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Theorem nosupbnd1lem5 27600
Description: Lemma for nosupbnd1 27602. If 𝑈 is a prolongment of 𝑆 and in 𝐴, then (𝑈‘dom 𝑆) is not 1o. (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
nosupbnd1.1 𝑆 = if(∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
Assertion
Ref Expression
nosupbnd1lem5 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o)
Distinct variable group:   𝐴,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)

Proof of Theorem nosupbnd1lem5
Dummy variables 𝑎 𝑝 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nosupbnd1.1 . . . . . . . 8 𝑆 = if(∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
21nosupno 27591 . . . . . . 7 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V) → 𝑆 No )
323ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → 𝑆 No )
43adantl 481 . . . . 5 ((∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) → 𝑆 No )
5 nodmord 27541 . . . . 5 (𝑆 No → Ord dom 𝑆)
6 ordirr 6376 . . . . 5 (Ord dom 𝑆 → ¬ dom 𝑆 ∈ dom 𝑆)
74, 5, 63syl 18 . . . 4 ((∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) → ¬ dom 𝑆 ∈ dom 𝑆)
8 simpr3l 1231 . . . . . . 7 ((∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) → 𝑈𝐴)
98adantr 480 . . . . . 6 (((∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → 𝑈𝐴)
10 ndmfv 6920 . . . . . . . . 9 (¬ dom 𝑆 ∈ dom 𝑈 → (𝑈‘dom 𝑆) = ∅)
11 1oex 8477 . . . . . . . . . . . . 13 1o ∈ V
1211prid1 4761 . . . . . . . . . . . 12 1o ∈ {1o, 2o}
1312nosgnn0i 27547 . . . . . . . . . . 11 ∅ ≠ 1o
14 neeq1 2997 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈‘dom 𝑆) = ∅ → ((𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o ↔ ∅ ≠ 1o))
1513, 14mpbiri 258 . . . . . . . . . 10 ((𝑈‘dom 𝑆) = ∅ → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o)
1615neneqd 2939 . . . . . . . . 9 ((𝑈‘dom 𝑆) = ∅ → ¬ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o)
1710, 16syl 17 . . . . . . . 8 (¬ dom 𝑆 ∈ dom 𝑈 → ¬ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o)
1817con4i 114 . . . . . . 7 ((𝑈‘dom 𝑆) = 1o → dom 𝑆 ∈ dom 𝑈)
1918adantl 481 . . . . . 6 (((∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → dom 𝑆 ∈ dom 𝑈)
20 simp2l 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → 𝐴 No )
21 simp3l 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → 𝑈𝐴)
2220, 21sseldd 3978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → 𝑈 No )
2322adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → 𝑈 No )
2423adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → 𝑈 No )
25 nofun 27537 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈 No → Fun 𝑈)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → Fun 𝑈)
27 simpl2l 1223 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → 𝐴 No )
28 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) → 𝑧𝐴)
29 ssel2 3972 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 No 𝑧𝐴) → 𝑧 No )
3027, 28, 29syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → 𝑧 No )
31 nofun 27537 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 No → Fun 𝑧)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → Fun 𝑧)
33 simpl3r 1226 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
3433adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
35 simpll1 1209 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → ¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
36 simpll2 1210 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝐴 No 𝐴 ∈ V))
37 simpll3 1211 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))
38 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈))
391nosupbnd1lem2 27597 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ ((𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈))) → (𝑧 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
4035, 36, 37, 38, 39syl112anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝑧 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
4134, 40eqtr4d 2769 . . . . . . . . . . . . 13 ((((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝑈 ↾ dom 𝑆) = (𝑧 ↾ dom 𝑆))
4218adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → dom 𝑆 ∈ dom 𝑈)
4342adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → dom 𝑆 ∈ dom 𝑈)
44 ndmfv 6920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ dom 𝑆 ∈ dom 𝑧 → (𝑧‘dom 𝑆) = ∅)
45 neeq1 2997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ → ((𝑧‘dom 𝑆) ≠ 1o ↔ ∅ ≠ 1o))
4613, 45mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ → (𝑧‘dom 𝑆) ≠ 1o)
4746neneqd 2939 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ → ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)
4844, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ dom 𝑆 ∈ dom 𝑧 → ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)
4948con4i 114 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧‘dom 𝑆) = 1o → dom 𝑆 ∈ dom 𝑧)
5049adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) → dom 𝑆 ∈ dom 𝑧)
5150adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → dom 𝑆 ∈ dom 𝑧)
52 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝑈‘dom 𝑆) = 1o)
53 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)
5452, 53eqtr4d 2769 . . . . . . . . . . . . 13 ((((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝑈‘dom 𝑆) = (𝑧‘dom 𝑆))
55 eqfunressuc 7354 . . . . . . . . . . . . 13 (((Fun 𝑈 ∧ Fun 𝑧) ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = (𝑧 ↾ dom 𝑆) ∧ (dom 𝑆 ∈ dom 𝑈 ∧ dom 𝑆 ∈ dom 𝑧 ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = (𝑧‘dom 𝑆))) → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))
