Theorem itcovalt2lem1 48542

Description: Lemma 1 for itcovalt2 48544: induction basis. (Contributed by AV, 5-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
itcovalt2.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
itcovalt2lem1	⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘𝐹)‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑0)) − 𝐶)))

Distinct variable group:   𝐶,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem itcovalt2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ex 12516	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
2		ovexd 7449	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 𝐶) ∈ V)
3	2	rgen 3052	. . . 4 ⊢ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 𝐶) ∈ V
4	1, 3	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (ℕ0 ∈ V ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 𝐶) ∈ V)
5		itcovalt2.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 𝐶))
6	5	itcoval0mpt 48533	. . 3 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 𝐶) ∈ V) → ((IterComp‘𝐹)‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
7	4, 6	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘𝐹)‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
8		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
9	8	nn0cnd 12573	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℂ)
10		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℕ0)
11	10	nn0cnd 12573	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
12		2nn0 12527	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
13	12	numexp0 17096	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑0) = 1
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑0) = 1)
15	14	oveq2d 7430	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 + 𝐶) · (2↑0)) = ((𝑛 + 𝐶) · 1))
16	8, 10	nn0addcld 12575	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 + 𝐶) ∈ ℕ0)
17	16	nn0cnd 12573	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 + 𝐶) ∈ ℂ)
18	17	mulridd 11261	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 + 𝐶) · 1) = (𝑛 + 𝐶))
19	15, 18	eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 + 𝐶) · (2↑0)) = (𝑛 + 𝐶))
20	9, 11, 19	mvrraddd 11658	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑛 + 𝐶) · (2↑0)) − 𝐶) = 𝑛)
21	20	eqcomd 2740	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 = (((𝑛 + 𝐶) · (2↑0)) − 𝐶))
22	21	mpteq2dva 5224	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑0)) − 𝐶)))
23	7, 22	eqtrd 2769	1 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘𝐹)‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑0)) − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3050  Vcvv 3464   ↦ cmpt 5207  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   · cmul 11143   − cmin 11475  2c2 12304  ℕ₀cn0 12510  ↑cexp 14085  IterCompcitco 48524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-er 8728  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12250  df-2 12312  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12862  df-seq 14026  df-exp 14086  df-itco 48526

This theorem is referenced by:  itcovalt2  48544