Theorem expscl 28428

Description: Closure law for surreal exponentiation. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
expscl	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝐴↑s𝑁) ∈ No )

Proof of Theorem expscl

Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 0s → (𝐴↑s𝑚) = (𝐴↑s 0s ))
2	1	eleq1d 2824	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 0s → ((𝐴↑s𝑚) ∈ No ↔ (𝐴↑s 0s ) ∈ No ))
3	2	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑚 = 0s → ((𝐴 ∈ No → (𝐴↑s𝑚) ∈ No ) ↔ (𝐴 ∈ No → (𝐴↑s 0s ) ∈ No )))
4		oveq2 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐴↑s𝑚) = (𝐴↑s𝑛))
5	4	eleq1d 2824	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐴↑s𝑚) ∈ No ↔ (𝐴↑s𝑛) ∈ No ))
6	5	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐴 ∈ No → (𝐴↑s𝑚) ∈ No ) ↔ (𝐴 ∈ No → (𝐴↑s𝑛) ∈ No )))
7		oveq2 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑛 +s 1s ) → (𝐴↑s𝑚) = (𝐴↑s(𝑛 +s 1s )))
8	7	eleq1d 2824	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑛 +s 1s ) → ((𝐴↑s𝑚) ∈ No ↔ (𝐴↑s(𝑛 +s 1s )) ∈ No ))
9	8	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑛 +s 1s ) → ((𝐴 ∈ No → (𝐴↑s𝑚) ∈ No ) ↔ (𝐴 ∈ No → (𝐴↑s(𝑛 +s 1s )) ∈ No )))
10		oveq2 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝐴↑s𝑚) = (𝐴↑s𝑁))
11	10	eleq1d 2824	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝐴↑s𝑚) ∈ No ↔ (𝐴↑s𝑁) ∈ No ))
12	11	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ No → (𝐴↑s𝑚) ∈ No ) ↔ (𝐴 ∈ No → (𝐴↑s𝑁) ∈ No )))
13		exps0 28425	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴↑s 0s ) = 1s )
14		1sno 27887	. . . 4 ⊢ 1s ∈ No
15	13, 14	eqeltrdi 2847	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴↑s 0s ) ∈ No )
16		simp2 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 ∈ No ∧ (𝐴↑s𝑛) ∈ No ) → 𝐴 ∈ No )
17		simp1 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 ∈ No ∧ (𝐴↑s𝑛) ∈ No ) → 𝑛 ∈ ℕ0s)
18		expsp1 28427	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑛 ∈ ℕ0s) → (𝐴↑s(𝑛 +s 1s )) = ((𝐴↑s𝑛) ·s 𝐴))
19	16, 17, 18	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 ∈ No ∧ (𝐴↑s𝑛) ∈ No ) → (𝐴↑s(𝑛 +s 1s )) = ((𝐴↑s𝑛) ·s 𝐴))
20		simp3 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 ∈ No ∧ (𝐴↑s𝑛) ∈ No ) → (𝐴↑s𝑛) ∈ No )
21	20, 16	mulscld 28176	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 ∈ No ∧ (𝐴↑s𝑛) ∈ No ) → ((𝐴↑s𝑛) ·s 𝐴) ∈ No )
22	19, 21	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 ∈ No ∧ (𝐴↑s𝑛) ∈ No ) → (𝐴↑s(𝑛 +s 1s )) ∈ No )
23	22	3exp 1118	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0s → (𝐴 ∈ No → ((𝐴↑s𝑛) ∈ No → (𝐴↑s(𝑛 +s 1s )) ∈ No )))
24	23	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0s → ((𝐴 ∈ No → (𝐴↑s𝑛) ∈ No ) → (𝐴 ∈ No → (𝐴↑s(𝑛 +s 1s )) ∈ No )))
25	3, 6, 9, 12, 15, 24	n0sind 28352	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0s → (𝐴 ∈ No → (𝐴↑s𝑁) ∈ No ))
26	25	impcom 407	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝐴↑s𝑁) ∈ No )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431   No csur 27699   0_s c0s 27882   1_s c1s 27883   +_s cadds 28007   ·_s cmuls 28147  ℕ_0scnn0s 28333  ↑_scexps 28411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-nadd 8703  df-no 27702  df-slt 27703  df-bday 27704  df-sle 27805  df-sslt 27841  df-scut 27843  df-0s 27884  df-1s 27885  df-made 27901  df-old 27902  df-left 27904  df-right 27905  df-norec 27986  df-norec2 27997  df-adds 28008  df-negs 28068  df-subs 28069  df-muls 28148  df-seqs 28305  df-n0s 28335  df-nns 28336  df-zs 28380  df-exps 28412

This theorem is referenced by:  expsne0  28429  expsgt0  28430  cutpw2  28432  pw2bday  28433  pw2cut  28435  zs12bday  28439