Theorem itcovalt2lem1 49929

Description: Lemma 1 for itcovalt2 49931: induction basis. (Contributed by AV, 5-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
itcovalt2.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
itcovalt2lem1	⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘𝐹)‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑0)) − 𝐶)))

Distinct variable group:   𝐶,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem itcovalt2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ex 12625	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
2		ovexd 7465	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 𝐶) ∈ V)
3	2	rgen 3082	. . . 4 ⊢ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 𝐶) ∈ V
4	1, 3	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ (ℕ0 ∈ V ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 𝐶) ∈ V)
5		itcovalt2.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 𝐶))
6	5	itcoval0mpt 49920	. . 3 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 𝐶) ∈ V) → ((IterComp‘𝐹)‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
7	4, 6	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘𝐹)‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
8		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
9	8	nn0cnd 12682	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℂ)
10		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℕ0)
11	10	nn0cnd 12682	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
12		2nn0 12636	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
13	12	numexp0 17268	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑0) = 1
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑0) = 1)
15	14	oveq2d 7446	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 + 𝐶) · (2↑0)) = ((𝑛 + 𝐶) · 1))
16	8, 10	nn0addcld 12684	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 + 𝐶) ∈ ℕ0)
17	16	nn0cnd 12682	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 + 𝐶) ∈ ℂ)
18	17	mulridd 11339	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 + 𝐶) · 1) = (𝑛 + 𝐶))
19	15, 18	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 + 𝐶) · (2↑0)) = (𝑛 + 𝐶))
20	9, 11, 19	mvrraddd 11740	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑛 + 𝐶) · (2↑0)) − 𝐶) = 𝑛)
21	20	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 = (((𝑛 + 𝐶) · (2↑0)) − 𝐶))
22	21	mpteq2dva 5201	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑0)) − 𝐶)))
23	7, 22	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘𝐹)‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑0)) − 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∀wral 3080  Vcvv 3454   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  0cc0 11213  1c1 11214   + caddc 11216   · cmul 11218   − cmin 11554  2c2 12410  ℕ₀cn0 12619  ↑cexp 14217  IterCompcitco 49911

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-inf2 9655  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-seq 14158  df-exp 14218  df-itco 49913

This theorem is used by:  itcovalt2  49931