Theorem nnre 12172

Description: A positive integer is a real number. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnre	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssre 12169	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
2	1	sseli 3911	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  ℝcr 11028  ℕcn 12165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-nn 12166

This theorem is referenced by:  nnrei  12174  nnmulcl  12189  nn2ge  12195  nnge1  12196  nngt1ne1  12197  nnle1eq1  12198  nngt0  12199  nnnlt1  12200  nnnle0  12201  nndivre  12209  nnrecgt0  12211  nnsub  12212  nnadddir  12224  nnmul1com  12225  nnunb  12424  arch  12425  nnrecl  12426  bndndx  12427  0mnnnnn0  12460  nnnegz  12518  elnnz  12525  elz2  12533  nnz  12536  gtndiv  12597  prime  12601  btwnz  12623  indstr  12857  qre  12894  elpq  12916  elpqb  12917  rpnnen1lem2  12918  rpnnen1lem1  12919  rpnnen1lem3  12920  rpnnen1lem5  12922  nnrp  12945  nnledivrp  13047  qbtwnre  13142  elfzo0le  13649  fzonmapblen  13654  fzo1fzo0n0  13661  ubmelfzo  13676  fzonn0p1p1  13690  ubmelm1fzo  13709  subfzo0  13738  adddivflid  13768  flltdivnn0lt  13783  quoremz  13805  quoremnn0ALT  13807  intfracq  13809  fldiv  13810  modmulnn  13839  m1modnnsub1  13870  addmodid  13872  modifeq2int  13886  modaddmodup  13887  modaddmodlo  13888  modfzo0difsn  13896  modsumfzodifsn  13897  addmodlteq  13899  nnlesq  14158  digit2  14189  digit1  14190  expnngt1  14194  facdiv  14240  facndiv  14241  faclbnd  14243  faclbnd3  14245  faclbnd4lem4  14249  faclbnd5  14251  bcval5  14271  seqcoll  14417  ccatval21sw  14539  cshwidxmod  14756  cshwidxm1  14760  repswcshw  14765  isercolllem1  15618  harmonic  15815  efaddlem  16049  rpnnen2lem9  16180  rpnnen2lem12  16183  sqrt2irr  16207  nndivdvds  16221  dvdsle  16270  fzm1ndvds  16282  nno  16342  nnoddm1d2  16346  divalg2  16365  divalgmod  16366  ndvdsadd  16370  modgcd  16492  gcdzeq  16512  nn0rppwr  16521  sqgcd  16522  nn0expgcd  16524  dvdssqlem  16526  lcmgcdlem  16566  lcmf  16593  coprmgcdb  16609  qredeq  16617  qredeu  16618  isprm3  16643  ge2nprmge4  16662  prmdvdsfz  16666  isprm5  16668  ncoprmlnprm  16689  divdenle  16710  phibndlem  16731  eulerthlem2  16743  hashgcdlem  16749  oddprm  16772  pythagtriplem10  16782  pythagtriplem12  16788  pythagtriplem14  16790  pythagtriplem16  16792  pythagtriplem19  16795  pclem  16800  pc2dvds  16841  pcmpt  16854  fldivp1  16859  pcbc  16862  infpnlem1  16872  infpn2  16875  prmreclem1  16878  prmreclem3  16880  vdwlem3  16945  ram0  16984  prmgaplem4  17016  prmgaplem7  17019  cshwshashlem1  17057  cshwshashlem2  17058  setsstruct2  17135  mulgnegnn  19051  mulgmodid  19080  odmodnn0  19506  gexdvds  19550  sylow3lem6  19598  prmirredlem  21447  znidomb  21536  chfacfisf  22837  chfacfisfcpmat  22838  chfacffsupp  22839  chfacfscmul0  22841  chfacfpmmul0  22845  ovolunlem1a  25481  ovoliunlem2  25488  ovolicc2lem3  25504  ovolicc2lem4  25505  iundisj2  25534  dyadss  25579  volsup2  25590  volivth  25592  vitali  25598  ismbf3d  25639  mbfi1fseqlem3  25702  mbfi1fseqlem4  25703  mbfi1fseqlem5  25704  itg2seq  25727  itg2gt0  25745  itg2cnlem1  25746  idomrootle  26156  plyeq0lem  26193  dgreq0  26248  dgrcolem2  26257  elqaalem2  26304  elqaalem3  26305  logtayllem  26641  leibpi  26924  birthdaylem3  26935  zetacvg  26996  eldmgm  27003  basellem1  27062  basellem2  27063  basellem3  27064  basellem6  27067  basellem9  27070  prmorcht  27159  dvdsflsumcom  27169  muinv  27174  vmalelog  27186  chtublem  27192  logfac2  27198  logfaclbnd  27203  pcbcctr  27257  bcmono  27258  