MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-ind-dvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-ind-dvds 29447
Description: Example of a proof by induction (divisibility result). (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.) (Revised by BJ, 24-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
ex-ind-dvds (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘) + 2))

Proof of Theorem ex-ind-dvds
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7370 . . . 4 (๐‘˜ = 0 โ†’ (4โ†‘๐‘˜) = (4โ†‘0))
21oveq1d 7377 . . 3 (๐‘˜ = 0 โ†’ ((4โ†‘๐‘˜) + 2) = ((4โ†‘0) + 2))
32breq2d 5122 . 2 (๐‘˜ = 0 โ†’ (3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘˜) + 2) โ†” 3 โˆฅ ((4โ†‘0) + 2)))
4 oveq2 7370 . . . 4 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (4โ†‘๐‘˜) = (4โ†‘๐‘›))
54oveq1d 7377 . . 3 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ ((4โ†‘๐‘˜) + 2) = ((4โ†‘๐‘›) + 2))
65breq2d 5122 . 2 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘˜) + 2) โ†” 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 2)))
7 oveq2 7370 . . . 4 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ (4โ†‘๐‘˜) = (4โ†‘(๐‘› + 1)))
87oveq1d 7377 . . 3 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ ((4โ†‘๐‘˜) + 2) = ((4โ†‘(๐‘› + 1)) + 2))
98breq2d 5122 . 2 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ (3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘˜) + 2) โ†” 3 โˆฅ ((4โ†‘(๐‘› + 1)) + 2)))
10 oveq2 7370 . . . 4 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (4โ†‘๐‘˜) = (4โ†‘๐‘))
1110oveq1d 7377 . . 3 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ ((4โ†‘๐‘˜) + 2) = ((4โ†‘๐‘) + 2))
1211breq2d 5122 . 2 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘˜) + 2) โ†” 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘) + 2)))
13 3z 12543 . . . 4 3 โˆˆ โ„ค
14 iddvds 16159 . . . 4 (3 โˆˆ โ„ค โ†’ 3 โˆฅ 3)
1513, 14ax-mp 5 . . 3 3 โˆฅ 3
16 4nn0 12439 . . . . . 6 4 โˆˆ โ„•0
1716numexp0 16955 . . . . 5 (4โ†‘0) = 1
1817oveq1i 7372 . . . 4 ((4โ†‘0) + 2) = (1 + 2)
19 1p2e3 12303 . . . 4 (1 + 2) = 3
2018, 19eqtri 2765 . . 3 ((4โ†‘0) + 2) = 3
2115, 20breqtrri 5137 . 2 3 โˆฅ ((4โ†‘0) + 2)
2213a1i 11 . . . . 5 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 2)) โ†’ 3 โˆˆ โ„ค)
2316a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 2)) โ†’ 4 โˆˆ โ„•0)
24 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 2)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
2523, 24nn0expcld 14156 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 2)) โ†’ (4โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„•0)
2625nn0zd 12532 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 2)) โ†’ (4โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„ค)
27 2z 12542 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„ค
2827a1i 11 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 2)) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
2926, 28zaddcld 12618 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 2)) โ†’ ((4โ†‘๐‘›) + 2) โˆˆ โ„ค)
30 4z 12544 . . . . . . 7 4 โˆˆ โ„ค
3130a1i 11 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 2)) โ†’ 4 โˆˆ โ„ค)
3229, 31zmulcld 12620 . . . . 5 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 2)) โ†’ (((4โ†‘๐‘›) + 2) ยท 4) โˆˆ โ„ค)
3322, 28zmulcld 12620 . . . . 5 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 2)) โ†’ (3 ยท 2) โˆˆ โ„ค)
3416a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ 4 โˆˆ โ„•0)
35 id 22 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
3634, 35nn0expcld 14156 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (4โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„•0)
3736nn0zd 12532 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (4โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„ค)
3837adantr 482 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 2)) โ†’ (4โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„ค)
3938, 28zaddcld 12618 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 2)) โ†’ ((4โ†‘๐‘›) + 2) โˆˆ โ„ค)
40 simpr 486 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 2)) โ†’ 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 2))
