Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itcovalt2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itcovalt2lem1 47661
Description: Lemma 1 for itcovalt2 47663: induction basis. (Contributed by AV, 5-May-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
itcovalt2.f 𝐹 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· 𝑛) + 𝐢))
Assertion
Ref Expression
itcovalt2lem1 (𝐢 ∈ β„•0 β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜0) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((𝑛 + 𝐢) Β· (2↑0)) βˆ’ 𝐢)))
Distinct variable group:   𝐢,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem itcovalt2lem1
StepHypRef Expression
1 nn0ex 12494 . . . 4 β„•0 ∈ V
2 ovexd 7449 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((2 Β· 𝑛) + 𝐢) ∈ V)
32rgen 3058 . . . 4 βˆ€π‘› ∈ β„•0 ((2 Β· 𝑛) + 𝐢) ∈ V
41, 3pm3.2i 470 . . 3 (β„•0 ∈ V ∧ βˆ€π‘› ∈ β„•0 ((2 Β· 𝑛) + 𝐢) ∈ V)
5 itcovalt2.f . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· 𝑛) + 𝐢))
65itcoval0mpt 47652 . . 3 ((β„•0 ∈ V ∧ βˆ€π‘› ∈ β„•0 ((2 Β· 𝑛) + 𝐢) ∈ V) β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜0) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
74, 6mp1i 13 . 2 (𝐢 ∈ β„•0 β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜0) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
8 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
98nn0cnd 12550 . . . . 5 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
10 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝐢 ∈ β„•0)
1110nn0cnd 12550 . . . . 5 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
12 2nn0 12505 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„•0
1312numexp0 17030 . . . . . . . 8 (2↑0) = 1
1413a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2↑0) = 1)
1514oveq2d 7430 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 + 𝐢) Β· (2↑0)) = ((𝑛 + 𝐢) Β· 1))
168, 10nn0addcld 12552 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑛 + 𝐢) ∈ β„•0)
1716nn0cnd 12550 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑛 + 𝐢) ∈ β„‚)
1817mulridd 11247 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 + 𝐢) Β· 1) = (𝑛 + 𝐢))
1915, 18eqtrd 2767 . . . . 5 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 + 𝐢) Β· (2↑0)) = (𝑛 + 𝐢))
209, 11, 19mvrraddd 11642 . . . 4 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (((𝑛 + 𝐢) Β· (2↑0)) βˆ’ 𝐢) = 𝑛)
2120eqcomd 2733 . . 3 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑛 = (((𝑛 + 𝐢) Β· (2↑0)) βˆ’ 𝐢))
2221mpteq2dva 5242 . 2 (𝐢 ∈ β„•0 β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ 𝑛) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((𝑛 + 𝐢) Β· (2↑0)) βˆ’ 𝐢)))
237, 22eqtrd 2767 1 (𝐢 ∈ β„•0 β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜0) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((𝑛 + 𝐢) Β· (2↑0)) βˆ’ 𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  Vcvv 3469   ↦ cmpt 5225  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   Β· cmul 11129   βˆ’ cmin 11460  2c2 12283  β„•0cn0 12488  β†‘cexp 14044  IterCompcitco 47643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-seq 13985  df-exp 14045  df-itco 47645
This theorem is referenced by:  itcovalt2  47663
  Copyright terms: Public domain W3C validator