MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nv1 29923
Description: From any nonzero vector, construct a vector whose norm is one. (Contributed by NM, 6-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nv1.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
nv1.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
nv1.5 𝑍 = (0vecβ€˜π‘ˆ)
nv1.6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
nv1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  𝑍) β†’ (π‘β€˜((1 / (π‘β€˜π΄))𝑆𝐴)) = 1)

Proof of Theorem nv1
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  𝑍) β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
2 nv1.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
3 nv1.6 . . . . . 6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
42, 3nvcl 29909 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ)
543adant3 1132 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  𝑍) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ)
6 nv1.5 . . . . . . 7 𝑍 = (0vecβ€˜π‘ˆ)
72, 6, 3nvz 29917 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜π΄) = 0 ↔ 𝐴 = 𝑍))
87necon3bid 2985 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜π΄) β‰  0 ↔ 𝐴 β‰  𝑍))
98biimp3ar 1470 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  𝑍) β†’ (π‘β€˜π΄) β‰  0)
105, 9rereccld 12040 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  𝑍) β†’ (1 / (π‘β€˜π΄)) ∈ ℝ)
112, 6, 3nvgt0 29922 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 β‰  𝑍 ↔ 0 < (π‘β€˜π΄)))
1211biimp3a 1469 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  𝑍) β†’ 0 < (π‘β€˜π΄))
13 1re 11213 . . . . 5 1 ∈ ℝ
14 0le1 11736 . . . . 5 0 ≀ 1
15 divge0 12082 . . . . 5 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 1) ∧ ((π‘β€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 0 < (π‘β€˜π΄))) β†’ 0 ≀ (1 / (π‘β€˜π΄)))
1613, 14, 15mpanl12 700 . . . 4 (((π‘β€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 0 < (π‘β€˜π΄)) β†’ 0 ≀ (1 / (π‘β€˜π΄)))
175, 12, 16syl2anc 584 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  𝑍) β†’ 0 ≀ (1 / (π‘β€˜π΄)))
18 simp2 1137 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  𝑍) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
19 nv1.4 . . . 4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
202, 19, 3nvsge0 29912 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ ((1 / (π‘β€˜π΄)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (1 / (π‘β€˜π΄))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜((1 / (π‘β€˜π΄))𝑆𝐴)) = ((1 / (π‘β€˜π΄)) Β· (π‘β€˜π΄)))
211, 10, 17, 18, 20syl121anc 1375 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  𝑍) β†’ (π‘β€˜((1 / (π‘β€˜π΄))𝑆𝐴)) = ((1 / (π‘β€˜π΄)) Β· (π‘β€˜π΄)))
224recnd 11241 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ β„‚)
23223adant3 1132 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  𝑍) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ β„‚)
2423, 9recid2d 11985 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  𝑍) β†’ ((1 / (π‘β€˜π΄)) Β· (π‘β€˜π΄)) = 1)
2521, 24eqtrd 2772 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  𝑍) β†’ (π‘β€˜((1 / (π‘β€˜π΄))𝑆𝐴)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   Β· cmul 11114   < clt 11247   ≀ cle 11248   / cdiv 11870  NrmCVeccnv 29832  BaseSetcba 29834   ·𝑠OLD cns 29835  0veccn0v 29836  normCVcnmcv 29838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-grpo 29741  df-gid 29742  df-ginv 29743  df-ablo 29793  df-vc 29807  df-nv 29840  df-va 29843  df-ba 29844  df-sm 29845  df-0v 29846  df-nmcv 29848
This theorem is referenced by:  nmlno0lem  30041  nmblolbii  30047
  Copyright terms: Public domain W3C validator