Theorem nosupbnd1lem5 27681

Description: Lemma for nosupbnd1 27683. If 𝑈 is a prolongment of 𝑆 and in 𝐴, then (𝑈‘dom 𝑆) is not 1_o. (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nosupbnd1.1	⊢ 𝑆 = if(∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((℩𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 (¬ 𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 (¬ 𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢‘𝑔) = 𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
nosupbnd1lem5	⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o)

Distinct variable group:   𝑢,𝐴,𝑣,𝑦,𝑥,𝑔

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)

Proof of Theorem nosupbnd1lem5

Dummy variables 𝑎 𝑝 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nosupbnd1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = if(∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((℩𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 (¬ 𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 (¬ 𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢‘𝑔) = 𝑥))))
2	1	nosupno 27672	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝑆 ∈ No )
3	2	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → 𝑆 ∈ No )
4	3	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) → 𝑆 ∈ No )
5		nodmord 27622	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ No → Ord dom 𝑆)
6		ordirr 6375	. . . . 5 ⊢ (Ord dom 𝑆 → ¬ dom 𝑆 ∈ dom 𝑆)
7	4, 5, 6	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) → ¬ dom 𝑆 ∈ dom 𝑆)
8		simpr3l 1235	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) → 𝑈 ∈ 𝐴)
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → 𝑈 ∈ 𝐴)
10		ndmfv 6916	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ dom 𝑆 ∈ dom 𝑈 → (𝑈‘dom 𝑆) = ∅)
11		1oex 8495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1o ∈ V
12	11	prid1 4743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1o ∈ {1o, 2o}
13	12	nosgnn0i 27628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ≠ 1o
14		neeq1 2995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈‘dom 𝑆) = ∅ → ((𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o ↔ ∅ ≠ 1o))
15	13, 14	mpbiri 258	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈‘dom 𝑆) = ∅ → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o)
16	15	neneqd 2938	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈‘dom 𝑆) = ∅ → ¬ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o)
17	10, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ dom 𝑆 ∈ dom 𝑈 → ¬ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o)
18	17	con4i 114	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈‘dom 𝑆) = 1o → dom 𝑆 ∈ dom 𝑈)
19	18	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → dom 𝑆 ∈ dom 𝑈)
20		simp2l 1200	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → 𝐴 ⊆ No )
21		simp3l 1202	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → 𝑈 ∈ 𝐴)
22	20, 21	sseldd 3964	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → 𝑈 ∈ No )
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → 𝑈 ∈ No )
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → 𝑈 ∈ No )
25		nofun 27618	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 ∈ No → Fun 𝑈)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → Fun 𝑈)
27		simpl2l 1227	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → 𝐴 ⊆ No )
28		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) → 𝑧 ∈ 𝐴)
29		ssel2 3958	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ No ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ No )
30	27, 28, 29	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → 𝑧 ∈ No )
31		nofun 27618	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ No → Fun 𝑧)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → Fun 𝑧)
33		simpl3r 1230	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
35		simpll1 1213	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
36		simpll2 1214	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V))
37		simpll3 1215	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))
38		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈))
39	1	nosupbnd1lem2 27678	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ ((𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈))) → (𝑧 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
40	35, 36, 37, 38, 39	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝑧 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
41	34, 40	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝑈 ↾ dom 𝑆) = (𝑧 ↾ dom 𝑆))
42	18	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → dom 𝑆 ∈ dom 𝑈)
43	42	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → dom 𝑆 ∈ dom 𝑈)
44		ndmfv 6916	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ dom 𝑆 ∈ dom 𝑧 → (𝑧‘dom 𝑆) = ∅)
45		neeq1 2995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ → ((𝑧‘dom 𝑆) ≠ 1o ↔ ∅ ≠ 1o))
46	13, 45	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ → (𝑧‘dom 𝑆) ≠ 1o)
47	46	neneqd 2938	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ → ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)
48	44, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ dom 𝑆 ∈ dom 𝑧 → ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)
49	48	con4i 114	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧‘dom 𝑆) = 1o → dom 𝑆 ∈ dom 𝑧)
50	49	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) → dom 𝑆 ∈ dom 𝑧)
51	50	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → dom 𝑆 ∈ dom 𝑧)
52		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝑈‘dom 𝑆) = 1o)
53		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)
54	52, 53	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝑈‘dom 𝑆) = (𝑧‘dom 𝑆))
55		eqfunressuc 7359	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((Fun 𝑈 ∧ Fun 𝑧) ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = (𝑧 ↾ dom 𝑆) ∧ (dom 𝑆 ∈ dom 𝑈 ∧ dom 𝑆 ∈ dom 𝑧 ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = (𝑧‘dom 𝑆))) → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))
56	26, 32, 41, 43, 51, 54, 55	syl213anc 1391	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))
57	56	expr 456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → ((𝑧‘dom 𝑆) = 1o → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))
58	57	expr 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑧 <s 𝑈 → ((𝑧‘dom 𝑆) = 1o → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))))
59	58	a2d 29	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) → (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))))
60	59	ralimdva 3153	. . . . . . . 8 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))))
61	60	impcom 407	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o)) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))
62	61	anassrs 467	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))
63		dmeq 5888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑈 → dom 𝑝 = dom 𝑈)
64	63	eleq2d 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑈 → (dom 𝑆 ∈ dom 𝑝 ↔ dom 𝑆 ∈ dom 𝑈))
65		breq2 5128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑈 → (𝑧 <s 𝑝 ↔ 𝑧 <s 𝑈))
66	65	notbid 318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑈 → (¬ 𝑧 <s 𝑝 ↔ ¬ 𝑧 <s 𝑈))
67		reseq1 5965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑈 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑈 ↾ suc dom 𝑆))
68	67	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑈 → ((𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆) ↔ (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))
69	66, 68	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑈 → ((¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)) ↔ (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))))
70	69	ralbidv 3164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑈 → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))))
