Theorem rectbntr0 25167

Description: A countable subset of the reals has empty interior. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rectbntr0	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) = ∅)

Proof of Theorem rectbntr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 12354	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
2	1	canth2 9163	. . 3 ⊢ ℕ ≺ 𝒫 ℕ
3		domnsym 9136	. . 3 ⊢ (𝒫 ℕ ≼ ℕ → ¬ ℕ ≺ 𝒫 ℕ)
4	2, 3	mt2 203	. 2 ⊢ ¬ 𝒫 ℕ ≼ ℕ
5		retop 25095	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
6		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
7		uniretop 25096	. . . . . . 7 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
8	7	ntropn 23382	. . . . . 6 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ∈ (topGen‘ran (,)))
9	5, 6, 8	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ∈ (topGen‘ran (,)))
10		opnreen 25166	. . . . . 6 ⊢ ((((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≠ ∅) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≈ 𝒫 ℕ)
11	10	ex 418	. . . . 5 ⊢ (((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ∈ (topGen‘ran (,)) → (((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≠ ∅ → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≈ 𝒫 ℕ))
12	9, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≠ ∅ → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≈ 𝒫 ℕ))
13		reex 11304	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
14	13	ssex 5286	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
15	7	ntrss2 23390	. . . . . . . 8 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ⊆ 𝐴)
16	5, 15	mpan 703	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ⊆ 𝐴)
17		ssdomg 9041	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → (((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ⊆ 𝐴 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≼ 𝐴))
18	14, 16, 17	sylc 66	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≼ 𝐴)
19		domtr 9048	. . . . . 6 ⊢ ((((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≼ ℕ)
20	18, 19	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≼ ℕ)
21		ensym 9044	. . . . 5 ⊢ (((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≈ 𝒫 ℕ → 𝒫 ℕ ≈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴))
22		endomtr 9053	. . . . . 6 ⊢ ((𝒫 ℕ ≈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ∧ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≼ ℕ) → 𝒫 ℕ ≼ ℕ)
23	22	expcom 419	. . . . 5 ⊢ (((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≼ ℕ → (𝒫 ℕ ≈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) → 𝒫 ℕ ≼ ℕ))
24	20, 21, 23	syl2im 41	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≈ 𝒫 ℕ → 𝒫 ℕ ≼ ℕ))
25	12, 24	syld 48	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≠ ∅ → 𝒫 ℕ ≼ ℕ))
26	25	necon1bd 2977	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (¬ 𝒫 ℕ ≼ ℕ → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) = ∅))
27	4, 26	mpi 21	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5106  ran crn 5656  ‘cfv 6547   ≈ cen 8984   ≼ cdom 8985   ≺ csdm 8986  ℝcr 11212  ℕcn 12348  (,)cioo 13489  topGenctg 17623  Topctop 23226  intcnt 23350

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-inf2 9655  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-2o 8491  df-oadd 8494  df-omul 8495  df-er 8731  df-map 8863  df-pm 8864  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-sup 9447  df-inf 9448  df-oi 9517  df-card 10033  df-acn 10036  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-q 13089  df-rp 13134  df-xneg 13254  df-xadd 13255  df-xmul 13256  df-ioo 13493  df-ico 13495  df-icc 13496  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-fl 13945  df-seq 14158  df-exp 14218  df-hash 14488  df-cj 15281  df-re 15282  df-im 15283  df-sqrt 15417  df-abs 15418  df-limsup 15653  df-clim 15670  df-rlim 15671  df-sum 15869  df-topgen 17629  df-psmet 21685  df-xmet 21686  df-met 21687  df-bl 21688  df-mopn 21689  df-top 23227  df-topon 23244  df-bases 23279  df-ntr 23353

This theorem is used by:  ioonct  46691