![]() |
Mathbox for Steven Nguyen |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > nnmul1com | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Multiplication with 1 is commutative for natural numbers, without ax-mulcom 11178. Since (๐ด ยท 1) is ๐ด by ax-1rid 11184, this is equivalent to remullid 41609 for natural numbers, but using fewer axioms (avoiding ax-resscn 11171, ax-addass 11179, ax-mulass 11180, ax-rnegex 11185, ax-pre-lttri 11188, ax-pre-lttrn 11189, ax-pre-ltadd 11190). (Contributed by SN, 5-Feb-2024.) |
Ref | Expression |
---|---|
nnmul1com | โข (๐ด โ โ โ (1 ยท ๐ด) = (๐ด ยท 1)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | oveq2 7420 | . . . 4 โข (๐ฅ = 1 โ (1 ยท ๐ฅ) = (1 ยท 1)) | |
2 | id 22 | . . . 4 โข (๐ฅ = 1 โ ๐ฅ = 1) | |
3 | 1, 2 | eqeq12d 2747 | . . 3 โข (๐ฅ = 1 โ ((1 ยท ๐ฅ) = ๐ฅ โ (1 ยท 1) = 1)) |
4 | oveq2 7420 | . . . 4 โข (๐ฅ = ๐ฆ โ (1 ยท ๐ฅ) = (1 ยท ๐ฆ)) | |
5 | id 22 | . . . 4 โข (๐ฅ = ๐ฆ โ ๐ฅ = ๐ฆ) | |
6 | 4, 5 | eqeq12d 2747 | . . 3 โข (๐ฅ = ๐ฆ โ ((1 ยท ๐ฅ) = ๐ฅ โ (1 ยท ๐ฆ) = ๐ฆ)) |
7 | oveq2 7420 | . . . 4 โข (๐ฅ = (๐ฆ + 1) โ (1 ยท ๐ฅ) = (1 ยท (๐ฆ + 1))) | |
8 | id 22 | . . . 4 โข (๐ฅ = (๐ฆ + 1) โ ๐ฅ = (๐ฆ + 1)) | |
9 | 7, 8 | eqeq12d 2747 | . . 3 โข (๐ฅ = (๐ฆ + 1) โ ((1 ยท ๐ฅ) = ๐ฅ โ (1 ยท (๐ฆ + 1)) = (๐ฆ + 1))) |
10 | oveq2 7420 | . . . 4 โข (๐ฅ = ๐ด โ (1 ยท ๐ฅ) = (1 ยท ๐ด)) | |
11 | id 22 | . . . 4 โข (๐ฅ = ๐ด โ ๐ฅ = ๐ด) | |
12 | 10, 11 | eqeq12d 2747 | . . 3 โข (๐ฅ = ๐ด โ ((1 ยท ๐ฅ) = ๐ฅ โ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)) |
13 | 1t1e1ALT 41479 | . . 3 โข (1 ยท 1) = 1 | |
14 | 1cnd 11214 | . . . . . 6 โข ((๐ฆ โ โ โง (1 ยท ๐ฆ) = ๐ฆ) โ 1 โ โ) | |
15 | simpl 482 | . . . . . . 7 โข ((๐ฆ โ โ โง (1 ยท ๐ฆ) = ๐ฆ) โ ๐ฆ โ โ) | |
16 | 15 | nncnd 12233 | . . . . . 6 โข ((๐ฆ โ โ โง (1 ยท ๐ฆ) = ๐ฆ) โ ๐ฆ โ โ) |
17 | 14, 16, 14 | adddid 11243 | . . . . 5 โข ((๐ฆ โ โ โง (1 ยท ๐ฆ) = ๐ฆ) โ (1 ยท (๐ฆ + 1)) = ((1 ยท ๐ฆ) + (1 ยท 1))) |
18 | simpr 484 | . . . . . 6 โข ((๐ฆ โ โ โง (1 ยท ๐ฆ) = ๐ฆ) โ (1 ยท ๐ฆ) = ๐ฆ) | |
19 | 13 | a1i 11 | . . . . . 6 โข ((๐ฆ โ โ โง (1 ยท ๐ฆ) = ๐ฆ) โ (1 ยท 1) = 1) |
20 | 18, 19 | oveq12d 7430 | . . . . 5 โข ((๐ฆ โ โ โง (1 ยท ๐ฆ) = ๐ฆ) โ ((1 ยท ๐ฆ) + (1 ยท 1)) = (๐ฆ + 1)) |
21 | 17, 20 | eqtrd 2771 | . . . 4 โข ((๐ฆ โ โ โง (1 ยท ๐ฆ) = ๐ฆ) โ (1 ยท (๐ฆ + 1)) = (๐ฆ + 1)) |
22 | 21 | ex 412 | . . 3 โข (๐ฆ โ โ โ ((1 ยท ๐ฆ) = ๐ฆ โ (1 ยท (๐ฆ + 1)) = (๐ฆ + 1))) |
23 | 3, 6, 9, 12, 13, 22 | nnind 12235 | . 2 โข (๐ด โ โ โ (1 ยท ๐ด) = ๐ด) |
24 | nnre 12224 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ ๐ด โ โ) | |
25 | ax-1rid 11184 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ (๐ด ยท 1) = ๐ด) | |
26 | 24, 25 | syl 17 | . 2 โข (๐ด โ โ โ (๐ด ยท 1) = ๐ด) |
27 | 23, 26 | eqtr4d 2774 | 1 โข (๐ด โ โ โ (1 ยท ๐ด) = (๐ด ยท 1)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1540 โ wcel 2105 (class class class)co 7412 โcr 11113 1c1 11115 + caddc 11117 ยท cmul 11119 โcn 12217 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1912 ax-6 1970 ax-7 2010 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2136 ax-11 2153 ax-12 2170 ax-ext 2702 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pr 5427 ax-un 7729 ax-1cn 11172 ax-icn 11173 ax-addcl 11174 ax-addrcl 11175 ax-mulcl 11176 ax-mulrcl 11177 ax-distr 11181 ax-i2m1 11182 ax-1ne0 11183 ax-1rid 11184 ax-rrecex 11186 ax-cnre 11187 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2067 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2709 df-cleq 2723 df-clel 2809 df-nfc 2884 df-ne 2940 df-ral 3061 df-rex 3070 df-reu 3376 df-rab 3432 df-v 3475 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-ov 7415 df-om 7860 df-2nd 7980 df-frecs 8270 df-wrecs 8301 df-recs 8375 df-rdg 8414 df-nn 12218 |
This theorem is referenced by: nnmulcom 41489 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |