Theorem rectbntr0 23995

Description: A countable subset of the reals has empty interior. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rectbntr0	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) = ∅)

Proof of Theorem rectbntr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 11979	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
2	1	canth2 8917	. . 3 ⊢ ℕ ≺ 𝒫 ℕ
3		domnsym 8886	. . 3 ⊢ (𝒫 ℕ ≼ ℕ → ¬ ℕ ≺ 𝒫 ℕ)
4	2, 3	mt2 199	. 2 ⊢ ¬ 𝒫 ℕ ≼ ℕ
5		retop 23925	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
6		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
7		uniretop 23926	. . . . . . 7 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
8	7	ntropn 22200	. . . . . 6 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ∈ (topGen‘ran (,)))
9	5, 6, 8	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ∈ (topGen‘ran (,)))
10		opnreen 23994	. . . . . 6 ⊢ ((((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≠ ∅) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≈ 𝒫 ℕ)
11	10	ex 413	. . . . 5 ⊢ (((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ∈ (topGen‘ran (,)) → (((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≠ ∅ → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≈ 𝒫 ℕ))
12	9, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≠ ∅ → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≈ 𝒫 ℕ))
13		reex 10962	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
14	13	ssex 5245	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
15	7	ntrss2 22208	. . . . . . . 8 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ⊆ 𝐴)
16	5, 15	mpan 687	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ⊆ 𝐴)
17		ssdomg 8786	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → (((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ⊆ 𝐴 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≼ 𝐴))
18	14, 16, 17	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≼ 𝐴)
19		domtr 8793	. . . . . 6 ⊢ ((((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≼ ℕ)
20	18, 19	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≼ ℕ)
21		ensym 8789	. . . . 5 ⊢ (((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≈ 𝒫 ℕ → 𝒫 ℕ ≈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴))
22		endomtr 8798	. . . . . 6 ⊢ ((𝒫 ℕ ≈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ∧ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≼ ℕ) → 𝒫 ℕ ≼ ℕ)
23	22	expcom 414	. . . . 5 ⊢ (((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≼ ℕ → (𝒫 ℕ ≈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) → 𝒫 ℕ ≼ ℕ))
24	20, 21, 23	syl2im 40	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≈ 𝒫 ℕ → 𝒫 ℕ ≼ ℕ))
25	12, 24	syld 47	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) ≠ ∅ → 𝒫 ℕ ≼ ℕ))
26	25	necon1bd 2961	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (¬ 𝒫 ℕ ≼ ℕ → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) = ∅))
27	4, 26	mpi 20	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  𝒫 cpw 4533   class class class wbr 5074  ran crn 5590  ‘cfv 6433   ≈ cen 8730   ≼ cdom 8731   ≺ csdm 8732  ℝcr 10870  ℕcn 11973  (,)cioo 13079  topGenctg 17148  Topctop 22042  intcnt 22168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-acn 9700  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-topgen 17154  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-top 22043  df-topon 22060  df-bases 22096  df-ntr 22171

This theorem is referenced by:  ioonct  43075