Theorem nnre 11989

Description: A positive integer is a real number. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnre	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssre 11986	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
2	1	sseli 3918	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  ℝcr 10879  ℕcn 11982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-ov 7287  df-om 7722  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-nn 11983

This theorem is referenced by:  nnrei  11991  nnmulcl  12006  nn2ge  12009  nnge1  12010  nngt1ne1  12011  nnle1eq1  12012  nngt0  12013  nnnlt1  12014  nnnle0  12015  nndivre  12023  nnrecgt0  12025  nnsub  12026  nnunb  12238  arch  12239  nnrecl  12240  bndndx  12241  0mnnnnn0  12274  nnnegz  12331  elnnz  12338  elz2  12346  nnssz  12349  gtndiv  12406  prime  12410  btwnz  12432  indstr  12665  qre  12702  elpq  12724  elpqb  12725  rpnnen1lem2  12726  rpnnen1lem1  12727  rpnnen1lem3  12728  rpnnen1lem5  12730  nnrp  12750  nnledivrp  12851  qbtwnre  12942  elfzo0le  13440  fzonmapblen  13442  fzo1fzo0n0  13447  ubmelfzo  13461  fzonn0p1p1  13475  ubmelm1fzo  13492  subfzo0  13518  adddivflid  13547  flltdivnn0lt  13562  quoremz  13584  quoremnn0ALT  13586  intfracq  13588  fldiv  13589  modmulnn  13618  m1modnnsub1  13646  addmodid  13648  modifeq2int  13662  modaddmodup  13663  modaddmodlo  13664  modfzo0difsn  13672  modsumfzodifsn  13673  addmodlteq  13675  nnlesq  13931  digit2  13960  digit1  13961  expnngt1  13965  facdiv  14010  facndiv  14011  faclbnd  14013  faclbnd3  14015  faclbnd4lem4  14019  faclbnd5  14021  bcval5  14041  seqcoll  14187  ccatval21sw  14299  cshwidxmod  14525  cshwidxm1  14529  repswcshw  14534  isercolllem1  15385  harmonic  15580  efaddlem  15811  rpnnen2lem9  15940  rpnnen2lem12  15943  sqrt2irr  15967  nndivdvds  15981  dvdsle  16028  fzm1ndvds  16040  nno  16100  nnoddm1d2  16104  divalg2  16123  divalgmod  16124  ndvdsadd  16128  modgcd  16249  gcdmultipleOLD  16269  gcdmultiplezOLD  16270  gcdzeq  16271  sqgcd  16279  dvdssqlem  16280  lcmgcdlem  16320  lcmf  16347  coprmgcdb  16363  qredeq  16371  qredeu  16372  isprm3  16397  ge2nprmge4  16415  prmdvdsfz  16419  isprm5  16421  ncoprmlnprm  16441  divdenle  16462  phibndlem  16480  eulerthlem2  16492  hashgcdlem  16498  oddprm  16520  pythagtriplem10  16530  pythagtriplem12  16536  pythagtriplem14  16538  pythagtriplem16  16540  pythagtriplem19  16543  pclem  16548  pc2dvds  16589  pcmpt  16602  fldivp1  16607  pcbc  16610  infpnlem1  16620  infpn2  16623  prmreclem1  16626  prmreclem3  16628  vdwlem3  16693  ram0  16732  prmgaplem4  16764  prmgaplem7  16767  cshwshashlem1  16806  cshwshashlem2  16807  setsstruct2  16884  mulgnegnn  18723  mulgmodid  18751  odmodnn0  19157  gexdvds  19198  sylow3lem6  19246  prmirredlem  20703  znidomb  20778  chfacfisf  22012  chfacfisfcpmat  22013  chfacffsupp  22014  chfacfscmul0  22016  chfacfpmmul0  22020  ovolunlem1a  24669  ovoliunlem2  24676  ovolicc2lem3  24692  ovolicc2lem4  24693  iundisj2  24722  dyadss  24767  volsup2  24778  volivth  24780  vitali  24786  ismbf3d  24827  mbfi1fseqlem3  24891  mbfi1fseqlem4  24892  mbfi1fseqlem5  24893  itg2seq  24916  itg2gt0  24934  itg2cnlem1  24935  plyeq0lem  25380  dgreq0  25435  dgrcolem2  25444  elqaalem2  25489  elqaalem3  25490  logtayllem  25823  leibpi  26101  birthdaylem3  26112  zetacvg  26173  eldmgm  26180  basellem1  26239  basellem2  26240  basellem3  26241  basellem6  26244  basellem9  26247  