Theorem nvmtri 30641

Description: Triangle inequality for the norm of a vector difference. (Contributed by NM, 27-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvmtri.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvmtri.3	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
nvmtri.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvmtri	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘𝐵)))

Proof of Theorem nvmtri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12102	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		nvmtri.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
4	2, 3	nvscl 30596	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋)
5	1, 4	mp3an2 1451	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋)
6	5	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋)
7		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
8		nvmtri.6	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
9	2, 7, 8	nvtri 30640	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵))) ≤ ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵))))
10	6, 9	syld3an3 1411	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵))) ≤ ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵))))
11		nvmtri.3	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
12	2, 7, 3, 11	nvmval 30612	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
13	12	fveq2d 6821	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝐵)) = (𝑁‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵))))
14	2, 3, 8	nvs 30633	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)) = ((abs‘-1) · (𝑁‘𝐵)))
15	1, 14	mp3an2 1451	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)) = ((abs‘-1) · (𝑁‘𝐵)))
16		ax-1cn 11056	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
17	16	absnegi 15300	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘-1) = (abs‘1)
18		abs1 15196	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘1) = 1
19	17, 18	eqtri 2753	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘-1) = 1
20	19	oveq1i 7351	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘-1) · (𝑁‘𝐵)) = (1 · (𝑁‘𝐵))
21	2, 8	nvcl 30631	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐵) ∈ ℝ)
22	21	recnd 11132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐵) ∈ ℂ)
23	22	mullidd 11122	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (1 · (𝑁‘𝐵)) = (𝑁‘𝐵))
24	20, 23	eqtrid 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((abs‘-1) · (𝑁‘𝐵)) = (𝑁‘𝐵))
25	15, 24	eqtr2d 2766	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐵) = (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
26	25	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐵) = (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
27	26	oveq2d 7357	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘𝐵)) = ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵))))
28	10, 13, 27	3brtr4d 5121	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5089  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  ℂcc 10996  1c1 10999   + caddc 11001   · cmul 11003   ≤ cle 11139  -cneg 11337  abscabs 15133  NrmCVeccnv 30554   +_𝑣 cpv 30555  BaseSetcba 30556   ·_𝑠OLD cns 30557   −_𝑣 cnsb 30559  norm_CVcnmcv 30560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-rp 12883  df-seq 13901  df-exp 13961  df-cj 14998  df-re 14999  df-im 15000  df-sqrt 15134  df-abs 15135  df-grpo 30463  df-gid 30464  df-ginv 30465  df-gdiv 30466  df-ablo 30515  df-vc 30529  df-nv 30562  df-va 30565  df-ba 30566  df-sm 30567  df-0v 30568  df-vs 30569  df-nmcv 30570

This theorem is referenced by:  ubthlem2  30841