MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nv1 29893
Description: From any nonzero vector, construct a vector whose norm is one. (Contributed by NM, 6-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nv1.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nv1.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
nv1.5 𝑍 = (0vec𝑈)
nv1.6 𝑁 = (normCV𝑈)
Assertion
Ref Expression
nv1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐴𝑍) → (𝑁‘((1 / (𝑁𝐴))𝑆𝐴)) = 1)

Proof of Theorem nv1
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐴𝑍) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
2 nv1.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3 nv1.6 . . . . . 6 𝑁 = (normCV𝑈)
42, 3nvcl 29879 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
543adant3 1133 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐴𝑍) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
6 nv1.5 . . . . . . 7 𝑍 = (0vec𝑈)
72, 6, 3nvz 29887 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 𝑍))
87necon3bid 2986 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴𝑍))
98biimp3ar 1471 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐴𝑍) → (𝑁𝐴) ≠ 0)
105, 9rereccld 12028 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐴𝑍) → (1 / (𝑁𝐴)) ∈ ℝ)
112, 6, 3nvgt0 29892 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑍 ↔ 0 < (𝑁𝐴)))
1211biimp3a 1470 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐴𝑍) → 0 < (𝑁𝐴))
13 1re 11201 . . . . 5 1 ∈ ℝ
14 0le1 11724 . . . . 5 0 ≤ 1
15 divge0 12070 . . . . 5 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((𝑁𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁𝐴))) → 0 ≤ (1 / (𝑁𝐴)))
1613, 14, 15mpanl12 701 . . . 4 (((𝑁𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁𝐴)) → 0 ≤ (1 / (𝑁𝐴)))
175, 12, 16syl2anc 585 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐴𝑍) → 0 ≤ (1 / (𝑁𝐴)))
18 simp2 1138 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐴𝑍) → 𝐴𝑋)
19 nv1.4 . . . 4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
202, 19, 3nvsge0 29882 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / (𝑁𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / (𝑁𝐴))) ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘((1 / (𝑁𝐴))𝑆𝐴)) = ((1 / (𝑁𝐴)) · (𝑁𝐴)))
211, 10, 17, 18, 20syl121anc 1376 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐴𝑍) → (𝑁‘((1 / (𝑁𝐴))𝑆𝐴)) = ((1 / (𝑁𝐴)) · (𝑁𝐴)))
224recnd 11229 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℂ)
23223adant3 1133 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐴𝑍) → (𝑁𝐴) ∈ ℂ)
2423, 9recid2d 11973 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐴𝑍) → ((1 / (𝑁𝐴)) · (𝑁𝐴)) = 1)
2521, 24eqtrd 2773 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐴𝑍) → (𝑁‘((1 / (𝑁𝐴))𝑆𝐴)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941   class class class wbr 5144  cfv 6535  (class class class)co 7396  cc 11095  cr 11096  0cc0 11097  1c1 11098   · cmul 11102   < clt 11235  cle 11236   / cdiv 11858  NrmCVeccnv 29802  BaseSetcba 29804   ·𝑠OLD cns 29805  0veccn0v 29806  normCVcnmcv 29808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174  ax-pre-sup 11175
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8691  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9424  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-div 11859  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-n0 12460  df-z 12546  df-uz 12810  df-rp 12962  df-seq 13954  df-exp 14015  df-cj 15033  df-re 15034  df-im 15035  df-sqrt 15169  df-abs 15170  df-grpo 29711  df-gid 29712  df-ginv 29713  df-ablo 29763  df-vc 29777  df-nv 29810  df-va 29813  df-ba 29814  df-sm 29815  df-0v 29816  df-nmcv 29818
This theorem is referenced by:  nmlno0lem  30011  nmblolbii  30017
  Copyright terms: Public domain W3C validator