Theorem toplatglb 49914

Description: Greatest lower bounds in a topology are realized by the interior of the intersection. (Contributed by Zhi Wang, 30-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
topclat.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐽)
toplatlub.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
toplatlub.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐽)
toplatglb.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐼)
toplatglb.e	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
toplatglb	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) = ((int‘𝐽)‘∩ 𝑆))

Proof of Theorem toplatglb

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topclat.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐽)
2		toplatlub.j	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
3		toplatlub.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐽)
4		toplatglb.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐼)
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (glb‘𝐼))
6		toplatglb.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)
7		intssuni 4933	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ → ∩ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑆)
8	6, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑆)
9	3	unissd 4880	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
10	8, 9	sstrd 3944	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
11		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
12	11	ntrval 23262	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∩ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘∩ 𝑆) = ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 ∩ 𝑆))
13	2, 10, 12	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘∩ 𝑆) = ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 ∩ 𝑆))
14	2	uniexd 7747	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 ∈ V)
15	14, 10	ssexd 5293	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑆 ∈ V)
16		inpw 49740	. . . . 5 ⊢ (∩ 𝑆 ∈ V → (𝐽 ∩ 𝒫 ∩ 𝑆) = {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
17	16	unieqd 4883	. . . 4 ⊢ (∩ 𝑆 ∈ V → ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 ∩ 𝑆) = ∪ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
18	15, 17	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 ∩ 𝑆) = ∪ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
19	13, 18	eqtrd 2797	. 2 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘∩ 𝑆) = ∪ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
20	11	ntropn 23275	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∩ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘∩ 𝑆) ∈ 𝐽)
21	2, 10, 20	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘∩ 𝑆) ∈ 𝐽)
22	1, 2, 3, 5, 19, 21	ipoglb 49904	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) = ((int‘𝐽)‘∩ 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  {crab 3414  Vcvv 3453   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4560  ∪ cuni 4870  ∩ cint 4910  ‘cfv 6537  glbcglb 18402  toInccipo 18619  Topctop 23119  intcnt 23243

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ocomp 17367  df-odu 18379  df-proset 18386  df-poset 18405  df-lub 18436  df-glb 18437  df-ipo 18620  df-top 23120  df-ntr 23246

This theorem is used by: (None)