bposlem1  27265  bposlem5  27269  bposlem6  27270  bpos  27274  lgsval4a  27300  gausslemma2dlem0c  27339  gausslemma2dlem0d  27340  gausslemma2dlem1a  27346  gausslemma2dlem2  27348  gausslemma2dlem3  27349  gausslemma2dlem5  27352  lgsquadlem1  27361  lgsquadlem2  27362  2lgslem1a1  27370  2sqreunnlem1  27430  2sqreunnltlem  27431  dchrisum0re  27494  dchrisum0lem1  27497  logdivbnd  27537  ostth2lem1  27599  ostth2lem3  27616  pthdlem2lem  29853  crctcshwlkn0lem1  29896  crctcshwlkn0lem3  29898  crctcshwlkn0lem4  29899  crctcshwlkn0lem5  29900  crctcshwlkn0lem6  29901  crctcshwlkn0lem7  29902  crctcshwlkn0  29907  clwlkclwwlkf1lem2  30093  clwwisshclwwslem  30102  clwwlkel  30134  clwwlkf  30135  clwwlkf1  30137  wwlksext2clwwlk  30145  wwlksubclwwlk  30146  eucrctshift  30331  eucrct2eupth  30333  numclwlk2lem2f  30465  nmounbseqi  30866  nmounbseqiALT  30867  nmobndseqi  30868  nmobndseqiALT  30869  ubthlem1  30959  minvecolem3  30965  lnconi  32122  iundisj2f  32679  nnmulge  32831  xrsmulgzz  33088  esumpmono  34263  eulerpartlemb  34552  fibp1  34585  subfaclim  35416  subfacval3  35417  snmlff  35557  fz0n  35959  bcprod  35966  nn0prpwlem  36550  nn0prpw  36551  nndivsub  36685  nndivlub  36686  knoppcnlem2  36800  knoppcnlem4  36802  knoppndvlem11  36828  knoppndvlem12  36829  knoppndvlem14  36831  poimirlem13  38000  poimirlem14  38001  poimirlem31  38018  poimirlem32  38019  mblfinlem2  38025  fzmul  38108  incsequz  38115  nnubfi  38117  nninfnub  38118  2ap1caineq  42630  sticksstones1  42631  unitscyglem5  42684  sn-nnne0  42950  nn0addcom  42952  renegmulnnass  42955  nn0mulcom  42956  zmulcomlem  42957  fimgmcyc  43020  irrapxlem1  43267  irrapxlem2  43268  pellexlem1  43274  pellexlem5  43278  pellqrex  43324  monotoddzzfi  43387  jm2.24nn  43404  congabseq  43419  acongrep  43425  acongeq  43428  expdiophlem1  43466  idomodle  43636  relexpmulnn  44153  prmunb2  44755  hashnzfzclim  44766  fmuldfeq  46028  sumnnodd  46075  stoweidlem14  46457  stoweidlem17  46460  stoweidlem20  46463  stoweidlem49  46492  stoweidlem60  46503  wallispilem3  46510  wallispilem4  46511  wallispilem5  46512  wallispi  46513  wallispi2lem1  46514  wallispi2lem2  46515  stirlinglem1  46517  stirlinglem3  46519  stirlinglem4  46520  stirlinglem6  46522  stirlinglem7  46523  stirlinglem10  46526  stirlinglem11  46527  stirlinglem12  46528  stirlinglem13  46529  stirlingr  46533  dirker2re  46535  dirkerval2  46537  dirkerre  46538  dirkertrigeqlem1  46541  fourierdlem66  46615  fourierdlem73  46622  fourierdlem83  46632  fourierdlem87  46636  fourierdlem103  46652  fourierdlem104  46653  fourierdlem111  46660  fouriersw  46674  etransclem24  46701  sge0rpcpnf  46864  hoicvr  46991  hoicvrrex  46999  vonioolem2  47124  vonicclem2  47127  fsupdm  47285  finfdm  47289  smfinfdmmbllem  47291  subsubelfzo0  47790  ceilhalfelfzo1  47797  2tceilhalfelfzo1  47799  ceilhalfnn  47803  addmodne  47813  submodlt  47819  modn0mul  47826  m1modmmod  47827  difmodm1lt  47828  modlt0b  47832  fmtnodvds  48022  2pwp1prm  48067  lighneallem2  48084  nn0oALTV  48187  nneven  48189  nnsum4primes4  48280  nnsum4primesprm  48282  nnsum4primesgbe  48284  nnsum4primesle9  48286  bgoldbachlt  48304  tgoldbach  48308  gpgusgralem  48547  gpgedgvtx0  48552  gpg3kgrtriexlem1  48574  gpg3kgrtriexlem2  48575  gpg3kgrtriexlem3  48576  gpg3kgrtriexlem4  48577  gpg3kgrtriexlem6  48579  altgsumbcALT  48844  nnlog2ge0lt1  49057  logbpw2m1  49058  blennn  49066  blennnelnn  49067  nnpw2pmod  49074  nnolog2flm1  49081  digvalnn0  49090  dignn0fr  49092  dignn0ldlem  49093  dignnld  49094  dig2nn1st  49096