5626, 32, 41, 43, 51, 54, 55syl213anc 1386 . . . . . . . . . . . 12 ((((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))
5756expr 456 . . . . . . . . . . 11 ((((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → ((𝑧‘dom 𝑆) = 1o → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))
5857expr 456 . . . . . . . . . 10 ((((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ 𝑧𝐴) → (¬ 𝑧 <s 𝑈 → ((𝑧‘dom 𝑆) = 1o → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))))
5958a2d 29 . . . . . . . . 9 ((((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) ∧ 𝑧𝐴) → ((¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) → (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))))
6059ralimdva 3161 . . . . . . . 8 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → (∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) → ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))))
6160impcom 407 . . . . . . 7 ((∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o)) → ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))
6261anassrs 467 . . . . . 6 (((∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))
63 dmeq 5897 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑈 → dom 𝑝 = dom 𝑈)
6463eleq2d 2813 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑈 → (dom 𝑆 ∈ dom 𝑝 ↔ dom 𝑆 ∈ dom 𝑈))
65 breq2 5145 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑈 → (𝑧 <s 𝑝𝑧 <s 𝑈))
6665notbid 318 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑈 → (¬ 𝑧 <s 𝑝 ↔ ¬ 𝑧 <s 𝑈))
67 reseq1 5969 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑈 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑈 ↾ suc dom 𝑆))
6867eqeq1d 2728 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑈 → ((𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆) ↔ (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))
6966, 68imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑈 → ((¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)) ↔ (¬ 𝑧 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))))
7069ralbidv 3171 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑈 → (∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)) ↔ ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))))
7164, 70anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑈 → ((dom 𝑆 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))) ↔ (dom 𝑆 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))))
7271rspcev 3606 . . . . . 6 ((𝑈𝐴 ∧ (dom 𝑆 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))) → ∃𝑝𝐴 (dom 𝑆 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))))
739, 19, 62, 72syl12anc 834 . . . . 5 (((∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → ∃𝑝𝐴 (dom 𝑆 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))))
74 simplr1 1212 . . . . . . 7 (((∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → ¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
751nosupdm 27592 . . . . . . . 8 (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 → dom 𝑆 = {𝑎 ∣ ∃𝑝𝐴 (𝑎 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎)))})
7675eleq2d 2813 . . . . . . 7 (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 → (dom 𝑆 ∈ dom 𝑆 ↔ dom 𝑆 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑝𝐴 (𝑎 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎)))}))
7774, 76syl 17 . . . . . 6 (((∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → (dom 𝑆 ∈ dom 𝑆 ↔ dom 𝑆 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑝𝐴 (𝑎 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎)))}))
784adantr 480 . . . . . . 7 (((∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → 𝑆 No )
79 nodmon 27538 . . . . . . 7 (𝑆 No → dom 𝑆 ∈ On)
80 eleq1 2815 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = dom 𝑆 → (𝑎 ∈ dom 𝑝 ↔ dom 𝑆 ∈ dom 𝑝))
81 suceq 6424 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = dom 𝑆 → suc 𝑎 = suc dom 𝑆)
8281reseq2d 5975 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = dom 𝑆 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑝 ↾ suc dom 𝑆))
8381reseq2d 5975 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = dom 𝑆 → (𝑧 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))
8482, 83eqeq12d 2742 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = dom 𝑆 → ((𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎) ↔ (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))
8584imbi2d 340 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = dom 𝑆 → ((¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎)) ↔ (¬ 𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))))
8685ralbidv 3171 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = dom 𝑆 → (∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎)) ↔ ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆))))
8780, 86anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (𝑎 = dom 𝑆 → ((𝑎 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎))) ↔ (dom 𝑆 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))))
8887rexbidv 3172 . . . . . . . 8 (𝑎 = dom 𝑆 → (∃𝑝𝐴 (𝑎 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎))) ↔ ∃𝑝𝐴 (dom 𝑆 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))))
8988elabg 3661 . . . . . . 7 (dom 𝑆 ∈ On → (dom 𝑆 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑝𝐴 (𝑎 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎)))} ↔ ∃𝑝𝐴 (dom 𝑆 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))))
