Theorem nosupbnd1lem5 27676

Description: Lemma for nosupbnd1 27678. If 𝑈 is a prolongment of 𝑆 and in 𝐴, then (𝑈‘dom 𝑆) is not 1_o. (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nosupbnd1.1	⊢ 𝑆 = if(∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((℩𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 (¬ 𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 (¬ 𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢‘𝑔) = 𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
nosupbnd1lem5	⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o)

Distinct variable group:   𝑢,𝐴,𝑣,𝑦,𝑥,𝑔

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)

Proof of Theorem nosupbnd1lem5

Dummy variables 𝑎 𝑝 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nosupbnd1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = if(∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((℩𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 (¬ 𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 (¬ 𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢‘𝑔) = 𝑥))))
2	1	nosupno 27667	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝑆 ∈ No )
3	2	3ad2ant2 1135	. . . . . 6 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → 𝑆 ∈ No )
4	3	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) → 𝑆 ∈ No )
5		nodmord 27617	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ No → Ord dom 𝑆)
6		ordirr 6341	. . . . 5 ⊢ (Ord dom 𝑆 → ¬ dom 𝑆 ∈ dom 𝑆)
7	4, 5, 6	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) → ¬ dom 𝑆 ∈ dom 𝑆)
8		simpr3l 1236	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) → 𝑈 ∈ 𝐴)
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → 𝑈 ∈ 𝐴)
10		ndmfv 6872	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ dom 𝑆 ∈ dom 𝑈 → (𝑈‘dom 𝑆) = ∅)
11		1oex 8415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1o ∈ V
12	11	prid1 4706	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1o ∈ {1o, 2o}
13	12	nosgnn0i 27623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ≠ 1o
14		neeq1 2994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈‘dom 𝑆) = ∅ → ((𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o ↔ ∅ ≠ 1o))
15	13, 14	mpbiri 258	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈‘dom 𝑆) = ∅ → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o)
16	15	neneqd 2937	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈‘dom 𝑆) = ∅ → ¬ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o)
17	10, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ dom 𝑆 ∈ dom 𝑈 → ¬ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o)
18	17	con4i 114	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈‘dom 𝑆) = 1o → dom 𝑆 ∈ dom 𝑈)
19	18	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → dom 𝑆 ∈ dom 𝑈)
20		simp2l 1201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → 𝐴 ⊆ No )
21		simp3l 1203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → 𝑈 ∈ 𝐴)
22	20, 21	sseldd 3922	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → 𝑈 ∈ No )
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → 𝑈 ∈ No )
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → 𝑈 ∈ No )
25		nofun 27613	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 ∈ No → Fun 𝑈)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → Fun 𝑈)
27		simpl2l 1228	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → 𝐴 ⊆ No )
28		simpll 767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) → 𝑧 ∈ 𝐴)
29		ssel2 3916	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ No ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ No )
30	27, 28, 29	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → 𝑧 ∈ No )
31		nofun 27613	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ No → Fun 𝑧)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → Fun 𝑧)
33		simpl3r 1231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
35		simpll1 1214	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
36		simpll2 1215	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V))
37		simpll3 1216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))
38		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈))
39	1	nosupbnd1lem2 27673	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ ((𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈))) → (𝑧 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
40	35, 36, 37, 38, 39	syl112anc 1377	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝑧 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
41	34, 40	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝑈 ↾ dom 𝑆) = (𝑧 ↾ dom 𝑆))
42	18	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → dom 𝑆 ∈ dom 𝑈)
43	42	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → dom 𝑆 ∈ dom 𝑈)
44		ndmfv 6872	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ dom 𝑆 ∈ dom 𝑧 → (𝑧‘dom 𝑆) = ∅)
45		neeq1 2994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ → ((𝑧‘dom 𝑆) ≠ 1o ↔ ∅ ≠ 1o))
46	13, 45	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ → (𝑧‘dom 𝑆) ≠ 1o)
47	46	neneqd 2937	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ → ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)
48	44, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ dom 𝑆 ∈ dom 𝑧 → ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)
49	48	con4i 114	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧‘dom 𝑆) = 1o → dom 𝑆 ∈ dom 𝑧)
50	49	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) → dom 𝑆 ∈ dom 𝑧)
51	50	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → dom 𝑆 ∈ dom 𝑧)
52		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝑈‘dom 𝑆) = 1o)
53		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)
54	52, 53	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝑈‘dom 𝑆) = (𝑧‘dom 𝑆))
55		eqfunressuc 7316	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((Fun 𝑈 ∧ Fun 𝑧) ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = (𝑧 ↾ dom 𝑆) ∧ (dom 𝑆 ∈ dom 𝑈 ∧ dom 𝑆 ∈ dom 𝑧 ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = (𝑧‘dom 𝑆))) → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))
56	26, 32, 41, 43, 51, 54, 55	syl213anc 1392	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))
57	56	expr 456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → ((𝑧‘dom 𝑆) = 1o → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))
58	57	expr 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑧 <s 𝑈 → ((𝑧‘dom 𝑆) = 1o → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))))
59	58	a2d 29	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) → (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))))
60	59	ralimdva 3149	. . . . . . . 8 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))))
61	60	impcom 407	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o)) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))
62	61	anassrs 467	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))
63		dmeq 5858	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑈 → dom 𝑝 = dom 𝑈)
64	63	eleq2d 2822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑈 → (dom 𝑆 ∈ dom 𝑝 ↔ dom 𝑆 ∈ dom 𝑈))
65		breq2 5089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑈 → (𝑧 <s 𝑝 ↔ 𝑧 <s 𝑈))
66	65	notbid 318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑈 → (¬ 𝑧 <s 𝑝 ↔ ¬ 𝑧 <s 𝑈))
67		reseq1 5938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑈 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑈 ↾ suc dom 𝑆))
68	67	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑈 → ((𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆) ↔ (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))
69	66, 68	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑈 → ((¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)) ↔ (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))))
70	69	ralbidv 3160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑈 → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))))
71	64, 70	anbi12d 633	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑈 → ((dom 𝑆 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))) ↔ (dom 𝑆 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))))
