Theorem nnre 12132

Description: A positive integer is a real number. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnre	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssre 12129	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
2	1	sseli 3925	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ℝcr 11005  ℕcn 12125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-nn 12126

This theorem is referenced by:  nnrei  12134  nnmulcl  12149  nn2ge  12152  nnge1  12153  nngt1ne1  12154  nnle1eq1  12155  nngt0  12156  nnnlt1  12157  nnnle0  12158  nndivre  12166  nnrecgt0  12168  nnsub  12169  nnunb  12377  arch  12378  nnrecl  12379  bndndx  12380  0mnnnnn0  12413  nnnegz  12471  elnnz  12478  elz2  12486  nnz  12489  gtndiv  12550  prime  12554  btwnz  12576  indstr  12814  qre  12851  elpq  12873  elpqb  12874  rpnnen1lem2  12875  rpnnen1lem1  12876  rpnnen1lem3  12877  rpnnen1lem5  12879  nnrp  12902  nnledivrp  13004  qbtwnre  13098  elfzo0le  13603  fzonmapblen  13608  fzo1fzo0n0  13615  ubmelfzo  13630  fzonn0p1p1  13644  ubmelm1fzo  13663  subfzo0  13692  adddivflid  13722  flltdivnn0lt  13737  quoremz  13759  quoremnn0ALT  13761  intfracq  13763  fldiv  13764  modmulnn  13793  m1modnnsub1  13824  addmodid  13826  modifeq2int  13840  modaddmodup  13841  modaddmodlo  13842  modfzo0difsn  13850  modsumfzodifsn  13851  addmodlteq  13853  nnlesq  14112  digit2  14143  digit1  14144  expnngt1  14148  facdiv  14194  facndiv  14195  faclbnd  14197  faclbnd3  14199  faclbnd4lem4  14203  faclbnd5  14205  bcval5  14225  seqcoll  14371  ccatval21sw  14493  cshwidxmod  14710  cshwidxm1  14714  repswcshw  14719  isercolllem1  15572  harmonic  15766  efaddlem  16000  rpnnen2lem9  16131  rpnnen2lem12  16134  sqrt2irr  16158  nndivdvds  16172  dvdsle  16221  fzm1ndvds  16233  nno  16293  nnoddm1d2  16297  divalg2  16316  divalgmod  16317  ndvdsadd  16321  modgcd  16443  gcdzeq  16463  nn0rppwr  16472  sqgcd  16473  nn0expgcd  16475  dvdssqlem  16477  lcmgcdlem  16517  lcmf  16544  coprmgcdb  16560  qredeq  16568  qredeu  16569  isprm3  16594  ge2nprmge4  16612  prmdvdsfz  16616  isprm5  16618  ncoprmlnprm  16639  divdenle  16660  phibndlem  16681  eulerthlem2  16693  hashgcdlem  16699  oddprm  16722  pythagtriplem10  16732  pythagtriplem12  16738  pythagtriplem14  16740  pythagtriplem16  16742  pythagtriplem19  16745  pclem  16750  pc2dvds  16791  pcmpt  16804  fldivp1  16809  pcbc  16812  infpnlem1  16822  infpn2  16825  prmreclem1  16828  prmreclem3  16830  vdwlem3  16895  ram0  16934  prmgaplem4  16966  prmgaplem7  16969  cshwshashlem1  17007  cshwshashlem2  17008  setsstruct2  17085  mulgnegnn  18997  mulgmodid  19026  odmodnn0  19452  gexdvds  19496  sylow3lem6  19544  prmirredlem  21409  znidomb  21498  chfacfisf  22769  chfacfisfcpmat  22770  chfacffsupp  22771  chfacfscmul0  22773  chfacfpmmul0  22777  ovolunlem1a  25424  ovoliunlem2  25431  ovolicc2lem3  25447  ovolicc2lem4  25448  iundisj2  25477  dyadss  25522  volsup2  25533  volivth  25535  vitali  25541  ismbf3d  25582  mbfi1fseqlem3  25645  mbfi1fseqlem4  25646  mbfi1fseqlem5  25647  itg2seq  25670  itg2gt0  25688  itg2cnlem1  25689  idomrootle  26105  plyeq0lem  26142  dgreq0  26198  dgrcolem2  26207  elqaalem2  26255  elqaalem3  26256  logtayllem  26595  leibpi  26879  birthdaylem3  26890  zetacvg  26952  eldmgm  26959  basellem1  27018  basellem2  27019  basellem3  27020  basellem6  27023  basellem9  27026  prmorcht  27115  dvdsflsumcom  27125  muinv  27130  vmalelog  27143  chtublem  27149  logfac2  27155  logfaclbnd  27160  pcbcctr  27214  bcmono  27215  bposlem1  27222  bposlem5  27226  