661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (i Β· -1) = -(i Β· 1)
4946mulridi 11218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (i Β· 1) = i
5049negeqi 11453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -(i Β· 1) = -i
5148, 50eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (i Β· -1) = -i
5251oveq2i 7420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 + (i Β· -1)) = (1 + -i)
5352fveq2i 6895 . . . . . . . . . . . . . . 15 (absβ€˜(1 + (i Β· -1))) = (absβ€˜(1 + -i))
54 sqneg 14081 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 ∈ β„‚ β†’ (-1↑2) = (1↑2))
5547, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-1↑2) = (1↑2)
5655oveq2i 7420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1↑2) + (-1↑2)) = ((1↑2) + (1↑2))
5756fveq2i 6895 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆšβ€˜((1↑2) + (-1↑2))) = (βˆšβ€˜((1↑2) + (1↑2)))
5845, 53, 573eqtr3i 2769 . . . . . . . . . . . . . 14 (absβ€˜(1 + -i)) = (βˆšβ€˜((1↑2) + (1↑2)))
59 absreim 15240 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜(1 + (i Β· 1))) = (βˆšβ€˜((1↑2) + (1↑2))))
6042, 42, 59mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (absβ€˜(1 + (i Β· 1))) = (βˆšβ€˜((1↑2) + (1↑2)))
6149oveq2i 7420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + (i Β· 1)) = (1 + i)
6261fveq2i 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 (absβ€˜(1 + (i Β· 1))) = (absβ€˜(1 + i))
6358, 60, 623eqtr2i 2767 . . . . . . . . . . . . 13 (absβ€˜(1 + -i)) = (absβ€˜(1 + i))
6463oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . 12 ((absβ€˜(1 + -i)) Β· (π‘β€˜π΄)) = ((absβ€˜(1 + i)) Β· (π‘β€˜π΄))
65 negicn 11461 . . . . . . . . . . . . . 14 -i ∈ β„‚
6647, 65addcli 11220 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + -i) ∈ β„‚
671, 3, 4nvs 29916 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (1 + -i) ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜((1 + -i)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)) = ((absβ€˜(1 + -i)) Β· (π‘β€˜π΄)))
6866, 67mp3an2 1450 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜((1 + -i)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)) = ((absβ€˜(1 + -i)) Β· (π‘β€˜π΄)))
6947, 46addcli 11220 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + i) ∈ β„‚
701, 3, 4nvs 29916 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (1 + i) ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜((1 + i)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)) = ((absβ€˜(1 + i)) Β· (π‘β€˜π΄)))
7169, 70mp3an2 1450 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜((1 + i)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)) = ((absβ€˜(1 + i)) Β· (π‘β€˜π΄)))
7264, 68, 713eqtr4a 2799 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜((1 + -i)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)) = (π‘β€˜((1 + i)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))
731, 2, 3nvdir 29884 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (1 ∈ β„‚ ∧ -i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((1 + -i)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))
7447, 73mp3anr1 1459 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (-i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((1 + -i)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))
7565, 74mpanr1 702 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((1 + -i)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))
761, 3nvsid 29880 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) = 𝐴)
7776oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))
7875, 77eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((1 + -i)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))
7978fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜((1 + -i)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)) = (π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))))
801, 2, 3nvdir 29884 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (1 ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((1 + i)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))
8147, 80mp3anr1 1459 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((1 + i)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))
8246, 81mpanr1 702 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((1 + i)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))
8376oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))
8482, 83eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((1 + i)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))
8584fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜((1 + i)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)) = (π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))))
8672, 79, 853eqtr3d 2781 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))) = (π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))))
8786oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2) = ((π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2))
8887oveq2d 7425 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2)) = (((π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2)))
891, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 29959 . . . . . . . . . . 11 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ i ∈ β„‚) β†’ ((π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2) ∈ β„‚)
9046, 89mpan2 690 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2) ∈ β„‚)
91903anidm23 1422 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2) ∈ β„‚)
9291subidd 11559 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2)) = 0)
9388, 92eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2)) = 0)
9493oveq2d 7425 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (i Β· (((π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2))) = (i Β· 0))
95 it0e0 12434 . . . . . 6 (i Β· 0) = 0
9694, 95eqtrdi 2789 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (i Β· (((π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2))) = 0)
9741, 96oveq12d 7427 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((((π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐴))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2)))) = ((4 Β· ((π‘β€˜π΄)↑2)) + 0))
9839addridd 11414 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((4 Β· ((π‘β€˜π΄)↑2)) + 0) = (4 Β· ((π‘β€˜π΄)↑2)))
9997, 98eqtr2d 2774 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (4 Β· ((π‘β€˜π΄)↑2)) = ((((π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐴))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2)))))
10099oveq1d 7424 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((4 Β· ((π‘β€˜π΄)↑2)) / 4) = (((((π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐴))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2)))) / 4))
101 4ne0 12320 . . . 4 4 β‰  0
102 divcan3 11898 . . . 4 ((((π‘β€˜π΄)↑2) ∈ β„‚ ∧ 4 ∈ β„‚ ∧ 4 β‰  0) β†’ ((4 Β· ((π‘β€˜π΄)↑2)) / 4) = ((π‘β€˜π΄)↑2))
10336, 101, 102mp3an23 1454 . . 3 (((π‘β€˜π΄)↑2) ∈ β„‚ β†’ ((4 Β· ((π‘β€˜π΄)↑2)) / 4) = ((π‘β€˜π΄)↑2))
10437, 103syl 17 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((4 Β· ((π‘β€˜π΄)↑2)) / 4) = ((π‘β€˜π΄)↑2))
1057, 100, 1043eqtr2d 2779 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐴) = ((π‘β€˜π΄)↑2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111  ici 11112   + caddc 11113   Β· cmul 11115   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  2c2 12267  4c4 12269  β„•0cn0 12472  β†‘cexp 14027  βˆšcsqrt 15180  abscabs 15181  NrmCVeccnv 29837   +𝑣 cpv 29838  BaseSetcba 29839   ·𝑠OLD cns 29840  0veccn0v 29841  normCVcnmcv 29843  Β·π‘–OLDcdip 29953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ginv 29748  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-nmcv 29853  df-dip 29954
This theorem is referenced by:  ipnm  29964  ipz  29972  pythi  30103  siilem1  30104  hlipgt0  30167  htthlem  30170
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