Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itcovalt2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itcovalt2lem1 45130
 Description: Lemma 1 for itcovalt2 45132: induction basis. (Contributed by AV, 5-May-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
itcovalt2.f 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 𝐶))
Assertion
Ref Expression
itcovalt2lem1 (𝐶 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘𝐹)‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑0)) − 𝐶)))
Distinct variable group:   𝐶,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem itcovalt2lem1
StepHypRef Expression
1 nn0ex 11894 . . . 4 0 ∈ V
2 ovexd 7171 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 𝐶) ∈ V)
32rgen 3116 . . . 4 𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 𝐶) ∈ V
41, 3pm3.2i 474 . . 3 (ℕ0 ∈ V ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 𝐶) ∈ V)
5 itcovalt2.f . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 𝐶))
65itcoval0mpt 45121 . . 3 ((ℕ0 ∈ V ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 𝐶) ∈ V) → ((IterComp‘𝐹)‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0𝑛))
74, 6mp1i 13 . 2 (𝐶 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘𝐹)‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0𝑛))
8 simpr 488 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
98nn0cnd 11948 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℂ)
10 simpl 486 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℕ0)
1110nn0cnd 11948 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
12 2nn0 11905 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
1312numexp0 16405 . . . . . . . 8 (2↑0) = 1
1413a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑0) = 1)
1514oveq2d 7152 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 + 𝐶) · (2↑0)) = ((𝑛 + 𝐶) · 1))
168, 10nn0addcld 11950 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 + 𝐶) ∈ ℕ0)
1716nn0cnd 11948 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 + 𝐶) ∈ ℂ)
1817mulid1d 10650 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 + 𝐶) · 1) = (𝑛 + 𝐶))
1915, 18eqtrd 2833 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 + 𝐶) · (2↑0)) = (𝑛 + 𝐶))
209, 11, 19mvrraddd 11044 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑛 + 𝐶) · (2↑0)) − 𝐶) = 𝑛)
2120eqcomd 2804 . . 3 ((𝐶 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 = (((𝑛 + 𝐶) · (2↑0)) − 𝐶))
2221mpteq2dva 5126 . 2 (𝐶 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℕ0𝑛) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑0)) − 𝐶)))
237, 22eqtrd 2833 1 (𝐶 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘𝐹)‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑0)) − 𝐶)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  Vcvv 3441   ↦ cmpt 5111  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534   − cmin 10862  2c2 11683  ℕ0cn0 11888  ↑cexp 13428  IterCompcitco 45112 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-inf2 9091  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-2 11691  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-seq 13368  df-exp 13429  df-itco 45114 This theorem is referenced by:  itcovalt2  45132
 Copyright terms: Public domain W3C validator