Theorem noinfbnd1lem5 33527

Description: Lemma for noinfbnd1 33529. If 𝑈 is a prolongment of 𝑇 and in 𝐵, then (𝑈‘dom 𝑇) is not 2_o. (Contributed by Scott Fenton, 9-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
noinfbnd1.1	⊢ 𝑇 = if(∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥, ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 (¬ 𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 (¬ 𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢‘𝑔) = 𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
noinfbnd1lem5	⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) → (𝑈‘dom 𝑇) ≠ 2o)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦   𝑣,𝑈   𝑥,𝑢,𝑦   𝑔,𝑉   𝑥,𝑣,𝑦,𝑈

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑈(𝑢,𝑔)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem noinfbnd1lem5

Dummy variables 𝑝 𝑧 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noinfbnd1.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = if(∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥, ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 (¬ 𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 (¬ 𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢‘𝑔) = 𝑥))))
2	1	noinfno 33518	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑇 ∈ No )
3	2	3ad2ant2 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) → 𝑇 ∈ No )
4	3	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑈 <s 𝑧 → (𝑧‘dom 𝑇) = 2o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇))) → 𝑇 ∈ No )
5		nodmord 33453	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ No → Ord dom 𝑇)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑈 <s 𝑧 → (𝑧‘dom 𝑇) = 2o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇))) → Ord dom 𝑇)
7		ordirr 6192	. . . . 5 ⊢ (Ord dom 𝑇 → ¬ dom 𝑇 ∈ dom 𝑇)
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑈 <s 𝑧 → (𝑧‘dom 𝑇) = 2o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇))) → ¬ dom 𝑇 ∈ dom 𝑇)
9		simpr3l 1231	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑈 <s 𝑧 → (𝑧‘dom 𝑇) = 2o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇))) → 𝑈 ∈ 𝐵)
10	9	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑈 <s 𝑧 → (𝑧‘dom 𝑇) = 2o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇))) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = 2o) → 𝑈 ∈ 𝐵)
11		ndmfv 6693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ dom 𝑇 ∈ dom 𝑈 → (𝑈‘dom 𝑇) = ∅)
12		2on0 8129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2o ≠ ∅
13	12	necomi 3005	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ≠ 2o
14		neeq1 3013	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈‘dom 𝑇) = ∅ → ((𝑈‘dom 𝑇) ≠ 2o ↔ ∅ ≠ 2o))
15	13, 14	mpbiri 261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈‘dom 𝑇) = ∅ → (𝑈‘dom 𝑇) ≠ 2o)
16	11, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ dom 𝑇 ∈ dom 𝑈 → (𝑈‘dom 𝑇) ≠ 2o)
17	16	neneqd 2956	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ dom 𝑇 ∈ dom 𝑈 → ¬ (𝑈‘dom 𝑇) = 2o)
18	17	con4i 114	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈‘dom 𝑇) = 2o → dom 𝑇 ∈ dom 𝑈)
19	18	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑈 <s 𝑧 → (𝑧‘dom 𝑇) = 2o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇))) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = 2o) → dom 𝑇 ∈ dom 𝑈)
20		simpl2l 1223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = 2o) → 𝐵 ⊆ No )
21	20	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = 2o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑈 <s 𝑧) ∧ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o)) → 𝐵 ⊆ No )
22		simpl3l 1225	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = 2o) → 𝑈 ∈ 𝐵)
23	22	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = 2o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑈 <s 𝑧) ∧ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o)) → 𝑈 ∈ 𝐵)
24	21, 23	sseldd 3895	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = 2o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑈 <s 𝑧) ∧ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o)) → 𝑈 ∈ No )
25		nofun 33449	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑈 ∈ No → Fun 𝑈)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = 2o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑈 <s 𝑧) ∧ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o)) → Fun 𝑈)
27		simprll 778	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = 2o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑈 <s 𝑧) ∧ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
28	21, 27	sseldd 3895	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = 2o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑈 <s 𝑧) ∧ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o)) → 𝑧 ∈ No )
29		nofun 33449	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ No → Fun 𝑧)
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = 2o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑈 <s 𝑧) ∧ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o)) → Fun 𝑧)
31		simpl3r 1226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = 2o) → (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)
32	31	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = 2o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑈 <s 𝑧) ∧ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o)) → (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)
33		simpll1 1209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = 2o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑈 <s 𝑧) ∧ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o)) → ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
34		simpll2 1210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = 2o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑈 <s 𝑧) ∧ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o)) → (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
35		simpll3 1211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = 2o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑈 <s 𝑧) ∧ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o)) → (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇))
36		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = 2o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑈 <s 𝑧) ∧ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o)) → (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑈 <s 𝑧))
37	1	noinfbnd1lem2 33524	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑈 <s 𝑧))) → (𝑧 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)
