MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulscutlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulscutlem 27516
Description: Lemma for mulscut 27517. State the theorem with extra DV conditions. (Contributed by Scott Fenton, 7-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
mulscutlem.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
mulscutlem.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ No )
Assertion
Ref Expression
mulscutlem (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No โˆง ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) <<s {(๐ด ยทs ๐ต)} โˆง {(๐ด ยทs ๐ต)} <<s ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘,๐‘ž,๐‘Ÿ,๐‘ ,๐‘ก,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ค   ๐ต,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘,๐‘ž,๐‘Ÿ,๐‘ ,๐‘ก,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ค
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘ก,๐‘ ,๐‘Ÿ,๐‘ž,๐‘,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘)

Proof of Theorem mulscutlem
Dummy variables ๐‘’ ๐‘“ ๐‘” โ„Ž ๐‘– ๐‘— are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulscutlem.1 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
2 mulscutlem.2 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ No )
3 mulsprop 27515 . . . . . . . . 9 (((๐‘’ โˆˆ No โˆง ๐‘“ โˆˆ No ) โˆง (๐‘” โˆˆ No โˆง โ„Ž โˆˆ No ) โˆง (๐‘– โˆˆ No โˆง ๐‘— โˆˆ No )) โ†’ ((๐‘’ ยทs ๐‘“) โˆˆ No โˆง ((๐‘” <s โ„Ž โˆง ๐‘– <s ๐‘—) โ†’ ((๐‘” ยทs ๐‘—) -s (๐‘” ยทs ๐‘–)) <s ((โ„Ž ยทs ๐‘—) -s (โ„Ž ยทs ๐‘–)))))
43a1d 25 . . . . . . . 8 (((๐‘’ โˆˆ No โˆง ๐‘“ โˆˆ No ) โˆง (๐‘” โˆˆ No โˆง โ„Ž โˆˆ No ) โˆง (๐‘– โˆˆ No โˆง ๐‘— โˆˆ No )) โ†’ (((( bday โ€˜๐‘’) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘”) +no ( bday โ€˜๐‘–)) โˆช (( bday โ€˜โ„Ž) +no ( bday โ€˜๐‘—))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘”) +no ( bday โ€˜๐‘—)) โˆช (( bday โ€˜โ„Ž) +no ( bday โ€˜๐‘–))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โ†’ ((๐‘’ ยทs ๐‘“) โˆˆ No โˆง ((๐‘” <s โ„Ž โˆง ๐‘– <s ๐‘—) โ†’ ((๐‘” ยทs ๐‘—) -s (๐‘” ยทs ๐‘–)) <s ((โ„Ž ยทs ๐‘—) -s (โ„Ž ยทs ๐‘–))))))
543expa 1118 . . . . . . 7 ((((๐‘’ โˆˆ No โˆง ๐‘“ โˆˆ No ) โˆง (๐‘” โˆˆ No โˆง โ„Ž โˆˆ No )) โˆง (๐‘– โˆˆ No โˆง ๐‘— โˆˆ No )) โ†’ (((( bday โ€˜๐‘’) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘”) +no ( bday โ€˜๐‘–)) โˆช (( bday โ€˜โ„Ž) +no ( bday โ€˜๐‘—))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘”) +no ( bday โ€˜๐‘—)) โˆช (( bday โ€˜โ„Ž) +no ( bday โ€˜๐‘–))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โ†’ ((๐‘’ ยทs ๐‘“) โˆˆ No โˆง ((๐‘” <s โ„Ž โˆง ๐‘– <s ๐‘—) โ†’ ((๐‘” ยทs ๐‘—) -s (๐‘” ยทs ๐‘–)) <s ((โ„Ž ยทs ๐‘—) -s (โ„Ž ยทs ๐‘–))))))
65ralrimivva 3200 . . . . . 6 (((๐‘’ โˆˆ No โˆง ๐‘“ โˆˆ No ) โˆง (๐‘” โˆˆ No โˆง โ„Ž โˆˆ No )) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ No โˆ€๐‘— โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘’) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘”) +no ( bday โ€˜๐‘–)) โˆช (( bday โ€˜โ„Ž) +no ( bday โ€˜๐‘—))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘”) +no ( bday โ€˜๐‘—)) โˆช (( bday โ€˜โ„Ž) +no ( bday โ€˜๐‘–))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โ†’ ((๐‘’ ยทs ๐‘“) โˆˆ No โˆง ((๐‘” <s โ„Ž โˆง ๐‘– <s ๐‘—) โ†’ ((๐‘” ยทs ๐‘—) -s (๐‘” ยทs ๐‘–)) <s ((โ„Ž ยทs ๐‘—) -s (โ„Ž ยทs ๐‘–))))))
76ralrimivva 3200 . . . . 5 ((๐‘’ โˆˆ No โˆง ๐‘“ โˆˆ No ) โ†’ โˆ€๐‘” โˆˆ No โˆ€โ„Ž โˆˆ No โˆ€๐‘– โˆˆ No โˆ€๐‘— โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘’) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘”) +no ( bday โ€˜๐‘–)) โˆช (( bday โ€˜โ„Ž) +no ( bday โ€˜๐‘—))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘”) +no ( bday โ€˜๐‘—)) โˆช (( bday โ€˜โ„Ž) +no ( bday โ€˜๐‘–))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โ†’ ((๐‘’ ยทs ๐‘“) โˆˆ No โˆง ((๐‘” <s โ„Ž โˆง ๐‘– <s ๐‘—) โ†’ ((๐‘” ยทs ๐‘—) -s (๐‘” ยทs ๐‘–)) <s ((โ„Ž ยทs ๐‘—) -s (โ„Ž ยทs ๐‘–))))))
87rgen2 3197 . . . 4 โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No โˆ€๐‘” โˆˆ No โˆ€โ„Ž โˆˆ No โˆ€๐‘– โˆˆ No โˆ€๐‘— โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘’) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘”) +no ( bday โ€˜๐‘–)) โˆช (( bday โ€˜โ„Ž) +no ( bday โ€˜๐‘—))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘”) +no ( bday โ€˜๐‘—)) โˆช (( bday โ€˜โ„Ž) +no ( bday โ€˜๐‘–))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โ†’ ((๐‘’ ยทs ๐‘“) โˆˆ No โˆง ((๐‘” <s โ„Ž โˆง ๐‘– <s ๐‘—) โ†’ ((๐‘” ยทs ๐‘—) -s (๐‘” ยทs ๐‘–)) <s ((โ„Ž ยทs ๐‘—) -s (โ„Ž ยทs ๐‘–)))))
98a1i 11 . . 3 ((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No ) โ†’ โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No โˆ€๐‘” โˆˆ No โˆ€โ„Ž โˆˆ No โˆ€๐‘– โˆˆ No โˆ€๐‘— โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘’) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘”) +no ( bday โ€˜๐‘–)) โˆช (( bday โ€˜โ„Ž) +no ( bday โ€˜๐‘—))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘”) +no ( bday โ€˜๐‘—)) โˆช (( bday โ€˜โ„Ž) +no ( bday โ€˜๐‘–))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โ†’ ((๐‘’ ยทs ๐‘“) โˆˆ No โˆง ((๐‘” <s โ„Ž โˆง ๐‘– <s ๐‘—) โ†’ ((๐‘” ยทs ๐‘—) -s (๐‘” ยทs ๐‘–)) <s ((โ„Ž ยทs ๐‘—) -s (โ„Ž ยทs ๐‘–))))))
10 simpl 483 . . 3 ((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No ) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
11 simpr 485 . . 3 ((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No ) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
129, 10, 11mulsproplem10 27510 . 2 ((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No ) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No โˆง ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) <<s {(๐ด ยทs ๐ต)} โˆง {(๐ด ยทs ๐ต)} <<s ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})))
131, 2, 12syl2anc 584 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No โˆง ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) <<s {(๐ด ยทs ๐ต)} โˆง {(๐ด ยทs ๐ต)} <<s ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  {cab 2709  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070   โˆช cun 3943  {csn 4623   class class class wbr 5142  โ€˜cfv 6533  (class class class)co 7394   +no cnadd 8649   No csur 27072   <s cslt 27073   bday cbday 27074   <<s csslt 27211   0s c0s 27252   L cleft 27269   R cright 27270   +s cadds 27372   -s csubs 27424   ยทs cmuls 27491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-se 5626  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-1o 8450  df-2o 8451  df-nadd 8650  df-no 27075  df-slt 27076  df-bday 27077  df-sle 27177  df-sslt 27212  df-scut 27214  df-0s 27254  df-made 27271  df-old 27272  df-left 27274  df-right 27275  df-norec 27351  df-norec2 27362  df-adds 27373  df-negs 27425  df-subs 27426  df-muls 27492
This theorem is referenced by:  mulscut  27517
  Copyright terms: Public domain W3C validator