Theorem nv1 30752

Description: From any nonzero vector, construct a vector whose norm is one. (Contributed by NM, 6-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nv1.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nv1.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
nv1.5	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
nv1.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nv1	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 𝑍) → (𝑁‘((1 / (𝑁‘𝐴))𝑆𝐴)) = 1)

Proof of Theorem nv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 𝑍) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
2		nv1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		nv1.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
4	2, 3	nvcl 30738	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
5	4	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 𝑍) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
6		nv1.5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
7	2, 6, 3	nvz 30746	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 𝑍))
8	7	necon3bid 2976	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 𝑍))
9	8	biimp3ar 1472	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 𝑍) → (𝑁‘𝐴) ≠ 0)
10	5, 9	rereccld 11970	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 𝑍) → (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ ℝ)
11	2, 6, 3	nvgt0 30751	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ≠ 𝑍 ↔ 0 < (𝑁‘𝐴)))
12	11	biimp3a 1471	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 𝑍) → 0 < (𝑁‘𝐴))
13		1re 11134	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
14		0le1 11662	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 1
15		divge0 12013	. . . . 5 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((𝑁‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁‘𝐴))) → 0 ≤ (1 / (𝑁‘𝐴)))
16	13, 14, 15	mpanl12 702	. . . 4 ⊢ (((𝑁‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁‘𝐴)) → 0 ≤ (1 / (𝑁‘𝐴)))
17	5, 12, 16	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 𝑍) → 0 ≤ (1 / (𝑁‘𝐴)))
18		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 𝑍) → 𝐴 ∈ 𝑋)
19		nv1.4	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
20	2, 19, 3	nvsge0 30741	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / (𝑁‘𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘((1 / (𝑁‘𝐴))𝑆𝐴)) = ((1 / (𝑁‘𝐴)) · (𝑁‘𝐴)))
21	1, 10, 17, 18, 20	syl121anc 1377	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 𝑍) → (𝑁‘((1 / (𝑁‘𝐴))𝑆𝐴)) = ((1 / (𝑁‘𝐴)) · (𝑁‘𝐴)))
22	4	recnd 11162	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℂ)
23	22	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 𝑍) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℂ)
24	23, 9	recid2d 11915	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 𝑍) → ((1 / (𝑁‘𝐴)) · (𝑁‘𝐴)) = 1)
25	21, 24	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 𝑍) → (𝑁‘((1 / (𝑁‘𝐴))𝑆𝐴)) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   · cmul 11033   < clt 11168   ≤ cle 11169   / cdiv 11796  NrmCVeccnv 30661  BaseSetcba 30663   ·_𝑠OLD cns 30664  0_veccn0v 30665  norm_CVcnmcv 30667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-sup 9347  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-rp 12908  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-grpo 30570  df-gid 30571  df-ginv 30572  df-ablo 30622  df-vc 30636  df-nv 30669  df-va 30672  df-ba 30673  df-sm 30674  df-0v 30675  df-nmcv 30677

This theorem is referenced by:  nmlno0lem  30870  nmblolbii  30876