Theorem expscl 28432

Description: Closure law for surreal exponentiation. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
expscl	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝐴↑s𝑁) ∈ No )

Proof of Theorem expscl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3957	. 2 ⊢ No ⊆ No
2		mulscl 28135	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ No ) → (𝑥 ·s 𝑦) ∈ No )
3		1no 27811	. 2 ⊢ 1s ∈ No
4	1, 2, 3	expscllem 28431	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝐴↑s𝑁) ∈ No )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7361   No csur 27612  ℕ_0scn0s 28313  ↑_scexps 28413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-ot 4590  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-oadd 8404  df-nadd 8597  df-no 27615  df-lts 27616  df-bday 27617  df-les 27718  df-slts 27759  df-cuts 27761  df-0s 27808  df-1s 27809  df-made 27828  df-old 27829  df-left 27831  df-right 27832  df-norec 27939  df-norec2 27950  df-adds 27961  df-negs 28022  df-subs 28023  df-muls 28108  df-seqs 28285  df-n0s 28315  df-nns 28316  df-zs 28380  df-exps 28414

This theorem is referenced by:  expadds  28436  expsne0  28437  expsgt0  28438  pw2recs  28439  pw2divscld  28440  pw2divmulsd  28441  pw2divscan3d  28442  pw2divscan2d  28443  pw2divsassd  28444  pw2divscan4d  28445  pw2gt0divsd  28446  pw2ge0divsd  28447  pw2divsrecd  28448  pw2divsnegd  28450  pw2ltdivmulsd  28451  pw2ltmuldivs2d  28452  pw2divs0d  28456  pw2divsidd  28457  pw2ltdivmuls2d  28458  pw2cut  28461  bdaypw2n0bndlem  28464  bdayfinbndlem1  28468  z12addscl  28478  z12zsodd  28483  z12sge0  28484