Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnmulcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnmulcom 41740
Description: Multiplication is commutative for natural numbers. (Contributed by SN, 5-Feb-2024.)
Assertion
Ref Expression
nnmulcom ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))

Proof of Theorem nnmulcom
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7412 . . . . 5 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ต) = (1 ยท ๐ต))
2 oveq2 7413 . . . . 5 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = (๐ต ยท 1))
31, 2eqeq12d 2742 . . . 4 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฅ) โ†” (1 ยท ๐ต) = (๐ต ยท 1)))
43imbi2d 340 . . 3 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฅ)) โ†” (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (1 ยท ๐ต) = (๐ต ยท 1))))
5 oveq1 7412 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ต) = (๐‘ฆ ยท ๐ต))
6 oveq2 7413 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = (๐ต ยท ๐‘ฆ))
75, 6eqeq12d 2742 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฅ) โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
87imbi2d 340 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฅ)) โ†” (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
9 oveq1 7412 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ต) = ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ต))
10 oveq2 7413 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = (๐ต ยท (๐‘ฆ + 1)))
119, 10eqeq12d 2742 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฅ) โ†” ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ต) = (๐ต ยท (๐‘ฆ + 1))))
1211imbi2d 340 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ ((๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฅ)) โ†” (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ต) = (๐ต ยท (๐‘ฆ + 1)))))
13 oveq1 7412 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ต) = (๐ด ยท ๐ต))
14 oveq2 7413 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = (๐ต ยท ๐ด))
1513, 14eqeq12d 2742 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฅ) โ†” (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด)))
1615imbi2d 340 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฅ)) โ†” (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))))
17 nnmul1com 41739 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (1 ยท ๐ต) = (๐ต ยท 1))
18 simp3 1135 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฆ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฆ))
19173ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฆ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (1 ยท ๐ต) = (๐ต ยท 1))
2018, 19oveq12d 7423 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฆ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐ต) + (1 ยท ๐ต)) = ((๐ต ยท ๐‘ฆ) + (๐ต ยท 1)))
21 simp1 1133 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฆ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
22 1nn 12227 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„•
2322a1i 11 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฆ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ 1 โˆˆ โ„•)
24 simp2 1134 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฆ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
25 nnadddir 41738 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง 1 โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ต) = ((๐‘ฆ ยท ๐ต) + (1 ยท ๐ต)))
2621, 23, 24, 25syl3anc 1368 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฆ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ต) = ((๐‘ฆ ยท ๐ต) + (1 ยท ๐ต)))
2724nncnd 12232 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฆ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2821nncnd 12232 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฆ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
29 1cnd 11213 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฆ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
3027, 28, 29adddid 11242 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฆ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ต ยท (๐‘ฆ + 1)) = ((๐ต ยท ๐‘ฆ) + (๐ต ยท 1)))
3120, 26, 303eqtr4d 2776 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฆ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ต) = (๐ต ยท (๐‘ฆ + 1)))
32313exp 1116 . . . 4 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฆ) โ†’ ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ต) = (๐ต ยท (๐‘ฆ + 1)))))
3332a2d 29 . . 3 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ต) = (๐ต ยท (๐‘ฆ + 1)))))
344, 8, 12, 16, 17, 33nnind 12234 . 2 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด)))
3534imp 406 1 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7405  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117  โ„•cn 12216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-addass 11177  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-nn 12217
This theorem is referenced by:  nn0mulcom  41902  zmulcomlem  41903  zmulcom  41904
  Copyright terms: Public domain W3C validator