MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-ind-dvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-ind-dvds 30245
Description: Example of a proof by induction (divisibility result). (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.) (Revised by BJ, 24-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
ex-ind-dvds (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘) + 2))

Proof of Theorem ex-ind-dvds
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7422 . . . 4 (๐‘˜ = 0 โ†’ (4โ†‘๐‘˜) = (4โ†‘0))
21oveq1d 7429 . . 3 (๐‘˜ = 0 โ†’ ((4โ†‘๐‘˜) + 2) = ((4โ†‘0) + 2))
32breq2d 5154 . 2 (๐‘˜ = 0 โ†’ (3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘˜) + 2) โ†” 3 โˆฅ ((4โ†‘0) + 2)))
4 oveq2 7422 . . . 4 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (4โ†‘๐‘˜) = (4โ†‘๐‘›))
54oveq1d 7429 . . 3 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ ((4โ†‘๐‘˜) + 2) = ((4โ†‘๐‘›) + 2))
65breq2d 5154 . 2 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘˜) + 2) โ†” 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 2)))
7 oveq2 7422 . . . 4 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ (4โ†‘๐‘˜) = (4โ†‘(๐‘› + 1)))
87oveq1d 7429 . . 3 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ ((4โ†‘๐‘˜) + 2) = ((4โ†‘(๐‘› + 1)) + 2))
98breq2d 5154 . 2 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ (3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘˜) + 2) โ†” 3 โˆฅ ((4โ†‘(๐‘› + 1)) + 2)))
10 oveq2 7422 . . . 4 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (4โ†‘๐‘˜) = (4โ†‘๐‘))
1110oveq1d 7429 . . 3 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ ((4โ†‘๐‘˜) + 2) = ((4โ†‘๐‘) + 2))
1211breq2d 5154 . 2 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘˜) + 2) โ†” 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘) + 2)))
13 3z 12611 . . . 4 3 โˆˆ โ„ค
14 iddvds 16232 . . . 4 (3 โˆˆ โ„ค โ†’ 3 โˆฅ 3)
1513, 14ax-mp 5 . . 3 3 โˆฅ 3
16 4nn0 12507 . . . . . 6 4 โˆˆ โ„•0
1716numexp0 17030 . . . . 5 (4โ†‘0) = 1
1817oveq1i 7424 . . . 4 ((4โ†‘0) + 2) = (1 + 2)
19 1p2e3 12371 . . . 4 (1 + 2) = 3
2018, 19eqtri 2755 . . 3 ((4โ†‘0) + 2) = 3
2115, 20breqtrri 5169 . 2 3 โˆฅ ((4โ†‘0) + 2)
2213a1i 11 . . . . 5 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 2)) โ†’ 3 โˆˆ โ„ค)
2316a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 2)) โ†’ 4 โˆˆ โ„•0)
24 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 2)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
2523, 24nn0expcld 14226 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 2)) โ†’ (4โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„•0)
2625nn0zd 12600 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 2)) โ†’ (4โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„ค)
27 2z 12610 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„ค
2827a1i 11 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 2)) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
2926, 28zaddcld 12686 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 2)) โ†’ ((4โ†‘๐‘›) + 2) โˆˆ โ„ค)
30 4z 12612 . . . . . . 7 4 โˆˆ โ„ค
3130a1i 11 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 2)) โ†’ 4 โˆˆ โ„ค)
3229, 31zmulcld 12688 . . . . 5 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 2)) โ†’ (((4โ†‘๐‘›) + 2) ยท 4) โˆˆ โ„ค)
3322, 28zmulcld 12688 . . . . 5 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 2)) โ†’ (3 ยท 2) โˆˆ โ„ค)
3416a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ 4 โˆˆ โ„•0)
35 id 22 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
3634, 35nn0expcld 14226 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (4โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„•0)
3736nn0zd 12600 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (4โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„ค)
3837adantr 480 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 2)) โ†’ (4โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„ค)
3938, 28zaddcld 12686 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 2)) โ†’ ((4โ†‘๐‘›) + 2) โˆˆ โ„ค)
40 simpr 484 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 2)) โ†’ 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 2))
