Theorem expscl 28413

Description: Closure law for surreal exponentiation. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
expscl	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝐴↑s𝑁) ∈ No )

Proof of Theorem expscl

Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 0s → (𝐴↑s𝑚) = (𝐴↑s 0s ))
2	1	eleq1d 2826	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 0s → ((𝐴↑s𝑚) ∈ No ↔ (𝐴↑s 0s ) ∈ No ))
3	2	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑚 = 0s → ((𝐴 ∈ No → (𝐴↑s𝑚) ∈ No ) ↔ (𝐴 ∈ No → (𝐴↑s 0s ) ∈ No )))
4		oveq2 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐴↑s𝑚) = (𝐴↑s𝑛))
5	4	eleq1d 2826	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐴↑s𝑚) ∈ No ↔ (𝐴↑s𝑛) ∈ No ))
6	5	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐴 ∈ No → (𝐴↑s𝑚) ∈ No ) ↔ (𝐴 ∈ No → (𝐴↑s𝑛) ∈ No )))
7		oveq2 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑛 +s 1s ) → (𝐴↑s𝑚) = (𝐴↑s(𝑛 +s 1s )))
8	7	eleq1d 2826	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑛 +s 1s ) → ((𝐴↑s𝑚) ∈ No ↔ (𝐴↑s(𝑛 +s 1s )) ∈ No ))
9	8	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑛 +s 1s ) → ((𝐴 ∈ No → (𝐴↑s𝑚) ∈ No ) ↔ (𝐴 ∈ No → (𝐴↑s(𝑛 +s 1s )) ∈ No )))
10		oveq2 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝐴↑s𝑚) = (𝐴↑s𝑁))
11	10	eleq1d 2826	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝐴↑s𝑚) ∈ No ↔ (𝐴↑s𝑁) ∈ No ))
12	11	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ No → (𝐴↑s𝑚) ∈ No ) ↔ (𝐴 ∈ No → (𝐴↑s𝑁) ∈ No )))
13		exps0 28410	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴↑s 0s ) = 1s )
14		1sno 27872	. . . 4 ⊢ 1s ∈ No
15	13, 14	eqeltrdi 2849	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴↑s 0s ) ∈ No )
16		simp2 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 ∈ No ∧ (𝐴↑s𝑛) ∈ No ) → 𝐴 ∈ No )
17		simp1 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 ∈ No ∧ (𝐴↑s𝑛) ∈ No ) → 𝑛 ∈ ℕ0s)
18		expsp1 28412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑛 ∈ ℕ0s) → (𝐴↑s(𝑛 +s 1s )) = ((𝐴↑s𝑛) ·s 𝐴))
19	16, 17, 18	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 ∈ No ∧ (𝐴↑s𝑛) ∈ No ) → (𝐴↑s(𝑛 +s 1s )) = ((𝐴↑s𝑛) ·s 𝐴))
20		simp3 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 ∈ No ∧ (𝐴↑s𝑛) ∈ No ) → (𝐴↑s𝑛) ∈ No )
21	20, 16	mulscld 28161	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 ∈ No ∧ (𝐴↑s𝑛) ∈ No ) → ((𝐴↑s𝑛) ·s 𝐴) ∈ No )
22	19, 21	eqeltrd 2841	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 ∈ No ∧ (𝐴↑s𝑛) ∈ No ) → (𝐴↑s(𝑛 +s 1s )) ∈ No )
23	22	3exp 1120	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0s → (𝐴 ∈ No → ((𝐴↑s𝑛) ∈ No → (𝐴↑s(𝑛 +s 1s )) ∈ No )))
24	23	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0s → ((𝐴 ∈ No → (𝐴↑s𝑛) ∈ No ) → (𝐴 ∈ No → (𝐴↑s(𝑛 +s 1s )) ∈ No )))
25	3, 6, 9, 12, 15, 24	n0sind 28337	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0s → (𝐴 ∈ No → (𝐴↑s𝑁) ∈ No ))
26	25	impcom 407	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝐴↑s𝑁) ∈ No )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431   No csur 27684   0_s c0s 27867   1_s c1s 27868   +_s cadds 27992   ·_s cmuls 28132  ℕ_0scnn0s 28318  ↑_scexps 28396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-nadd 8704  df-no 27687  df-slt 27688  df-bday 27689  df-sle 27790  df-sslt 27826  df-scut 27828  df-0s 27869  df-1s 27870  df-made 27886  df-old 27887  df-left 27889  df-right 27890  df-norec 27971  df-norec2 27982  df-adds 27993  df-negs 28053  df-subs 28054  df-muls 28133  df-seqs 28290  df-n0s 28320  df-nns 28321  df-zs 28365  df-exps 28397

This theorem is referenced by:  expsne0  28414  expsgt0  28415  cutpw2  28417  pw2bday  28418  pw2cut  28420  zs12bday  28424