Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnmul1com Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnmul1com 41182
Description: Multiplication with 1 is commutative for natural numbers, without ax-mulcom 11170. Since (𝐴 · 1) is 𝐴 by ax-1rid 11176, this is equivalent to remullid 41302 for natural numbers, but using fewer axioms (avoiding ax-resscn 11163, ax-addass 11171, ax-mulass 11172, ax-rnegex 11177, ax-pre-lttri 11180, ax-pre-lttrn 11181, ax-pre-ltadd 11182). (Contributed by SN, 5-Feb-2024.)
Assertion
Ref Expression
nnmul1com (𝐴 ∈ ℕ → (1 · 𝐴) = (𝐴 · 1))

Proof of Theorem nnmul1com
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7413 . . . 4 (𝑥 = 1 → (1 · 𝑥) = (1 · 1))
2 id 22 . . . 4 (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1)
31, 2eqeq12d 2748 . . 3 (𝑥 = 1 → ((1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (1 · 1) = 1))
4 oveq2 7413 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (1 · 𝑥) = (1 · 𝑦))
5 id 22 . . . 4 (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑦)
64, 5eqeq12d 2748 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (1 · 𝑦) = 𝑦))
7 oveq2 7413 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (1 · 𝑥) = (1 · (𝑦 + 1)))
8 id 22 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → 𝑥 = (𝑦 + 1))
97, 8eqeq12d 2748 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (1 · (𝑦 + 1)) = (𝑦 + 1)))
10 oveq2 7413 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (1 · 𝑥) = (1 · 𝐴))
11 id 22 . . . 4 (𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐴)
1210, 11eqeq12d 2748 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (1 · 𝐴) = 𝐴))
13 1t1e1ALT 41173 . . 3 (1 · 1) = 1
14 1cnd 11205 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → 1 ∈ ℂ)
15 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℕ)
1615nncnd 12224 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
1714, 16, 14adddid 11234 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → (1 · (𝑦 + 1)) = ((1 · 𝑦) + (1 · 1)))
18 simpr 485 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → (1 · 𝑦) = 𝑦)
1913a1i 11 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → (1 · 1) = 1)
2018, 19oveq12d 7423 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → ((1 · 𝑦) + (1 · 1)) = (𝑦 + 1))
2117, 20eqtrd 2772 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → (1 · (𝑦 + 1)) = (𝑦 + 1))
2221ex 413 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ → ((1 · 𝑦) = 𝑦 → (1 · (𝑦 + 1)) = (𝑦 + 1)))
233, 6, 9, 12, 13, 22nnind 12226 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
24 nnre 12215 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
25 ax-1rid 11176 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
2624, 25syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
2723, 26eqtr4d 2775 1 (𝐴 ∈ ℕ → (1 · 𝐴) = (𝐴 · 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  (class class class)co 7405  cr 11105  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  cn 12208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-nn 12209
This theorem is referenced by:  nnmulcom  41183
  Copyright terms: Public domain W3C validator