Theorem nnre 12164

Description: A positive integer is a real number. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnre	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssre 12161	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
2	1	sseli 3931	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ℝcr 11037  ℕcn 12157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-nn 12158

This theorem is referenced by:  nnrei  12166  nnmulcl  12181  nn2ge  12184  nnge1  12185  nngt1ne1  12186  nnle1eq1  12187  nngt0  12188  nnnlt1  12189  nnnle0  12190  nndivre  12198  nnrecgt0  12200  nnsub  12201  nnunb  12409  arch  12410  nnrecl  12411  bndndx  12412  0mnnnnn0  12445  nnnegz  12503  elnnz  12510  elz2  12518  nnz  12521  gtndiv  12581  prime  12585  btwnz  12607  indstr  12841  qre  12878  elpq  12900  elpqb  12901  rpnnen1lem2  12902  rpnnen1lem1  12903  rpnnen1lem3  12904  rpnnen1lem5  12906  nnrp  12929  nnledivrp  13031  qbtwnre  13126  elfzo0le  13631  fzonmapblen  13636  fzo1fzo0n0  13643  ubmelfzo  13658  fzonn0p1p1  13672  ubmelm1fzo  13691  subfzo0  13720  adddivflid  13750  flltdivnn0lt  13765  quoremz  13787  quoremnn0ALT  13789  intfracq  13791  fldiv  13792  modmulnn  13821  m1modnnsub1  13852  addmodid  13854  modifeq2int  13868  modaddmodup  13869  modaddmodlo  13870  modfzo0difsn  13878  modsumfzodifsn  13879  addmodlteq  13881  nnlesq  14140  digit2  14171  digit1  14172  expnngt1  14176  facdiv  14222  facndiv  14223  faclbnd  14225  faclbnd3  14227  faclbnd4lem4  14231  faclbnd5  14233  bcval5  14253  seqcoll  14399  ccatval21sw  14521  cshwidxmod  14738  cshwidxm1  14742  repswcshw  14747  isercolllem1  15600  harmonic  15794  efaddlem  16028  rpnnen2lem9  16159  rpnnen2lem12  16162  sqrt2irr  16186  nndivdvds  16200  dvdsle  16249  fzm1ndvds  16261  nno  16321  nnoddm1d2  16325  divalg2  16344  divalgmod  16345  ndvdsadd  16349  modgcd  16471  gcdzeq  16491  nn0rppwr  16500  sqgcd  16501  nn0expgcd  16503  dvdssqlem  16505  lcmgcdlem  16545  lcmf  16572  coprmgcdb  16588  qredeq  16596  qredeu  16597  isprm3  16622  ge2nprmge4  16640  prmdvdsfz  16644  isprm5  16646  ncoprmlnprm  16667  divdenle  16688  phibndlem  16709  eulerthlem2  16721  hashgcdlem  16727  oddprm  16750  pythagtriplem10  16760  pythagtriplem12  16766  pythagtriplem14  16768  pythagtriplem16  16770  pythagtriplem19  16773  pclem  16778  pc2dvds  16819  pcmpt  16832  fldivp1  16837  pcbc  16840  infpnlem1  16850  infpn2  16853  prmreclem1  16856  prmreclem3  16858  vdwlem3  16923  ram0  16962  prmgaplem4  16994  prmgaplem7  16997  cshwshashlem1  17035  cshwshashlem2  17036  setsstruct2  17113  mulgnegnn  19026  mulgmodid  19055  odmodnn0  19481  gexdvds  19525  sylow3lem6  19573  prmirredlem  21439  znidomb  21528  chfacfisf  22810  chfacfisfcpmat  22811  chfacffsupp  22812  chfacfscmul0  22814  chfacfpmmul0  22818  ovolunlem1a  25465  ovoliunlem2  25472  ovolicc2lem3  25488  ovolicc2lem4  25489  iundisj2  25518  dyadss  25563  volsup2  25574  volivth  25576  vitali  25582  ismbf3d  25623  mbfi1fseqlem3  25686  mbfi1fseqlem4  25687  mbfi1fseqlem5  25688  itg2seq  25711  itg2gt0  25729  itg2cnlem1  25730  idomrootle  26146  plyeq0lem  26183  dgreq0  26239  dgrcolem2  26248  elqaalem2  26296  elqaalem3  26297  logtayllem  26636  leibpi  26920  birthdaylem3  26931  zetacvg  26993  eldmgm  27000  basellem1  27059  basellem2  27060  basellem3  27061  basellem6  27064  basellem9  27067  prmorcht  27156  dvdsflsumcom  27166  muinv  27171  vmalelog  27184  chtublem  27190  logfac2  27196  logfaclbnd  27201  pcbcctr  27255  bcmono  27256  bposlem1  27263  bposlem5  27267  