Theorem nvmtri 31060

Description: Triangle inequality for the norm of a vector difference. (Contributed by NM, 27-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvmtri.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvmtri.3	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
nvmtri.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvmtri	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘𝐵)))

Proof of Theorem nvmtri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12221	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		nvmtri.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
4	2, 3	nvscl 31015	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋)
5	1, 4	mp3an2 1478	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋)
6	5	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋)
7		eqid 2766	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
8		nvmtri.6	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
9	2, 7, 8	nvtri 31059	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵))) ≤ ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵))))
10	6, 9	syld3an3 1436	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵))) ≤ ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵))))
11		nvmtri.3	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
12	2, 7, 3, 11	nvmval 31031	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
13	12	fveq2d 6892	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝐵)) = (𝑁‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵))))
14	2, 3, 8	nvs 31052	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)) = ((abs‘-1) · (𝑁‘𝐵)))
15	1, 14	mp3an2 1478	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)) = ((abs‘-1) · (𝑁‘𝐵)))
16		ax-1cn 11176	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
17	16	absnegi 15478	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘-1) = (abs‘1)
18		abs1 15374	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘1) = 1
19	17, 18	eqtri 2789	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘-1) = 1
20	19	oveq1i 7433	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘-1) · (𝑁‘𝐵)) = (1 · (𝑁‘𝐵))
21	2, 8	nvcl 31050	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐵) ∈ ℝ)
22	21	recnd 11255	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐵) ∈ ℂ)
23	22	mullidd 11245	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (1 · (𝑁‘𝐵)) = (𝑁‘𝐵))
24	20, 23	eqtrid 2813	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((abs‘-1) · (𝑁‘𝐵)) = (𝑁‘𝐵))
25	15, 24	eqtr2d 2802	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐵) = (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
26	25	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐵) = (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
27	26	oveq2d 7439	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘𝐵)) = ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵))))
28	10, 13, 27	3brtr4d 5148	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123   ≤ cle 11262  -cneg 11460  abscabs 15311  NrmCVeccnv 30973   +_𝑣 cpv 30974  BaseSetcba 30975   ·_𝑠OLD cns 30976   −_𝑣 cnsb 30978  norm_CVcnmcv 30979

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-grpo 30882  df-gid 30883  df-ginv 30884  df-gdiv 30885  df-ablo 30934  df-vc 30948  df-nv 30981  df-va 30984  df-ba 30985  df-sm 30986  df-0v 30987  df-vs 30988  df-nmcv 30989

This theorem is used by:  ubthlem2  31260