MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulscutlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulscutlem 27500
Description: Lemma for mulscut 27501. State the theorem with extra DV conditions. (Contributed by Scott Fenton, 7-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
mulscutlem.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
mulscutlem.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ No )
Assertion
Ref Expression
mulscutlem (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No โˆง ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) <<s {(๐ด ยทs ๐ต)} โˆง {(๐ด ยทs ๐ต)} <<s ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘,๐‘ž,๐‘Ÿ,๐‘ ,๐‘ก,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ค   ๐ต,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘,๐‘ž,๐‘Ÿ,๐‘ ,๐‘ก,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ค
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘ก,๐‘ ,๐‘Ÿ,๐‘ž,๐‘,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘)

Proof of Theorem mulscutlem
Dummy variables ๐‘’ ๐‘“ ๐‘” โ„Ž ๐‘– ๐‘— are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulscutlem.1 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
2 mulscutlem.2 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ No )
3 mulsprop 27499 . . . . . . . . 9 (((๐‘’ โˆˆ No โˆง ๐‘“ โˆˆ No ) โˆง (๐‘” โˆˆ No โˆง โ„Ž โˆˆ No ) โˆง (๐‘– โˆˆ No โˆง ๐‘— โˆˆ No )) โ†’ ((๐‘’ ยทs ๐‘“) โˆˆ No โˆง ((๐‘” <s โ„Ž โˆง ๐‘– <s ๐‘—) โ†’ ((๐‘” ยทs ๐‘—) -s (๐‘” ยทs ๐‘–)) <s ((โ„Ž ยทs ๐‘—) -s (โ„Ž ยทs ๐‘–)))))
43a1d 25 . . . . . . . 8 (((๐‘’ โˆˆ No โˆง ๐‘“ โˆˆ No ) โˆง (๐‘” โˆˆ No โˆง โ„Ž โˆˆ No ) โˆง (๐‘– โˆˆ No โˆง ๐‘— โˆˆ No )) โ†’ (((( bday โ€˜๐‘’) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘”) +no ( bday โ€˜๐‘–)) โˆช (( bday โ€˜โ„Ž) +no ( bday โ€˜๐‘—))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘”) +no ( bday โ€˜๐‘—)) โˆช (( bday โ€˜โ„Ž) +no ( bday โ€˜๐‘–))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โ†’ ((๐‘’ ยทs ๐‘“) โˆˆ No โˆง ((๐‘” <s โ„Ž โˆง ๐‘– <s ๐‘—) โ†’ ((๐‘” ยทs ๐‘—) -s (๐‘” ยทs ๐‘–)) <s ((โ„Ž ยทs ๐‘—) -s (โ„Ž ยทs ๐‘–))))))
543expa 1118 . . . . . . 7 ((((๐‘’ โˆˆ No โˆง ๐‘“ โˆˆ No ) โˆง (๐‘” โˆˆ No โˆง โ„Ž โˆˆ No )) โˆง (๐‘– โˆˆ No โˆง ๐‘— โˆˆ No )) โ†’ (((( bday โ€˜๐‘’) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘”) +no ( bday โ€˜๐‘–)) โˆช (( bday โ€˜โ„Ž) +no ( bday โ€˜๐‘—))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘”) +no ( bday โ€˜๐‘—)) โˆช (( bday โ€˜โ„Ž) +no ( bday โ€˜๐‘–))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โ†’ ((๐‘’ ยทs ๐‘“) โˆˆ No โˆง ((๐‘” <s โ„Ž โˆง ๐‘– <s ๐‘—) โ†’ ((๐‘” ยทs ๐‘—) -s (๐‘” ยทs ๐‘–)) <s ((โ„Ž ยทs ๐‘—) -s (โ„Ž ยทs ๐‘–))))))
65ralrimivva 3199 . . . . . 6 (((๐‘’ โˆˆ No โˆง ๐‘“ โˆˆ No ) โˆง (๐‘” โˆˆ No โˆง โ„Ž โˆˆ No )) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ No โˆ€๐‘— โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘’) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘”) +no ( bday โ€˜๐‘–)) โˆช (( bday โ€˜โ„Ž) +no ( bday โ€˜๐‘—))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘”) +no ( bday โ€˜๐‘—)) โˆช (( bday โ€˜โ„Ž) +no ( bday โ€˜๐‘–))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โ†’ ((๐‘’ ยทs ๐‘“) โˆˆ No โˆง ((๐‘” <s โ„Ž โˆง ๐‘– <s ๐‘—) โ†’ ((๐‘” ยทs ๐‘—) -s (๐‘” ยทs ๐‘–)) <s ((โ„Ž ยทs ๐‘—) -s (โ„Ž ยทs ๐‘–))))))
