Theorem expscl 28600

Description: Closure law for surreal exponentiation. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
expscl	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝐴↑s𝑁) ∈ No )

Proof of Theorem expscl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3958	. 2 ⊢ No ⊆ No
2		mulscl 28303	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ No ) → (𝑥 ·s 𝑦) ∈ No )
3		1no 27979	. 2 ⊢ 1s ∈ No
4	1, 2, 3	expscllem 28599	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝐴↑s𝑁) ∈ No )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7410   No csur 27780  ℕ_0scn0s 28481  ↑_scexps 28581

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-ot 4597  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-oadd 8456  df-nadd 8651  df-no 27783  df-lts 27784  df-bday 27785  df-les 27885  df-slts 27927  df-cuts 27929  df-0s 27976  df-1s 27977  df-made 27996  df-old 27997  df-left 27999  df-right 28000  df-norec 28107  df-norec2 28118  df-adds 28129  df-negs 28190  df-subs 28191  df-muls 28276  df-seqs 28453  df-n0s 28483  df-nns 28484  df-zs 28548  df-exps 28582

This theorem is referenced by:  expadds  28604  expsne0  28605  expsgt0  28606  pw2recs  28607  pw2divscld  28608  pw2divmulsd  28609  pw2divscan3d  28610  pw2divscan2d  28611  pw2divsassd  28612  pw2divscan4d  28613  pw2gt0divsd  28614  pw2ge0divsd  28615  pw2divsrecd  28616  pw2divsnegd  28618  pw2ltdivmulsd  28619  pw2ltmuldivs2d  28620  pw2divs0d  28624  pw2divsidd  28625  pw2ltdivmuls2d  28626  pw2cut  28629  bdaypw2n0bndlem  28632  bdayfinbndlem1  28636  z12addscl  28646  z12zsodd  28651  z12sge0  28652