Theorem expscl 28423

Description: Closure law for surreal exponentiation. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
expscl	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝐴↑s𝑁) ∈ No )

Proof of Theorem expscl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3945	. 2 ⊢ No ⊆ No
2		mulscl 28126	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ No ) → (𝑥 ·s 𝑦) ∈ No )
3		1no 27802	. 2 ⊢ 1s ∈ No
4	1, 2, 3	expscllem 28422	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝐴↑s𝑁) ∈ No )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367   No csur 27603  ℕ_0scn0s 28304  ↑_scexps 28404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-nadd 8602  df-no 27606  df-lts 27607  df-bday 27608  df-les 27709  df-slts 27750  df-cuts 27752  df-0s 27799  df-1s 27800  df-made 27819  df-old 27820  df-left 27822  df-right 27823  df-norec 27930  df-norec2 27941  df-adds 27952  df-negs 28013  df-subs 28014  df-muls 28099  df-seqs 28276  df-n0s 28306  df-nns 28307  df-zs 28371  df-exps 28405

This theorem is referenced by:  expadds  28427  expsne0  28428  expsgt0  28429  pw2recs  28430  pw2divscld  28431  pw2divmulsd  28432  pw2divscan3d  28433  pw2divscan2d  28434  pw2divsassd  28435  pw2divscan4d  28436  pw2gt0divsd  28437  pw2ge0divsd  28438  pw2divsrecd  28439  pw2divsnegd  28441  pw2ltdivmulsd  28442  pw2ltmuldivs2d  28443  pw2divs0d  28447  pw2divsidd  28448  pw2ltdivmuls2d  28449  pw2cut  28452  bdaypw2n0bndlem  28455  bdayfinbndlem1  28459  z12addscl  28469  z12zsodd  28474  z12sge0  28475