Theorem mulscl 28292

Description: The surreals are closed under multiplication. Theorem 8(i) of [Conway] p. 19. (Contributed by Scott Fenton, 5-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
mulscl	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No )

Proof of Theorem mulscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0no 27967	. . . 4 ⊢ 0s ∈ No
2	1, 1	pm3.2i 475	. . 3 ⊢ ( 0s ∈ No ∧ 0s ∈ No )
3		mulsprop 28288	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ ( 0s ∈ No ∧ 0s ∈ No ) ∧ ( 0s ∈ No ∧ 0s ∈ No )) → ((𝐴 ·s 𝐵) ∈ No ∧ (( 0s <s 0s ∧ 0s <s 0s ) → (( 0s ·s 0s ) -s ( 0s ·s 0s )) <s (( 0s ·s 0s ) -s ( 0s ·s 0s )))))
4	2, 2, 3	mp3an23 1479	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((𝐴 ·s 𝐵) ∈ No ∧ (( 0s <s 0s ∧ 0s <s 0s ) → (( 0s ·s 0s ) -s ( 0s ·s 0s )) <s (( 0s ·s 0s ) -s ( 0s ·s 0s )))))
5	4	simpld 499	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113  (class class class)co 7411   No csur 27769   <s clts 27770   0_s c0s 27963   -_s csubs 28178   ·_s cmuls 28264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-1o 8452  df-2o 8453  df-nadd 8651  df-no 27772  df-lts 27773  df-bday 27774  df-les 27874  df-slts 27916  df-cuts 27918  df-0s 27965  df-made 27985  df-old 27986  df-left 27988  df-right 27989  df-norec 28096  df-norec2 28107  df-adds 28118  df-negs 28179  df-subs 28180  df-muls 28265

This theorem is referenced by:  mulscld  28293  mulsgt0  28302  absmuls  28402  expscl  28589  bdayfinbndlem1  28625  remulscllem2  28659  remulscl  28660