38	33, 34, 35, 36, 37	syl112anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = 2o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑈 <s 𝑧) ∧ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o)) → (𝑧 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)
39	32, 38	eqtr4d 2796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = 2o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑈 <s 𝑧) ∧ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o)) → (𝑈 ↾ dom 𝑇) = (𝑧 ↾ dom 𝑇))
40		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = 2o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑈 <s 𝑧) ∧ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o)) → (𝑈‘dom 𝑇) = 2o)
41	40, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = 2o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑈 <s 𝑧) ∧ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o)) → dom 𝑇 ∈ dom 𝑈)
42		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = 2o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑈 <s 𝑧) ∧ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o)) → (𝑧‘dom 𝑇) = 2o)
43		ndmfv 6693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (¬ dom 𝑇 ∈ dom 𝑧 → (𝑧‘dom 𝑇) = ∅)
44		neeq1 3013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧‘dom 𝑇) = ∅ → ((𝑧‘dom 𝑇) ≠ 2o ↔ ∅ ≠ 2o))
45	13, 44	mpbiri 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧‘dom 𝑇) = ∅ → (𝑧‘dom 𝑇) ≠ 2o)
46	43, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ dom 𝑇 ∈ dom 𝑧 → (𝑧‘dom 𝑇) ≠ 2o)
47	46	neneqd 2956	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ dom 𝑇 ∈ dom 𝑧 → ¬ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o)
48	47	con4i 114	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧‘dom 𝑇) = 2o → dom 𝑇 ∈ dom 𝑧)
49	42, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = 2o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑈 <s 𝑧) ∧ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o)) → dom 𝑇 ∈ dom 𝑧)
50	40, 42	eqtr4d 2796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = 2o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑈 <s 𝑧) ∧ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o)) → (𝑈‘dom 𝑇) = (𝑧‘dom 𝑇))
51		eqfunressuc 33264	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((Fun 𝑈 ∧ Fun 𝑧) ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = (𝑧 ↾ dom 𝑇) ∧ (dom 𝑇 ∈ dom 𝑈 ∧ dom 𝑇 ∈ dom 𝑧 ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = (𝑧‘dom 𝑇))) → (𝑈 ↾ suc dom 𝑇) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑇))
52	26, 30, 39, 41, 49, 50, 51	syl213anc 1386	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = 2o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑈 <s 𝑧) ∧ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o)) → (𝑈 ↾ suc dom 𝑇) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑇))
53	52	expr 460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = 2o) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑈 <s 𝑧)) → ((𝑧‘dom 𝑇) = 2o → (𝑈 ↾ suc dom 𝑇) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑇)))
54	53	expr 460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = 2o) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑈 <s 𝑧 → ((𝑧‘dom 𝑇) = 2o → (𝑈 ↾ suc dom 𝑇) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑇))))
55	54	a2d 29	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = 2o) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((¬ 𝑈 <s 𝑧 → (𝑧‘dom 𝑇) = 2o) → (¬ 𝑈 <s 𝑧 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑇) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑇))))
56	55	ralimdva 3108	. . . . . . . . 9 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = 2o) → (∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑈 <s 𝑧 → (𝑧‘dom 𝑇) = 2o) → ∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑈 <s 𝑧 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑇) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑇))))
57	56	impcom 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑈 <s 𝑧 → (𝑧‘dom 𝑇) = 2o) ∧ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = 2o)) → ∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑈 <s 𝑧 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑇) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑇)))
58	57	anassrs 471	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑈 <s 𝑧 → (𝑧‘dom 𝑇) = 2o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇))) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = 2o) → ∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑈 <s 𝑧 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑇) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑇)))
59		dmeq 5749	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑈 → dom 𝑝 = dom 𝑈)
60	59	eleq2d 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑈 → (dom 𝑇 ∈ dom 𝑝 ↔ dom 𝑇 ∈ dom 𝑈))
61		breq1 5039	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = 𝑈 → (𝑝 <s 𝑧 ↔ 𝑈 <s 𝑧))
62	61	notbid 321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑈 → (¬ 𝑝 <s 𝑧 ↔ ¬ 𝑈 <s 𝑧))
63		reseq1 5822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = 𝑈 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑇) = (𝑈 ↾ suc dom 𝑇))
64	63	eqeq1d 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑈 → ((𝑝 ↾ suc dom 𝑇) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑇) ↔ (𝑈 ↾ suc dom 𝑇) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑇)))
65	62, 64	imbi12d 348	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑈 → ((¬ 𝑝 <s 𝑧 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑇) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑇)) ↔ (¬ 𝑈 <s 𝑧 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑇) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑇))))
66	65	ralbidv 3126	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑈 → (∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑝 <s 𝑧 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑇) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑇)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑈 <s 𝑧 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑇) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑇))))
67	60, 66	anbi12d 633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑈 → ((dom 𝑇 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑝 <s 𝑧 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑇) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑇))) ↔ (dom 𝑇 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑈 <s 𝑧 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑇) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑇)))))
68	67	rspcev 3543	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (dom 𝑇 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑈 <s 𝑧 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑇) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑇)))) → ∃𝑝 ∈ 𝐵 (dom 𝑇 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑝 <s 𝑧 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑇) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑇))))
69	10, 19, 58, 68	syl12anc 835	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑈 <s 𝑧 → (𝑧‘dom 𝑇) = 2o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇))) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = 2o) → ∃𝑝 ∈ 𝐵 (dom 𝑇 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑝 <s 𝑧 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑇) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑇))))
70		nodmon 33450	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ No → dom 𝑇 ∈ On)
71	4, 70	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑈 <s 𝑧 → (𝑧‘dom 𝑇) = 2o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇))) → dom 𝑇 ∈ On)
72	71	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑈 <s 𝑧 → (𝑧‘dom 𝑇) = 2o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇))) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = 2o) → dom 𝑇 ∈ On)
73		eleq1 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = dom 𝑇 → (𝑎 ∈ dom 𝑝 ↔ dom 𝑇 ∈ dom 𝑝))
74		suceq 6239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = dom 𝑇 → suc 𝑎 = suc dom 𝑇)
75	74	reseq2d 5828	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = dom 𝑇 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑝 ↾ suc dom 𝑇))
76	74	reseq2d 5828	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = dom 𝑇 → (𝑧 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑇))
77	75, 76	eqeq12d 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = dom 𝑇 → ((𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎) ↔ (𝑝 ↾ suc dom 𝑇) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑇)))
78	77	imbi2d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = dom 𝑇 → ((¬ 𝑝 <s 𝑧 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎)) ↔ (¬ 𝑝 <s 𝑧 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑇) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑇))))
79	78	ralbidv 3126	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = dom 𝑇 → (∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑝 <s 𝑧 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑝 <s 𝑧 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑇) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑇))))
80	73, 79	anbi12d 633	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = dom 𝑇 → ((𝑎 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑝 <s 𝑧 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎))) ↔ (dom 𝑇 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑝 <s 𝑧 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑇) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑇)))))
81	80	rexbidv 3221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = dom 𝑇 → (∃𝑝 ∈ 𝐵 (𝑎 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑝 <s 𝑧 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐵 (dom 𝑇 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑝 <s 𝑧 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑇) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑇)))))
82	81	elabg 3589	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝑇 ∈ On → (dom 𝑇 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐵 (𝑎 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑝 <s 𝑧 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎)))} ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐵 (dom 𝑇 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑝 <s 𝑧 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑇) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑇)))))
83	72, 82	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑈 <s 𝑧 → (𝑧‘dom 𝑇) = 2o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇))) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = 2o) → (dom 𝑇 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐵 (𝑎 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑝 <s 𝑧 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎)))} ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐵 (dom 𝑇 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑝 <s 𝑧 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑇) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑇)))))
84	69, 83	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑈 <s 𝑧 → (𝑧‘dom 𝑇) = 2o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇))) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = 2o) → dom 𝑇 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐵 (𝑎 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑝 <s 𝑧 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎)))})
85	1	noinfdm 33519	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 → dom 𝑇 = {𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐵 (𝑎 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑝 <s 𝑧 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎)))})
86	85	3ad2ant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) → dom 𝑇 = {𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐵 (𝑎 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑝 <s 𝑧 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎)))})
87	86	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑈 <s 𝑧 → (𝑧‘dom 𝑇) = 2o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇))) → dom 𝑇 = {𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐵 (𝑎 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑝 <s 𝑧 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎)))})
88	87	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑈 <s 𝑧 → (𝑧‘dom 𝑇) = 2o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇))) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = 2o) → dom 𝑇 = {𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐵 (𝑎 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑝 <s 𝑧 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎)))})
89	88	eleq2d 2837	. . . . 5 ⊢ (((∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑈 <s 𝑧 → (𝑧‘dom 𝑇) = 2o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇))) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = 2o) → (dom 𝑇 ∈ dom 𝑇 ↔ dom 𝑇 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐵 (𝑎 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑝 <s 𝑧 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎)))}))
