Theorem nmounbi 31098

Description: Two ways two express that an operator is unbounded. (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoubi.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmoubi.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmoubi.l	⊢ 𝐿 = (normCV‘𝑈)
nmoubi.m	⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
nmoubi.3	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmoubi.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
nmoubi.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
nmounbi	⊢ (𝑇:𝑋⟶𝑌 → ((𝑁‘𝑇) = +∞ ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑟,𝐿   𝑦,𝑈   𝑦,𝑊   𝑌,𝑟,𝑦   𝑀,𝑟,𝑦   𝑇,𝑟,𝑦   𝑋,𝑟,𝑦   𝑁,𝑟,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑟)   𝑊(𝑟)

Proof of Theorem nmounbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoubi.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		nmoubi.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
3		nmoubi.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (normCV‘𝑈)
4		nmoubi.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
5		nmoubi.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
6		nmoubi.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
7		nmoubi.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	nmobndi 31097	. . 3 ⊢ (𝑇:𝑋⟶𝑌 → ((𝑁‘𝑇) ∈ ℝ ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ≤ 𝑟)))
9	1, 2, 5	nmorepnf 31090	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → ((𝑁‘𝑇) ∈ ℝ ↔ (𝑁‘𝑇) ≠ +∞))
10	6, 7, 9	mp3an12 1478	. . 3 ⊢ (𝑇:𝑋⟶𝑌 → ((𝑁‘𝑇) ∈ ℝ ↔ (𝑁‘𝑇) ≠ +∞))
11		ffvelcdm 7080	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑇‘𝑦) ∈ 𝑌)
12	2, 4	nvcl 30983	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ 𝑌) → (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ∈ ℝ)
13	7, 11, 12	sylancr 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ∈ ℝ)
14		lenlt 11291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ¬ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇‘𝑦))))
15	13, 14	sylan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ¬ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇‘𝑦))))
16	15	an32s 664	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ¬ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇‘𝑦))))
17	16	imbi2d 343	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝐿‘𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ≤ 𝑟) ↔ ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 → ¬ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))))
18		imnan 404	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐿‘𝑦) ≤ 1 → ¬ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇‘𝑦))) ↔ ¬ ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇‘𝑦))))
19	17, 18	bitrdi 290	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝐿‘𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ≤ 𝑟) ↔ ¬ ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))))
20	19	ralbidva 3193	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ≤ 𝑟) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ¬ ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))))
21		ralnex 3098	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑋 ¬ ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇‘𝑦))) ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇‘𝑦))))
22	20, 21	bitrdi 290	. . . . 5 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ≤ 𝑟) ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))))
23	22	rexbidva 3194	. . . 4 ⊢ (𝑇:𝑋⟶𝑌 → (∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ≤ 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))))
24		rexnal 3124	. . . 4 ⊢ (∃𝑟 ∈ ℝ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇‘𝑦))) ↔ ¬ ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇‘𝑦))))
25	23, 24	bitrdi 290	. . 3 ⊢ (𝑇:𝑋⟶𝑌 → (∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ≤ 𝑟) ↔ ¬ ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))))
26	8, 10, 25	3bitr3d 312	. 2 ⊢ (𝑇:𝑋⟶𝑌 → ((𝑁‘𝑇) ≠ +∞ ↔ ¬ ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))))
27	26	necon4abid 3005	1 ⊢ (𝑇:𝑋⟶𝑌 → ((𝑁‘𝑇) = +∞ ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2150   ≠ wne 2965  ∀wral 3086  ∃wrex 3096   class class class wbr 5114  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414  ℝcr 11102  1c1 11104  +∞cpnf 11243   < clt 11246   ≤ cle 11247  NrmCVeccnv 30906  BaseSetcba 30908  norm_CVcnmcv 30912   normOp_OLD cnmoo 31063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180  ax-pre-sup 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-sup 9405  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11875  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12508  df-z 12595  df-uz 12866  df-rp 13020  df-seq 14041  df-exp 14101  df-cj 15153  df-re 15154  df-im 15155  df-sqrt 15289  df-abs 15290  df-grpo 30815  df-gid 30816  df-ginv 30817  df-ablo 30867  df-vc 30881  df-nv 30914  df-va 30917  df-ba 30918  df-sm 30919  df-0v 30920  df-nmcv 30922  df-nmoo 31067

This theorem is referenced by:  nmounbseqi  31099  nmounbseqiALT  31100