76ralrimivva 3199 . . . . 5 ((๐‘’ โˆˆ No โˆง ๐‘“ โˆˆ No ) โ†’ โˆ€๐‘” โˆˆ No โˆ€โ„Ž โˆˆ No โˆ€๐‘– โˆˆ No โˆ€๐‘— โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘’) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘”) +no ( bday โ€˜๐‘–)) โˆช (( bday โ€˜โ„Ž) +no ( bday โ€˜๐‘—))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘”) +no ( bday โ€˜๐‘—)) โˆช (( bday โ€˜โ„Ž) +no ( bday โ€˜๐‘–))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โ†’ ((๐‘’ ยทs ๐‘“) โˆˆ No โˆง ((๐‘” <s โ„Ž โˆง ๐‘– <s ๐‘—) โ†’ ((๐‘” ยทs ๐‘—) -s (๐‘” ยทs ๐‘–)) <s ((โ„Ž ยทs ๐‘—) -s (โ„Ž ยทs ๐‘–))))))
87rgen2 3196 . . . 4 โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No โˆ€๐‘” โˆˆ No โˆ€โ„Ž โˆˆ No โˆ€๐‘– โˆˆ No โˆ€๐‘— โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘’) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘”) +no ( bday โ€˜๐‘–)) โˆช (( bday โ€˜โ„Ž) +no ( bday โ€˜๐‘—))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘”) +no ( bday โ€˜๐‘—)) โˆช (( bday โ€˜โ„Ž) +no ( bday โ€˜๐‘–))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โ†’ ((๐‘’ ยทs ๐‘“) โˆˆ No โˆง ((๐‘” <s โ„Ž โˆง ๐‘– <s ๐‘—) โ†’ ((๐‘” ยทs ๐‘—) -s (๐‘” ยทs ๐‘–)) <s ((โ„Ž ยทs ๐‘—) -s (โ„Ž ยทs ๐‘–)))))
98a1i 11 . . 3 ((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No ) โ†’ โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No โˆ€๐‘” โˆˆ No โˆ€โ„Ž โˆˆ No โˆ€๐‘– โˆˆ No โˆ€๐‘— โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘’) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘”) +no ( bday โ€˜๐‘–)) โˆช (( bday โ€˜โ„Ž) +no ( bday โ€˜๐‘—))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘”) +no ( bday โ€˜๐‘—)) โˆช (( bday โ€˜โ„Ž) +no ( bday โ€˜๐‘–))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โ†’ ((๐‘’ ยทs ๐‘“) โˆˆ No โˆง ((๐‘” <s โ„Ž โˆง ๐‘– <s ๐‘—) โ†’ ((๐‘” ยทs ๐‘—) -s (๐‘” ยทs ๐‘–)) <s ((โ„Ž ยทs ๐‘—) -s (โ„Ž ยทs ๐‘–))))))
10 simpl 483 . . 3 ((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No ) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
11 simpr 485 . . 3 ((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No ) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
129, 10, 11mulsproplem10 27494 . 2 ((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No ) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No โˆง ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) <<s {(๐ด ยทs ๐ต)} โˆง {(๐ด ยทs ๐ต)} <<s ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})))
131, 2, 12syl2anc 584 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No โˆง ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) <<s {(๐ด ยทs ๐ต)} โˆง {(๐ด ยทs ๐ต)} <<s ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  {cab 2708  โˆ€wral 3060  โˆƒwrex 3069   โˆช cun 3942  {csn 4622   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6532  (class class class)co 7393   +no cnadd 8647   No csur 27070   <s cslt 27071   bday cbday 27072   <<s csslt 27208   0s c0s 27249   L cleft 27263   R cright 27264   +s cadds 27359   -s csubs 27411   ยทs cmuls 27476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-ot 4631  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-1o 8448  df-2o 8449  df-nadd 8648  df-no 27073  df-slt 27074  df-bday 27075  df-sle 27175  df-sslt 27209  df-scut 27211  df-0s 27251  df-made 27265  df-old 27266  df-left 27268  df-right 27269  df-norec 27338  df-norec2 27349  df-adds 27360  df-negs 27412  df-subs 27413  df-muls 27477
This theorem is referenced by:  mulscut  27501
  Copyright terms: Public domain W3C validator