Theorem nosupbnd1lem5 28081

Description: Lemma for nosupbnd1 28083. If 𝑈 is a prolongment of 𝑆 and in 𝐴, then (𝑈‘dom 𝑆) is not 1_o. (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nosupbnd1.1	⊢ 𝑆 = if(∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((℩𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 (¬ 𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 (¬ 𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢‘𝑔) = 𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
nosupbnd1lem5	⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o)

Distinct variable group:   𝑢,𝐴,𝑣,𝑦,𝑥,𝑔

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝑢, 𝑔)   𝑈(𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝑢, 𝑔)

Proof of Theorem nosupbnd1lem5

Dummy variables 𝑎 𝑝 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nosupbnd1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = if(∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((℩𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 (¬ 𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 (¬ 𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢‘𝑔) = 𝑥))))
2	1	nosupno 28072	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝑆 ∈ No)
3	2	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → 𝑆 ∈ No)
4	3	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) → 𝑆 ∈ No)
5		nodmord 28022	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ No → Ord dom 𝑆)
6		ordirr 6386	. . . . 5 ⊢ (Ord dom 𝑆 → ¬ dom 𝑆 ∈ dom 𝑆)
7	4, 5, 6	3syl 19	. . . 4 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) → ¬ dom 𝑆 ∈ dom 𝑆)
8		simpr3l 1253	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) → 𝑈 ∈ 𝐴)
9	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → 𝑈 ∈ 𝐴)
10		ndmfv 6925	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ dom 𝑆 ∈ dom 𝑈 → (𝑈‘dom 𝑆) = ∅)
11		1oex 8497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1o ∈ V
12	11	prid1 4722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1o ∈ {1o, 2o}
13	12	nosgnn0i 28028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ≠ 1o
14		neeq1 3020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈‘dom 𝑆) = ∅ → ((𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o ↔ ∅ ≠ 1o))
15	13, 14	mpbiri 261	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈‘dom 𝑆) = ∅ → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o)
16	15	neneqd 2963	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈‘dom 𝑆) = ∅ → ¬ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o)
17	10, 16	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ dom 𝑆 ∈ dom 𝑈 → ¬ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o)
18	17	con4i 115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈‘dom 𝑆) = 1o → dom 𝑆 ∈ dom 𝑈)
19	18	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → dom 𝑆 ∈ dom 𝑈)
20		simp2l 1218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → 𝐴 ⊆ No)
21		simp3l 1220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → 𝑈 ∈ 𝐴)
22	20, 21	sseldd 3913	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → 𝑈 ∈ No)
23	22	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → 𝑈 ∈ No)
24	23	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → 𝑈 ∈ No)
25		nofun 28018	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 ∈ No → Fun 𝑈)
26	24, 25	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → Fun 𝑈)
27		simpl2l 1245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → 𝐴 ⊆ No)
28		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) → 𝑧 ∈ 𝐴)
29		ssel2 3907	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ No ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ No)
30	27, 28, 29	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → 𝑧 ∈ No)
31		nofun 28018	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ No → Fun 𝑧)
32	30, 31	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → Fun 𝑧)
33		simpl3r 1248	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
34	33	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
35		simpll1 1231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
36		simpll2 1232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V))
37		simpll3 1233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))
38		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈))
39	1	nosupbnd1lem2 28078	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ ((𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈))) → (𝑧 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
40	35, 36, 37, 38, 39	syl112anc 1401	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝑧 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
41	34, 40	eqtr4d 2801	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝑈 ↾ dom 𝑆) = (𝑧 ↾ dom 𝑆))
42	18	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → dom 𝑆 ∈ dom 𝑈)
43	42	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → dom 𝑆 ∈ dom 𝑈)
44		ndmfv 6925	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ dom 𝑆 ∈ dom 𝑧 → (𝑧‘dom 𝑆) = ∅)
45		neeq1 3020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ → ((𝑧‘dom 𝑆) ≠ 1o ↔ ∅ ≠ 1o))
46	13, 45	mpbiri 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ → (𝑧‘dom 𝑆) ≠ 1o)
47	46	neneqd 2963	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ → ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)
48	44, 47	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ dom 𝑆 ∈ dom 𝑧 → ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)
49	48	con4i 115	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧‘dom 𝑆) = 1o → dom 𝑆 ∈ dom 𝑧)
50	49	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) → dom 𝑆 ∈ dom 𝑧)
51	50	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → dom 𝑆 ∈ dom 𝑧)
52		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝑈‘dom 𝑆) = 1o)
53		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)
54	52, 53	eqtr4d 2801	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝑈‘dom 𝑆) = (𝑧‘dom 𝑆))
55		eqfunressuc 7378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((Fun 𝑈 ∧ Fun 𝑧) ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = (𝑧 ↾ dom 𝑆) ∧ (dom 𝑆 ∈ dom 𝑈 ∧ dom 𝑆 ∈ dom 𝑧 ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = (𝑧‘dom 𝑆))) → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))
56	26, 32, 41, 43, 51, 54, 55	syl213anc 1416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))
57	56	expr 462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → ((𝑧‘dom 𝑆) = 1o → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))
58	57	expr 462	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑧 <s 𝑈 → ((𝑧‘dom 𝑆) = 1o → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))))
59	58	a2d 30	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) → (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))))
60	59	ralimdva 3177	. . . . . . . 8 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))))
61	60	impcom 413	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o)) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))
62	61	anassrs 473	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))
63		dmeq 5889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑈 → dom 𝑝 = dom 𝑈)
64	63	eleq2d 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑈 → (dom 𝑆 ∈ dom 𝑝 ↔ dom 𝑆 ∈ dom 𝑈))
65		breq2 5109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑈 → (𝑧 <s 𝑝 ↔ 𝑧 <s 𝑈))
66	65	notbid 321	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑈 → (¬ 𝑧 <s 𝑝 ↔ ¬ 𝑧 <s 𝑈))
67		reseq1 5968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑈 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑈 ↾ suc dom 𝑆))
68	67	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑈 → ((𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆) ↔ (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))
69	66, 68	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑈 → ((¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)) ↔ (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))))
70	69	ralbidv 3188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑈 → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))))
