Theorem nnmul1com 12232

Description: Multiplication with 1 is commutative for natural numbers, without ax-mulcom 11100. Since (𝐴 · 1) is 𝐴 by ax-1rid 11106, this is equivalent to remullid 42918 for natural numbers, but using fewer axioms (avoiding ax-resscn 11093, ax-addass 11101, ax-mulass 11102, ax-rnegex 11107, ax-pre-lttri 11110, ax-pre-lttrn 11111, ax-pre-ltadd 11112). (Contributed by SN, 5-Feb-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnmul1com	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 · 𝐴) = (𝐴 · 1))

Proof of Theorem nnmul1com

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7371	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 · 𝑥) = (1 · 1))
2		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1)
3	1, 2	eqeq12d 2756	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → ((1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (1 · 1) = 1))
4		oveq2 7371	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (1 · 𝑥) = (1 · 𝑦))
5		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑥 = 𝑦)
6	4, 5	eqeq12d 2756	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (1 · 𝑦) = 𝑦))
7		oveq2 7371	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (1 · 𝑥) = (1 · (𝑦 + 1)))
8		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → 𝑥 = (𝑦 + 1))
9	7, 8	eqeq12d 2756	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (1 · (𝑦 + 1)) = (𝑦 + 1)))
10		oveq2 7371	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (1 · 𝑥) = (1 · 𝐴))
11		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)
12	10, 11	eqeq12d 2756	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (1 · 𝐴) = 𝐴))
13		1t1e1ALT 12230	. . 3 ⊢ (1 · 1) = 1
14		1cnd 11137	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → 1 ∈ ℂ)
15		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℕ)
16	15	nncnd 12188	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
17	14, 16, 14	adddid 11167	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → (1 · (𝑦 + 1)) = ((1 · 𝑦) + (1 · 1)))
18		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → (1 · 𝑦) = 𝑦)
19	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → (1 · 1) = 1)
20	18, 19	oveq12d 7381	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → ((1 · 𝑦) + (1 · 1)) = (𝑦 + 1))
21	17, 20	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → (1 · (𝑦 + 1)) = (𝑦 + 1))
22	21	ex 413	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((1 · 𝑦) = 𝑦 → (1 · (𝑦 + 1)) = (𝑦 + 1)))
23	3, 6, 9, 12, 13, 22	nnind 12190	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
24		nnre 12179	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
25		ax-1rid 11106	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
26	24, 25	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
27	23, 26	eqtr4d 2778	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 · 𝐴) = (𝐴 · 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041  ℕcn 12172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-nn 12173

This theorem is referenced by:  nnmulcom  12233