bposlem6  27268  bpos  27272  lgsval4a  27298  gausslemma2dlem0c  27337  gausslemma2dlem0d  27338  gausslemma2dlem1a  27344  gausslemma2dlem2  27346  gausslemma2dlem3  27347  gausslemma2dlem5  27350  lgsquadlem1  27359  lgsquadlem2  27360  2lgslem1a1  27368  2sqreunnlem1  27428  2sqreunnltlem  27429  dchrisum0re  27492  dchrisum0lem1  27495  logdivbnd  27535  ostth2lem1  27597  ostth2lem3  27614  pthdlem2lem  29852  crctcshwlkn0lem1  29895  crctcshwlkn0lem3  29897  crctcshwlkn0lem4  29898  crctcshwlkn0lem5  29899  crctcshwlkn0lem6  29900  crctcshwlkn0lem7  29901  crctcshwlkn0  29906  clwlkclwwlkf1lem2  30092  clwwisshclwwslem  30101  clwwlkel  30133  clwwlkf  30134  clwwlkf1  30136  wwlksext2clwwlk  30144  wwlksubclwwlk  30145  eucrctshift  30330  eucrct2eupth  30332  numclwlk2lem2f  30464  nmounbseqi  30865  nmounbseqiALT  30866  nmobndseqi  30867  nmobndseqiALT  30868  ubthlem1  30958  minvecolem3  30964  lnconi  32121  iundisj2f  32677  nnmulge  32829  xrsmulgzz  33102  esumpmono  34257  eulerpartlemb  34546  fibp1  34579  subfaclim  35404  subfacval3  35405  snmlff  35545  fz0n  35947  bcprod  35954  nn0prpwlem  36538  nn0prpw  36539  nndivsub  36673  nndivlub  36674  knoppcnlem2  36716  knoppcnlem4  36718  knoppndvlem11  36744  knoppndvlem12  36745  knoppndvlem14  36747  poimirlem13  37884  poimirlem14  37885  poimirlem31  37902  poimirlem32  37903  mblfinlem2  37909  fzmul  37992  incsequz  37999  nnubfi  38001  nninfnub  38002  2ap1caineq  42515  sticksstones1  42516  unitscyglem5  42569  nnadddir  42640  nnmul1com  42641  sn-nnne0  42830  nn0addcom  42832  renegmulnnass  42835  nn0mulcom  42836  zmulcomlem  42837  fimgmcyc  42904  irrapxlem1  43179  irrapxlem2  43180  pellexlem1  43186  pellexlem5  43190  pellqrex  43236  monotoddzzfi  43299  jm2.24nn  43316  congabseq  43331  acongrep  43337  acongeq  43340  expdiophlem1  43378  idomodle  43548  relexpmulnn  44065  prmunb2  44667  hashnzfzclim  44678  fmuldfeq  45943  sumnnodd  45990  stoweidlem14  46372  stoweidlem17  46375  stoweidlem20  46378  stoweidlem49  46407  stoweidlem60  46418  wallispilem3  46425  wallispilem4  46426  wallispilem5  46427  wallispi  46428  wallispi2lem1  46429  wallispi2lem2  46430  stirlinglem1  46432  stirlinglem3  46434  stirlinglem4  46435  stirlinglem6  46437  stirlinglem7  46438  stirlinglem10  46441  stirlinglem11  46442  stirlinglem12  46443  stirlinglem13  46444  stirlingr  46448  dirker2re  46450  dirkerval2  46452  dirkerre  46453  dirkertrigeqlem1  46456  fourierdlem66  46530  fourierdlem73  46537  fourierdlem83  46547  fourierdlem87  46551  fourierdlem103  46567  fourierdlem104  46568  fourierdlem111  46575  fouriersw  46589  etransclem24  46616  sge0rpcpnf  46779  hoicvr  46906  hoicvrrex  46914  vonioolem2  47039  vonicclem2  47042  fsupdm  47200  finfdm  47204  smfinfdmmbllem  47206  subsubelfzo0  47686  ceilhalfelfzo1  47690  2tceilhalfelfzo1  47692  ceilhalfnn  47696  addmodne  47704  submodlt  47710  modn0mul  47717  m1modmmod  47718  difmodm1lt  47719  modlt0b  47723  fmtnodvds  47904  2pwp1prm  47949  lighneallem2  47966  nn0oALTV  48056  nneven  48058  nnsum4primes4  48149  nnsum4primesprm  48151  nnsum4primesgbe  48153  nnsum4primesle9  48155  bgoldbachlt  48173  tgoldbach  48177  gpgusgralem  48416  gpgedgvtx0  48421  gpg3kgrtriexlem1  48443  gpg3kgrtriexlem2  48444  gpg3kgrtriexlem3  48445  gpg3kgrtriexlem4  48446  gpg3kgrtriexlem6  48448  altgsumbcALT  48713  nnlog2ge0lt1  48926  logbpw2m1  48927  blennn  48935  blennnelnn  48936  nnpw2pmod  48943  nnolog2flm1  48950  digvalnn0  48959  dignn0fr  48961  dignn0ldlem  48962  dignnld  48963  dig2nn1st  48965