MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oeeu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oeeu 8617
Description: The division algorithm for ordinal exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
oeeu ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ (On โˆ– 1o)) โ†’ โˆƒ!๐‘คโˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o)โˆƒ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)(๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ค,๐‘ฆ,๐‘ง,๐ด   ๐‘ค,๐ต,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง

Proof of Theorem oeeu
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ ๐‘ ๐‘‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . . 5 โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)} = โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)}
21oeeulem 8615 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ (On โˆ– 1o)) โ†’ (โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)} โˆˆ On โˆง (๐ด โ†‘o โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)}) โІ ๐ต โˆง ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o suc โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)})))
32simp1d 1140 . . 3 ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ (On โˆ– 1o)) โ†’ โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)} โˆˆ On)
4 fvexd 6906 . . 3 ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ (On โˆ– 1o)) โ†’ (1st โ€˜(โ„ฉ๐‘‘โˆƒ๐‘ โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ (๐ด โ†‘o โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)})(๐‘‘ = โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)}) ยทo ๐‘) +o ๐‘) = ๐ต))) โˆˆ V)
5 fvexd 6906 . . 3 ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ (On โˆ– 1o)) โ†’ (2nd โ€˜(โ„ฉ๐‘‘โˆƒ๐‘ โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ (๐ด โ†‘o โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)})(๐‘‘ = โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)}) ยทo ๐‘) +o ๐‘) = ๐ต))) โˆˆ V)
6 eqid 2728 . . . 4 (โ„ฉ๐‘‘โˆƒ๐‘ โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ (๐ด โ†‘o โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)})(๐‘‘ = โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)}) ยทo ๐‘) +o ๐‘) = ๐ต)) = (โ„ฉ๐‘‘โˆƒ๐‘ โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ (๐ด โ†‘o โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)})(๐‘‘ = โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)}) ยทo ๐‘) +o ๐‘) = ๐ต))
7 eqid 2728 . . . 4 (1st โ€˜(โ„ฉ๐‘‘โˆƒ๐‘ โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ (๐ด โ†‘o โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)})(๐‘‘ = โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)}) ยทo ๐‘) +o ๐‘) = ๐ต))) = (1st โ€˜(โ„ฉ๐‘‘โˆƒ๐‘ โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ (๐ด โ†‘o โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)})(๐‘‘ = โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)}) ยทo ๐‘) +o ๐‘) = ๐ต)))
8 eqid 2728 . . . 4 (2nd โ€˜(โ„ฉ๐‘‘โˆƒ๐‘ โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ (๐ด โ†‘o โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)})(๐‘‘ = โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)}) ยทo ๐‘) +o ๐‘) = ๐ต))) = (2nd โ€˜(โ„ฉ๐‘‘โˆƒ๐‘ โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ (๐ด โ†‘o โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)})(๐‘‘ = โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)}) ยทo ๐‘) +o ๐‘) = ๐ต)))
91, 6, 7, 8oeeui 8616 . . 3 ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ (On โˆ– 1o)) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)) โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต) โ†” (๐‘ฅ = โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)} โˆง ๐‘ฆ = (1st โ€˜(โ„ฉ๐‘‘โˆƒ๐‘ โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ (๐ด โ†‘o โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)})(๐‘‘ = โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)}) ยทo ๐‘) +o ๐‘) = ๐ต))) โˆง ๐‘ง = (2nd โ€˜(โ„ฉ๐‘‘โˆƒ๐‘ โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ (๐ด โ†‘o โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)})(๐‘‘ = โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)}) ยทo ๐‘) +o ๐‘) = ๐ต))))))
103, 4, 5, 9euotd 5509 . 2 ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ (On โˆ– 1o)) โ†’ โˆƒ!๐‘คโˆƒ๐‘ฅโˆƒ๐‘ฆโˆƒ๐‘ง(๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)) โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต)))
11 df-3an 1087 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)))
1211biancomi 462 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)) โ†” (๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o))))
1312anbi1i 623 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)) โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต) โ†” ((๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o))) โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต))
1413anbi2i 622 . . . . . . . 8 ((๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)) โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต)) โ†” (๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง ((๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o))) โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต)))
15 an12 644 . . . . . . . 8 ((๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง ((๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o))) โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต)) โ†” ((๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o))) โˆง (๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต)))
16 anass 468 . . . . . . . 8 (((๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o))) โˆง (๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต)) โ†” (๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o)) โˆง (๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต))))
1714, 15, 163bitri 297 . . . . . . 7 ((๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)) โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต)) โ†” (๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o)) โˆง (๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต))))
1817exbii 1843 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘ง(๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)) โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต)) โ†” โˆƒ๐‘ง(๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o)) โˆง (๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต))))
19 df-rex 3067 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o)) โˆง (๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต)) โ†” โˆƒ๐‘ง(๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o)) โˆง (๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต))))
20 r19.42v 3186 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o)) โˆง (๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต)) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o)) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)(๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต)))
2118, 19, 203bitr2i 299 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ง(๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)) โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต)) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o)) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)(๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต)))
22212exbii 1844 . . . 4 (โˆƒ๐‘ฅโˆƒ๐‘ฆโˆƒ๐‘ง(๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)) โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต)) โ†” โˆƒ๐‘ฅโˆƒ๐‘ฆ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o)) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)(๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต)))
23 r2ex 3191 . . . 4 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o)โˆƒ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)(๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘ฅโˆƒ๐‘ฆ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o)) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)(๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต)))
2422, 23bitr4i 278 . . 3 (โˆƒ๐‘ฅโˆƒ๐‘ฆโˆƒ๐‘ง(๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)) โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต)) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o)โˆƒ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)(๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต))
2524eubii 2575 . 2 (โˆƒ!๐‘คโˆƒ๐‘ฅโˆƒ๐‘ฆโˆƒ๐‘ง(๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)) โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต)) โ†” โˆƒ!๐‘คโˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o)โˆƒ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)(๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต))
2610, 25sylib 217 1 ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ (On โˆ– 1o)) โ†’ โˆƒ!๐‘คโˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o)โˆƒ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)(๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534  โˆƒwex 1774   โˆˆ wcel 2099  โˆƒ!weu 2558  โˆƒwrex 3066  {crab 3428  Vcvv 3470   โˆ– cdif 3942   โІ wss 3945  โŸจcop 4630  โŸจcotp 4632  โˆช cuni 4903  โˆฉ cint 4944  Oncon0 6363  suc csuc 6365  โ„ฉcio 6492  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  1st c1st 7985  2nd c2nd 7986  1oc1o 8473  2oc2o 8474   +o coa 8477   ยทo comu 8478   โ†‘o coe 8479
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-oexp 8486
This theorem is referenced by:  onexoegt  42666  omabs2  42755
  Copyright terms: Public domain W3C validator