MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnre 12167
Description: A positive integer is a real number. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
nnre (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnre
StepHypRef Expression
1 nnssre 12164 . 2 ℕ ⊆ ℝ
21sseli 3945 1 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  cr 11057  cn 12160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-nn 12161
This theorem is referenced by:  nnrei  12169  nnmulcl  12184  nn2ge  12187  nnge1  12188  nngt1ne1  12189  nnle1eq1  12190  nngt0  12191  nnnlt1  12192  nnnle0  12193  nndivre  12201  nnrecgt0  12203  nnsub  12204  nnunb  12416  arch  12417  nnrecl  12418  bndndx  12419  0mnnnnn0  12452  nnnegz  12509  elnnz  12516  elz2  12524  nnz  12527  gtndiv  12587  prime  12591  btwnz  12613  indstr  12848  qre  12885  elpq  12907  elpqb  12908  rpnnen1lem2  12909  rpnnen1lem1  12910  rpnnen1lem3  12911  rpnnen1lem5  12913  nnrp  12933  nnledivrp  13034  qbtwnre  13125  elfzo0le  13623  fzonmapblen  13625  fzo1fzo0n0  13630  ubmelfzo  13644  fzonn0p1p1  13658  ubmelm1fzo  13675  subfzo0  13701  adddivflid  13730  flltdivnn0lt  13745  quoremz  13767  quoremnn0ALT  13769  intfracq  13771  fldiv  13772  modmulnn  13801  m1modnnsub1  13829  addmodid  13831  modifeq2int  13845  modaddmodup  13846  modaddmodlo  13847  modfzo0difsn  13855  modsumfzodifsn  13856  addmodlteq  13858  nnlesq  14116  digit2  14146  digit1  14147  expnngt1  14151  facdiv  14194  facndiv  14195  faclbnd  14197  faclbnd3  14199  faclbnd4lem4  14203  faclbnd5  14205  bcval5  14225  seqcoll  14370  ccatval21sw  14480  cshwidxmod  14698  cshwidxm1  14702  repswcshw  14707  isercolllem1  15556  harmonic  15751  efaddlem  15982  rpnnen2lem9  16111  rpnnen2lem12  16114  sqrt2irr  16138  nndivdvds  16152  dvdsle  16199  fzm1ndvds  16211  nno  16271  nnoddm1d2  16275  divalg2  16294  divalgmod  16295  ndvdsadd  16299  modgcd  16420  gcdzeq  16440  sqgcd  16448  dvdssqlem  16449  lcmgcdlem  16489  lcmf  16516  coprmgcdb  16532  qredeq  16540  qredeu  16541  isprm3  16566  ge2nprmge4  16584  prmdvdsfz  16588  isprm5  16590  ncoprmlnprm  16610  divdenle  16631  phibndlem  16649  eulerthlem2  16661  hashgcdlem  16667  oddprm  16689  pythagtriplem10  16699  pythagtriplem12  16705  pythagtriplem14  16707  pythagtriplem16  16709  pythagtriplem19  16712  pclem  16717  pc2dvds  16758  pcmpt  16771  fldivp1  16776  pcbc  16779  infpnlem1  16789  infpn2  16792  prmreclem1  16795  prmreclem3  16797  vdwlem3  16862  ram0  16901  prmgaplem4  16933  prmgaplem7  16936  cshwshashlem1  16975  cshwshashlem2  16976  setsstruct2  17053  mulgnegnn  18893  mulgmodid  18922  odmodnn0  19329  gexdvds  19373  sylow3lem6  19421  prmirredlem  20909  znidomb  20984  chfacfisf  22219  chfacfisfcpmat  22220  chfacffsupp  22221  chfacfscmul0  22223  chfacfpmmul0  22227  ovolunlem1a  24876  ovoliunlem2  24883  ovolicc2lem3  24899  ovolicc2lem4  24900  iundisj2  24929  dyadss  24974  volsup2  24985  volivth  24987  vitali  24993  ismbf3d  25034  mbfi1fseqlem3  25098  mbfi1fseqlem4  25099  mbfi1fseqlem5  25100  itg2seq  25123  itg2gt0  25141  itg2cnlem1  25142  plyeq0lem  25587  dgreq0  25642  dgrcolem2  25651  elqaalem2  25696  elqaalem3  25697  logtayllem  26030  leibpi  26308  birthdaylem3  26319  zetacvg  26380  eldmgm  26387  basellem1  26446  basellem2  26447  basellem3  26448  basellem6  26451  basellem9  26454  prmorcht  26543  dvdsflsumcom  26553  muinv  26558  vmalelog  26569  chtublem  26575  logfac2  26581  logfaclbnd  26586  pcbcctr  26640  bcmono  26641  bposlem1  26648  bposlem5  26652  bposlem6  26653  bpos  26657  lgsval4a  26683  gausslemma2dlem0c  26722  gausslemma2dlem0d  26723  gausslemma2dlem1a  26729  gausslemma2dlem2  26731  gausslemma2dlem3  26732  gausslemma2dlem5  26735  lgsquadlem1  26744  lgsquadlem2  26745  2lgslem1a1  26753  2sqreunnlem1  26813  2sqreunnltlem  26814  dchrisum0re  26877  dchrisum0lem1  26880  logdivbnd  26920  ostth2lem1  26982  ostth2lem3  26999  pthdlem2lem  28757  crctcshwlkn0lem1  28797  crctcshwlkn0lem3  28799  crctcshwlkn0lem4  28800  crctcshwlkn0lem5  28801  crctcshwlkn0lem6  28802  crctcshwlkn0lem7  28803  crctcshwlkn0  28808  clwlkclwwlkf1lem2  28991  clwwisshclwwslem  29000  clwwlkel  29032  clwwlkf  29033  clwwlkf1  29035  wwlksext2clwwlk  29043  wwlksubclwwlk  29044  eucrctshift  29229  eucrct2eupth  29231  numclwlk2lem2f  29363  nmounbseqi  29761  nmounbseqiALT  29762  nmobndseqi  29763  nmobndseqiALT  29764  ubthlem1  29854  minvecolem3  29860  lnconi  31017  iundisj2f  31550  nnmulge  31697  xrsmulgzz  31911  esumpmono  32718  eulerpartlemb  33008  fibp1  33041  subfaclim  33822  subfacval3  33823  snmlff  33963  fz0n  34342  bcprod  34350  nn0prpwlem  34823  nn0prpw  34824  nndivsub  34958  nndivlub  34959  knoppcnlem2  34986  knoppcnlem4  34988  knoppcnlem10  34994  knoppndvlem11  35014  knoppndvlem12  35015  knoppndvlem14  35017  poimirlem13  36120  poimirlem14  36121  poimirlem31  36138  poimirlem32  36139  mblfinlem2  36145  fzmul  36229  incsequz  36236  nnubfi  36238  nninfnub  36239  2ap1caineq  40582  sticksstones1  40583  metakunt26  40631  metakunt29  40634  metakunt30  40635  factwoffsmonot  40644  nnadddir  40815  nnmul1com  40816  nn0rppwr  40848  nn0expgcd  40850  sn-nnne0  40946  nn0addcom  40948  renegmulnnass  40951  nn0mulcom  40952  zmulcomlem  40953  irrapxlem1  41174  irrapxlem2  41175  pellexlem1  41181  pellexlem5  41185  pellqrex  41231  monotoddzzfi  41295  jm2.24nn  41312  congabseq  41327  acongrep  41333  acongeq  41336  expdiophlem1  41374  idomrootle  41551  idomodle  41552  relexpmulnn  42055  prmunb2  42665  hashnzfzclim  42676  fmuldfeq  43898  sumnnodd  43945  stoweidlem14  44329  stoweidlem17  44332  stoweidlem20  44335  stoweidlem49  44364  stoweidlem60  44375  wallispilem3  44382  wallispilem4  44383  wallispilem5  44384  wallispi  44385  wallispi2lem1  44386  wallispi2lem2  44387  stirlinglem1  44389  stirlinglem3  44391  stirlinglem4  44392  stirlinglem6  44394  stirlinglem7  44395  stirlinglem10  44398  stirlinglem11  44399  stirlinglem12  44400  stirlinglem13  44401  stirlingr  44405  dirker2re  44407  dirkerval2  44409  dirkerre  44410  dirkertrigeqlem1  44413  fourierdlem66  44487  fourierdlem73  44494  fourierdlem83  44504  fourierdlem87  44508  fourierdlem103  44524  fourierdlem104  44525  fourierdlem111  44532  fouriersw  44546  etransclem24  44573  sge0rpcpnf  44736  hoicvr  44863  hoicvrrex  44871  vonioolem2  44996  vonicclem2  44999  fsupdm  45157  finfdm  45161  smfinfdmmbllem  45163  subsubelfzo0  45632  fmtnodvds  45810  2pwp1prm  45855  lighneallem2  45872  nn0oALTV  45962  nneven  45964  nnsum4primes4  46055  nnsum4primesprm  46057  nnsum4primesgbe  46059  nnsum4primesle9  46061  bgoldbachlt  46079  tgoldbach  46083  altgsumbcALT  46503  modn0mul  46680  m1modmmod  46681  difmodm1lt  46682  nnlog2ge0lt1  46726  logbpw2m1  46727  blennn  46735  blennnelnn  46736  nnpw2pmod  46743  nnolog2flm1  46750  digvalnn0  46759  dignn0fr  46761  dignn0ldlem  46762  dignnld  46763  dig2nn1st  46765
  Copyright terms: Public domain W3C validator