prmorcht  26336  dvdsflsumcom  26346  muinv  26351  vmalelog  26362  chtublem  26368  logfac2  26374  logfaclbnd  26379  pcbcctr  26433  bcmono  26434  bposlem1  26441  bposlem5  26445  bposlem6  26446  bpos  26450  lgsval4a  26476  gausslemma2dlem0c  26515  gausslemma2dlem0d  26516  gausslemma2dlem1a  26522  gausslemma2dlem2  26524  gausslemma2dlem3  26525  gausslemma2dlem5  26528  lgsquadlem1  26537  lgsquadlem2  26538  2lgslem1a1  26546  2sqreunnlem1  26606  2sqreunnltlem  26607  dchrisum0re  26670  dchrisum0lem1  26673  logdivbnd  26713  ostth2lem1  26775  ostth2lem3  26792  pthdlem2lem  28144  crctcshwlkn0lem1  28184  crctcshwlkn0lem3  28186  crctcshwlkn0lem4  28187  crctcshwlkn0lem5  28188  crctcshwlkn0lem6  28189  crctcshwlkn0lem7  28190  crctcshwlkn0  28195  clwlkclwwlkf1lem2  28378  clwwisshclwwslem  28387  clwwlkel  28419  clwwlkf  28420  clwwlkf1  28422  wwlksext2clwwlk  28430  wwlksubclwwlk  28431  eucrctshift  28616  eucrct2eupth  28618  numclwlk2lem2f  28750  nmounbseqi  29148  nmounbseqiALT  29149  nmobndseqi  29150  nmobndseqiALT  29151  ubthlem1  29241  minvecolem3  29247  lnconi  30404  iundisj2f  30938  nnmulge  31082  xrsmulgzz  31296  esumpmono  32056  eulerpartlemb  32344  fibp1  32377  subfaclim  33159  subfacval3  33160  snmlff  33300  fz0n  33705  bcprod  33713  nn0prpwlem  34520  nn0prpw  34521  nndivsub  34655  nndivlub  34656  knoppcnlem2  34683  knoppcnlem4  34685  knoppcnlem10  34691  knoppndvlem11  34711  knoppndvlem12  34712  knoppndvlem14  34714  poimirlem13  35799  poimirlem14  35800  poimirlem31  35817  poimirlem32  35818  mblfinlem2  35824  fzmul  35908  incsequz  35915  nnubfi  35917  nninfnub  35918  2ap1caineq  40108  sticksstones1  40109  metakunt26  40157  metakunt29  40160  metakunt30  40161  factwoffsmonot  40170  nnadddir  40307  nnmul1com  40308  nn0rppwr  40340  nn0expgcd  40342  irrapxlem1  40651  irrapxlem2  40652  pellexlem1  40658  pellexlem5  40662  pellqrex  40708  monotoddzzfi  40771  jm2.24nn  40788  congabseq  40803  acongrep  40809  acongeq  40812  expdiophlem1  40850  idomrootle  41027  idomodle  41028  relexpmulnn  41324  prmunb2  41936  hashnzfzclim  41947  fmuldfeq  43131  sumnnodd  43178  stoweidlem14  43562  stoweidlem17  43565  stoweidlem20  43568  stoweidlem49  43597  stoweidlem60  43608  wallispilem3  43615  wallispilem4  43616  wallispilem5  43617  wallispi  43618  wallispi2lem1  43619  wallispi2lem2  43620  stirlinglem1  43622  stirlinglem3  43624  stirlinglem4  43625  stirlinglem6  43627  stirlinglem7  43628  stirlinglem10  43631  stirlinglem11  43632  stirlinglem12  43633  stirlinglem13  43634  stirlingr  43638  dirker2re  43640  dirkerval2  43642  dirkerre  43643  dirkertrigeqlem1  43646  fourierdlem66  43720  fourierdlem73  43727  fourierdlem83  43737  fourierdlem87  43741  fourierdlem103  43757  fourierdlem104  43758  fourierdlem111  43765  fouriersw  43779  etransclem24  43806  sge0rpcpnf  43966  hoicvr  44093  hoicvrrex  44101  vonioolem2  44226  vonicclem2  44229  subsubelfzo0  44829  fmtnodvds  45007  2pwp1prm  45052  lighneallem2  45069  nn0oALTV  45159  nneven  45161  nnsum4primes4  45252  nnsum4primesprm  45254  nnsum4primesgbe  45256  nnsum4primesle9  45258  bgoldbachlt  45276  tgoldbach  45280  altgsumbcALT  45700  modn0mul  45877  m1modmmod  45878  difmodm1lt  45879  nnlog2ge0lt1  45923  logbpw2m1  45924  blennn  45932  blennnelnn  45933  nnpw2pmod  45940  nnolog2flm1  45947  digvalnn0  45956  dignn0fr  45958  dignn0ldlem  45959  dignnld  45960  dig2nn1st  45962