Theorem rectbntr0 24990

Description: A countable subset of the reals has empty interior. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rectbntr0	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) = ∅)

Proof of Theorem rectbntr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 12234	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
2	1	canth2 9114	. . 3 ⊢ ℕ ≺ 𝒫 ℕ
3		domnsym 9087	. . 3 ⊢ (𝒫 ℕ ≼ ℕ → ¬ ℕ ≺ 𝒫 ℕ)
4	2, 3	mt2 203	. 2 ⊢ ¬ 𝒫 ℕ ≼ ℕ
5		retop 24918	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
6		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
7		uniretop 24919	. . . . . . 7 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
8	7	ntropn 23206	. . . . . 6 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ∈ (topGen‘ran (,)))
9	5, 6, 8	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ∈ (topGen‘ran (,)))
10		opnreen 24989	. . . . . 6 ⊢ ((((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≠ ∅) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≈ 𝒫 ℕ)
11	10	ex 417	. . . . 5 ⊢ (((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ∈ (topGen‘ran (,)) → (((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≠ ∅ → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≈ 𝒫 ℕ))
12	9, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≠ ∅ → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≈ 𝒫 ℕ))
13		reex 11186	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
14	13	ssex 5291	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
15	7	ntrss2 23214	. . . . . . . 8 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ⊆ 𝐴)
16	5, 15	mpan 702	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ⊆ 𝐴)
17		ssdomg 8993	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → (((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ⊆ 𝐴 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≼ 𝐴))
18	14, 16, 17	sylc 66	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≼ 𝐴)
19		domtr 9000	. . . . . 6 ⊢ ((((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≼ ℕ)
20	18, 19	sylan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≼ ℕ)
21		ensym 8996	. . . . 5 ⊢ (((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≈ 𝒫 ℕ → 𝒫 ℕ ≈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴))
22		endomtr 9005	. . . . . 6 ⊢ ((𝒫 ℕ ≈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ∧ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≼ ℕ) → 𝒫 ℕ ≼ ℕ)
23	22	expcom 418	. . . . 5 ⊢ (((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≼ ℕ → (𝒫 ℕ ≈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) → 𝒫 ℕ ≼ ℕ))
24	20, 21, 23	syl2im 41	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≈ 𝒫 ℕ → 𝒫 ℕ ≼ ℕ))
25	12, 24	syld 48	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≠ ∅ → 𝒫 ℕ ≼ ℕ))
26	25	necon1bd 2976	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (¬ 𝒫 ℕ ≼ ℕ → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) = ∅))
27	4, 26	mpi 21	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4562   class class class wbr 5109  ran crn 5662  ‘cfv 6536   ≈ cen 8936   ≼ cdom 8937   ≺ csdm 8938  ℝcr 11094  ℕcn 12228  (,)cioo 13367  topGenctg 17485  Topctop 23050  intcnt 23174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-omul 8454  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-acn 9924  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13371  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-limsup 15518  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-topgen 17491  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-top 23051  df-topon 23068  df-bases 23103  df-ntr 23177

This theorem is referenced by:  ioonct  46273