Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itcovalt2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itcovalt2lem1 47856
Description: Lemma 1 for itcovalt2 47858: induction basis. (Contributed by AV, 5-May-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
itcovalt2.f 𝐹 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· 𝑛) + 𝐢))
Assertion
Ref Expression
itcovalt2lem1 (𝐢 ∈ β„•0 β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜0) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((𝑛 + 𝐢) Β· (2↑0)) βˆ’ 𝐢)))
Distinct variable group:   𝐢,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem itcovalt2lem1
StepHypRef Expression
1 nn0ex 12503 . . . 4 β„•0 ∈ V
2 ovexd 7448 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((2 Β· 𝑛) + 𝐢) ∈ V)
32rgen 3053 . . . 4 βˆ€π‘› ∈ β„•0 ((2 Β· 𝑛) + 𝐢) ∈ V
41, 3pm3.2i 469 . . 3 (β„•0 ∈ V ∧ βˆ€π‘› ∈ β„•0 ((2 Β· 𝑛) + 𝐢) ∈ V)
5 itcovalt2.f . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· 𝑛) + 𝐢))
65itcoval0mpt 47847 . . 3 ((β„•0 ∈ V ∧ βˆ€π‘› ∈ β„•0 ((2 Β· 𝑛) + 𝐢) ∈ V) β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜0) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
74, 6mp1i 13 . 2 (𝐢 ∈ β„•0 β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜0) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
8 simpr 483 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
98nn0cnd 12559 . . . . 5 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
10 simpl 481 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝐢 ∈ β„•0)
1110nn0cnd 12559 . . . . 5 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
12 2nn0 12514 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„•0
1312numexp0 17039 . . . . . . . 8 (2↑0) = 1
1413a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2↑0) = 1)
1514oveq2d 7429 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 + 𝐢) Β· (2↑0)) = ((𝑛 + 𝐢) Β· 1))
168, 10nn0addcld 12561 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑛 + 𝐢) ∈ β„•0)
1716nn0cnd 12559 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑛 + 𝐢) ∈ β„‚)
1817mulridd 11256 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 + 𝐢) Β· 1) = (𝑛 + 𝐢))
1915, 18eqtrd 2765 . . . . 5 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 + 𝐢) Β· (2↑0)) = (𝑛 + 𝐢))
209, 11, 19mvrraddd 11651 . . . 4 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (((𝑛 + 𝐢) Β· (2↑0)) βˆ’ 𝐢) = 𝑛)
2120eqcomd 2731 . . 3 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑛 = (((𝑛 + 𝐢) Β· (2↑0)) βˆ’ 𝐢))
2221mpteq2dva 5244 . 2 (𝐢 ∈ β„•0 β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ 𝑛) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((𝑛 + 𝐢) Β· (2↑0)) βˆ’ 𝐢)))
237, 22eqtrd 2765 1 (𝐢 ∈ β„•0 β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜0) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((𝑛 + 𝐢) Β· (2↑0)) βˆ’ 𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  Vcvv 3463   ↦ cmpt 5227  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   Β· cmul 11138   βˆ’ cmin 11469  2c2 12292  β„•0cn0 12497  β†‘cexp 14053  IterCompcitco 47838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-seq 13994  df-exp 14054  df-itco 47840
This theorem is referenced by:  itcovalt2  47858
  Copyright terms: Public domain W3C validator