Theorem nnmul1com 12281

Description: Multiplication with 1 is commutative for natural numbers, without ax-mulcom 11152. Since (𝐴 · 1) is 𝐴 by ax-1rid 11158, this is equivalent to remullid 43050 for natural numbers, but using fewer axioms (avoiding ax-resscn 11145, ax-addass 11153, ax-mulass 11154, ax-rnegex 11159, ax-pre-lttri 11162, ax-pre-lttrn 11163, ax-pre-ltadd 11164). (Contributed by SN, 5-Feb-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnmul1com	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 · 𝐴) = (𝐴 · 1))

Proof of Theorem nnmul1com

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7408	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 · 𝑥) = (1 · 1))
2		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1)
3	1, 2	eqeq12d 2781	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → ((1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (1 · 1) = 1))
4		oveq2 7408	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (1 · 𝑥) = (1 · 𝑦))
5		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑥 = 𝑦)
6	4, 5	eqeq12d 2781	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (1 · 𝑦) = 𝑦))
7		oveq2 7408	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (1 · 𝑥) = (1 · (𝑦 + 1)))
8		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → 𝑥 = (𝑦 + 1))
9	7, 8	eqeq12d 2781	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (1 · (𝑦 + 1)) = (𝑦 + 1)))
10		oveq2 7408	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (1 · 𝑥) = (1 · 𝐴))
11		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)
12	10, 11	eqeq12d 2781	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (1 · 𝐴) = 𝐴))
13		1t1e1ALT 12279	. . 3 ⊢ (1 · 1) = 1
14		1cnd 11190	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → 1 ∈ ℂ)
15		simpl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℕ)
16	15	nncnd 12237	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
17	14, 16, 14	adddid 11221	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → (1 · (𝑦 + 1)) = ((1 · 𝑦) + (1 · 1)))
18		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → (1 · 𝑦) = 𝑦)
19	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → (1 · 1) = 1)
20	18, 19	oveq12d 7418	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → ((1 · 𝑦) + (1 · 1)) = (𝑦 + 1))
21	17, 20	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → (1 · (𝑦 + 1)) = (𝑦 + 1))
22	21	ex 417	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((1 · 𝑦) = 𝑦 → (1 · (𝑦 + 1)) = (𝑦 + 1)))
23	3, 6, 9, 12, 13, 22	nnind 12239	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
24		nnre 12228	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
25		ax-1rid 11158	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
26	24, 25	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
27	23, 26	eqtr4d 2803	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 · 𝐴) = (𝐴 · 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093  ℕcn 12221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-nn 12222

This theorem is referenced by:  nnmulcom  12282