72	71	rspcev 3564	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (dom 𝑆 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (dom 𝑆 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))))
73	9, 19, 62, 72	syl12anc 837	. . . . 5 ⊢ (((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (dom 𝑆 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))))
74		simplr1 1217	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
75	1	nosupdm 27668	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 → dom 𝑆 = {𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑎 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎)))})
76	75	eleq2d 2822	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 → (dom 𝑆 ∈ dom 𝑆 ↔ dom 𝑆 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑎 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎)))}))
77	74, 76	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → (dom 𝑆 ∈ dom 𝑆 ↔ dom 𝑆 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑎 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎)))}))
78	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → 𝑆 ∈ No )
79		nodmon 27614	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ No → dom 𝑆 ∈ On)
80		eleq1 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = dom 𝑆 → (𝑎 ∈ dom 𝑝 ↔ dom 𝑆 ∈ dom 𝑝))
81		suceq 6391	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = dom 𝑆 → suc 𝑎 = suc dom 𝑆)
82	81	reseq2d 5944	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = dom 𝑆 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑝 ↾ suc dom 𝑆))
83	81	reseq2d 5944	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = dom 𝑆 → (𝑧 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))
84	82, 83	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = dom 𝑆 → ((𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎) ↔ (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))
85	84	imbi2d 340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = dom 𝑆 → ((¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎)) ↔ (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))))
86	85	ralbidv 3160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = dom 𝑆 → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))))
87	80, 86	anbi12d 633	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = dom 𝑆 → ((𝑎 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎))) ↔ (dom 𝑆 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))))
88	87	rexbidv 3161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = dom 𝑆 → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑎 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (dom 𝑆 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))))
89	88	elabg 3619	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝑆 ∈ On → (dom 𝑆 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑎 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎)))} ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (dom 𝑆 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))))
90	78, 79, 89	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → (dom 𝑆 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑎 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎)))} ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (dom 𝑆 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))))
91	77, 90	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → (dom 𝑆 ∈ dom 𝑆 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (dom 𝑆 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))))
92	73, 91	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → dom 𝑆 ∈ dom 𝑆)
93	7, 92	mtand 816	. . 3 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) → ¬ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o)
94	93	neqned 2939	. 2 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o)
95		rexanali 3091	. . 3 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o))
96		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) → 𝑧 ∈ 𝐴)
97	20, 96, 29	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → 𝑧 ∈ No )
98		nofv 27621	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ No → ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 2o))
99	97, 98	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 2o))
100		3orel2 1487	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o → (((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 2o) → ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 2o)))
101	99, 100	syl5com 31	. . . . . . . 8 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → (¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o → ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 2o)))
102	101	imdistanda 571	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → (((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 2o))))
103		simpl1 1193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
104		simpl2 1194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V))
105		simprl 771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
106		simpl3 1195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))
107		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈))
108	103, 104, 106, 107, 39	syl112anc 1377	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → (𝑧 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
109	1	nosupbnd1lem4 27675	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → (𝑧‘dom 𝑆) ≠ ∅)
110	103, 104, 105, 108, 109	syl112anc 1377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → (𝑧‘dom 𝑆) ≠ ∅)
111	110	neneqd 2937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = ∅)
112	111	pm2.21d 121	. . . . . . . . 9 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o))
113	1	nosupbnd1lem3 27674	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → (𝑧‘dom 𝑆) ≠ 2o)
114	103, 104, 105, 108, 113	syl112anc 1377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → (𝑧‘dom 𝑆) ≠ 2o)
115	114	neneqd 2937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 2o)
116	115	pm2.21d 121	. . . . . . . . 9 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → ((𝑧‘dom 𝑆) = 2o → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o))
117	112, 116	jaod 860	. . . . . . . 8 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → (((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 2o) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o))
118	117	expimpd 453	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → (((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 2o)) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o))
119	102, 118	syldc 48	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) → ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o))
120	119	anasss 466	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑧 <s 𝑈 ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o))
121	120	rexlimiva 3130	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) → ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o))
122	121	imp 406	. . 3 ⊢ ((∃𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o)
123	95, 122	sylanbr 583	. 2 ⊢ ((¬ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o)
124	94, 123	pm2.61ian 812	1 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∨ w3o 1086   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2714   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  Vcvv 3429   ∪ cun 3887   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  ifcif 4466  {csn 4567  ⟨cop 4573   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  dom cdm 5631   ↾ cres 5633  Ord word 6322  Oncon0 6323  suc csuc 6325  ℩cio 6452  Fun wfun 6492  ‘cfv 6498  ℩crio 7323  1_oc1o 8398  2_oc2o 8399   No csur 27603   <s clts 27604

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6326  df-on 6327  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fo 6504  df-fv 6506  df-riota 7324  df-1o 8405  df-2o 8406  df-no 27606  df-lts 27607  df-bday 27608

This theorem is referenced by:  nosupbnd1lem6  27677