Theorem nnre 12181

Description: A positive integer is a real number. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnre	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssre 12178	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
2	1	sseli 3917	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ℝcr 11037  ℕcn 12174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-nn 12175

This theorem is referenced by:  nnrei  12183  nnmulcl  12198  nn2ge  12204  nnge1  12205  nngt1ne1  12206  nnle1eq1  12207  nngt0  12208  nnnlt1  12209  nnnle0  12210  nndivre  12218  nnrecgt0  12220  nnsub  12221  nnadddir  12233  nnmul1com  12234  nnunb  12433  arch  12434  nnrecl  12435  bndndx  12436  0mnnnnn0  12469  nnnegz  12527  elnnz  12534  elz2  12542  nnz  12545  gtndiv  12606  prime  12610  btwnz  12632  indstr  12866  qre  12903  elpq  12925  elpqb  12926  rpnnen1lem2  12927  rpnnen1lem1  12928  rpnnen1lem3  12929  rpnnen1lem5  12931  nnrp  12954  nnledivrp  13056  qbtwnre  13151  elfzo0le  13658  fzonmapblen  13663  fzo1fzo0n0  13670  ubmelfzo  13685  fzonn0p1p1  13699  ubmelm1fzo  13718  subfzo0  13747  adddivflid  13777  flltdivnn0lt  13792  quoremz  13814  quoremnn0ALT  13816  intfracq  13818  fldiv  13819  modmulnn  13848  m1modnnsub1  13879  addmodid  13881  modifeq2int  13895  modaddmodup  13896  modaddmodlo  13897  modfzo0difsn  13905  modsumfzodifsn  13906  addmodlteq  13908  nnlesq  14167  digit2  14198  digit1  14199  expnngt1  14203  facdiv  14249  facndiv  14250  faclbnd  14252  faclbnd3  14254  faclbnd4lem4  14258  faclbnd5  14260  bcval5  14280  seqcoll  14426  ccatval21sw  14548  cshwidxmod  14765  cshwidxm1  14769  repswcshw  14774  isercolllem1  15627  harmonic  15824  efaddlem  16058  rpnnen2lem9  16189  rpnnen2lem12  16192  sqrt2irr  16216  nndivdvds  16230  dvdsle  16279  fzm1ndvds  16291  nno  16351  nnoddm1d2  16355  divalg2  16374  divalgmod  16375  ndvdsadd  16379  modgcd  16501  gcdzeq  16521  nn0rppwr  16530  sqgcd  16531  nn0expgcd  16533  dvdssqlem  16535  lcmgcdlem  16575  lcmf  16602  coprmgcdb  16618  qredeq  16626  qredeu  16627  isprm3  16652  ge2nprmge4  16671  prmdvdsfz  16675  isprm5  16677  ncoprmlnprm  16698  divdenle  16719  phibndlem  16740  eulerthlem2  16752  hashgcdlem  16758  oddprm  16781  pythagtriplem10  16791  pythagtriplem12  16797  pythagtriplem14  16799  pythagtriplem16  16801  pythagtriplem19  16804  pclem  16809  pc2dvds  16850  pcmpt  16863  fldivp1  16868  pcbc  16871  infpnlem1  16881  infpn2  16884  prmreclem1  16887  prmreclem3  16889  vdwlem3  16954  ram0  16993  prmgaplem4  17025  prmgaplem7  17028  cshwshashlem1  17066  cshwshashlem2  17067  setsstruct2  17144  mulgnegnn  19060  mulgmodid  19089  odmodnn0  19515  gexdvds  19559  sylow3lem6  19607  prmirredlem  21452  znidomb  21541  chfacfisf  22819  chfacfisfcpmat  22820  chfacffsupp  22821  chfacfscmul0  22823  chfacfpmmul0  22827  ovolunlem1a  25463  ovoliunlem2  25470  ovolicc2lem3  25486  ovolicc2lem4  25487  iundisj2  25516  dyadss  25561  volsup2  25572  volivth  25574  vitali  25580  ismbf3d  25621  mbfi1fseqlem3  25684  mbfi1fseqlem4  25685  mbfi1fseqlem5  25686  itg2seq  25709  itg2gt0  25727  itg2cnlem1  25728  idomrootle  26138  plyeq0lem  26175  dgreq0  26230  dgrcolem2  26239  elqaalem2  26286  elqaalem3  26287  logtayllem  26623  leibpi  26906  birthdaylem3  26917  zetacvg  26978  eldmgm  26985  basellem1  27044  basellem2  27045  basellem3  27046  basellem6  27049  basellem9  27052  prmorcht  27141  dvdsflsumcom  27151  muinv  27156  vmalelog  27168  chtublem  27174  logfac2  27180  logfaclbnd  27185  pcbcctr  27239  bcmono  27240  bposlem1  27247  bposlem5  27251  bposlem6  27252  bpos  27256  lgsval4a  27282  gausslemma2dlem0c  27321  gausslemma2dlem0d  27322  gausslemma2dlem1a  27328  gausslemma2dlem2  27330  gausslemma2dlem3  27331  gausslemma2dlem5  27334  lgsquadlem1  27343  lgsquadlem2  27344  2lgslem1a1  27352  2sqreunnlem1  27412  2sqreunnltlem  27413  dchrisum0re  27476  dchrisum0lem1  27479  logdivbnd  27519  ostth2lem1  27581  ostth2lem3  27598  pthdlem2lem  29835  crctcshwlkn0lem1  29878  crctcshwlkn0lem3  29880  crctcshwlkn0lem4  29881  crctcshwlkn0lem5  29882  crctcshwlkn0lem6  29883  crctcshwlkn0lem7  29884  crctcshwlkn0  29889  clwlkclwwlkf1lem2  30075  clwwisshclwwslem  30084  clwwlkel  30116  clwwlkf  30117  clwwlkf1  30119  wwlksext2clwwlk  30127  wwlksubclwwlk  30128  eucrctshift  30313  eucrct2eupth  30315  numclwlk2lem2f  30447  nmounbseqi  30848  nmounbseqiALT  30849  nmobndseqi  30850  nmobndseqiALT  30851  ubthlem1  30941  minvecolem3  30947  lnconi  32104  iundisj2f  32660  nnmulge  32812  xrsmulgzz  33069  esumpmono  34223  eulerpartlemb  34512  fibp1  34545  subfaclim  35370  subfacval3  35371  snmlff  35511  fz0n  35913  bcprod  35920  nn0prpwlem  36504  nn0prpw  36505  nndivsub  36639  nndivlub  36640  knoppcnlem2  36754  knoppcnlem4  36756  knoppndvlem11  36782  knoppndvlem12  36783  knoppndvlem14  36785  poimirlem13  37954  poimirlem14  37955  poimirlem31  37972  poimirlem32  37973  mblfinlem2  37979  fzmul  38062  incsequz  38069  nnubfi  38071  nninfnub  38072  2ap1caineq  42584  sticksstones1  42585  unitscyglem5  42638  sn-nnne0  42905  nn0addcom  42907  renegmulnnass  42910  nn0mulcom  42911  zmulcomlem  42912  fimgmcyc  42979  irrapxlem1  43250  irrapxlem2  43251  pellexlem1  43257  pellexlem5  43261  pellqrex  43307  monotoddzzfi  43370  jm2.24nn  43387  congabseq  43402  acongrep  43408  acongeq  43411  expdiophlem1  43449  idomodle  43619  relexpmulnn  44136  prmunb2  44738  hashnzfzclim  44749  fmuldfeq  46013  sumnnodd  46060  stoweidlem14  46442  stoweidlem17  46445  stoweidlem20  46448  stoweidlem49  46477  stoweidlem60  46488  wallispilem3  46495  wallispilem4  46496  wallispilem5  46497  wallispi  46498  wallispi2lem1  46499  wallispi2lem2  46500  stirlinglem1  46502  stirlinglem3  46504  stirlinglem4  46505  stirlinglem6  46507  stirlinglem7  46508  stirlinglem10  46511  stirlinglem11  46512  stirlinglem12  46513  stirlinglem13  46514  stirlingr  46518  dirker2re  46520  dirkerval2  46522  dirkerre  46523  dirkertrigeqlem1  46526  fourierdlem66  46600  fourierdlem73  46607  fourierdlem83  46617  fourierdlem87  46621  fourierdlem103  46637  fourierdlem104  46638  fourierdlem111  46645  fouriersw  46659  etransclem24  46686  sge0rpcpnf  46849  hoicvr  46976  hoicvrrex  46984  vonioolem2  47109  vonicclem2  47112  fsupdm  47270  finfdm  47274  smfinfdmmbllem  47276  subsubelfzo0  47775  ceilhalfelfzo1  47782  2tceilhalfelfzo1  47784  ceilhalfnn  47788  addmodne  47798  submodlt  47804  modn0mul  47811  m1modmmod  47812  difmodm1lt  47813  modlt0b  47817  fmtnodvds  48007  2pwp1prm  48052  lighneallem2  48069  nn0oALTV  48172  nneven  48174  nnsum4primes4  48265  nnsum4primesprm  48267  nnsum4primesgbe  48269  nnsum4primesle9  48271  bgoldbachlt  48289  tgoldbach  48293  gpgusgralem  48532  gpgedgvtx0  48537  gpg3kgrtriexlem1  48559  gpg3kgrtriexlem2  48560  gpg3kgrtriexlem3  48561  gpg3kgrtriexlem4  48562  gpg3kgrtriexlem6  48564  altgsumbcALT  48829  nnlog2ge0lt1  49042  logbpw2m1  49043  blennn  49051  blennnelnn  49052  nnpw2pmod  49059  nnolog2flm1  49066  digvalnn0  49075  dignn0fr  49077  dignn0ldlem  49078  dignnld  49079  dig2nn1st  49081