Theorem expscl 28359

Description: Closure law for surreal exponentiation. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
expscl	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝐴↑s𝑁) ∈ No )

Proof of Theorem expscl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3966	. 2 ⊢ No ⊆ No
2		mulscl 28078	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ No ) → (𝑥 ·s 𝑦) ∈ No )
3		1sno 27777	. 2 ⊢ 1s ∈ No
4	1, 2, 3	expscllem 28358	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝐴↑s𝑁) ∈ No )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369   No csur 27585  ℕ_0scnn0s 28247  ↑_scexps 28340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-ot 4594  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-nadd 8607  df-no 27588  df-slt 27589  df-bday 27590  df-sle 27691  df-sslt 27728  df-scut 27730  df-0s 27774  df-1s 27775  df-made 27793  df-old 27794  df-left 27796  df-right 27797  df-norec 27886  df-norec2 27897  df-adds 27908  df-negs 27968  df-subs 27969  df-muls 28051  df-seqs 28219  df-n0s 28249  df-nns 28250  df-zs 28308  df-exps 28341

This theorem is referenced by:  expadds  28363  expsne0  28364  expsgt0  28365  pw2recs  28366  pw2divscld  28367  pw2divsmuld  28368  pw2divscan3d  28369  pw2divscan2d  28370  pw2divsassd  28371  pw2divscan4d  28372  pw2gt0divsd  28373  pw2ge0divsd  28374  pw2divsrecd  28375  pw2divsnegd  28377  pw2sltdivmuld  28378  pw2sltmuldiv2d  28379  pw2cut  28384  zs12addscl  28390  zs12zodd  28395  zs12ge0  28396  zs12bday  28397