MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oeeu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oeeu 8555
Description: The division algorithm for ordinal exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
oeeu ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ (On โˆ– 1o)) โ†’ โˆƒ!๐‘คโˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o)โˆƒ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)(๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ค,๐‘ฆ,๐‘ง,๐ด   ๐‘ค,๐ต,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง

Proof of Theorem oeeu
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ ๐‘ ๐‘‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . 5 โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)} = โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)}
21oeeulem 8553 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ (On โˆ– 1o)) โ†’ (โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)} โˆˆ On โˆง (๐ด โ†‘o โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)}) โŠ† ๐ต โˆง ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o suc โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)})))
32simp1d 1143 . . 3 ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ (On โˆ– 1o)) โ†’ โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)} โˆˆ On)
4 fvexd 6862 . . 3 ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ (On โˆ– 1o)) โ†’ (1st โ€˜(โ„ฉ๐‘‘โˆƒ๐‘ โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ (๐ด โ†‘o โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)})(๐‘‘ = โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)}) ยทo ๐‘) +o ๐‘) = ๐ต))) โˆˆ V)
5 fvexd 6862 . . 3 ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ (On โˆ– 1o)) โ†’ (2nd โ€˜(โ„ฉ๐‘‘โˆƒ๐‘ โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ (๐ด โ†‘o โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)})(๐‘‘ = โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)}) ยทo ๐‘) +o ๐‘) = ๐ต))) โˆˆ V)
6 eqid 2737 . . . 4 (โ„ฉ๐‘‘โˆƒ๐‘ โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ (๐ด โ†‘o โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)})(๐‘‘ = โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)}) ยทo ๐‘) +o ๐‘) = ๐ต)) = (โ„ฉ๐‘‘โˆƒ๐‘ โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ (๐ด โ†‘o โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)})(๐‘‘ = โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)}) ยทo ๐‘) +o ๐‘) = ๐ต))
7 eqid 2737 . . . 4 (1st โ€˜(โ„ฉ๐‘‘โˆƒ๐‘ โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ (๐ด โ†‘o โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)})(๐‘‘ = โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)}) ยทo ๐‘) +o ๐‘) = ๐ต))) = (1st โ€˜(โ„ฉ๐‘‘โˆƒ๐‘ โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ (๐ด โ†‘o โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)})(๐‘‘ = โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)}) ยทo ๐‘) +o ๐‘) = ๐ต)))
8 eqid 2737 . . . 4 (2nd โ€˜(โ„ฉ๐‘‘โˆƒ๐‘ โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ (๐ด โ†‘o โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)})(๐‘‘ = โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)}) ยทo ๐‘) +o ๐‘) = ๐ต))) = (2nd โ€˜(โ„ฉ๐‘‘โˆƒ๐‘ โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ (๐ด โ†‘o โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)})(๐‘‘ = โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)}) ยทo ๐‘) +o ๐‘) = ๐ต)))
91, 6, 7, 8oeeui 8554 . . 3 ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ (On โˆ– 1o)) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)) โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต) โ†” (๐‘ฅ = โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)} โˆง ๐‘ฆ = (1st โ€˜(โ„ฉ๐‘‘โˆƒ๐‘ โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ (๐ด โ†‘o โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)})(๐‘‘ = โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)}) ยทo ๐‘) +o ๐‘) = ๐ต))) โˆง ๐‘ง = (2nd โ€˜(โ„ฉ๐‘‘โˆƒ๐‘ โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ (๐ด โ†‘o โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)})(๐‘‘ = โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o โˆช โˆฉ {๐‘Ž โˆˆ On โˆฃ ๐ต โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘Ž)}) ยทo ๐‘) +o ๐‘) = ๐ต))))))
103, 4, 5, 9euotd 5475 . 2 ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ (On โˆ– 1o)) โ†’ โˆƒ!๐‘คโˆƒ๐‘ฅโˆƒ๐‘ฆโˆƒ๐‘ง(๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)) โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต)))
11 df-3an 1090 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)))
1211biancomi 464 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)) โ†” (๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o))))
1312anbi1i 625 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)) โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต) โ†” ((๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o))) โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต))
1413anbi2i 624 . . . . . . . 8 ((๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)) โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต)) โ†” (๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง ((๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o))) โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต)))
15 an12 644 . . . . . . . 8 ((๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง ((๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o))) โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต)) โ†” ((๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o))) โˆง (๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต)))
16 anass 470 . . . . . . . 8 (((๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o))) โˆง (๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต)) โ†” (๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o)) โˆง (๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต))))
1714, 15, 163bitri 297 . . . . . . 7 ((๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)) โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต)) โ†” (๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o)) โˆง (๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต))))
1817exbii 1851 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘ง(๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)) โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต)) โ†” โˆƒ๐‘ง(๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o)) โˆง (๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต))))
19 df-rex 3075 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o)) โˆง (๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต)) โ†” โˆƒ๐‘ง(๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o)) โˆง (๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต))))
20 r19.42v 3188 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o)) โˆง (๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต)) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o)) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)(๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต)))
2118, 19, 203bitr2i 299 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ง(๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)) โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต)) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o)) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)(๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต)))
22212exbii 1852 . . . 4 (โˆƒ๐‘ฅโˆƒ๐‘ฆโˆƒ๐‘ง(๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)) โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต)) โ†” โˆƒ๐‘ฅโˆƒ๐‘ฆ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o)) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)(๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต)))
23 r2ex 3193 . . . 4 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o)โˆƒ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)(๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘ฅโˆƒ๐‘ฆ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o)) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)(๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต)))
2422, 23bitr4i 278 . . 3 (โˆƒ๐‘ฅโˆƒ๐‘ฆโˆƒ๐‘ง(๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)) โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต)) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o)โˆƒ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)(๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต))
2524eubii 2584 . 2 (โˆƒ!๐‘คโˆƒ๐‘ฅโˆƒ๐‘ฆโˆƒ๐‘ง(๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)) โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต)) โ†” โˆƒ!๐‘คโˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o)โˆƒ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)(๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต))
2610, 25sylib 217 1 ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ (On โˆ– 1o)) โ†’ โˆƒ!๐‘คโˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o)โˆƒ๐‘ง โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ)(๐‘ค = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ง) = ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542  โˆƒwex 1782   โˆˆ wcel 2107  โˆƒ!weu 2567  โˆƒwrex 3074  {crab 3410  Vcvv 3448   โˆ– cdif 3912   โŠ† wss 3915  โŸจcop 4597  โŸจcotp 4599  โˆช cuni 4870  โˆฉ cint 4912  Oncon0 6322  suc csuc 6324  โ„ฉcio 6451  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  1st c1st 7924  2nd c2nd 7925  1oc1o 8410  2oc2o 8411   +o coa 8414   ยทo comu 8415   โ†‘o coe 8416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-oexp 8423
This theorem is referenced by:  onexoegt  41607  omabs2  41696
  Copyright terms: Public domain W3C validator