Theorem nnmulcom 40552

Description: Multiplication is commutative for natural numbers. (Contributed by SN, 5-Feb-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcom	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))

Proof of Theorem nnmulcom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7336	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 · 𝐵) = (1 · 𝐵))
2		oveq2 7337	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 1))
3	1, 2	eqeq12d 2752	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑥 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑥) ↔ (1 · 𝐵) = (𝐵 · 1)))
4	3	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝐵 ∈ ℕ → (𝑥 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑥)) ↔ (𝐵 ∈ ℕ → (1 · 𝐵) = (𝐵 · 1))))
5		oveq1 7336	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐵) = (𝑦 · 𝐵))
6		oveq2 7337	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑦))
7	5, 6	eqeq12d 2752	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑥) ↔ (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦)))
8	7	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐵 ∈ ℕ → (𝑥 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑥)) ↔ (𝐵 ∈ ℕ → (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦))))
9		oveq1 7336	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · 𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵))
10		oveq2 7337	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · (𝑦 + 1)))
11	9, 10	eqeq12d 2752	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑥) ↔ ((𝑦 + 1) · 𝐵) = (𝐵 · (𝑦 + 1))))
12	11	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐵 ∈ ℕ → (𝑥 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑥)) ↔ (𝐵 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) · 𝐵) = (𝐵 · (𝑦 + 1)))))
13		oveq1 7336	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
14		oveq2 7337	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝐴))
15	13, 14	eqeq12d 2752	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑥) ↔ (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴)))
16	15	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐵 ∈ ℕ → (𝑥 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑥)) ↔ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))))
17		nnmul1com 40551	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (1 · 𝐵) = (𝐵 · 1))
18		simp3 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦)) → (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦))
19	17	3ad2ant2 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦)) → (1 · 𝐵) = (𝐵 · 1))
20	18, 19	oveq12d 7347	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦)) → ((𝑦 · 𝐵) + (1 · 𝐵)) = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐵 · 1)))
21		simp1 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℕ)
22		1nn 12077	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦)) → 1 ∈ ℕ)
24		simp2 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦)) → 𝐵 ∈ ℕ)
25		nnadddir 40550	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑦 + 1) · 𝐵) = ((𝑦 · 𝐵) + (1 · 𝐵)))
26	21, 23, 24, 25	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦)) → ((𝑦 + 1) · 𝐵) = ((𝑦 · 𝐵) + (1 · 𝐵)))
27	24	nncnd 12082	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦)) → 𝐵 ∈ ℂ)
28	21	nncnd 12082	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℂ)
29		1cnd 11063	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦)) → 1 ∈ ℂ)
30	27, 28, 29	adddid 11092	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦)) → (𝐵 · (𝑦 + 1)) = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐵 · 1)))
31	20, 26, 30	3eqtr4d 2786	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦)) → ((𝑦 + 1) · 𝐵) = (𝐵 · (𝑦 + 1)))
32	31	3exp 1118	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℕ → ((𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦) → ((𝑦 + 1) · 𝐵) = (𝐵 · (𝑦 + 1)))))
33	32	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝐵 ∈ ℕ → (𝑦 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑦)) → (𝐵 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) · 𝐵) = (𝐵 · (𝑦 + 1)))))
34	4, 8, 12, 16, 17, 33	nnind 12084	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴)))
35	34	imp 407	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7329  1c1 10965   + caddc 10967   · cmul 10969  ℕcn 12066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-addass 11029  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-ov 7332  df-om 7773  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-nn 12067

This theorem is referenced by: (None)