Theorem itcovalt2lem1 49475

Description: Lemma 1 for itcovalt2 49477: induction basis. (Contributed by AV, 5-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
itcovalt2.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
itcovalt2lem1	⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘𝐹)‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑0)) − 𝐶)))

Distinct variable group:   𝐶,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem itcovalt2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ex 12505	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
2		ovexd 7445	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 𝐶) ∈ V)
3	2	rgen 3081	. . . 4 ⊢ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 𝐶) ∈ V
4	1, 3	pm3.2i 475	. . 3 ⊢ (ℕ0 ∈ V ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 𝐶) ∈ V)
5		itcovalt2.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 𝐶))
6	5	itcoval0mpt 49466	. . 3 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 𝐶) ∈ V) → ((IterComp‘𝐹)‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
7	4, 6	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘𝐹)‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
8		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
9	8	nn0cnd 12562	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℂ)
10		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℕ0)
11	10	nn0cnd 12562	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
12		2nn0 12516	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
13	12	numexp0 17130	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑0) = 1
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑0) = 1)
15	14	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 + 𝐶) · (2↑0)) = ((𝑛 + 𝐶) · 1))
16	8, 10	nn0addcld 12564	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 + 𝐶) ∈ ℕ0)
17	16	nn0cnd 12562	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 + 𝐶) ∈ ℂ)
18	17	mulridd 11221	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 + 𝐶) · 1) = (𝑛 + 𝐶))
19	15, 18	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 + 𝐶) · (2↑0)) = (𝑛 + 𝐶))
20	9, 11, 19	mvrraddd 11621	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑛 + 𝐶) · (2↑0)) − 𝐶) = 𝑛)
21	20	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 = (((𝑛 + 𝐶) · (2↑0)) − 𝐶))
22	21	mpteq2dva 5204	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑0)) − 𝐶)))
23	7, 22	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘𝐹)‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑0)) − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  Vcvv 3455   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   · cmul 11100   − cmin 11436  2c2 12290  ℕ₀cn0 12499  ↑cexp 14093  IterCompcitco 49457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-seq 14034  df-exp 14094  df-itco 49459

This theorem is referenced by:  itcovalt2  49477