4122, 39, 31, 40dvdsmultr1d 16186 . . . . 5 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 2)) โ†’ 3 โˆฅ (((4โ†‘๐‘›) + 2) ยท 4))
42 dvdsmul1 16167 . . . . . . 7 ((3 โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ 3 โˆฅ (3 ยท 2))
4313, 27, 42mp2an 691 . . . . . 6 3 โˆฅ (3 ยท 2)
4443a1i 11 . . . . 5 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 2)) โ†’ 3 โˆฅ (3 ยท 2))
4522, 32, 33, 41, 44dvds2subd 16182 . . . 4 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 2)) โ†’ 3 โˆฅ ((((4โ†‘๐‘›) + 2) ยท 4) โˆ’ (3 ยท 2)))
4636nn0cnd 12482 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (4โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„‚)
47 2cnd 12238 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
48 4cn 12245 . . . . . . . . 9 4 โˆˆ โ„‚
4948a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ 4 โˆˆ โ„‚)
5046, 47, 49adddird 11187 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (((4โ†‘๐‘›) + 2) ยท 4) = (((4โ†‘๐‘›) ยท 4) + (2 ยท 4)))
5150oveq1d 7377 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((((4โ†‘๐‘›) + 2) ยท 4) โˆ’ (2 ยท 3)) = ((((4โ†‘๐‘›) ยท 4) + (2 ยท 4)) โˆ’ (2 ยท 3)))
52 3cn 12241 . . . . . . . . 9 3 โˆˆ โ„‚
53 2cn 12235 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„‚
5452, 53mulcomi 11170 . . . . . . . 8 (3 ยท 2) = (2 ยท 3)
5554a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (3 ยท 2) = (2 ยท 3))
5655oveq2d 7378 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((((4โ†‘๐‘›) + 2) ยท 4) โˆ’ (3 ยท 2)) = ((((4โ†‘๐‘›) + 2) ยท 4) โˆ’ (2 ยท 3)))
5749, 35expp1d 14059 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (4โ†‘(๐‘› + 1)) = ((4โ†‘๐‘›) ยท 4))
58 ax-1cn 11116 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ โ„‚
59 3p1e4 12305 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 + 1) = 4
6052, 58, 59addcomli 11354 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 3) = 4
6160eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . 12 4 = (1 + 3)
6258, 52, 61mvrraddi 11425 . . . . . . . . . . 11 (4 โˆ’ 3) = 1
6362oveq2i 7373 . . . . . . . . . 10 (2 ยท (4 โˆ’ 3)) = (2 ยท 1)
6453, 48, 52subdii 11611 . . . . . . . . . 10 (2 ยท (4 โˆ’ 3)) = ((2 ยท 4) โˆ’ (2 ยท 3))
65 2t1e2 12323 . . . . . . . . . 10 (2 ยท 1) = 2
6663, 64, 653eqtr3ri 2774 . . . . . . . . 9 2 = ((2 ยท 4) โˆ’ (2 ยท 3))
6766a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 = ((2 ยท 4) โˆ’ (2 ยท 3)))
6857, 67oveq12d 7380 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((4โ†‘(๐‘› + 1)) + 2) = (((4โ†‘๐‘›) ยท 4) + ((2 ยท 4) โˆ’ (2 ยท 3))))
6946, 49mulcld 11182 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((4โ†‘๐‘›) ยท 4) โˆˆ โ„‚)
7047, 49mulcld 11182 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท 4) โˆˆ โ„‚)
7152a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ 3 โˆˆ โ„‚)
7247, 71mulcld 11182 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท 3) โˆˆ โ„‚)
7369, 70, 72addsubassd 11539 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((((4โ†‘๐‘›) ยท 4) + (2 ยท 4)) โˆ’ (2 ยท 3)) = (((4โ†‘๐‘›) ยท 4) + ((2 ยท 4) โˆ’ (2 ยท 3))))
7468, 73eqtr4d 2780 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((4โ†‘(๐‘› + 1)) + 2) = ((((4โ†‘๐‘›) ยท 4) + (2 ยท 4)) โˆ’ (2 ยท 3)))
7551, 56, 743eqtr4rd 2788 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((4โ†‘(๐‘› + 1)) + 2) = ((((4โ†‘๐‘›) + 2) ยท 4) โˆ’ (3 ยท 2)))
7675adantr 482 . . . 4 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 2)) โ†’ ((4โ†‘(๐‘› + 1)) + 2) = ((((4โ†‘๐‘›) + 2) ยท 4) โˆ’ (3 ยท 2)))
7745, 76breqtrrd 5138 . . 3 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 2)) โ†’ 3 โˆฅ ((4โ†‘(๐‘› + 1)) + 2))
7877ex 414 . 2 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘›) + 2) โ†’ 3 โˆฅ ((4โ†‘(๐‘› + 1)) + 2)))
793, 6, 9, 12, 21, 78nn0ind 12605 1 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 3 โˆฅ ((4โ†‘๐‘) + 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  โ†‘cexp 13974   โˆฅ cdvds 16143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-seq 13914  df-exp 13975  df-dvds 16144
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator