Theorem n0lesm1lt 28635

Description: Non-negative surreal ordering relation. (Contributed by Scott Fenton, 8-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
n0lesm1lt	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝑀 ≤s 𝑁 ↔ (𝑀 -s 1s ) <s 𝑁))

Proof of Theorem n0lesm1lt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0lesltp1 28634	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝑀 ≤s 𝑁 ↔ 𝑀 <s (𝑁 +s 1s )))
2		n0no 28591	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0s → 𝑀 ∈ No )
3	2	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → 𝑀 ∈ No )
4		n0no 28591	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0s → 𝑁 ∈ No )
5	4	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → 𝑁 ∈ No )
6		peano2no 28252	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ No → (𝑁 +s 1s ) ∈ No )
7	5, 6	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝑁 +s 1s ) ∈ No )
8		1no 28078	. . . 4 ⊢ 1s ∈ No
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → 1s ∈ No )
10	3, 7, 9	ltsubs1d 28346	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝑀 <s (𝑁 +s 1s ) ↔ (𝑀 -s 1s ) <s ((𝑁 +s 1s ) -s 1s )))
11		pncans 28340	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 1s ∈ No ) → ((𝑁 +s 1s ) -s 1s ) = 𝑁)
12	4, 8, 11	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0s → ((𝑁 +s 1s ) -s 1s ) = 𝑁)
13	12	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → ((𝑁 +s 1s ) -s 1s ) = 𝑁)
14	13	breq2d 5115	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → ((𝑀 -s 1s ) <s ((𝑁 +s 1s ) -s 1s ) ↔ (𝑀 -s 1s ) <s 𝑁))
15	1, 10, 14	3bitrd 308	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝑀 ≤s 𝑁 ↔ (𝑀 -s 1s ) <s 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7414   No csur 27879   <s clts 27880   ≤s cles 27983   1_s c1s 28074   +_s cadds 28227   -_s csubs 28288  ℕ_0scn0s 28580

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-nadd 8657  df-no 27882  df-lts 27883  df-bday 27884  df-les 27984  df-slts 28026  df-cuts 28028  df-0s 28075  df-1s 28076  df-made 28095  df-old 28096  df-left 28098  df-right 28099  df-norec 28206  df-norec2 28217  df-adds 28228  df-negs 28289  df-subs 28290  df-n0s 28582  df-nns 28583

This theorem is used by: (None)