Theorem expscl 28639

Description: Closure law for surreal exponentiation. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
expscl	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝐴↑s𝑁) ∈ No )

Proof of Theorem expscl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3962	. 2 ⊢ No ⊆ No
2		mulscl 28342	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ No ) → (𝑥 ·s 𝑦) ∈ No )
3		1no 28018	. 2 ⊢ 1s ∈ No
4	1, 2, 3	expscllem 28638	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝐴↑s𝑁) ∈ No )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7416   No csur 27819  ℕ_0scn0s 28520  ↑_scexps 28620

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5241  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-ot 4601  df-uni 4876  df-int 4916  df-iun 4961  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-nadd 8654  df-no 27822  df-lts 27823  df-bday 27824  df-les 27924  df-slts 27966  df-cuts 27968  df-0s 28015  df-1s 28016  df-made 28035  df-old 28036  df-left 28038  df-right 28039  df-norec 28146  df-norec2 28157  df-adds 28168  df-negs 28229  df-subs 28230  df-muls 28315  df-seqs 28492  df-n0s 28522  df-nns 28523  df-zs 28587  df-exps 28621

This theorem is used by:  expadds  28643  expsne0  28644  expsgt0  28645  pw2recs  28646  pw2divscld  28647  pw2divmulsd  28648  pw2divscan3d  28649  pw2divscan2d  28650  pw2divsassd  28651  pw2divscan4d  28652  pw2gt0divsd  28653  pw2ge0divsd  28654  pw2divsrecd  28655  pw2divsnegd  28657  pw2ltdivmulsd  28658  pw2ltmuldivs2d  28659  pw2divs0d  28663  pw2divsidd  28664  pw2ltdivmuls2d  28665  pw2cut  28668  bdaypw2n0bndlem  28671  bdayfinbndlem1  28675  z12addscl  28685  z12zsodd  28690  z12sge0  28691