Theorem nnre 12169

Description: A positive integer is a real number. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnre	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssre 12166	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
2	1	sseli 3939	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ℝcr 11043  ℕcn 12162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-nn 12163

This theorem is referenced by:  nnrei  12171  nnmulcl  12186  nn2ge  12189  nnge1  12190  nngt1ne1  12191  nnle1eq1  12192  nngt0  12193  nnnlt1  12194  nnnle0  12195  nndivre  12203  nnrecgt0  12205  nnsub  12206  nnunb  12414  arch  12415  nnrecl  12416  bndndx  12417  0mnnnnn0  12450  nnnegz  12508  elnnz  12515  elz2  12523  nnz  12526  gtndiv  12587  prime  12591  btwnz  12613  indstr  12851  qre  12888  elpq  12910  elpqb  12911  rpnnen1lem2  12912  rpnnen1lem1  12913  rpnnen1lem3  12914  rpnnen1lem5  12916  nnrp  12939  nnledivrp  13041  qbtwnre  13135  elfzo0le  13640  fzonmapblen  13645  fzo1fzo0n0  13652  ubmelfzo  13667  fzonn0p1p1  13681  ubmelm1fzo  13700  subfzo0  13726  adddivflid  13756  flltdivnn0lt  13771  quoremz  13793  quoremnn0ALT  13795  intfracq  13797  fldiv  13798  modmulnn  13827  m1modnnsub1  13858  addmodid  13860  modifeq2int  13874  modaddmodup  13875  modaddmodlo  13876  modfzo0difsn  13884  modsumfzodifsn  13885  addmodlteq  13887  nnlesq  14146  digit2  14177  digit1  14178  expnngt1  14182  facdiv  14228  facndiv  14229  faclbnd  14231  faclbnd3  14233  faclbnd4lem4  14237  faclbnd5  14239  bcval5  14259  seqcoll  14405  ccatval21sw  14526  cshwidxmod  14744  cshwidxm1  14748  repswcshw  14753  isercolllem1  15607  harmonic  15801  efaddlem  16035  rpnnen2lem9  16166  rpnnen2lem12  16169  sqrt2irr  16193  nndivdvds  16207  dvdsle  16256  fzm1ndvds  16268  nno  16328  nnoddm1d2  16332  divalg2  16351  divalgmod  16352  ndvdsadd  16356  modgcd  16478  gcdzeq  16498  nn0rppwr  16507  sqgcd  16508  nn0expgcd  16510  dvdssqlem  16512  lcmgcdlem  16552  lcmf  16579  coprmgcdb  16595  qredeq  16603  qredeu  16604  isprm3  16629  ge2nprmge4  16647  prmdvdsfz  16651  isprm5  16653  ncoprmlnprm  16674  divdenle  16695  phibndlem  16716  eulerthlem2  16728  hashgcdlem  16734  oddprm  16757  pythagtriplem10  16767  pythagtriplem12  16773  pythagtriplem14  16775  pythagtriplem16  16777  pythagtriplem19  16780  pclem  16785  pc2dvds  16826  pcmpt  16839  fldivp1  16844  pcbc  16847  infpnlem1  16857  infpn2  16860  prmreclem1  16863  prmreclem3  16865  vdwlem3  16930  ram0  16969  prmgaplem4  17001  prmgaplem7  17004  cshwshashlem1  17042  cshwshashlem2  17043  setsstruct2  17120  mulgnegnn  18998  mulgmodid  19027  odmodnn0  19454  gexdvds  19498  sylow3lem6  19546  prmirredlem  21414  znidomb  21503  chfacfisf  22774  chfacfisfcpmat  22775  chfacffsupp  22776  chfacfscmul0  22778  chfacfpmmul0  22782  ovolunlem1a  25430  ovoliunlem2  25437  ovolicc2lem3  25453  ovolicc2lem4  25454  iundisj2  25483  dyadss  25528  volsup2  25539  volivth  25541  vitali  25547  ismbf3d  25588  mbfi1fseqlem3  25651  mbfi1fseqlem4  25652  mbfi1fseqlem5  25653  itg2seq  25676  itg2gt0  25694  itg2cnlem1  25695  idomrootle  26111  plyeq0lem  26148  dgreq0  26204  dgrcolem2  26213  elqaalem2  26261  elqaalem3  26262  logtayllem  26601  leibpi  26885  birthdaylem3  26896  zetacvg  26958  eldmgm  26965  basellem1  27024  basellem2  27025  basellem3  27026  basellem6  27029  basellem9  27032  prmorcht  27121  dvdsflsumcom  27131  muinv  27136  vmalelog  27149  chtublem  27155  logfac2  27161  logfaclbnd  27166  pcbcctr  27220  bcmono  27221  bposlem1  27228  bposlem5  27232  