Theorem nnmul1com 42702

Description: Multiplication with 1 is commutative for natural numbers, without ax-mulcom 11091. Since (𝐴 · 1) is 𝐴 by ax-1rid 11097, this is equivalent to remullid 42865 for natural numbers, but using fewer axioms (avoiding ax-resscn 11084, ax-addass 11092, ax-mulass 11093, ax-rnegex 11098, ax-pre-lttri 11101, ax-pre-lttrn 11102, ax-pre-ltadd 11103). (Contributed by SN, 5-Feb-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnmul1com	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 · 𝐴) = (𝐴 · 1))

Proof of Theorem nnmul1com

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7366	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 · 𝑥) = (1 · 1))
2		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1)
3	1, 2	eqeq12d 2753	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → ((1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (1 · 1) = 1))
4		oveq2 7366	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (1 · 𝑥) = (1 · 𝑦))
5		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑥 = 𝑦)
6	4, 5	eqeq12d 2753	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (1 · 𝑦) = 𝑦))
7		oveq2 7366	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (1 · 𝑥) = (1 · (𝑦 + 1)))
8		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → 𝑥 = (𝑦 + 1))
9	7, 8	eqeq12d 2753	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (1 · (𝑦 + 1)) = (𝑦 + 1)))
10		oveq2 7366	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (1 · 𝑥) = (1 · 𝐴))
11		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)
12	10, 11	eqeq12d 2753	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (1 · 𝐴) = 𝐴))
13		1t1e1ALT 42686	. . 3 ⊢ (1 · 1) = 1
14		1cnd 11128	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → 1 ∈ ℂ)
15		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℕ)
16	15	nncnd 12162	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
17	14, 16, 14	adddid 11157	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → (1 · (𝑦 + 1)) = ((1 · 𝑦) + (1 · 1)))
18		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → (1 · 𝑦) = 𝑦)
19	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → (1 · 1) = 1)
20	18, 19	oveq12d 7376	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → ((1 · 𝑦) + (1 · 1)) = (𝑦 + 1))
21	17, 20	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → (1 · (𝑦 + 1)) = (𝑦 + 1))
22	21	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((1 · 𝑦) = 𝑦 → (1 · (𝑦 + 1)) = (𝑦 + 1)))
23	3, 6, 9, 12, 13, 22	nnind 12164	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
24		nnre 12153	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
25		ax-1rid 11097	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
26	24, 25	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
27	23, 26	eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 · 𝐴) = (𝐴 · 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7358  ℝcr 11026  1c1 11028   + caddc 11030   · cmul 11032  ℕcn 12146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-nn 12147

This theorem is referenced by:  nnmulcom  42703