Theorem nnmulcom 12285

Description: Multiplication is commutative for natural numbers. (Contributed by SN, 5-Feb-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcom	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))

Proof of Theorem nnmulcom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7407	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 · 𝐵) = (1 · 𝐵))
2		oveq2 7408	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 1))
3	1, 2	eqeq12d 2781	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑥 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑥) ↔ (1 · 𝐵) = (𝐵 · 1)))
4	3	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝐵 ∈ ℕ → (𝑥 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑥)) ↔ (𝐵 ∈ ℕ → (1 · 𝐵) = (𝐵 · 1))))
5		oveq1 7407	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐵) = (𝑦 · 𝐵))
6		oveq2 7408	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑦))
7	5, 6	eqeq12d 2781	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑥) ↔ (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦)))
8	7	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐵 ∈ ℕ → (𝑥 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑥)) ↔ (𝐵 ∈ ℕ → (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦))))
9		oveq1 7407	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · 𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵))
10		oveq2 7408	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · (𝑦 + 1)))
11	9, 10	eqeq12d 2781	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑥) ↔ ((𝑦 + 1) · 𝐵) = (𝐵 · (𝑦 + 1))))
12	11	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐵 ∈ ℕ → (𝑥 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑥)) ↔ (𝐵 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) · 𝐵) = (𝐵 · (𝑦 + 1)))))
13		oveq1 7407	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
14		oveq2 7408	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝐴))
15	13, 14	eqeq12d 2781	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑥) ↔ (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴)))
16	15	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐵 ∈ ℕ → (𝑥 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑥)) ↔ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))))
17		nnmul1com 12284	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (1 · 𝐵) = (𝐵 · 1))
18		simp3 1154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦)) → (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦))
19	17	3ad2ant2 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦)) → (1 · 𝐵) = (𝐵 · 1))
20	18, 19	oveq12d 7418	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦)) → ((𝑦 · 𝐵) + (1 · 𝐵)) = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐵 · 1)))
21		simp1 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℕ)
22		1nn 12235	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦)) → 1 ∈ ℕ)
24		simp2 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦)) → 𝐵 ∈ ℕ)
25		nnadddir 12283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑦 + 1) · 𝐵) = ((𝑦 · 𝐵) + (1 · 𝐵)))
26	21, 23, 24, 25	syl3anc 1394	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦)) → ((𝑦 + 1) · 𝐵) = ((𝑦 · 𝐵) + (1 · 𝐵)))
27	24	nncnd 12240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦)) → 𝐵 ∈ ℂ)
28	21	nncnd 12240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℂ)
29		1cnd 11190	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦)) → 1 ∈ ℂ)
30	27, 28, 29	adddid 11221	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦)) → (𝐵 · (𝑦 + 1)) = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐵 · 1)))
31	20, 26, 30	3eqtr4d 2810	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦)) → ((𝑦 + 1) · 𝐵) = (𝐵 · (𝑦 + 1)))
32	31	3exp 1135	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℕ → ((𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦) → ((𝑦 + 1) · 𝐵) = (𝐵 · (𝑦 + 1)))))
33	32	a2d 30	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝐵 ∈ ℕ → (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦)) → (𝐵 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) · 𝐵) = (𝐵 · (𝑦 + 1)))))
34	4, 8, 12, 16, 17, 33	nnind 12242	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴)))
35	34	imp 411	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7400  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093  ℕcn 12224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-addass 11153  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-nn 12225

This theorem is referenced by:  nn0mulcom  43100  zmulcomlem  43101  zmulcom  43102  nnmul2b  47923  nndivides2  47976  nprmmul1  48131  nprmmul2  48132