Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnmulcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnmulcom 41878
Description: Multiplication is commutative for natural numbers. (Contributed by SN, 5-Feb-2024.)
Assertion
Ref Expression
nnmulcom ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))

Proof of Theorem nnmulcom
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7433 . . . . 5 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ต) = (1 ยท ๐ต))
2 oveq2 7434 . . . . 5 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = (๐ต ยท 1))
31, 2eqeq12d 2744 . . . 4 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฅ) โ†” (1 ยท ๐ต) = (๐ต ยท 1)))
43imbi2d 339 . . 3 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฅ)) โ†” (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (1 ยท ๐ต) = (๐ต ยท 1))))
5 oveq1 7433 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ต) = (๐‘ฆ ยท ๐ต))
6 oveq2 7434 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = (๐ต ยท ๐‘ฆ))
75, 6eqeq12d 2744 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฅ) โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
87imbi2d 339 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฅ)) โ†” (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
9 oveq1 7433 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ต) = ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ต))
10 oveq2 7434 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = (๐ต ยท (๐‘ฆ + 1)))
119, 10eqeq12d 2744 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฅ) โ†” ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ต) = (๐ต ยท (๐‘ฆ + 1))))
1211imbi2d 339 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ ((๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฅ)) โ†” (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ต) = (๐ต ยท (๐‘ฆ + 1)))))
13 oveq1 7433 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ต) = (๐ด ยท ๐ต))
14 oveq2 7434 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = (๐ต ยท ๐ด))
1513, 14eqeq12d 2744 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฅ) โ†” (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด)))
1615imbi2d 339 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฅ)) โ†” (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))))
17 nnmul1com 41877 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (1 ยท ๐ต) = (๐ต ยท 1))
18 simp3 1135 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฆ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฆ))
19173ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฆ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (1 ยท ๐ต) = (๐ต ยท 1))
2018, 19oveq12d 7444 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฆ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐ต) + (1 ยท ๐ต)) = ((๐ต ยท ๐‘ฆ) + (๐ต ยท 1)))
21 simp1 1133 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฆ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
22 1nn 12261 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„•
2322a1i 11 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฆ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ 1 โˆˆ โ„•)
24 simp2 1134 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฆ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
25 nnadddir 41876 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง 1 โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ต) = ((๐‘ฆ ยท ๐ต) + (1 ยท ๐ต)))
2621, 23, 24, 25syl3anc 1368 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฆ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ต) = ((๐‘ฆ ยท ๐ต) + (1 ยท ๐ต)))
2724nncnd 12266 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฆ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2821nncnd 12266 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฆ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
29 1cnd 11247 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฆ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
3027, 28, 29adddid 11276 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฆ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ต ยท (๐‘ฆ + 1)) = ((๐ต ยท ๐‘ฆ) + (๐ต ยท 1)))
3120, 26, 303eqtr4d 2778 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฆ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ต) = (๐ต ยท (๐‘ฆ + 1)))
32313exp 1116 . . . 4 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฆ) โ†’ ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ต) = (๐ต ยท (๐‘ฆ + 1)))))
3332a2d 29 . . 3 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐ต) = (๐ต ยท (๐‘ฆ + 1)))))
344, 8, 12, 16, 17, 33nnind 12268 . 2 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด)))
3534imp 405 1 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7426  1c1 11147   + caddc 11149   ยท cmul 11151  โ„•cn 12250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-addass 11211  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-nn 12251
This theorem is referenced by:  nn0mulcom  42040  zmulcomlem  42041  zmulcom  42042
  Copyright terms: Public domain W3C validator