MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvmtri Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nvmtri 29710
Description: Triangle inequality for the norm of a vector difference. (Contributed by NM, 27-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvmtri.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
nvmtri.3 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
nvmtri.6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
nvmtri ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝐡)) ≀ ((π‘β€˜π΄) + (π‘β€˜π΅)))
Proof of Theorem nvmtri
StepHypRef Expression
1 neg1cn 12291 . . . . 5 -1 ∈ β„‚
2 nvmtri.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
3 eqid 2731 . . . . . 6 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
42, 3nvscl 29665 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡) ∈ 𝑋)
51, 4mp3an2 1449 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡) ∈ 𝑋)
653adant2 1131 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡) ∈ 𝑋)
7 eqid 2731 . . . 4 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
8 nvmtri.6 . . . 4 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
92, 7, 8nvtri 29709 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡))) ≀ ((π‘β€˜π΄) + (π‘β€˜(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡))))
106, 9syld3an3 1409 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡))) ≀ ((π‘β€˜π΄) + (π‘β€˜(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡))))
11 nvmtri.3 . . . 4 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
122, 7, 3, 11nvmval 29681 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑀𝐡) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))
1312fveq2d 6866 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝐡)) = (π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡))))
142, 3, 8nvs 29702 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)) = ((absβ€˜-1) Β· (π‘β€˜π΅)))
151, 14mp3an2 1449 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)) = ((absβ€˜-1) Β· (π‘β€˜π΅)))
16 ax-1cn 11133 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„‚
1716absnegi 15312 . . . . . . . 8 (absβ€˜-1) = (absβ€˜1)
18 abs1 15209 . . . . . . . 8 (absβ€˜1) = 1
1917, 18eqtri 2759 . . . . . . 7 (absβ€˜-1) = 1
2019oveq1i 7387 . . . . . 6 ((absβ€˜-1) Β· (π‘β€˜π΅)) = (1 Β· (π‘β€˜π΅))
212, 8nvcl 29700 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π΅) ∈ ℝ)
2221recnd 11207 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π΅) ∈ β„‚)
2322mullidd 11197 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (1 Β· (π‘β€˜π΅)) = (π‘β€˜π΅))
2420, 23eqtrid 2783 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((absβ€˜-1) Β· (π‘β€˜π΅)) = (π‘β€˜π΅))
2515, 24eqtr2d 2772 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π΅) = (π‘β€˜(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))
26253adant2 1131 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π΅) = (π‘β€˜(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))
2726oveq2d 7393 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜π΄) + (π‘β€˜π΅)) = ((π‘β€˜π΄) + (π‘β€˜(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡))))
2810, 13, 273brtr4d 5157 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝐡)) ≀ ((π‘β€˜π΄) + (π‘β€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5125  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377  β„‚cc 11073  1c1 11076   + caddc 11078   Β· cmul 11080   ≀ cle 11214  -cneg 11410  abscabs 15146  NrmCVeccnv 29623   +𝑣 cpv 29624  BaseSetcba 29625   ·𝑠OLD cns 29626   βˆ’π‘£ cnsb 29628  normCVcnmcv 29629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-sup 9402  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11837  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-rp 12940  df-seq 13932  df-exp 13993  df-cj 15011  df-re 15012  df-im 15013  df-sqrt 15147  df-abs 15148  df-grpo 29532  df-gid 29533  df-ginv 29534  df-gdiv 29535  df-ablo 29584  df-vc 29598  df-nv 29631  df-va 29634  df-ba 29635  df-sm 29636  df-0v 29637  df-vs 29638  df-nmcv 29639
This theorem is referenced by:  ubthlem2  29910
  Copyright terms: Public domain W3C validator