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Theorem nosupbnd1lem5 33096
Description: Lemma for nosupbnd1 33098. If 𝑈 is a prolongment of 𝑆 and in 𝐴, then (𝑈‘dom 𝑆) is not 1o. (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
nosupbnd1.1 𝑆 = if(∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
Assertion
Ref Expression
nosupbnd1lem5 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o)
Distinct variable group:   𝐴,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)

Proof of Theorem nosupbnd1lem5
Dummy variables 𝑎 𝑝 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nosupbnd1.1 . . . . . . . 8 𝑆 = if(∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
21nosupno 33087 . . . . . . 7 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V) → 𝑆 No )
323ad2ant2 1128 . . . . . 6 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → 𝑆 No )
43adantl 482 . . . . 5 ((∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) → 𝑆 No )
5 nodmord 33044 . . . . 5 (𝑆 No → Ord dom 𝑆)
6 ordirr 6206 . . . . 5 (Ord dom 𝑆 → ¬ dom 𝑆 ∈ dom 𝑆)
74, 5, 63syl 18 . . . 4 ((∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) → ¬ dom 𝑆 ∈ dom 𝑆)
8 simpr3l 1228 . . . . . . 7 ((∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) → 𝑈𝐴)
98adantr 481 . . . . . 6 (((∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → 𝑈𝐴)
10 ndmfv 6696 . . . . . . . . 9 (¬ dom 𝑆 ∈ dom 𝑈 → (𝑈‘dom 𝑆) = ∅)
11 1oex 8104 . . . . . . . . . . . . 13 1o ∈ V
1211prid1 4696 . . . . . . . . . . . 12 1o ∈ {1o, 2o}
1312nosgnn0i 33050 . . . . . . . . . . 11 ∅ ≠ 1o
14 neeq1 3082 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈‘dom 𝑆) = ∅ → ((𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o ↔ ∅ ≠ 1o))
1513, 14mpbiri 259 . . . . . . . . . 10 ((𝑈‘dom 𝑆) = ∅ → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o)
1615neneqd 3025 . . . . . . . . 9 ((𝑈‘dom 𝑆) = ∅ → ¬ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o)
1710, 16syl 17 . . . . . . . 8 (¬ dom 𝑆 ∈ dom 𝑈 → ¬ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o)
1817con4i 114 . . . . . . 7 ((𝑈‘dom 𝑆) = 1o → dom 𝑆 ∈ dom 𝑈)
1918adantl 482 . . . . . 6 (((∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → dom 𝑆 ∈ dom 𝑈)
20 simp2l 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → 𝐴 No )
21 simp3l 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → 𝑈𝐴)
2220, 21sseldd 3971 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → 𝑈 No )
2322adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → 𝑈 No )
2423adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → 𝑈 No )
25 nofun 33040 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈 No → Fun 𝑈)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → Fun 𝑈)
27 simpl2l 1220 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → 𝐴 No )
28 simpll 763 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) → 𝑧𝐴)
29 ssel2 3965 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 No 𝑧𝐴) → 𝑧 No )
3027, 28, 29syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → 𝑧 No )
31 nofun 33040 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 No → Fun 𝑧)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → Fun 𝑧)
33 simpl3r 1223 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
3433adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
35 simpll1 1206 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → ¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
36 simpll2 1207 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝐴 No 𝐴 ∈ V))
37 simpll3 1208 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))
38 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈))
391nosupbnd1lem2 33093 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ ((𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈))) → (𝑧 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
4035, 36, 37, 38, 39syl112anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝑧 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
4134, 40eqtr4d 2863 . . . . . . . . . . . . 13 ((((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝑈 ↾ dom 𝑆) = (𝑧 ↾ dom 𝑆))
4218adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → dom 𝑆 ∈ dom 𝑈)
4342adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → dom 𝑆 ∈ dom 𝑈)
44 ndmfv 6696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ dom 𝑆 ∈ dom 𝑧 → (𝑧‘dom 𝑆) = ∅)
45 neeq1 3082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ → ((𝑧‘dom 𝑆) ≠ 1o ↔ ∅ ≠ 1o))
4613, 45mpbiri 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ → (𝑧‘dom 𝑆) ≠ 1o)
4746neneqd 3025 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ → ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)
4844, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ dom 𝑆 ∈ dom 𝑧 → ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)
4948con4i 114 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧‘dom 𝑆) = 1o → dom 𝑆 ∈ dom 𝑧)
5049adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) → dom 𝑆 ∈ dom 𝑧)
5150adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → dom 𝑆 ∈ dom 𝑧)
52 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝑈‘dom 𝑆) = 1o)
53 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)
5452, 53eqtr4d 2863 . . . . . . . . . . . . 13 ((((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝑈‘dom 𝑆) = (𝑧‘dom 𝑆))
55 eqfunressuc 32889 . . . . . . . . . . . . 13 (((Fun 𝑈 ∧ Fun 𝑧) ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = (𝑧 ↾ dom 𝑆) ∧ (dom 𝑆 ∈ dom 𝑈 ∧ dom 𝑆 ∈ dom 𝑧 ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = (𝑧‘dom 𝑆))) → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))
5626, 32, 41, 43, 51, 54, 55syl213anc 1383 . . . . . . . . . . . 12 ((((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))
5756expr 457 . . . . . . . . . . 11 ((((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → ((𝑧‘dom 𝑆) = 1o → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))
5857expr 457 . . . . . . . . . 10 ((((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ 𝑧𝐴) → (¬ 𝑧 <s 𝑈 → ((𝑧‘dom 𝑆) = 1o → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))))
5958a2d 29 . . . . . . . . 9 ((((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ 𝑧𝐴) → ((¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) → (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))))
6059ralimdva 3181 . . . . . . . 8 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → (∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) → ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))))
6160impcom 408 . . . . . . 7 ((∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o)) → ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))
6261anassrs 468 . . . . . 6 (((∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))
63 dmeq 5770 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑈 → dom 𝑝 = dom 𝑈)
6463eleq2d 2902 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑈 → (dom 𝑆 ∈ dom 𝑝 ↔ dom 𝑆 ∈ dom 𝑈))
65 breq2 5066 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑈 → (𝑧 <s 𝑝𝑧 <s 𝑈))
6665notbid 319 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑈 → (¬ 𝑧 <s 𝑝 ↔ ¬ 𝑧 <s 𝑈))
67 reseq1 5845 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑈 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑈 ↾ suc dom 𝑆))
6867eqeq1d 2827 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑈 → ((𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆) ↔ (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))
6966, 68imbi12d 346 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑈 → ((¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)) ↔ (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))))
7069ralbidv 3201 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑈 → (∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)) ↔ ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))))
7164, 70anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑈 → ((dom 𝑆 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))) ↔ (dom 𝑆 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))))
7271rspcev 3626 . . . . . 6 ((𝑈𝐴 ∧ (dom 𝑆 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))) → ∃𝑝𝐴 (dom 𝑆 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))))
739, 19, 62, 72syl12anc 834 . . . . 5 (((∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → ∃𝑝𝐴 (dom 𝑆 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))))
74 simplr1 1209 . . . . . . 7 (((∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → ¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
751nosupdm 33088 . . . . . . . 8 (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 → dom 𝑆 = {𝑎 ∣ ∃𝑝𝐴 (𝑎 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎)))})
7675eleq2d 2902 . . . . . . 7 (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 → (dom 𝑆 ∈ dom 𝑆 ↔ dom 𝑆 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑝𝐴 (𝑎 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎)))}))
7774, 76syl 17 . . . . . 6 (((∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → (dom 𝑆 ∈ dom 𝑆 ↔ dom 𝑆 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑝𝐴 (𝑎 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎)))}))
784adantr 481 . . . . . . 7 (((∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → 𝑆 No )
79 nodmon 33041 . . . . . . 7 (𝑆 No → dom 𝑆 ∈ On)
80 eleq1 2904 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = dom 𝑆 → (𝑎 ∈ dom 𝑝 ↔ dom 𝑆 ∈ dom 𝑝))
81 suceq 6253 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = dom 𝑆 → suc 𝑎 = suc dom 𝑆)
8281reseq2d 5851 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = dom 𝑆 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑝 ↾ suc dom 𝑆))
8381reseq2d 5851 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = dom 𝑆 → (𝑧 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))
8482, 83eqeq12d 2841 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = dom 𝑆 → ((𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎) ↔ (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))
8584imbi2d 342 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = dom 𝑆 → ((¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎)) ↔ (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))))
8685ralbidv 3201 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = dom 𝑆 → (∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎)) ↔ ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))))
8780, 86anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (𝑎 = dom 𝑆 → ((𝑎 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎))) ↔ (dom 𝑆 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))))
8887rexbidv 3301 . . . . . . . 8 (𝑎 = dom 𝑆 → (∃𝑝𝐴 (𝑎 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎))) ↔ ∃𝑝𝐴 (dom 𝑆 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))))
8988elabg 3669 . . . . . . 7 (dom 𝑆 ∈ On → (dom 𝑆 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑝𝐴 (𝑎 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎)))} ↔ ∃𝑝𝐴 (dom 𝑆 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))))
9078, 79, 893syl 18 . . . . . 6 (((∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → (dom 𝑆 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑝𝐴 (𝑎 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎)))} ↔ ∃𝑝𝐴 (dom 𝑆 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))))
9177, 90bitrd 280 . . . . 5 (((∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → (dom 𝑆 ∈ dom 𝑆 ↔ ∃𝑝𝐴 (dom 𝑆 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))))
9273, 91mpbird 258 . . . 4 (((∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → dom 𝑆 ∈ dom 𝑆)
937, 92mtand 812 . . 3 ((∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) → ¬ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o)
9493neqned 3027 . 2 ((∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o)
95 rexanali 3269 . . 3 (∃𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ↔ ¬ ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o))
96 simpl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) → 𝑧𝐴)
9720, 96, 29syl2an 595 . . . . . . . . . 10 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → 𝑧 No )
98 nofv 33048 . . . . . . . . . 10 (𝑧 No → ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 2o))
9997, 98syl 17 . . . . . . . . 9 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 2o))
100 3orel2 32825 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o → (((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 2o) → ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 2o)))
10199, 100syl5com 31 . . . . . . . 8 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → (¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o → ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 2o)))
102101imdistanda 572 . . . . . . 7 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → (((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) → ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 2o))))
103 simpl1 1185 . . . . . . . . . . . 12 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → ¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
104 simpl2 1186 . . . . . . . . . . . 12 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → (𝐴 No 𝐴 ∈ V))
105 simprl 767 . . . . . . . . . . . 12 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → 𝑧𝐴)
106 simpl3 1187 . . . . . . . . . . . . 13 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))
107 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈))
108103, 104, 106, 107, 39syl112anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → (𝑧 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
1091nosupbnd1lem4 33095 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑧 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → (𝑧‘dom 𝑆) ≠ ∅)
110103, 104, 105, 108, 109syl112anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → (𝑧‘dom 𝑆) ≠ ∅)
111110neneqd 3025 . . . . . . . . . 10 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = ∅)
112111pm2.21d 121 . . . . . . . . 9 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o))
1131nosupbnd1lem3 33094 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑧 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → (𝑧‘dom 𝑆) ≠ 2o)
114103, 104, 105, 108, 113syl112anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → (𝑧‘dom 𝑆) ≠ 2o)
115114neneqd 3025 . . . . . . . . . 10 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 2o)
116115pm2.21d 121 . . . . . . . . 9 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → ((𝑧‘dom 𝑆) = 2o → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o))
117112, 116jaod 855 . . . . . . . 8 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → (((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 2o) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o))
118117expimpd 454 . . . . . . 7 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → (((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 2o)) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o))
119102, 118syldc 48 . . . . . 6 (((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) → ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o))
120119anasss 467 . . . . 5 ((𝑧𝐴 ∧ (¬ 𝑧 <s 𝑈 ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o))
121120rexlimiva 3285 . . . 4 (∃𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) → ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o))
122121imp 407 . . 3 ((∃𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o)
12395, 122sylanbr 582 . 2 ((¬ ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o)
12494, 123pm2.61ian 808 1 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 843  w3o 1080  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  {cab 2803  wne 3020  wral 3142  wrex 3143  Vcvv 3499  cun 3937  wss 3939  c0 4294  ifcif 4469  {csn 4563  cop 4569   class class class wbr 5062  cmpt 5142  dom cdm 5553  cres 5555  Ord word 6187  Oncon0 6188  suc csuc 6190  cio 6309  Fun wfun 6345  cfv 6351  crio 7108  1oc1o 8089  2oc2o 8090   No csur 33031   <s cslt 33032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-ord 6191  df-on 6192  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-1o 8096  df-2o 8097  df-no 33034  df-slt 33035  df-bday 33036
This theorem is referenced by:  nosupbnd1lem6  33097
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