Theorem expscl 28531

Description: Closure law for surreal exponentiation. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
expscl	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝐴↑s𝑁) ∈ No )

Proof of Theorem expscl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3959	. 2 ⊢ No ⊆ No
2		mulscl 28234	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ No ) → (𝑥 ·s 𝑦) ∈ No )
3		1no 27910	. 2 ⊢ 1s ∈ No
4	1, 2, 3	expscllem 28530	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝐴↑s𝑁) ∈ No )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7396   No csur 27711  ℕ_0scn0s 28412  ↑_scexps 28512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-ot 4592  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-nadd 8636  df-no 27714  df-lts 27715  df-bday 27716  df-les 27816  df-slts 27858  df-cuts 27860  df-0s 27907  df-1s 27908  df-made 27927  df-old 27928  df-left 27930  df-right 27931  df-norec 28038  df-norec2 28049  df-adds 28060  df-negs 28121  df-subs 28122  df-muls 28207  df-seqs 28384  df-n0s 28414  df-nns 28415  df-zs 28479  df-exps 28513

This theorem is referenced by:  expadds  28535  expsne0  28536  expsgt0  28537  pw2recs  28538  pw2divscld  28539  pw2divmulsd  28540  pw2divscan3d  28541  pw2divscan2d  28542  pw2divsassd  28543  pw2divscan4d  28544  pw2gt0divsd  28545  pw2ge0divsd  28546  pw2divsrecd  28547  pw2divsnegd  28549  pw2ltdivmulsd  28550  pw2ltmuldivs2d  28551  pw2divs0d  28555  pw2divsidd  28556  pw2ltdivmuls2d  28557  pw2cut  28560  bdaypw2n0bndlem  28563  bdayfinbndlem1  28567  z12addscl  28577  z12zsodd  28582  z12sge0  28583