Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnmul1com Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnmul1com 42306
Description: Multiplication with 1 is commutative for natural numbers, without ax-mulcom 11219. Since (𝐴 · 1) is 𝐴 by ax-1rid 11225, this is equivalent to remullid 42463 for natural numbers, but using fewer axioms (avoiding ax-resscn 11212, ax-addass 11220, ax-mulass 11221, ax-rnegex 11226, ax-pre-lttri 11229, ax-pre-lttrn 11230, ax-pre-ltadd 11231). (Contributed by SN, 5-Feb-2024.)
Assertion
Ref Expression
nnmul1com (𝐴 ∈ ℕ → (1 · 𝐴) = (𝐴 · 1))

Proof of Theorem nnmul1com
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7439 . . . 4 (𝑥 = 1 → (1 · 𝑥) = (1 · 1))
2 id 22 . . . 4 (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1)
31, 2eqeq12d 2753 . . 3 (𝑥 = 1 → ((1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (1 · 1) = 1))
4 oveq2 7439 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (1 · 𝑥) = (1 · 𝑦))
5 id 22 . . . 4 (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑦)
64, 5eqeq12d 2753 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (1 · 𝑦) = 𝑦))
7 oveq2 7439 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (1 · 𝑥) = (1 · (𝑦 + 1)))
8 id 22 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → 𝑥 = (𝑦 + 1))
97, 8eqeq12d 2753 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (1 · (𝑦 + 1)) = (𝑦 + 1)))
10 oveq2 7439 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (1 · 𝑥) = (1 · 𝐴))
11 id 22 . . . 4 (𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐴)
1210, 11eqeq12d 2753 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (1 · 𝐴) = 𝐴))
13 1t1e1ALT 42296 . . 3 (1 · 1) = 1
14 1cnd 11256 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → 1 ∈ ℂ)
15 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℕ)
1615nncnd 12282 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
1714, 16, 14adddid 11285 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → (1 · (𝑦 + 1)) = ((1 · 𝑦) + (1 · 1)))
18 simpr 484 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → (1 · 𝑦) = 𝑦)
1913a1i 11 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → (1 · 1) = 1)
2018, 19oveq12d 7449 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → ((1 · 𝑦) + (1 · 1)) = (𝑦 + 1))
2117, 20eqtrd 2777 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → (1 · (𝑦 + 1)) = (𝑦 + 1))
2221ex 412 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ → ((1 · 𝑦) = 𝑦 → (1 · (𝑦 + 1)) = (𝑦 + 1)))
233, 6, 9, 12, 13, 22nnind 12284 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
24 nnre 12273 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
25 ax-1rid 11225 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
2624, 25syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
2723, 26eqtr4d 2780 1 (𝐴 ∈ ℕ → (1 · 𝐴) = (𝐴 · 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  (class class class)co 7431  cr 11154  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cn 12266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-nn 12267
This theorem is referenced by:  nnmulcom  42307
  Copyright terms: Public domain W3C validator