MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmounbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmounbi 28468
Description: Two ways two express that an operator is unbounded. (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoubi.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmoubi.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmoubi.l 𝐿 = (normCV𝑈)
nmoubi.m 𝑀 = (normCV𝑊)
nmoubi.3 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmoubi.u 𝑈 ∈ NrmCVec
nmoubi.w 𝑊 ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmounbi (𝑇:𝑋𝑌 → ((𝑁𝑇) = +∞ ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦)))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑟,𝐿   𝑦,𝑈   𝑦,𝑊   𝑌,𝑟,𝑦   𝑀,𝑟,𝑦   𝑇,𝑟,𝑦   𝑋,𝑟,𝑦   𝑁,𝑟,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑟)   𝑊(𝑟)

Proof of Theorem nmounbi
StepHypRef Expression
1 nmoubi.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 nmoubi.y . . . 4 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
3 nmoubi.l . . . 4 𝐿 = (normCV𝑈)
4 nmoubi.m . . . 4 𝑀 = (normCV𝑊)
5 nmoubi.3 . . . 4 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
6 nmoubi.u . . . 4 𝑈 ∈ NrmCVec
7 nmoubi.w . . . 4 𝑊 ∈ NrmCVec
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7nmobndi 28467 . . 3 (𝑇:𝑋𝑌 → ((𝑁𝑇) ∈ ℝ ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟)))
91, 2, 5nmorepnf 28460 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → ((𝑁𝑇) ∈ ℝ ↔ (𝑁𝑇) ≠ +∞))
106, 7, 9mp3an12 1444 . . 3 (𝑇:𝑋𝑌 → ((𝑁𝑇) ∈ ℝ ↔ (𝑁𝑇) ≠ +∞))
11 ffvelrn 6844 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇:𝑋𝑌𝑦𝑋) → (𝑇𝑦) ∈ 𝑌)
122, 4nvcl 28353 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝑦) ∈ 𝑌) → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ∈ ℝ)
137, 11, 12sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇:𝑋𝑌𝑦𝑋) → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ∈ ℝ)
14 lenlt 10711 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀‘(𝑇𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ¬ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦))))
1513, 14sylan 580 . . . . . . . . . 10 (((𝑇:𝑋𝑌𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ¬ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦))))
1615an32s 648 . . . . . . . . 9 (((𝑇:𝑋𝑌𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ¬ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦))))
1716imbi2d 342 . . . . . . . 8 (((𝑇:𝑋𝑌𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝐿𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟) ↔ ((𝐿𝑦) ≤ 1 → ¬ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦)))))
18 imnan 400 . . . . . . . 8 (((𝐿𝑦) ≤ 1 → ¬ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦))) ↔ ¬ ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦))))
1917, 18syl6bb 288 . . . . . . 7 (((𝑇:𝑋𝑌𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝐿𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟) ↔ ¬ ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦)))))
2019ralbidva 3200 . . . . . 6 ((𝑇:𝑋𝑌𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟) ↔ ∀𝑦𝑋 ¬ ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦)))))
21 ralnex 3240 . . . . . 6 (∀𝑦𝑋 ¬ ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦))) ↔ ¬ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦))))
2220, 21syl6bb 288 . . . . 5 ((𝑇:𝑋𝑌𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟) ↔ ¬ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦)))))
2322rexbidva 3300 . . . 4 (𝑇:𝑋𝑌 → (∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ¬ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦)))))
24 rexnal 3242 . . . 4 (∃𝑟 ∈ ℝ ¬ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦))) ↔ ¬ ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦))))
2523, 24syl6bb 288 . . 3 (𝑇:𝑋𝑌 → (∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟) ↔ ¬ ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦)))))
268, 10, 253bitr3d 310 . 2 (𝑇:𝑋𝑌 → ((𝑁𝑇) ≠ +∞ ↔ ¬ ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦)))))
2726necon4abid 3060 1 (𝑇:𝑋𝑌 → ((𝑁𝑇) = +∞ ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2106  wne 3020  wral 3142  wrex 3143   class class class wbr 5062  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  cr 10528  1c1 10530  +∞cpnf 10664   < clt 10667  cle 10668  NrmCVeccnv 28276  BaseSetcba 28278  normCVcnmcv 28282   normOpOLD cnmoo 28433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-13 2385  ax-ext 2796  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12383  df-seq 13363  df-exp 13423  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-grpo 28185  df-gid 28186  df-ginv 28187  df-ablo 28237  df-vc 28251  df-nv 28284  df-va 28287  df-ba 28288  df-sm 28289  df-0v 28290  df-nmcv 28292  df-nmoo 28437
This theorem is referenced by:  nmounbseqi  28469  nmounbseqiALT  28470
  Copyright terms: Public domain W3C validator