Theorem nncnd 12141

Description: A positive integer is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nncnd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem nncnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 12130	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2		nnred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
3	1, 2	sselid 3927	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ℂcc 11004  ℕcn 12125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-1cn 11064  ax-addcl 11066

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-nn 12126

This theorem is referenced by:  nneo  12557  facdiv  14194  facndiv  14195  faclbnd  14197  faclbnd5  14205  faclbnd6  14206  facubnd  14207  facavg  14208  bccmpl  14216  bcn0  14217  bcn1  14220  bcm1k  14222  bcp1n  14223  bcp1nk  14224  bcval5  14225  bcpasc  14228  permnn  14233  hashf1  14364  hashfac  14365  relexpaddnn  14958  binom11  15739  binom1dif  15740  climcndslem2  15757  arisum2  15768  trireciplem  15769  trirecip  15770  geo2sum  15780  geo2lim  15782  fprodfac  15880  risefacfac  15942  fallfacfwd  15943  fallfacval4  15950  bcfallfac  15951  fallfacfac  15952  bpolycl  15959  bpolysum  15960  bpolydiflem  15961  fsumkthpow  15963  eftcl  15980  eftabs  15982  efcllem  15984  ege2le3  15997  efcj  15999  efaddlem  16000  eftlub  16018  eirrlem  16113  sqrt2irrlem  16157  oexpneg  16256  pwp1fsum  16302  bitsp1  16342  bitsfzolem  16345  bitsfzo  16346  bitsmod  16347  bitscmp  16349  bitsinv1lem  16352  bitsinv1  16353  2ebits  16358  bitsinvp1  16360  sadcaddlem  16368  sadadd3  16372  bitsres  16384  bitsuz  16385  bitsshft  16386  dvdsgcdidd  16448  mulgcd  16459  rplpwr  16469  sqgcd  16473  expgcd  16474  nn0expgcd  16475  lcmgcdlem  16517  3lcm2e6woprm  16526  coprmprod  16572  coprmproddvdslem  16573  cncongr1  16578  cncongr2  16579  prmind2  16596  isprm5  16618  divgcdodd  16621  prmdvdsexpr  16628  qmuldeneqnum  16658  divnumden  16659  qnumgt0  16661  numdensq  16665  numdenexp  16671  hashdvds  16686  phiprmpw  16687  prmdiv  16696  prmdivdiv  16698  phisum  16702  modprm0  16717  pythagtriplem4  16731  pythagtriplem6  16733  pythagtriplem7  16734  pythagtriplem14  16740  pythagtriplem15  16741  pythagtriplem19  16745  pythagtrip  16746  pcprendvds2  16753  pcpre1  16754  pcpremul  16755  pceulem  16757  pcdiv  16764  pcqmul  16765  pcelnn  16782  pcid  16785  pc2dvds  16791  dvdsprmpweqnn  16797  dvdsprmpweqle  16798  pcaddlem  16800  pcadd  16801  pcfaclem  16810  qexpz  16813  expnprm  16814  oddprmdvds  16815  prmpwdvds  16816  pockthlem  16817  pockthg  16818  infpnlem1  16822  prmreclem1  16828  prmreclem2  16829  prmreclem3  16830  prmreclem4  16831  prmreclem6  16833  4sqlem6  16855  4sqlem7  16856  4sqlem10  16859  mul4sqlem  16865  4sqlem11  16867  4sqlem12  16868  4sqlem14  16870  4sqlem17  16873  4sqlem18  16874  vdwlem1  16893  vdwlem2  16894  vdwlem3  16895  vdwlem5  16897  vdwlem6  16898  vdwlem8  16900  vdwlem9  16901  vdwlem10  16902  vdwlem12  16904  ramub1lem2  16939  ramcl  16941  prmop1  16950  prmdvdsprmo  16954  prmgaplem7  16969  prmgaplem8  16970  chnub  18528  gsumsgrpccat  18748  mulgnndir  19016  mulgnnass  19022  psgnunilem5  19406  odf1o2  19485  pgp0  19508  sylow1lem1  19510  odcau  19516  sylow2blem3  19534  sylow3lem3  19541  sylow3lem4  19542  gexexlem  19764  ablfacrp2  19981  ablfac1lem  19982  ablfac1eu  19987  pgpfac1lem3a  19990  pgpfac1lem3  19991  fincygsubgodexd  20027  zringlpirlem3  21401  znrrg  21502  psdpw  22085  cpmadugsumlemF  22791  lebnumlem3  24889  ovollb2lem  25416  ovolunlem1a  25424  ovolunlem1  25425  uniioombllem3  25513  uniioombllem4  25514  dyaddisjlem  25523  mbfi1fseqlem3  25645  mbfi1fseqlem4  25646  itgpowd  25984  dgrcolem1  26206  vieta1lem1  26245  vieta1lem2  26246  elqaalem2  26255  elqaalem3  26256  aalioulem1  26267  aaliou3lem2  26278  aaliou3lem8  26280  aaliou3lem6  26283  aaliou3lem9  26285  taylfvallem1  26291  tayl0  26296  taylply2  26302  taylply2OLD  26303  taylply  26304  dvtaylp  26305  taylthlem1  26308  taylthlem2  26309  taylthlem2OLD  26310  pserdvlem2  26365  advlogexp  26591  cxpmul2  26625  cxpeq  26694  rtprmirr  26697  atantayl3  26876  leibpi  26879  log2cnv  26881  log2tlbnd  26882  birthdaylem2  26889  birthdaylem3  26890  amgmlem  26927  amgm  26928  emcllem5  26937  fsumharmonic  26949  zetacvg  26952  dmgmdivn0  26965  lgamgulmlem3  26968  lgamgulmlem4  26969  lgamgulmlem5  26970  lgamgulmlem6  26971  lgamgulm2  26973  lgamcvg2  26992  gamcvg  26993  gamcvg2lem  26996  facgam  27003  wilthlem1  27005  wilthlem2  27006  wilthlem3  27007  wilthimp  27009  basellem1  27018  basellem2  27019  basellem3  27020  basellem4  27021  basellem5  27022  basellem8  27025  vmaprm  27054  sgmval2  27080  0sgm  27081  sgmf  27082  vma1  27103  fsumdvdsdiaglem  27120  dvdsflf1o  27124  muinv  27130  mpodvdsmulf1o  27131  dvdsmulf1o  27133  sgmppw  27135  1sgmprm  27137  1sgm2ppw  27138  sgmmul  27139  chtublem  27149  fsumvma2  27152  chpchtsum  27157  logfaclbnd  27160  logexprlim  27163  mersenne  27165  perfect1  27166  perfectlem1  27167  perfectlem2  27168  perfect  27169  dchrsum2  27206  dchrhash  27209  bcmono  27215  bcp1ctr  27217  bclbnd  27218  bposlem1  27222  bposlem2  27223  bposlem3  27224  bposlem5  27226  bposlem6  27227  lgsval2lem  27245  lgsqrlem2  27285  gausslemma2dlem6  27310  gausslemma2dlem7  27311  gausslemma2d  27312  lgseisenlem1  27313  lgseisenlem4  27316  lgsquadlem1  27318  lgsquadlem2  27319  lgsquadlem3  27320  lgsquad2  27324  m1lgs  27326  2sqlem3  27358  2sqlem4  27359  chebbnd1lem1  27407  chebbnd1  27410  rplogsumlem1  27422  rplogsumlem2  27423  rpvmasumlem  27425  dchrisumlem1  27427  dchrmusum2  27432  