Theorem ex-ind-dvds 29703

Description: Example of a proof by induction (divisibility result). (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.) (Revised by BJ, 24-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ex-ind-dvds	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ∥ ((4↑𝑁) + 2))

Proof of Theorem ex-ind-dvds

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7413	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → (4↑𝑘) = (4↑0))
2	1	oveq1d 7420	. . 3 ⊢ (𝑘 = 0 → ((4↑𝑘) + 2) = ((4↑0) + 2))
3	2	breq2d 5159	. 2 ⊢ (𝑘 = 0 → (3 ∥ ((4↑𝑘) + 2) ↔ 3 ∥ ((4↑0) + 2)))
4		oveq2 7413	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (4↑𝑘) = (4↑𝑛))
5	4	oveq1d 7420	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((4↑𝑘) + 2) = ((4↑𝑛) + 2))
6	5	breq2d 5159	. 2 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (3 ∥ ((4↑𝑘) + 2) ↔ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)))
7		oveq2 7413	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (4↑𝑘) = (4↑(𝑛 + 1)))
8	7	oveq1d 7420	. . 3 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((4↑𝑘) + 2) = ((4↑(𝑛 + 1)) + 2))
9	8	breq2d 5159	. 2 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (3 ∥ ((4↑𝑘) + 2) ↔ 3 ∥ ((4↑(𝑛 + 1)) + 2)))
10		oveq2 7413	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (4↑𝑘) = (4↑𝑁))
11	10	oveq1d 7420	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((4↑𝑘) + 2) = ((4↑𝑁) + 2))
12	11	breq2d 5159	. 2 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (3 ∥ ((4↑𝑘) + 2) ↔ 3 ∥ ((4↑𝑁) + 2)))
13		3z 12591	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℤ
14		iddvds 16209	. . . 4 ⊢ (3 ∈ ℤ → 3 ∥ 3)
15	13, 14	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 3 ∥ 3
16		4nn0 12487	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
17	16	numexp0 17005	. . . . 5 ⊢ (4↑0) = 1
18	17	oveq1i 7415	. . . 4 ⊢ ((4↑0) + 2) = (1 + 2)
19		1p2e3 12351	. . . 4 ⊢ (1 + 2) = 3
20	18, 19	eqtri 2760	. . 3 ⊢ ((4↑0) + 2) = 3
21	15, 20	breqtrri 5174	. 2 ⊢ 3 ∥ ((4↑0) + 2)
22	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → 3 ∈ ℤ)
23	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → 4 ∈ ℕ0)
24		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
25	23, 24	nn0expcld 14205	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → (4↑𝑛) ∈ ℕ0)
26	25	nn0zd 12580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → (4↑𝑛) ∈ ℤ)
27		2z 12590	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → 2 ∈ ℤ)
29	26, 28	zaddcld 12666	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → ((4↑𝑛) + 2) ∈ ℤ)
30		4z 12592	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℤ
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → 4 ∈ ℤ)
32	29, 31	zmulcld 12668	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → (((4↑𝑛) + 2) · 4) ∈ ℤ)
33	22, 28	zmulcld 12668	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → (3 · 2) ∈ ℤ)
34	16	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ0)
35		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℕ0)
36	34, 35	nn0expcld 14205	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (4↑𝑛) ∈ ℕ0)
37	36	nn0zd 12580	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (4↑𝑛) ∈ ℤ)
38	37	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → (4↑𝑛) ∈ ℤ)
39	38, 28	zaddcld 12666	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → ((4↑𝑛) + 2) ∈ ℤ)
40		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2))
41	22, 39, 31, 40	dvdsmultr1d 16236	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → 3 ∥ (((4↑𝑛) + 2) · 4))
42		dvdsmul1 16217	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 3 ∥ (3 · 2))
43	13, 27, 42	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ 3 ∥ (3 · 2)
44	43	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → 3 ∥ (3 · 2))
45	22, 32, 33, 41, 44	dvds2subd 16232	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → 3 ∥ ((((4↑𝑛) + 2) · 4) − (3 · 2)))
46	36	nn0cnd 12530	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (4↑𝑛) ∈ ℂ)
47		2cnd 12286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
48		4cn 12293	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
49	48	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℂ)
50	46, 47, 49	adddird 11235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (((4↑𝑛) + 2) · 4) = (((4↑𝑛) · 4) + (2 · 4)))
51	50	oveq1d 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((((4↑𝑛) + 2) · 4) − (2 · 3)) = ((((4↑𝑛) · 4) + (2 · 4)) − (2 · 3)))
52		3cn 12289	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
53		2cn 12283	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
54	52, 53	mulcomi 11218	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 2) = (2 · 3)
55	54	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (3 · 2) = (2 · 3))
56	55	oveq2d 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((((4↑𝑛) + 2) · 4) − (3 · 2)) = ((((4↑𝑛) + 2) · 4) − (2 · 3)))
57	49, 35	expp1d 14108	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (4↑(𝑛 + 1)) = ((4↑𝑛) · 4))
58		ax-1cn 11164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
59		3p1e4 12353	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 + 1) = 4
60	52, 58, 59	addcomli 11402	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 + 3) = 4
61	60	eqcomi 2741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 = (1 + 3)
62	58, 52, 61	mvrraddi 11473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 − 3) = 1
63	62	oveq2i 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · (4 − 3)) = (2 · 1)
64	53, 48, 52	subdii 11659	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · (4 − 3)) = ((2 · 4) − (2 · 3))
65		2t1e2 12371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 1) = 2
66	63, 64, 65	3eqtr3ri 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 = ((2 · 4) − (2 · 3))
67	66	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 = ((2 · 4) − (2 · 3)))
68	57, 67	oveq12d 7423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((4↑(𝑛 + 1)) + 2) = (((4↑𝑛) · 4) + ((2 · 4) − (2 · 3))))
69	46, 49	mulcld 11230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((4↑𝑛) · 4) ∈ ℂ)
70	47, 49	mulcld 11230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 4) ∈ ℂ)
71	52	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℂ)
72	47, 71	mulcld 11230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 3) ∈ ℂ)
73	69, 70, 72	addsubassd 11587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((((4↑𝑛) · 4) + (2 · 4)) − (2 · 3)) = (((4↑𝑛) · 4) + ((2 · 4) − (2 · 3))))
74	68, 73	eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((4↑(𝑛 + 1)) + 2) = ((((4↑𝑛) · 4) + (2 · 4)) − (2 · 3)))
75	51, 56, 74	3eqtr4rd 2783	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((4↑(𝑛 + 1)) + 2) = ((((4↑𝑛) + 2) · 4) − (3 · 2)))
76	75	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → ((4↑(𝑛 + 1)) + 2) = ((((4↑𝑛) + 2) · 4) − (3 · 2)))
77	45, 76	breqtrrd 5175	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → 3 ∥ ((4↑(𝑛 + 1)) + 2))
78	77	ex 413	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (3 ∥ ((4↑𝑛) + 2) → 3 ∥ ((4↑(𝑛 + 1)) + 2)))
79	3, 6, 9, 12, 21, 78	nn0ind 12653	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ∥ ((4↑𝑁) + 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   − cmin 11440  2c2 12263  3c3 12264  4c4 12265  ℕ₀cn0 12468  ℤcz 12554  ↑cexp 14023   ∥ cdvds 16193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-seq 13963  df-exp 14024  df-dvds 16194

This theorem is referenced by: (None)