MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmounbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmounbi 30805
Description: Two ways two express that an operator is unbounded. (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoubi.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmoubi.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmoubi.l 𝐿 = (normCV𝑈)
nmoubi.m 𝑀 = (normCV𝑊)
nmoubi.3 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmoubi.u 𝑈 ∈ NrmCVec
nmoubi.w 𝑊 ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmounbi (𝑇:𝑋𝑌 → ((𝑁𝑇) = +∞ ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦)))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑟,𝐿   𝑦,𝑈   𝑦,𝑊   𝑌,𝑟,𝑦   𝑀,𝑟,𝑦   𝑇,𝑟,𝑦   𝑋,𝑟,𝑦   𝑁,𝑟,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑟)   𝑊(𝑟)

Proof of Theorem nmounbi
StepHypRef Expression
1 nmoubi.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 nmoubi.y . . . 4 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
3 nmoubi.l . . . 4 𝐿 = (normCV𝑈)
4 nmoubi.m . . . 4 𝑀 = (normCV𝑊)
5 nmoubi.3 . . . 4 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
6 nmoubi.u . . . 4 𝑈 ∈ NrmCVec
7 nmoubi.w . . . 4 𝑊 ∈ NrmCVec
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7nmobndi 30804 . . 3 (𝑇:𝑋𝑌 → ((𝑁𝑇) ∈ ℝ ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟)))
91, 2, 5nmorepnf 30797 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → ((𝑁𝑇) ∈ ℝ ↔ (𝑁𝑇) ≠ +∞))
106, 7, 9mp3an12 1450 . . 3 (𝑇:𝑋𝑌 → ((𝑁𝑇) ∈ ℝ ↔ (𝑁𝑇) ≠ +∞))
11 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇:𝑋𝑌𝑦𝑋) → (𝑇𝑦) ∈ 𝑌)
122, 4nvcl 30690 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝑦) ∈ 𝑌) → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ∈ ℝ)
137, 11, 12sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇:𝑋𝑌𝑦𝑋) → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ∈ ℝ)
14 lenlt 11337 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀‘(𝑇𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ¬ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦))))
1513, 14sylan 580 . . . . . . . . . 10 (((𝑇:𝑋𝑌𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ¬ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦))))
1615an32s 652 . . . . . . . . 9 (((𝑇:𝑋𝑌𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ¬ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦))))
1716imbi2d 340 . . . . . . . 8 (((𝑇:𝑋𝑌𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝐿𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟) ↔ ((𝐿𝑦) ≤ 1 → ¬ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦)))))
18 imnan 399 . . . . . . . 8 (((𝐿𝑦) ≤ 1 → ¬ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦))) ↔ ¬ ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦))))
1917, 18bitrdi 287 . . . . . . 7 (((𝑇:𝑋𝑌𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝐿𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟) ↔ ¬ ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦)))))
2019ralbidva 3174 . . . . . 6 ((𝑇:𝑋𝑌𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟) ↔ ∀𝑦𝑋 ¬ ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦)))))
21 ralnex 3070 . . . . . 6 (∀𝑦𝑋 ¬ ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦))) ↔ ¬ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦))))
2220, 21bitrdi 287 . . . . 5 ((𝑇:𝑋𝑌𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟) ↔ ¬ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦)))))
2322rexbidva 3175 . . . 4 (𝑇:𝑋𝑌 → (∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ¬ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦)))))
24 rexnal 3098 . . . 4 (∃𝑟 ∈ ℝ ¬ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦))) ↔ ¬ ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦))))
2523, 24bitrdi 287 . . 3 (𝑇:𝑋𝑌 → (∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟) ↔ ¬ ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦)))))
268, 10, 253bitr3d 309 . 2 (𝑇:𝑋𝑌 → ((𝑁𝑇) ≠ +∞ ↔ ¬ ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦)))))
2726necon4abid 2979 1 (𝑇:𝑋𝑌 → ((𝑁𝑇) = +∞ ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068   class class class wbr 5148  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  1c1 11154  +∞cpnf 11290   < clt 11293  cle 11294  NrmCVeccnv 30613  BaseSetcba 30615  normCVcnmcv 30619   normOpOLD cnmoo 30770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-nmcv 30629  df-nmoo 30774
This theorem is referenced by:  nmounbseqi  30806  nmounbseqiALT  30807
  Copyright terms: Public domain W3C validator