9078, 79, 893syl 18 . . . . . 6 (((∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → (dom 𝑆 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑝𝐴 (𝑎 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑎) = (𝑧 ↾ suc 𝑎)))} ↔ ∃𝑝𝐴 (dom 𝑆 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))))
9177, 90bitrd 279 . . . . 5 (((∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → (dom 𝑆 ∈ dom 𝑆 ↔ ∃𝑝𝐴 (dom 𝑆 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc dom 𝑆) = (𝑧 ↾ suc dom 𝑆)))))
9273, 91mpbird 257 . . . 4 (((∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) ∧ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o) → dom 𝑆 ∈ dom 𝑆)
937, 92mtand 813 . . 3 ((∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) → ¬ (𝑈‘dom 𝑆) = 1o)
9493neqned 2941 . 2 ((∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o)
95 rexanali 3096 . . 3 (∃𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ↔ ¬ ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o))
96 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) → 𝑧𝐴)
9720, 96, 29syl2an 595 . . . . . . . . . 10 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → 𝑧 No )
98 nofv 27545 . . . . . . . . . 10 (𝑧 No → ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 2o))
9997, 98syl 17 . . . . . . . . 9 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 2o))
100 3orel2 1480 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o → (((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 2o) → ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 2o)))
10199, 100syl5com 31 . . . . . . . 8 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → (¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o → ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 2o)))
102101imdistanda 571 . . . . . . 7 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → (((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) → ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 2o))))
103 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . 12 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → ¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
104 simpl2 1189 . . . . . . . . . . . 12 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → (𝐴 No 𝐴 ∈ V))
105 simprl 768 . . . . . . . . . . . 12 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → 𝑧𝐴)
106 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . . 13 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))
107 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈))
108103, 104, 106, 107, 39syl112anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → (𝑧 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
1091nosupbnd1lem4 27599 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑧 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → (𝑧‘dom 𝑆) ≠ ∅)
110103, 104, 105, 108, 109syl112anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → (𝑧‘dom 𝑆) ≠ ∅)
111110neneqd 2939 . . . . . . . . . 10 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = ∅)
112111pm2.21d 121 . . . . . . . . 9 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o))
1131nosupbnd1lem3 27598 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑧 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → (𝑧‘dom 𝑆) ≠ 2o)
114103, 104, 105, 108, 113syl112anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → (𝑧‘dom 𝑆) ≠ 2o)
115114neneqd 2939 . . . . . . . . . 10 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 2o)
116115pm2.21d 121 . . . . . . . . 9 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → ((𝑧‘dom 𝑆) = 2o → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o))
117112, 116jaod 856 . . . . . . . 8 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈)) → (((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 2o) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o))
118117expimpd 453 . . . . . . 7 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → (((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ ((𝑧‘dom 𝑆) = ∅ ∨ (𝑧‘dom 𝑆) = 2o)) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o))
119102, 118syldc 48 . . . . . 6 (((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 <s 𝑈) ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) → ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o))
120119anasss 466 . . . . 5 ((𝑧𝐴 ∧ (¬ 𝑧 <s 𝑈 ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o)) → ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o))
121120rexlimiva 3141 . . . 4 (∃𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) → ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o))
122121imp 406 . . 3 ((∃𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 ∧ ¬ (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o)
12395, 122sylanbr 581 . 2 ((¬ ∀𝑧𝐴𝑧 <s 𝑈 → (𝑧‘dom 𝑆) = 1o) ∧ (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o)
12494, 123pm2.61ian 809 1 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) → (𝑈‘dom 𝑆) ≠ 1o)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 844  w3o 1083  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  {cab 2703  wne 2934  wral 3055  wrex 3064  Vcvv 3468  cun 3941  wss 3943  c0 4317  ifcif 4523  {csn 4623  cop 4629   class class class wbr 5141  cmpt 5224  dom cdm 5669  cres 5671  Ord word 6357  Oncon0 6358  suc csuc 6360  cio 6487  Fun wfun 6531  cfv 6537  crio 7360  1oc1o 8460  2oc2o 8461   No csur 27528   <s cslt 27529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6361  df-on 6362  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-1o 8467  df-2o 8468  df-no 27531  df-slt 27532  df-bday 27533
This theorem is referenced by:  nosupbnd1lem6  27601
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