4122, 39, 31, 40dvdsmultr1d 16259 . . . . 5 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 2)) โ†’ 3 โˆฅ (((4โ†‘๐‘›) + 2) ยท 4))
42 dvdsmul1 16240 . . . . . . 7 ((3 โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ 3 โˆฅ (3 ยท 2))
4313, 27, 42mp2an 691 . . . . . 6 3 โˆฅ (3 ยท 2)
4443a1i 11 . . . . 5 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 2)) โ†’ 3 โˆฅ (3 ยท 2))
4522, 32, 33, 41, 44dvds2subd 16255 . . . 4 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 2)) โ†’ 3 โˆฅ ((((4โ†‘๐‘›) + 2) ยท 4) โˆ’ (3 ยท 2)))
4636nn0cnd 12550 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (4โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„‚)
47 2cnd 12306 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
48 4cn 12313 . . . . . . . . 9 4 โˆˆ โ„‚
4948a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ 4 โˆˆ โ„‚)
5046, 47, 49adddird 11255 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (((4โ†‘๐‘›) + 2) ยท 4) = (((4โ†‘๐‘›) ยท 4) + (2 ยท 4)))
5150oveq1d 7429 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((((4โ†‘๐‘›) + 2) ยท 4) โˆ’ (2 ยท 3)) = ((((4โ†‘๐‘›) ยท 4) + (2 ยท 4)) โˆ’ (2 ยท 3)))
52 3cn 12309 . . . . . . . . 9 3 โˆˆ โ„‚
53 2cn 12303 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„‚
5452, 53mulcomi 11238 . . . . . . . 8 (3 ยท 2) = (2 ยท 3)
5554a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (3 ยท 2) = (2 ยท 3))
5655oveq2d 7430 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((((4โ†‘๐‘›) + 2) ยท 4) โˆ’ (3 ยท 2)) = ((((4โ†‘๐‘›) + 2) ยท 4) โˆ’ (2 ยท 3)))
5749, 35expp1d 14129 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (4โ†‘(๐‘› + 1)) = ((4โ†‘๐‘›) ยท 4))
58 ax-1cn 11182 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ โ„‚
59 3p1e4 12373 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 + 1) = 4
6052, 58, 59addcomli 11422 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 3) = 4
6160eqcomi 2736 . . . . . . . . . . . 12 4 = (1 + 3)
6258, 52, 61mvrraddi 11493 . . . . . . . . . . 11 (4 โˆ’ 3) = 1
6362oveq2i 7425 . . . . . . . . . 10 (2 ยท (4 โˆ’ 3)) = (2 ยท 1)
6453, 48, 52subdii 11679 . . . . . . . . . 10 (2 ยท (4 โˆ’ 3)) = ((2 ยท 4) โˆ’ (2 ยท 3))
65 2t1e2 12391 . . . . . . . . . 10 (2 ยท 1) = 2
6663, 64, 653eqtr3ri 2764 . . . . . . . . 9 2 = ((2 ยท 4) โˆ’ (2 ยท 3))
6766a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 = ((2 ยท 4) โˆ’ (2 ยท 3)))
6857, 67oveq12d 7432 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((4โ†‘(๐‘› + 1)) + 2) = (((4โ†‘๐‘›) ยท 4) + ((2 ยท 4) โˆ’ (2 ยท 3))))
6946, 49mulcld 11250 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((4โ†‘๐‘›) ยท 4) โˆˆ โ„‚)
7047, 49mulcld 11250 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท 4) โˆˆ โ„‚)
7152a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ 3 โˆˆ โ„‚)
7247, 71mulcld 11250 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท 3) โˆˆ โ„‚)
7369, 70, 72addsubassd 11607 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((((4โ†‘๐‘›) ยท 4) + (2 ยท 4)) โˆ’ (2 ยท 3)) = (((4โ†‘๐‘›) ยท 4) + ((2 ยท 4) โˆ’ (2 ยท 3))))
7468, 73eqtr4d 2770 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((4โ†‘(๐‘› + 1)) + 2) = ((((4โ†‘๐‘›) ยท 4) + (2 ยท 4)) โˆ’ (2 ยท 3)))
7551, 56, 743eqtr4rd 2778 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((4โ†‘(๐‘› + 1)) + 2) = ((((4โ†‘๐‘›) + 2) ยท 4) โˆ’ (3 ยท 2)))
7675adantr 480 . . . 4 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 2)) โ†’ ((4โ†‘(๐‘› + 1)) + 2) = ((((4โ†‘๐‘›) + 2) ยท 4) โˆ’ (3 ยท 2)))
7745, 76breqtrrd 5170 . . 3 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 2)) โ†’ 3 โˆฅ ((4โ†‘(๐‘› + 1)) + 2))
7877ex 412 . 2 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 2) โ†’ 3 โˆฅ ((4โ†‘(๐‘› + 1)) + 2)))
793, 6, 9, 12, 21, 78nn0ind 12673 1 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘) + 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11122  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   ยท cmul 11129   โˆ’ cmin 11460  2c2 12283  3c3 12284  4c4 12285  โ„•0cn0 12488  โ„คcz 12574  โ†‘cexp 14044   โˆฅ cdvds 16216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-seq 13985  df-exp 14045  df-dvds 16217
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator