Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnmulcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnmulcom 40774
Description: Multiplication is commutative for natural numbers. (Contributed by SN, 5-Feb-2024.)
Assertion
Ref Expression
nnmulcom ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))

Proof of Theorem nnmulcom
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7364 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (𝑥 · 𝐵) = (1 · 𝐵))
2 oveq2 7365 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 1))
31, 2eqeq12d 2752 . . . 4 (𝑥 = 1 → ((𝑥 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑥) ↔ (1 · 𝐵) = (𝐵 · 1)))
43imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 1 → ((𝐵 ∈ ℕ → (𝑥 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑥)) ↔ (𝐵 ∈ ℕ → (1 · 𝐵) = (𝐵 · 1))))
5 oveq1 7364 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐵) = (𝑦 · 𝐵))
6 oveq2 7365 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑦))
75, 6eqeq12d 2752 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑥) ↔ (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦)))
87imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐵 ∈ ℕ → (𝑥 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑥)) ↔ (𝐵 ∈ ℕ → (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦))))
9 oveq1 7364 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · 𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵))
10 oveq2 7365 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · (𝑦 + 1)))
119, 10eqeq12d 2752 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑥) ↔ ((𝑦 + 1) · 𝐵) = (𝐵 · (𝑦 + 1))))
1211imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐵 ∈ ℕ → (𝑥 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑥)) ↔ (𝐵 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) · 𝐵) = (𝐵 · (𝑦 + 1)))))
13 oveq1 7364 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
14 oveq2 7365 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝐴))
1513, 14eqeq12d 2752 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑥) ↔ (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴)))
1615imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐵 ∈ ℕ → (𝑥 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑥)) ↔ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))))
17 nnmul1com 40773 . . 3 (𝐵 ∈ ℕ → (1 · 𝐵) = (𝐵 · 1))
18 simp3 1138 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦)) → (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦))
19173ad2ant2 1134 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦)) → (1 · 𝐵) = (𝐵 · 1))
2018, 19oveq12d 7375 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦)) → ((𝑦 · 𝐵) + (1 · 𝐵)) = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐵 · 1)))
21 simp1 1136 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℕ)
22 1nn 12164 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
2322a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦)) → 1 ∈ ℕ)
24 simp2 1137 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦)) → 𝐵 ∈ ℕ)
25 nnadddir 40772 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑦 + 1) · 𝐵) = ((𝑦 · 𝐵) + (1 · 𝐵)))
2621, 23, 24, 25syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦)) → ((𝑦 + 1) · 𝐵) = ((𝑦 · 𝐵) + (1 · 𝐵)))
2724nncnd 12169 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦)) → 𝐵 ∈ ℂ)
2821nncnd 12169 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℂ)
29 1cnd 11150 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦)) → 1 ∈ ℂ)
3027, 28, 29adddid 11179 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦)) → (𝐵 · (𝑦 + 1)) = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐵 · 1)))
3120, 26, 303eqtr4d 2786 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦)) → ((𝑦 + 1) · 𝐵) = (𝐵 · (𝑦 + 1)))
32313exp 1119 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℕ → ((𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦) → ((𝑦 + 1) · 𝐵) = (𝐵 · (𝑦 + 1)))))
3332a2d 29 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝐵 ∈ ℕ → (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦)) → (𝐵 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) · 𝐵) = (𝐵 · (𝑦 + 1)))))
344, 8, 12, 16, 17, 33nnind 12171 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴)))
3534imp 407 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  (class class class)co 7357  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  cn 12153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-addass 11116  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-nn 12154
This theorem is referenced by:  nn0mulcom  40909  zmulcomlem  40910  zmulcom  40911
  Copyright terms: Public domain W3C validator