Theorem toplatglb 49313

Description: Greatest lower bounds in a topology are realized by the interior of the intersection. (Contributed by Zhi Wang, 30-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
topclat.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐽)
toplatlub.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
toplatlub.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐽)
toplatglb.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐼)
toplatglb.e	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
toplatglb	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) = ((int‘𝐽)‘∩ 𝑆))

Proof of Theorem toplatglb

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topclat.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐽)
2		toplatlub.j	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
3		toplatlub.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐽)
4		toplatglb.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐼)
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (glb‘𝐼))
6		toplatglb.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)
7		intssuni 4926	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ → ∩ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑆)
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑆)
9	3	unissd 4874	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
10	8, 9	sstrd 3945	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
11		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
12	11	ntrval 22984	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∩ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘∩ 𝑆) = ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 ∩ 𝑆))
13	2, 10, 12	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘∩ 𝑆) = ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 ∩ 𝑆))
14	2	uniexd 7689	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 ∈ V)
15	14, 10	ssexd 5270	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑆 ∈ V)
16		inpw 49137	. . . . 5 ⊢ (∩ 𝑆 ∈ V → (𝐽 ∩ 𝒫 ∩ 𝑆) = {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
17	16	unieqd 4877	. . . 4 ⊢ (∩ 𝑆 ∈ V → ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 ∩ 𝑆) = ∪ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
18	15, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 ∩ 𝑆) = ∪ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
19	13, 18	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘∩ 𝑆) = ∪ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
20	11	ntropn 22997	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∩ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘∩ 𝑆) ∈ 𝐽)
21	2, 10, 20	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘∩ 𝑆) ∈ 𝐽)
22	1, 2, 3, 5, 19, 21	ipoglb 49303	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) = ((int‘𝐽)‘∩ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {crab 3400  Vcvv 3441   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4555  ∪ cuni 4864  ∩ cint 4903  ‘cfv 6493  glbcglb 18237  toInccipo 18454  Topctop 22841  intcnt 22965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-fz 13428  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ocomp 17202  df-odu 18214  df-proset 18221  df-poset 18240  df-lub 18271  df-glb 18272  df-ipo 18455  df-top 22842  df-ntr 22968

This theorem is referenced by: (None)