MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmounbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmounbi 30606
Description: Two ways two express that an operator is unbounded. (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoubi.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
nmoubi.y π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
nmoubi.l 𝐿 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
nmoubi.m 𝑀 = (normCVβ€˜π‘Š)
nmoubi.3 𝑁 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
nmoubi.u π‘ˆ ∈ NrmCVec
nmoubi.w π‘Š ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmounbi (𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ ((π‘β€˜π‘‡) = +∞ ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘Ÿ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)))))
Distinct variable groups:   𝑦,π‘Ÿ,𝐿   𝑦,π‘ˆ   𝑦,π‘Š   π‘Œ,π‘Ÿ,𝑦   𝑀,π‘Ÿ,𝑦   𝑇,π‘Ÿ,𝑦   𝑋,π‘Ÿ,𝑦   𝑁,π‘Ÿ,𝑦
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(π‘Ÿ)   π‘Š(π‘Ÿ)

Proof of Theorem nmounbi
StepHypRef Expression
1 nmoubi.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 nmoubi.y . . . 4 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
3 nmoubi.l . . . 4 𝐿 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
4 nmoubi.m . . . 4 𝑀 = (normCVβ€˜π‘Š)
5 nmoubi.3 . . . 4 𝑁 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
6 nmoubi.u . . . 4 π‘ˆ ∈ NrmCVec
7 nmoubi.w . . . 4 π‘Š ∈ NrmCVec
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7nmobndi 30605 . . 3 (𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ ((π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ÿ)))
91, 2, 5nmorepnf 30598 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ ((π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ ↔ (π‘β€˜π‘‡) β‰  +∞))
106, 7, 9mp3an12 1447 . . 3 (𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ ((π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ ↔ (π‘β€˜π‘‡) β‰  +∞))
11 ffvelcdm 7096 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‡β€˜π‘¦) ∈ π‘Œ)
122, 4nvcl 30491 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ (π‘‡β€˜π‘¦) ∈ π‘Œ) β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
137, 11, 12sylancr 585 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
14 lenlt 11330 . . . . . . . . . . 11 (((π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ ((π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ÿ ↔ Β¬ π‘Ÿ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦))))
1513, 14sylan 578 . . . . . . . . . 10 (((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ ((π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ÿ ↔ Β¬ π‘Ÿ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦))))
1615an32s 650 . . . . . . . . 9 (((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ÿ ↔ Β¬ π‘Ÿ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦))))
1716imbi2d 339 . . . . . . . 8 (((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ÿ) ↔ ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ Β¬ π‘Ÿ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)))))
18 imnan 398 . . . . . . . 8 (((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ Β¬ π‘Ÿ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦))) ↔ Β¬ ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘Ÿ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦))))
1917, 18bitrdi 286 . . . . . . 7 (((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ÿ) ↔ Β¬ ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘Ÿ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)))))
2019ralbidva 3173 . . . . . 6 ((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ÿ) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 Β¬ ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘Ÿ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)))))
21 ralnex 3069 . . . . . 6 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 Β¬ ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘Ÿ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦))) ↔ Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘Ÿ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦))))
2220, 21bitrdi 286 . . . . 5 ((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ÿ) ↔ Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘Ÿ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)))))
2322rexbidva 3174 . . . 4 (𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ÿ) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘Ÿ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)))))
24 rexnal 3097 . . . 4 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘Ÿ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦))) ↔ Β¬ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘Ÿ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦))))
2523, 24bitrdi 286 . . 3 (𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ÿ) ↔ Β¬ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘Ÿ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)))))
268, 10, 253bitr3d 308 . 2 (𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ ((π‘β€˜π‘‡) β‰  +∞ ↔ Β¬ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘Ÿ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)))))
2726necon4abid 2978 1 (𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ ((π‘β€˜π‘‡) = +∞ ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘Ÿ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   class class class wbr 5152  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„cr 11145  1c1 11147  +∞cpnf 11283   < clt 11286   ≀ cle 11287  NrmCVeccnv 30414  BaseSetcba 30416  normCVcnmcv 30420   normOpOLD cnmoo 30571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-grpo 30323  df-gid 30324  df-ginv 30325  df-ablo 30375  df-vc 30389  df-nv 30422  df-va 30425  df-ba 30426  df-sm 30427  df-0v 30428  df-nmcv 30430  df-nmoo 30575
This theorem is referenced by:  nmounbseqi  30607  nmounbseqiALT  30608
  Copyright terms: Public domain W3C validator