MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmounbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmounbi 30453
Description: Two ways two express that an operator is unbounded. (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoubi.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmoubi.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmoubi.l 𝐿 = (normCV𝑈)
nmoubi.m 𝑀 = (normCV𝑊)
nmoubi.3 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmoubi.u 𝑈 ∈ NrmCVec
nmoubi.w 𝑊 ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmounbi (𝑇:𝑋𝑌 → ((𝑁𝑇) = +∞ ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦)))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑟,𝐿   𝑦,𝑈   𝑦,𝑊   𝑌,𝑟,𝑦   𝑀,𝑟,𝑦   𝑇,𝑟,𝑦   𝑋,𝑟,𝑦   𝑁,𝑟,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑟)   𝑊(𝑟)

Proof of Theorem nmounbi
StepHypRef Expression
1 nmoubi.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 nmoubi.y . . . 4 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
3 nmoubi.l . . . 4 𝐿 = (normCV𝑈)
4 nmoubi.m . . . 4 𝑀 = (normCV𝑊)
5 nmoubi.3 . . . 4 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
6 nmoubi.u . . . 4 𝑈 ∈ NrmCVec
7 nmoubi.w . . . 4 𝑊 ∈ NrmCVec
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7nmobndi 30452 . . 3 (𝑇:𝑋𝑌 → ((𝑁𝑇) ∈ ℝ ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟)))
91, 2, 5nmorepnf 30445 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → ((𝑁𝑇) ∈ ℝ ↔ (𝑁𝑇) ≠ +∞))
106, 7, 9mp3an12 1447 . . 3 (𝑇:𝑋𝑌 → ((𝑁𝑇) ∈ ℝ ↔ (𝑁𝑇) ≠ +∞))
11 ffvelcdm 7073 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇:𝑋𝑌𝑦𝑋) → (𝑇𝑦) ∈ 𝑌)
122, 4nvcl 30338 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝑦) ∈ 𝑌) → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ∈ ℝ)
137, 11, 12sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇:𝑋𝑌𝑦𝑋) → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ∈ ℝ)
14 lenlt 11288 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀‘(𝑇𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ¬ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦))))
1513, 14sylan 579 . . . . . . . . . 10 (((𝑇:𝑋𝑌𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ¬ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦))))
1615an32s 649 . . . . . . . . 9 (((𝑇:𝑋𝑌𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ¬ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦))))
1716imbi2d 340 . . . . . . . 8 (((𝑇:𝑋𝑌𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝐿𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟) ↔ ((𝐿𝑦) ≤ 1 → ¬ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦)))))
18 imnan 399 . . . . . . . 8 (((𝐿𝑦) ≤ 1 → ¬ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦))) ↔ ¬ ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦))))
1917, 18bitrdi 287 . . . . . . 7 (((𝑇:𝑋𝑌𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝐿𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟) ↔ ¬ ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦)))))
2019ralbidva 3167 . . . . . 6 ((𝑇:𝑋𝑌𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟) ↔ ∀𝑦𝑋 ¬ ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦)))))
21 ralnex 3064 . . . . . 6 (∀𝑦𝑋 ¬ ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦))) ↔ ¬ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦))))
2220, 21bitrdi 287 . . . . 5 ((𝑇:𝑋𝑌𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟) ↔ ¬ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦)))))
2322rexbidva 3168 . . . 4 (𝑇:𝑋𝑌 → (∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ¬ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦)))))
24 rexnal 3092 . . . 4 (∃𝑟 ∈ ℝ ¬ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦))) ↔ ¬ ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦))))
2523, 24bitrdi 287 . . 3 (𝑇:𝑋𝑌 → (∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟) ↔ ¬ ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦)))))
268, 10, 253bitr3d 309 . 2 (𝑇:𝑋𝑌 → ((𝑁𝑇) ≠ +∞ ↔ ¬ ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦)))))
2726necon4abid 2973 1 (𝑇:𝑋𝑌 → ((𝑁𝑇) = +∞ ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  wral 3053  wrex 3062   class class class wbr 5138  wf 6529  cfv 6533  (class class class)co 7401  cr 11104  1c1 11106  +∞cpnf 11241   < clt 11244  cle 11245  NrmCVeccnv 30261  BaseSetcba 30263  normCVcnmcv 30267   normOpOLD cnmoo 30418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-sup 9432  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-grpo 30170  df-gid 30171  df-ginv 30172  df-ablo 30222  df-vc 30236  df-nv 30269  df-va 30272  df-ba 30273  df-sm 30274  df-0v 30275  df-nmcv 30277  df-nmoo 30422
This theorem is referenced by:  nmounbseqi  30454  nmounbseqiALT  30455
  Copyright terms: Public domain W3C validator