Theorem itcovalt2lem1 48863

Description: Lemma 1 for itcovalt2 48865: induction basis. (Contributed by AV, 5-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
itcovalt2.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
itcovalt2lem1	⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘𝐹)‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑0)) − 𝐶)))

Distinct variable group:   𝐶,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem itcovalt2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ex 12405	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
2		ovexd 7391	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 𝐶) ∈ V)
3	2	rgen 3051	. . . 4 ⊢ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 𝐶) ∈ V
4	1, 3	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (ℕ0 ∈ V ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 𝐶) ∈ V)
5		itcovalt2.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 𝐶))
6	5	itcoval0mpt 48854	. . 3 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 𝐶) ∈ V) → ((IterComp‘𝐹)‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
7	4, 6	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘𝐹)‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
8		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
9	8	nn0cnd 12462	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℂ)
10		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℕ0)
11	10	nn0cnd 12462	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
12		2nn0 12416	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
13	12	numexp0 17001	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑0) = 1
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑0) = 1)
15	14	oveq2d 7372	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 + 𝐶) · (2↑0)) = ((𝑛 + 𝐶) · 1))
16	8, 10	nn0addcld 12464	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 + 𝐶) ∈ ℕ0)
17	16	nn0cnd 12462	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 + 𝐶) ∈ ℂ)
18	17	mulridd 11147	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 + 𝐶) · 1) = (𝑛 + 𝐶))
19	15, 18	eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 + 𝐶) · (2↑0)) = (𝑛 + 𝐶))
20	9, 11, 19	mvrraddd 11547	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑛 + 𝐶) · (2↑0)) − 𝐶) = 𝑛)
21	20	eqcomd 2740	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 = (((𝑛 + 𝐶) · (2↑0)) − 𝐶))
22	21	mpteq2dva 5189	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑0)) − 𝐶)))
23	7, 22	eqtrd 2769	1 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘𝐹)‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑0)) − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  Vcvv 3438   ↦ cmpt 5177  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  0cc0 11024  1c1 11025   + caddc 11027   · cmul 11029   − cmin 11362  2c2 12198  ℕ₀cn0 12399  ↑cexp 13982  IterCompcitco 48845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-seq 13923  df-exp 13983  df-itco 48847

This theorem is referenced by:  itcovalt2  48865