71	64, 70	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑈 → ((dom 𝑆 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))) ↔ (dom 𝑆 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))))
72	71	rspcev 3606	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (dom 𝑆 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (dom 𝑆 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))))
73	9, 19, 62, 72	syl12anc 836	. . . . 5 ⊢ (((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (dom 𝑆 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))))
74		simplr1 1216	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
75	1	nosupdm 27673	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 → dom 𝑆 = {𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑎 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎)))})
76	75	eleq2d 2821	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 → (dom 𝑆 ∈ dom 𝑆 ↔ dom 𝑆 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑎 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎)))}))
77	74, 76	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → (dom 𝑆 ∈ dom 𝑆 ↔ dom 𝑆 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑎 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎)))}))
78	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → 𝑆 ∈ No )
79		nodmon 27619	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ No → dom 𝑆 ∈ On)
80		eleq1 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = dom 𝑆 → (𝑎 ∈ dom 𝑝 ↔ dom 𝑆 ∈ dom 𝑝))
81		suceq 6424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = dom 𝑆 → suc 𝑎 = suc dom 𝑆)
82	81	reseq2d 5971	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = dom 𝑆 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑝 ↾ suc dom 𝑆))
83	81	reseq2d 5971	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = dom 𝑆 → (𝑧 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))
84	82, 83	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = dom 𝑆 → ((𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎) ↔ (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))
85	84	imbi2d 340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = dom 𝑆 → ((¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎)) ↔ (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))))
86	85	ralbidv 3164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = dom 𝑆 → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))))
87	80, 86	anbi12d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = dom 𝑆 → ((𝑎 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎))) ↔ (dom 𝑆 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))))
88	87	rexbidv 3165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = dom 𝑆 → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑎 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (dom 𝑆 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))))
89	88	elabg 3660	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝑆 ∈ On → (dom 𝑆 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑎 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎)))} ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (dom 𝑆 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))))
90	78, 79, 89	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → (dom 𝑆 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑎 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎)))} ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (dom 𝑆 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))))
91	77, 90	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → (dom 𝑆 ∈ dom 𝑆 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (dom 𝑆 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))))
92	73, 91	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → dom 𝑆 ∈ dom 𝑆)
93	7, 92	mtand 815	. . 3 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) → ¬ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o)
94	93	neqned 2940	. 2 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o)
95		rexanali 3092	. . 3 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o))
96		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) → 𝑧 ∈ 𝐴)
97	20, 96, 29	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → 𝑧 ∈ No )
98		nofv 27626	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ No → ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 2o))
99	97, 98	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 2o))
100		3orel2 1486	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o → (((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 2o) → ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 2o)))
101	99, 100	syl5com 31	. . . . . . . 8 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → (¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o → ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 2o)))
102	101	imdistanda 571	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → (((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 2o))))
103		simpl1 1192	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
104		simpl2 1193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V))
105		simprl 770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
106		simpl3 1194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))
107		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈))
108	103, 104, 106, 107, 39	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → (𝑧 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
109	1	nosupbnd1lem4 27680	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → (𝑧‘dom 𝑆) ≠ ∅)
110	103, 104, 105, 108, 109	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → (𝑧‘dom 𝑆) ≠ ∅)
111	110	neneqd 2938	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = ∅)
112	111	pm2.21d 121	. . . . . . . . 9 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o))
113	1	nosupbnd1lem3 27679	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → (𝑧‘dom 𝑆) ≠ 2o)
114	103, 104, 105, 108, 113	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → (𝑧‘dom 𝑆) ≠ 2o)
115	114	neneqd 2938	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 2o)
116	115	pm2.21d 121	. . . . . . . . 9 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → ((𝑧‘dom 𝑆) = 2o → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o))
117	112, 116	jaod 859	. . . . . . . 8 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → (((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 2o) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o))
118	117	expimpd 453	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → (((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 2o)) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o))
119	102, 118	syldc 48	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) → ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o))
120	119	anasss 466	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑧 <s 𝑈 ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o))
121	120	rexlimiva 3134	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) → ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o))
122	121	imp 406	. . 3 ⊢ ((∃𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o)
123	95, 122	sylanbr 582	. 2 ⊢ ((¬ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o)
124	94, 123	pm2.61ian 811	1 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2714   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3061  Vcvv 3464   ∪ cun 3929   ⊆ wss 3931  ∅c0 4313  ifcif 4505  {csn 4606  ⟨cop 4612   class class class wbr 5124   ↦ cmpt 5206  dom cdm 5659   ↾ cres 5661  Ord word 6356  Oncon0 6357  suc csuc 6359  ℩cio 6487  Fun wfun 6530  ‘cfv 6536  ℩crio 7366  1_oc1o 8478  2_oc2o 8479   No csur 27608   <s cslt 27609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fo 6542  df-fv 6544  df-riota 7367  df-1o 8485  df-2o 8486  df-no 27611  df-slt 27612  df-bday 27613

This theorem is referenced by:  nosupbnd1lem6  27682