Theorem nnmul1com 42526

Description: Multiplication with 1 is commutative for natural numbers, without ax-mulcom 11090. Since (𝐴 · 1) is 𝐴 by ax-1rid 11096, this is equivalent to remullid 42689 for natural numbers, but using fewer axioms (avoiding ax-resscn 11083, ax-addass 11091, ax-mulass 11092, ax-rnegex 11097, ax-pre-lttri 11100, ax-pre-lttrn 11101, ax-pre-ltadd 11102). (Contributed by SN, 5-Feb-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnmul1com	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 · 𝐴) = (𝐴 · 1))

Proof of Theorem nnmul1com

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7366	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 · 𝑥) = (1 · 1))
2		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1)
3	1, 2	eqeq12d 2752	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → ((1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (1 · 1) = 1))
4		oveq2 7366	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (1 · 𝑥) = (1 · 𝑦))
5		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑥 = 𝑦)
6	4, 5	eqeq12d 2752	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (1 · 𝑦) = 𝑦))
7		oveq2 7366	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (1 · 𝑥) = (1 · (𝑦 + 1)))
8		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → 𝑥 = (𝑦 + 1))
9	7, 8	eqeq12d 2752	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (1 · (𝑦 + 1)) = (𝑦 + 1)))
10		oveq2 7366	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (1 · 𝑥) = (1 · 𝐴))
11		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)
12	10, 11	eqeq12d 2752	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (1 · 𝐴) = 𝐴))
13		1t1e1ALT 42510	. . 3 ⊢ (1 · 1) = 1
14		1cnd 11127	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → 1 ∈ ℂ)
15		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℕ)
16	15	nncnd 12161	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
17	14, 16, 14	adddid 11156	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → (1 · (𝑦 + 1)) = ((1 · 𝑦) + (1 · 1)))
18		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → (1 · 𝑦) = 𝑦)
19	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → (1 · 1) = 1)
20	18, 19	oveq12d 7376	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → ((1 · 𝑦) + (1 · 1)) = (𝑦 + 1))
21	17, 20	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦) → (1 · (𝑦 + 1)) = (𝑦 + 1))
22	21	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((1 · 𝑦) = 𝑦 → (1 · (𝑦 + 1)) = (𝑦 + 1)))
23	3, 6, 9, 12, 13, 22	nnind 12163	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
24		nnre 12152	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
25		ax-1rid 11096	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
26	24, 25	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
27	23, 26	eqtr4d 2774	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 · 𝐴) = (𝐴 · 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031  ℕcn 12145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-nn 12146

This theorem is referenced by:  nnmulcom  42527