71	64, 70	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑈 → ((dom 𝑆 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))) ↔ (dom 𝑆 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))))
72	71	rspcev 3579	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (dom 𝑆 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (dom 𝑆 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))))
73	9, 19, 62, 72	syl12anc 850	. . . . 5 ⊢ (((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (dom 𝑆 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))))
74		simplr1 1234	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
75	1	nosupdm 28073	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 → dom 𝑆 = {𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑎 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎)))})
76	75	eleq2d 2849	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 → (dom 𝑆 ∈ dom 𝑆 ↔ dom 𝑆 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑎 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎)))}))
77	74, 76	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → (dom 𝑆 ∈ dom 𝑆 ↔ dom 𝑆 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑎 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎)))}))
78	4	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → 𝑆 ∈ No)
79		nodmon 28019	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ No → dom 𝑆 ∈ On)
80		eleq1 2851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = dom 𝑆 → (𝑎 ∈ dom 𝑝 ↔ dom 𝑆 ∈ dom 𝑝))
81		suceq 6437	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = dom 𝑆 → suc 𝑎 = suc dom 𝑆)
82	81	reseq2d 5974	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = dom 𝑆 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑝 ↾ suc dom 𝑆))
83	81	reseq2d 5974	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = dom 𝑆 → (𝑧 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))
84	82, 83	eqeq12d 2779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = dom 𝑆 → ((𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎) ↔ (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))
85	84	imbi2d 343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = dom 𝑆 → ((¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎)) ↔ (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))))
86	85	ralbidv 3188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = dom 𝑆 → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))))
87	80, 86	anbi12d 644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = dom 𝑆 → ((𝑎 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎))) ↔ (dom 𝑆 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))))
88	87	rexbidv 3189	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = dom 𝑆 → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑎 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (dom 𝑆 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))))
89	88	elabg 3632	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝑆 ∈ On → (dom 𝑆 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑎 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎)))} ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (dom 𝑆 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))))
90	78, 79, 89	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → (dom 𝑆 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑎 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎)))} ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (dom 𝑆 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))))
91	77, 90	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ (((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → (dom 𝑆 ∈ dom 𝑆 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (dom 𝑆 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))))
92	73, 91	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → dom 𝑆 ∈ dom 𝑆)
93	7, 92	mtand 828	. . 3 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) → ¬ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o)
94	93	neqned 2965	. 2 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o)
95		rexanali 3119	. . 3 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o))
96		simpl 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) → 𝑧 ∈ 𝐴)
97	20, 96, 29	syl2an 608	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → 𝑧 ∈ No)
98		nofv 28026	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ No → ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 2o))
99	97, 98	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 2o))
100		3orel2 1515	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o → (((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 2o) → ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 2o)))
101	99, 100	syl5com 32	. . . . . . . 8 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → (¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o → ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 2o)))
102	101	imdistanda 582	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → (((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 2o))))
103		simpl1 1210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
104		simpl2 1211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V))
105		simprl 783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
106		simpl3 1212	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))
107		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈))
108	103, 104, 106, 107, 39	syl112anc 1401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → (𝑧 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
109	1	nosupbnd1lem4 28080	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → (𝑧‘dom 𝑆) ≠ ∅)
110	103, 104, 105, 108, 109	syl112anc 1401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → (𝑧‘dom 𝑆) ≠ ∅)
111	110	neneqd 2963	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = ∅)
112	111	pm2.21d 122	. . . . . . . . 9 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o))
113	1	nosupbnd1lem3 28079	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → (𝑧‘dom 𝑆) ≠ 2o)
114	103, 104, 105, 108, 113	syl112anc 1401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → (𝑧‘dom 𝑆) ≠ 2o)
115	114	neneqd 2963	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 2o)
116	115	pm2.21d 122	. . . . . . . . 9 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → ((𝑧‘dom 𝑆) = 2o → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o))
117	112, 116	jaod 873	. . . . . . . 8 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → (((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 2o) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o))
118	117	expimpd 459	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → (((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 2o)) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o))
119	102, 118	syldc 49	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) → ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o))
120	119	anasss 472	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑧 <s 𝑈 ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o))
121	120	rexlimiva 3158	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) → ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o))
122	121	imp 412	. . 3 ⊢ ((∃𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o)
123	95, 122	sylanbr 594	. 2 ⊢ ((¬ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o)
124	94, 123	pm2.61ian 824	1 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  {cab 2741   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  Vcvv 3453   ⊆ wss 3899   ∪ cun 4151  ∅c0 4280  ifcif 4484  {csn 4587  ⟨cop 4837   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5654   ↾ cres 5656  Ord word 6367  Oncon0 6368  suc csuc 6370  ℩cio 6498  Fun wfun 6540  ‘cfv 6546  ℩crio 7383  1_oc1o 8480  2_oc2o 8481  Nocsur 28009   <s clts 28010

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-ord 6371  df-on 6372  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-fo 6552  df-fv 6554  df-riota 7384  df-1o 8487  df-2o 8488  df-no 28012  df-lts 28013  df-bday 28014

This theorem is used by:  nosupbnd1lem6  28082