bposlem6  27233  bpos  27237  lgsval4a  27263  gausslemma2dlem0c  27302  gausslemma2dlem0d  27303  gausslemma2dlem1a  27309  gausslemma2dlem2  27311  gausslemma2dlem3  27312  gausslemma2dlem5  27315  lgsquadlem1  27324  lgsquadlem2  27325  2lgslem1a1  27333  2sqreunnlem1  27393  2sqreunnltlem  27394  dchrisum0re  27457  dchrisum0lem1  27460  logdivbnd  27500  ostth2lem1  27562  ostth2lem3  27579  pthdlem2lem  29747  crctcshwlkn0lem1  29790  crctcshwlkn0lem3  29792  crctcshwlkn0lem4  29793  crctcshwlkn0lem5  29794  crctcshwlkn0lem6  29795  crctcshwlkn0lem7  29796  crctcshwlkn0  29801  clwlkclwwlkf1lem2  29984  clwwisshclwwslem  29993  clwwlkel  30025  clwwlkf  30026  clwwlkf1  30028  wwlksext2clwwlk  30036  wwlksubclwwlk  30037  eucrctshift  30222  eucrct2eupth  30224  numclwlk2lem2f  30356  nmounbseqi  30756  nmounbseqiALT  30757  nmobndseqi  30758  nmobndseqiALT  30759  ubthlem1  30849  minvecolem3  30855  lnconi  32012  iundisj2f  32569  nnmulge  32712  xrsmulgzz  32993  esumpmono  34062  eulerpartlemb  34352  fibp1  34385  subfaclim  35168  subfacval3  35169  snmlff  35309  fz0n  35711  bcprod  35718  nn0prpwlem  36303  nn0prpw  36304  nndivsub  36438  nndivlub  36439  knoppcnlem2  36475  knoppcnlem4  36477  knoppndvlem11  36503  knoppndvlem12  36504  knoppndvlem14  36506  poimirlem13  37620  poimirlem14  37621  poimirlem31  37638  poimirlem32  37639  mblfinlem2  37645  fzmul  37728  incsequz  37735  nnubfi  37737  nninfnub  37738  2ap1caineq  42126  sticksstones1  42127  unitscyglem5  42180  nnadddir  42251  nnmul1com  42252  sn-nnne0  42441  nn0addcom  42443  renegmulnnass  42446  nn0mulcom  42447  zmulcomlem  42448  fimgmcyc  42515  irrapxlem1  42803  irrapxlem2  42804  pellexlem1  42810  pellexlem5  42814  pellqrex  42860  monotoddzzfi  42924  jm2.24nn  42941  congabseq  42956  acongrep  42962  acongeq  42965  expdiophlem1  43003  idomodle  43173  relexpmulnn  43691  prmunb2  44293  hashnzfzclim  44304  fmuldfeq  45574  sumnnodd  45621  stoweidlem14  46005  stoweidlem17  46008  stoweidlem20  46011  stoweidlem49  46040  stoweidlem60  46051  wallispilem3  46058  wallispilem4  46059  wallispilem5  46060  wallispi  46061  wallispi2lem1  46062  wallispi2lem2  46063  stirlinglem1  46065  stirlinglem3  46067  stirlinglem4  46068  stirlinglem6  46070  stirlinglem7  46071  stirlinglem10  46074  stirlinglem11  46075  stirlinglem12  46076  stirlinglem13  46077  stirlingr  46081  dirker2re  46083  dirkerval2  46085  dirkerre  46086  dirkertrigeqlem1  46089  fourierdlem66  46163  fourierdlem73  46170  fourierdlem83  46180  fourierdlem87  46184  fourierdlem103  46200  fourierdlem104  46201  fourierdlem111  46208  fouriersw  46222  etransclem24  46249  sge0rpcpnf  46412  hoicvr  46539  hoicvrrex  46547  vonioolem2  46672  vonicclem2  46675  fsupdm  46833  finfdm  46837  smfinfdmmbllem  46839  subsubelfzo0  47320  ceilhalfelfzo1  47324  2tceilhalfelfzo1  47326  ceilhalfnn  47330  addmodne  47338  submodlt  47344  modn0mul  47351  m1modmmod  47352  difmodm1lt  47353  modlt0b  47357  fmtnodvds  47538  2pwp1prm  47583  lighneallem2  47600  nn0oALTV  47690  nneven  47692  nnsum4primes4  47783  nnsum4primesprm  47785  nnsum4primesgbe  47787  nnsum4primesle9  47789  bgoldbachlt  47807  tgoldbach  47811  gpgusgralem  48040  gpgedgvtx0  48045  gpg3kgrtriexlem1  48067  gpg3kgrtriexlem2  48068  gpg3kgrtriexlem3  48069  gpg3kgrtriexlem4  48070  gpg3kgrtriexlem6  48072  altgsumbcALT  48334  nnlog2ge0lt1  48548  logbpw2m1  48549  blennn  48557  blennnelnn  48558  nnpw2pmod  48565  nnolog2flm1  48572  digvalnn0  48581  dignn0fr  48583  dignn0ldlem  48584  dignnld  48585  dig2nn1st  48587