dchrvmasumlem1  27433  dchrvmasum2lem  27434  dchrvmasum2if  27435  dchrvmasumlem2  27436  dchrvmasumlem3  27437  dchrvmasumiflem1  27439  dchrisum0flblem1  27446  dchrisum0flblem2  27447  dchrisum0fno1  27449  rpvmasum2  27450  rplogsum  27465  mulogsumlem  27469  mulogsum  27470  mulog2sumlem2  27473  vmalogdivsum2  27476  vmalogdivsum  27477  2vmadivsumlem  27478  logsqvma  27480  selberglem2  27484  selberglem3  27485  selberg  27486  selberg2lem  27488  logdivbnd  27494  selberg3lem1  27495  selberg4lem1  27498  pntrsumo1  27503  pntrsumbnd2  27505  selberg3r  27507  selberg4r  27508  selberg34r  27509  pntsval2  27514  pntrlog2bndlem2  27516  pntrlog2bndlem4  27518  pntrlog2bndlem6  27521  pntpbnd1  27524  pntpbnd2  27525  pntlemg  27536  pntlemn  27538  pntlemf  27543  pnt  27552  padicabvf  27569  ostth2lem2  27572  ostth3  27576  fusgrhashclwwlkn  30059  eucrct2eupth  30225  nrt2irr  30453  elq2  32794  numdenneg  32797  ltesubnnd  32805  2exple2exp  32828  oexpled  32830  1arithidomlem2  33501  1arithidom  33502  zringfrac  33519  cos9thpiminplylem1  33795  cos9thpiminplylem2  33796  1smat1  33817  madjusmdetlem2  33841  madjusmdetlem4  33843  qqhnm  34003  oddpwdc  34367  eulerpartlemsv2  34371  eulerpartlems  34373  eulerpartlemsv3  34374  eulerpartlemgc  34375  eulerpartlemv  34377  eulerpartlemgs2  34393  fibp1  34414  ballotlemfc0  34506  ballotlemfcc  34507  signsvtn0  34583  reprpmtf1o  34639  vtscl  34651  hgt750lemb  34669  tgoldbachgt  34676  subfacp1lem1  35223  subfacp1lem5  35228  subfacval2  35231  subfaclim  35232  cvmliftlem2  35330  cvmliftlem7  35335  cvmliftlem10  35338  cvmliftlem11  35339  cvmliftlem13  35340  bcm1nt  35781  bcprod  35782  iprodgam  35786  faclimlem1  35787  faclimlem2  35788  faclim2  35792  nn0prpwlem  36366  nn0prpw  36367  knoppcnlem10  36546  knoppndvlem16  36571  poimirlem1  37660  poimirlem2  37661  poimirlem6  37665  poimirlem7  37666  poimirlem8  37667  poimirlem9  37668  poimirlem10  37669  poimirlem11  37670  poimirlem12  37671  poimirlem13  37672  poimirlem15  37674  poimirlem16  37675  poimirlem17  37676  poimirlem18  37677  poimirlem19  37678  poimirlem20  37679  poimirlem21  37680  poimirlem22  37681  poimirlem23  37682  poimirlem24  37683  poimirlem25  37684  poimirlem26  37685  poimirlem27  37686  poimirlem31  37690  nnproddivdvdsd  42092  lcmfunnnd  42104  lcmineqlem3  42123  lcmineqlem4  42124  lcmineqlem6  42126  lcmineqlem8  42128  lcmineqlem10  42130  lcmineqlem11  42131  lcmineqlem12  42132  lcmineqlem16  42136  lcmineqlem18  42138  lcmineqlem23  42143  dvrelogpow2b  42160  aks4d1p1p2  42162  aks4d1p1  42168  aks4d1p8  42179  primrootsunit1  42189  primrootscoprmpow  42191  posbezout  42192  primrootscoprbij  42194  primrootspoweq0  42198  aks6d1c1p3  42202  aks6d1c1p8  42207  aks6d1c2p2  42211  hashscontpow1  42213  2np3bcnp1  42236  2ap1caineq  42237  