Theorem rectbntr0 24719

Description: A countable subset of the reals has empty interior. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rectbntr0	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) = ∅)

Proof of Theorem rectbntr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 12134	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
2	1	canth2 9047	. . 3 ⊢ ℕ ≺ 𝒫 ℕ
3		domnsym 9020	. . 3 ⊢ (𝒫 ℕ ≼ ℕ → ¬ ℕ ≺ 𝒫 ℕ)
4	2, 3	mt2 200	. 2 ⊢ ¬ 𝒫 ℕ ≼ ℕ
5		retop 24647	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
6		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
7		uniretop 24648	. . . . . . 7 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
8	7	ntropn 22934	. . . . . 6 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ∈ (topGen‘ran (,)))
9	5, 6, 8	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ∈ (topGen‘ran (,)))
10		opnreen 24718	. . . . . 6 ⊢ ((((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≠ ∅) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≈ 𝒫 ℕ)
11	10	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ∈ (topGen‘ran (,)) → (((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≠ ∅ → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≈ 𝒫 ℕ))
12	9, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≠ ∅ → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≈ 𝒫 ℕ))
13		reex 11100	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
14	13	ssex 5260	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
15	7	ntrss2 22942	. . . . . . . 8 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ⊆ 𝐴)
16	5, 15	mpan 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ⊆ 𝐴)
17		ssdomg 8925	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → (((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ⊆ 𝐴 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≼ 𝐴))
18	14, 16, 17	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≼ 𝐴)
19		domtr 8932	. . . . . 6 ⊢ ((((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≼ ℕ)
20	18, 19	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≼ ℕ)
21		ensym 8928	. . . . 5 ⊢ (((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≈ 𝒫 ℕ → 𝒫 ℕ ≈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴))
22		endomtr 8937	. . . . . 6 ⊢ ((𝒫 ℕ ≈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ∧ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≼ ℕ) → 𝒫 ℕ ≼ ℕ)
23	22	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≼ ℕ → (𝒫 ℕ ≈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) → 𝒫 ℕ ≼ ℕ))
24	20, 21, 23	syl2im 40	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≈ 𝒫 ℕ → 𝒫 ℕ ≼ ℕ))
25	12, 24	syld 47	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≠ ∅ → 𝒫 ℕ ≼ ℕ))
26	25	necon1bd 2943	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (¬ 𝒫 ℕ ≼ ℕ → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) = ∅))
27	4, 26	mpi 20	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3436   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284  𝒫 cpw 4551   class class class wbr 5092  ran crn 5620  ‘cfv 6482   ≈ cen 8869   ≼ cdom 8870   ≺ csdm 8871  ℝcr 11008  ℕcn 12128  (,)cioo 13248  topGenctg 17341  Topctop 22778  intcnt 22902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-oadd 8392  df-omul 8393  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9835  df-acn 9838  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-ioo 13252  df-ico 13254  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-topgen 17347  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-top 22779  df-topon 22796  df-bases 22831  df-ntr 22905

This theorem is referenced by:  ioonct  45518