MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmounbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmounbi 30533
Description: Two ways two express that an operator is unbounded. (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoubi.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
nmoubi.y π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
nmoubi.l 𝐿 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
nmoubi.m 𝑀 = (normCVβ€˜π‘Š)
nmoubi.3 𝑁 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
nmoubi.u π‘ˆ ∈ NrmCVec
nmoubi.w π‘Š ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmounbi (𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ ((π‘β€˜π‘‡) = +∞ ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘Ÿ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)))))
Distinct variable groups:   𝑦,π‘Ÿ,𝐿   𝑦,π‘ˆ   𝑦,π‘Š   π‘Œ,π‘Ÿ,𝑦   𝑀,π‘Ÿ,𝑦   𝑇,π‘Ÿ,𝑦   𝑋,π‘Ÿ,𝑦   𝑁,π‘Ÿ,𝑦
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(π‘Ÿ)   π‘Š(π‘Ÿ)

Proof of Theorem nmounbi
StepHypRef Expression
1 nmoubi.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 nmoubi.y . . . 4 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
3 nmoubi.l . . . 4 𝐿 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
4 nmoubi.m . . . 4 𝑀 = (normCVβ€˜π‘Š)
5 nmoubi.3 . . . 4 𝑁 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
6 nmoubi.u . . . 4 π‘ˆ ∈ NrmCVec
7 nmoubi.w . . . 4 π‘Š ∈ NrmCVec
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7nmobndi 30532 . . 3 (𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ ((π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ÿ)))
91, 2, 5nmorepnf 30525 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ ((π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ ↔ (π‘β€˜π‘‡) β‰  +∞))
106, 7, 9mp3an12 1447 . . 3 (𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ ((π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ ↔ (π‘β€˜π‘‡) β‰  +∞))
11 ffvelcdm 7076 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‡β€˜π‘¦) ∈ π‘Œ)
122, 4nvcl 30418 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ (π‘‡β€˜π‘¦) ∈ π‘Œ) β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
137, 11, 12sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
14 lenlt 11293 . . . . . . . . . . 11 (((π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ ((π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ÿ ↔ Β¬ π‘Ÿ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦))))
1513, 14sylan 579 . . . . . . . . . 10 (((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ ((π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ÿ ↔ Β¬ π‘Ÿ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦))))
1615an32s 649 . . . . . . . . 9 (((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ÿ ↔ Β¬ π‘Ÿ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦))))
1716imbi2d 340 . . . . . . . 8 (((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ÿ) ↔ ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ Β¬ π‘Ÿ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)))))
18 imnan 399 . . . . . . . 8 (((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ Β¬ π‘Ÿ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦))) ↔ Β¬ ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘Ÿ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦))))
1917, 18bitrdi 287 . . . . . . 7 (((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ÿ) ↔ Β¬ ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘Ÿ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)))))
2019ralbidva 3169 . . . . . 6 ((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ÿ) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 Β¬ ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘Ÿ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)))))
21 ralnex 3066 . . . . . 6 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 Β¬ ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘Ÿ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦))) ↔ Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘Ÿ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦))))
2220, 21bitrdi 287 . . . . 5 ((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ÿ) ↔ Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘Ÿ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)))))
2322rexbidva 3170 . . . 4 (𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ÿ) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘Ÿ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)))))
24 rexnal 3094 . . . 4 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘Ÿ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦))) ↔ Β¬ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘Ÿ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦))))
2523, 24bitrdi 287 . . 3 (𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ÿ) ↔ Β¬ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘Ÿ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)))))
268, 10, 253bitr3d 309 . 2 (𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ ((π‘β€˜π‘‡) β‰  +∞ ↔ Β¬ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘Ÿ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)))))
2726necon4abid 2975 1 (𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ ((π‘β€˜π‘‡) = +∞ ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘Ÿ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„cr 11108  1c1 11110  +∞cpnf 11246   < clt 11249   ≀ cle 11250  NrmCVeccnv 30341  BaseSetcba 30343  normCVcnmcv 30347   normOpOLD cnmoo 30498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-seq 13970  df-exp 14030  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-grpo 30250  df-gid 30251  df-ginv 30252  df-ablo 30302  df-vc 30316  df-nv 30349  df-va 30352  df-ba 30353  df-sm 30354  df-0v 30355  df-nmcv 30357  df-nmoo 30502
This theorem is referenced by:  nmounbseqi  30534  nmounbseqiALT  30535
  Copyright terms: Public domain W3C validator