Theorem toplatglb 50109

Description: Greatest lower bounds in a topology are realized by the interior of the intersection. (Contributed by Zhi Wang, 30-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
topclat.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐽)
toplatlub.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
toplatlub.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐽)
toplatglb.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐼)
toplatglb.e	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
toplatglb	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) = ((int‘𝐽)‘∩ 𝑆))

Proof of Theorem toplatglb

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topclat.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐽)
2		toplatlub.j	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
3		toplatlub.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐽)
4		toplatglb.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐼)
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (glb‘𝐼))
6		toplatglb.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)
7		intssuni 4929	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ → ∩ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑆)
8	6, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑆)
9	3	unissd 4876	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
10	8, 9	sstrd 3918	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
11		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
12	11	ntrval 23354	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∩ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘∩ 𝑆) = ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 ∩ 𝑆))
13	2, 10, 12	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘∩ 𝑆) = ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 ∩ 𝑆))
14	2	uniexd 7759	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 ∈ V)
15	14, 10	ssexd 5285	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑆 ∈ V)
16		inpw 49935	. . . . 5 ⊢ (∩ 𝑆 ∈ V → (𝐽 ∩ 𝒫 ∩ 𝑆) = {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
17	16	unieqd 4879	. . . 4 ⊢ (∩ 𝑆 ∈ V → ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 ∩ 𝑆) = ∪ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
18	15, 17	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 ∩ 𝑆) = ∪ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
19	13, 18	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘∩ 𝑆) = ∪ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
20	11	ntropn 23367	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∩ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘∩ 𝑆) ∈ 𝐽)
21	2, 10, 20	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘∩ 𝑆) ∈ 𝐽)
22	1, 2, 3, 5, 19, 21	ipoglb 50099	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) = ((int‘𝐽)‘∩ 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556  ∪ cuni 4866  ∩ cint 4906  ‘cfv 6538  glbcglb 18484  toInccipo 18701  Topctop 23211  intcnt 23335

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ocomp 17449  df-odu 18461  df-proset 18468  df-poset 18487  df-lub 18518  df-glb 18519  df-ipo 18702  df-top 23212  df-ntr 23338

This theorem is used by: (None)