Theorem toplatglb 49807

Description: Greatest lower bounds in a topology are realized by the interior of the intersection. (Contributed by Zhi Wang, 30-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
topclat.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐽)
toplatlub.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
toplatlub.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐽)
toplatglb.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐼)
toplatglb.e	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
toplatglb	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) = ((int‘𝐽)‘∩ 𝑆))

Proof of Theorem toplatglb

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topclat.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐽)
2		toplatlub.j	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
3		toplatlub.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐽)
4		toplatglb.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐼)
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (glb‘𝐼))
6		toplatglb.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)
7		intssuni 4934	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ → ∩ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑆)
8	6, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑆)
9	3	unissd 4881	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
10	8, 9	sstrd 3946	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
11		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
12	11	ntrval 23204	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∩ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘∩ 𝑆) = ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 ∩ 𝑆))
13	2, 10, 12	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘∩ 𝑆) = ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 ∩ 𝑆))
14	2	uniexd 7742	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 ∈ V)
15	14, 10	ssexd 5294	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑆 ∈ V)
16		inpw 49631	. . . . 5 ⊢ (∩ 𝑆 ∈ V → (𝐽 ∩ 𝒫 ∩ 𝑆) = {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
17	16	unieqd 4884	. . . 4 ⊢ (∩ 𝑆 ∈ V → ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 ∩ 𝑆) = ∪ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
18	15, 17	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 ∩ 𝑆) = ∪ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
19	13, 18	eqtrd 2797	. 2 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘∩ 𝑆) = ∪ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
20	11	ntropn 23217	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∩ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘∩ 𝑆) ∈ 𝐽)
21	2, 10, 20	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘∩ 𝑆) ∈ 𝐽)
22	1, 2, 3, 5, 19, 21	ipoglb 49797	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) = ((int‘𝐽)‘∩ 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  {crab 3415  Vcvv 3454   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4561  ∪ cuni 4871  ∩ cint 4911  ‘cfv 6536  glbcglb 18372  toInccipo 18589  Topctop 23061  intcnt 23185

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-fz 13542  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ocomp 17337  df-odu 18349  df-proset 18356  df-poset 18375  df-lub 18406  df-glb 18407  df-ipo 18590  df-top 23062  df-ntr 23188

This theorem is used by: (None)