Theorem nnmul1com 42392

Description: Multiplication with 1 is commutative for natural numbers, without ax-mulcom 11079. Since (𝐴 · 1) is 𝐴 by ax-1rid 11085, this is equivalent to remullid 42555 for natural numbers, but using fewer axioms (avoiding ax-resscn 11072, ax-addass 11080, ax-mulass 11081, ax-rnegex 11086, ax-pre-lttri 11089, ax-pre-lttrn 11090, ax-pre-ltadd 11091). (Contributed by SN, 5-Feb-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnmul1com	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 · 𝐴) = (𝐴 · 1))

Proof of Theorem nnmul1com

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7362	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 · 𝑥) = (1 · 1))
2		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1)
3	1, 2	eqeq12d 2749	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → ((1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (1 · 1) = 1))
4		oveq2 7362	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (1 · 𝑥) = (1 · 𝑦))
5		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑥 = 𝑦)
6	4, 5	eqeq12d 2749	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (1 · 𝑦) = 𝑦))
7		oveq2 7362	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (1 · 𝑥) = (1 · (𝑦 + 1)))
8		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → 𝑥 = (𝑦 + 1))
9	7, 8	eqeq12d 2749	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (1 · (𝑦 + 1)) = (𝑦 + 1)))
10		oveq2 7362	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (1 · 𝑥) = (1 · 𝐴))
11		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)
12	10, 11	eqeq12d 2749	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (1 · 𝐴) = 𝐴))
13		1t1e1ALT 42376	. . 3 ⊢ (1 · 1) = 1
14		1cnd 11116	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → 1 ∈ ℂ)
15		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℕ)
16	15	nncnd 12150	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
17	14, 16, 14	adddid 11145	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → (1 · (𝑦 + 1)) = ((1 · 𝑦) + (1 · 1)))
18		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → (1 · 𝑦) = 𝑦)
19	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → (1 · 1) = 1)
20	18, 19	oveq12d 7372	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → ((1 · 𝑦) + (1 · 1)) = (𝑦 + 1))
21	17, 20	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → (1 · (𝑦 + 1)) = (𝑦 + 1))
22	21	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((1 · 𝑦) = 𝑦 → (1 · (𝑦 + 1)) = (𝑦 + 1)))
23	3, 6, 9, 12, 13, 22	nnind 12152	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
24		nnre 12141	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
25		ax-1rid 11085	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
26	24, 25	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
27	23, 26	eqtr4d 2771	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 · 𝐴) = (𝐴 · 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7354  ℝcr 11014  1c1 11016   + caddc 11018   · cmul 11020  ℕcn 12134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7357  df-om 7805  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-nn 12135

This theorem is referenced by:  nnmulcom  42393