Theorem numexp0 17123

Description: Calculate an integer power. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
numexp.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
numexp0	⊢ (𝐴↑0) = 1

Proof of Theorem numexp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numexp.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2	1	nn0cni 12565	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3		exp0 14116	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
4	2, 3	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴↑0) = 1

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184  1c1 11185  ℕ₀cn0 12553  ↑cexp 14112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-i2m1 11252  ax-rnegex 11255  ax-cnre 11257

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-seq 14053  df-exp 14113

This theorem is referenced by:  decsplit0b  17127  dchrisum0flb  27572  ex-ind-dvds  30493  hgt750lemd  34625  hgt750lem  34628  itcovalt2lem1  48409