bposlem6  27227  bpos  27231  lgsval4a  27257  gausslemma2dlem0c  27296  gausslemma2dlem0d  27297  gausslemma2dlem1a  27303  gausslemma2dlem2  27305  gausslemma2dlem3  27306  gausslemma2dlem5  27309  lgsquadlem1  27318  lgsquadlem2  27319  2lgslem1a1  27327  2sqreunnlem1  27387  2sqreunnltlem  27388  dchrisum0re  27451  dchrisum0lem1  27454  logdivbnd  27494  ostth2lem1  27556  ostth2lem3  27573  pthdlem2lem  29745  crctcshwlkn0lem1  29788  crctcshwlkn0lem3  29790  crctcshwlkn0lem4  29791  crctcshwlkn0lem5  29792  crctcshwlkn0lem6  29793  crctcshwlkn0lem7  29794  crctcshwlkn0  29799  clwlkclwwlkf1lem2  29985  clwwisshclwwslem  29994  clwwlkel  30026  clwwlkf  30027  clwwlkf1  30029  wwlksext2clwwlk  30037  wwlksubclwwlk  30038  eucrctshift  30223  eucrct2eupth  30225  numclwlk2lem2f  30357  nmounbseqi  30757  nmounbseqiALT  30758  nmobndseqi  30759  nmobndseqiALT  30760  ubthlem1  30850  minvecolem3  30856  lnconi  32013  iundisj2f  32570  nnmulge  32722  xrsmulgzz  32990  esumpmono  34092  eulerpartlemb  34381  fibp1  34414  subfaclim  35232  subfacval3  35233  snmlff  35373  fz0n  35775  bcprod  35782  nn0prpwlem  36366  nn0prpw  36367  nndivsub  36501  nndivlub  36502  knoppcnlem2  36538  knoppcnlem4  36540  knoppndvlem11  36566  knoppndvlem12  36567  knoppndvlem14  36569  poimirlem13  37683  poimirlem14  37684  poimirlem31  37701  poimirlem32  37702  mblfinlem2  37708  fzmul  37791  incsequz  37798  nnubfi  37800  nninfnub  37801  2ap1caineq  42248  sticksstones1  42249  unitscyglem5  42302  nnadddir  42373  nnmul1com  42374  sn-nnne0  42563  nn0addcom  42565  renegmulnnass  42568  nn0mulcom  42569  zmulcomlem  42570  fimgmcyc  42637  irrapxlem1  42925  irrapxlem2  42926  pellexlem1  42932  pellexlem5  42936  pellqrex  42982  monotoddzzfi  43045  jm2.24nn  43062  congabseq  43077  acongrep  43083  acongeq  43086  expdiophlem1  43124  idomodle  43294  relexpmulnn  43812  prmunb2  44414  hashnzfzclim  44425  fmuldfeq  45693  sumnnodd  45740  stoweidlem14  46122  stoweidlem17  46125  stoweidlem20  46128  stoweidlem49  46157  stoweidlem60  46168  wallispilem3  46175  wallispilem4  46176  wallispilem5  46177  wallispi  46178  wallispi2lem1  46179  wallispi2lem2  46180  stirlinglem1  46182  stirlinglem3  46184  stirlinglem4  46185  stirlinglem6  46187  stirlinglem7  46188  stirlinglem10  46191  stirlinglem11  46192  stirlinglem12  46193  stirlinglem13  46194  stirlingr  46198  dirker2re  46200  dirkerval2  46202  dirkerre  46203  dirkertrigeqlem1  46206  fourierdlem66  46280  fourierdlem73  46287  fourierdlem83  46297  fourierdlem87  46301  fourierdlem103  46317  fourierdlem104  46318  fourierdlem111  46325  fouriersw  46339  etransclem24  46366  sge0rpcpnf  46529  hoicvr  46656  hoicvrrex  46664  vonioolem2  46789  vonicclem2  46792  fsupdm  46950  finfdm  46954  smfinfdmmbllem  46956  subsubelfzo0  47436  ceilhalfelfzo1  47440  2tceilhalfelfzo1  47442  ceilhalfnn  47446  addmodne  47454  submodlt  47460  modn0mul  47467  m1modmmod  47468  difmodm1lt  47469  modlt0b  47473  fmtnodvds  47654  2pwp1prm  47699  lighneallem2  47716  nn0oALTV  47806  nneven  47808  nnsum4primes4  47899  nnsum4primesprm  47901  nnsum4primesgbe  47903  nnsum4primesle9  47905  bgoldbachlt  47923  tgoldbach  47927  gpgusgralem  48166  gpgedgvtx0  48171  gpg3kgrtriexlem1  48193  gpg3kgrtriexlem2  48194  gpg3kgrtriexlem3  48195  gpg3kgrtriexlem4  48196  gpg3kgrtriexlem6  48198  altgsumbcALT  48463  nnlog2ge0lt1  48677  logbpw2m1  48678  blennn  48686  blennnelnn  48687  nnpw2pmod  48694  nnolog2flm1  48701  digvalnn0  48710  dignn0fr  48712  dignn0ldlem  48713  dignnld  48714  dig2nn1st  48716