Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nv1 28085
 Description: From any nonzero vector, construct a vector whose norm is one. (Contributed by NM, 6-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nv1.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nv1.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
nv1.5 𝑍 = (0vec𝑈)
nv1.6 𝑁 = (normCV𝑈)
Assertion
Ref Expression
nv1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐴𝑍) → (𝑁‘((1 / (𝑁𝐴))𝑆𝐴)) = 1)

Proof of Theorem nv1
StepHypRef Expression
1 simp1 1172 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐴𝑍) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
2 nv1.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3 nv1.6 . . . . . 6 𝑁 = (normCV𝑈)
42, 3nvcl 28071 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
543adant3 1168 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐴𝑍) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
6 nv1.5 . . . . . . 7 𝑍 = (0vec𝑈)
72, 6, 3nvz 28079 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 𝑍))
87necon3bid 3043 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴𝑍))
98biimp3ar 1600 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐴𝑍) → (𝑁𝐴) ≠ 0)
105, 9rereccld 11178 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐴𝑍) → (1 / (𝑁𝐴)) ∈ ℝ)
112, 6, 3nvgt0 28084 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑍 ↔ 0 < (𝑁𝐴)))
1211biimp3a 1599 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐴𝑍) → 0 < (𝑁𝐴))
13 1re 10356 . . . . 5 1 ∈ ℝ
14 0le1 10875 . . . . 5 0 ≤ 1
15 divge0 11222 . . . . 5 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((𝑁𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁𝐴))) → 0 ≤ (1 / (𝑁𝐴)))
1613, 14, 15mpanl12 695 . . . 4 (((𝑁𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁𝐴)) → 0 ≤ (1 / (𝑁𝐴)))
175, 12, 16syl2anc 581 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐴𝑍) → 0 ≤ (1 / (𝑁𝐴)))
18 simp2 1173 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐴𝑍) → 𝐴𝑋)
19 nv1.4 . . . 4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
202, 19, 3nvsge0 28074 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / (𝑁𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / (𝑁𝐴))) ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘((1 / (𝑁𝐴))𝑆𝐴)) = ((1 / (𝑁𝐴)) · (𝑁𝐴)))
211, 10, 17, 18, 20syl121anc 1500 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐴𝑍) → (𝑁‘((1 / (𝑁𝐴))𝑆𝐴)) = ((1 / (𝑁𝐴)) · (𝑁𝐴)))
224recnd 10385 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℂ)
23223adant3 1168 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐴𝑍) → (𝑁𝐴) ∈ ℂ)
2423, 9recid2d 11123 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐴𝑍) → ((1 / (𝑁𝐴)) · (𝑁𝐴)) = 1)
2521, 24eqtrd 2861 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐴𝑍) → (𝑁‘((1 / (𝑁𝐴))𝑆𝐴)) = 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 2999   class class class wbr 4873  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  ℂcc 10250  ℝcr 10251  0cc0 10252  1c1 10253   · cmul 10257   < clt 10391   ≤ cle 10392   / cdiv 11009  NrmCVeccnv 27994  BaseSetcba 27996   ·𝑠OLD cns 27997  0veccn0v 27998  normCVcnmcv 28000 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-sup 8617  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-rp 12113  df-seq 13096  df-exp 13155  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-grpo 27903  df-gid 27904  df-ginv 27905  df-ablo 27955  df-vc 27969  df-nv 28002  df-va 28005  df-ba 28006  df-sm 28007  df-0v 28008  df-nmcv 28010 This theorem is referenced by:  nmlno0lem  28203  nmblolbii  28209
 Copyright terms: Public domain W3C validator