sticksstones10  42247  sticksstones12a  42249  sticksstones16  42254  sticksstones22  42260  bcled  42270  bcle2d  42271  aks6d1c7lem1  42272  aks6d1c7  42276  unitscyglem2  42288  unitscyglem4  42290  unitscyglem5  42291  aks5lem8  42293  nnadddir  42362  nnmul1com  42363  nnmulcom  42364  oddnumth  42403  nicomachus  42404  zaddcom  42556  fltabcoprmex  42731  fltaccoprm  42732  fltbccoprm  42733  fltne  42736  flt4lem3  42740  flt4lem5elem  42743  flt4lem5a  42744  flt4lem5b  42745  flt4lem5c  42746  flt4lem5d  42747  flt4lem5e  42748  flt4lem5f  42749  flt4lem6  42750  flt4lem7  42751  nna4b4nsq  42752  fltltc  42753  fltnltalem  42754  fltnlta  42755  irrapxlem4  42917  irrapxlem5  42918  pellexlem2  42922  pellexlem6  42926  pell1234qrne0  42945  pell1234qrreccl  42946  pell1234qrmulcl  42947  pell1234qrdich  42953  pell14qrdich  42961  pell1qrge1  42962  pell1qr1  42963  pell14qrgapw  42968  rmxyneg  43012  rmxm1  43026  rmxluc  43028  rmxdbl  43031  jm2.19lem1  43081  jm2.27c  43099  relexpmulnn  43801  relexpmulg  43802  inductionexd  44247  hashnzfzclim  44414  bcccl  44431  bcc0  44432  bccp1k  44433  bccm1k  44434  binomcxplemwb  44440  fsumnncl  45671  mccllem  45696  clim1fr1  45700  sumnnodd  45729  dvsinexp  46008  dvxpaek  46037  dvnxpaek  46039  dvnprodlem2  46044  itgsinexplem1  46051  itgsinexp  46052  stoweidlem1  46098  stoweidlem11  46108  stoweidlem25  46122  stoweidlem26  46123  stoweidlem34  46131  stoweidlem37  46134  stoweidlem38  46135  stoweidlem42  46139  wallispi2lem1  46168  wallispi2  46170  stirlinglem4  46174  stirlinglem5  46175  stirlinglem10  46180  stirlinglem15  46185  dirkertrigeqlem3  46197  dirkertrigeq  46198  dirkercncflem2  46201  dirkercncflem4  46203  fourierdlem11  46215  fourierdlem15  46219  fourierdlem79  46282  fourierdlem83  46286  sqwvfourb  46326  etransclem14  46345  etransclem15  46346  etransclem20  46351  etransclem21  46352  etransclem22  46353  etransclem23  46354  etransclem24  46355  etransclem25  46356  etransclem28  46359  etransclem31  46362  etransclem32  46363  etransclem33  46364  etransclem34  46365  etransclem35  46366  etransclem38  46369  etransclem41  46372  etransclem44  46375  etransclem45  46376  etransclem47  46378  etransclem48  46379  nnfoctbdjlem  46552  deccarry  47410  iccpartgtprec  47519  fmtnoodd  47632  fmtnorec2lem  47641  fmtnorec2  47642  fmtnodvds  47643  goldbachthlem2  47645  fmtnorec3  47647  fmtnorec4  47648  fmtnoprmfac1lem  47663  fmtnoprmfac1  47664  fmtnoprmfac2lem1  47665  fmtnoprmfac2  47666  2pwp1prm  47688  sfprmdvdsmersenne  47702  lighneallem4b  47708  lighneal  47710  proththdlem  47712  proththd  47713  oexpnegALTV  47776  perfectALTVlem1  47820  perfectALTVlem2  47821  perfectALTV  47822  nnpw2pmod  48683  nnolog2flm1  48690  blennn0em1  48691  blengt1fldiv2p1  48693  nn0sumshdiglemB  48720  amgmlemALT  49903