Theorem toplatglb 49505

Description: Greatest lower bounds in a topology are realized by the interior of the intersection. (Contributed by Zhi Wang, 30-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
topclat.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐽)
toplatlub.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
toplatlub.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐽)
toplatglb.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐼)
toplatglb.e	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
toplatglb	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) = ((int‘𝐽)‘∩ 𝑆))

Proof of Theorem toplatglb

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topclat.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐽)
2		toplatlub.j	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
3		toplatlub.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐽)
4		toplatglb.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐼)
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (glb‘𝐼))
6		toplatglb.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)
7		intssuni 4903	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ → ∩ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑆)
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑆)
9	3	unissd 4851	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
10	8, 9	sstrd 3927	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
11		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
12	11	ntrval 23023	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∩ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘∩ 𝑆) = ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 ∩ 𝑆))
13	2, 10, 12	syl2anc 591	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘∩ 𝑆) = ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 ∩ 𝑆))
14	2	uniexd 7689	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 ∈ V)
15	14, 10	ssexd 5255	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑆 ∈ V)
16		inpw 49329	. . . . 5 ⊢ (∩ 𝑆 ∈ V → (𝐽 ∩ 𝒫 ∩ 𝑆) = {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
17	16	unieqd 4854	. . . 4 ⊢ (∩ 𝑆 ∈ V → ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 ∩ 𝑆) = ∪ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
18	15, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 ∩ 𝑆) = ∪ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
19	13, 18	eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘∩ 𝑆) = ∪ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
20	11	ntropn 23036	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∩ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘∩ 𝑆) ∈ 𝐽)
21	2, 10, 20	syl2anc 591	. 2 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘∩ 𝑆) ∈ 𝐽)
22	1, 2, 3, 5, 19, 21	ipoglb 49495	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) = ((int‘𝐽)‘∩ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  {crab 3393  Vcvv 3433   ∩ cin 3884   ⊆ wss 3885  ∅c0 4264  𝒫 cpw 4532  ∪ cuni 4841  ∩ cint 4880  ‘cfv 6489  glbcglb 18271  toInccipo 18488  Topctop 22880  intcnt 23004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ocomp 17236  df-odu 18248  df-proset 18255  df-poset 18274  df-lub 18305  df-glb 18306  df-ipo 18489  df-top 22881  df-ntr 23007

This theorem is referenced by: (None)