90	84, 89	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑈 <s 𝑧 → (𝑧‘dom 𝑇) = 2o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇))) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = 2o) → dom 𝑇 ∈ dom 𝑇)
91	8, 90	mtand 815	. . 3 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑈 <s 𝑧 → (𝑧‘dom 𝑇) = 2o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇))) → ¬ (𝑈‘dom 𝑇) = 2o)
92	91	neqned 2958	. 2 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑈 <s 𝑧 → (𝑧‘dom 𝑇) = 2o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇))) → (𝑈‘dom 𝑇) ≠ 2o)
93		rexanali 3189	. . 3 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑈 <s 𝑧 ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o) ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑈 <s 𝑧 → (𝑧‘dom 𝑇) = 2o))
94		simpr1 1191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑈 <s 𝑧) ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇))) → ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
95		simpr2 1192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑈 <s 𝑧) ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇))) → (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
96		simplll 774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑈 <s 𝑧) ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
97		simpr3 1193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑈 <s 𝑧) ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇))) → (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇))
98		simpll 766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑈 <s 𝑧) ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇))) → (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑈 <s 𝑧))
99	94, 95, 97, 98, 37	syl112anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑈 <s 𝑧) ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇))) → (𝑧 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)
100	1	noinfbnd1lem4 33526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) → (𝑧‘dom 𝑇) ≠ ∅)
101	94, 95, 96, 99, 100	syl112anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑈 <s 𝑧) ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇))) → (𝑧‘dom 𝑇) ≠ ∅)
102	101	neneqd 2956	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑈 <s 𝑧) ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇))) → ¬ (𝑧‘dom 𝑇) = ∅)
103	102	pm2.21d 121	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑈 <s 𝑧) ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇))) → ((𝑧‘dom 𝑇) = ∅ → (𝑈‘dom 𝑇) ≠ 2o))
104	1	noinfbnd1lem3 33525	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) → (𝑧‘dom 𝑇) ≠ 1o)
105	94, 95, 96, 99, 104	syl112anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑈 <s 𝑧) ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇))) → (𝑧‘dom 𝑇) ≠ 1o)
106	105	neneqd 2956	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑈 <s 𝑧) ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇))) → ¬ (𝑧‘dom 𝑇) = 1o)
107	106	pm2.21d 121	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑈 <s 𝑧) ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇))) → ((𝑧‘dom 𝑇) = 1o → (𝑈‘dom 𝑇) ≠ 2o))
108		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑈 <s 𝑧) ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇))) → ¬ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o)
109		simpr2l 1229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑈 <s 𝑧) ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇))) → 𝐵 ⊆ No )
110	109, 96	sseldd 3895	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑈 <s 𝑧) ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇))) → 𝑧 ∈ No )
111		nofv 33457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ No → ((𝑧‘dom 𝑇) = ∅ ∨ (𝑧‘dom 𝑇) = 1o ∨ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o))
112	110, 111	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑈 <s 𝑧) ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇))) → ((𝑧‘dom 𝑇) = ∅ ∨ (𝑧‘dom 𝑇) = 1o ∨ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o))
113		3orel3 33185	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o → (((𝑧‘dom 𝑇) = ∅ ∨ (𝑧‘dom 𝑇) = 1o ∨ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o) → ((𝑧‘dom 𝑇) = ∅ ∨ (𝑧‘dom 𝑇) = 1o)))
114	108, 112, 113	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑈 <s 𝑧) ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇))) → ((𝑧‘dom 𝑇) = ∅ ∨ (𝑧‘dom 𝑇) = 1o))
115	103, 107, 114	mpjaod 857	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑈 <s 𝑧) ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇))) → (𝑈‘dom 𝑇) ≠ 2o)
116	115	ex 416	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑈 <s 𝑧) ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o) → ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) → (𝑈‘dom 𝑇) ≠ 2o))
117	116	anasss 470	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑈 <s 𝑧 ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o)) → ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) → (𝑈‘dom 𝑇) ≠ 2o))
118	117	rexlimiva 3205	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑈 <s 𝑧 ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o) → ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) → (𝑈‘dom 𝑇) ≠ 2o))
119	118	imp 410	. . 3 ⊢ ((∃𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑈 <s 𝑧 ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑇) = 2o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇))) → (𝑈‘dom 𝑇) ≠ 2o)
120	93, 119	sylanbr 585	. 2 ⊢ ((¬ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑈 <s 𝑧 → (𝑧‘dom 𝑇) = 2o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇))) → (𝑈‘dom 𝑇) ≠ 2o)
121	92, 120	pm2.61ian 811	1 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) → (𝑈‘dom 𝑇) ≠ 2o)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∨ w3o 1083   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {cab 2735   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  ∃wrex 3071   ∪ cun 3858   ⊆ wss 3860  ∅c0 4227  ifcif 4423  {csn 4525  ⟨cop 4531   class class class wbr 5036   ↦ cmpt 5116  dom cdm 5528   ↾ cres 5530  Ord word 6173  Oncon0 6174  suc csuc 6176  ℩cio 6297  Fun wfun 6334  ‘cfv 6340  ℩crio 7113  1_oc1o 8111  2_oc2o 8112   No csur 33440   <s cslt 33441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pr 5302  ax-un 7465

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-ord 6177  df-on 6178  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-1o 8118  df-2o 8119  df-no 33443  df-slt 33444  df-bday 33445

This theorem is referenced by:  noinfbnd1lem6  33528