MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nv1 30397
Description: From any nonzero vector, construct a vector whose norm is one. (Contributed by NM, 6-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nv1.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
nv1.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
nv1.5 𝑍 = (0vecβ€˜π‘ˆ)
nv1.6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
nv1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  𝑍) β†’ (π‘β€˜((1 / (π‘β€˜π΄))𝑆𝐴)) = 1)

Proof of Theorem nv1
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  𝑍) β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
2 nv1.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
3 nv1.6 . . . . . 6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
42, 3nvcl 30383 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ)
543adant3 1129 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  𝑍) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ)
6 nv1.5 . . . . . . 7 𝑍 = (0vecβ€˜π‘ˆ)
72, 6, 3nvz 30391 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜π΄) = 0 ↔ 𝐴 = 𝑍))
87necon3bid 2977 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜π΄) β‰  0 ↔ 𝐴 β‰  𝑍))
98biimp3ar 1466 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  𝑍) β†’ (π‘β€˜π΄) β‰  0)
105, 9rereccld 12038 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  𝑍) β†’ (1 / (π‘β€˜π΄)) ∈ ℝ)
112, 6, 3nvgt0 30396 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 β‰  𝑍 ↔ 0 < (π‘β€˜π΄)))
1211biimp3a 1465 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  𝑍) β†’ 0 < (π‘β€˜π΄))
13 1re 11211 . . . . 5 1 ∈ ℝ
14 0le1 11734 . . . . 5 0 ≀ 1
15 divge0 12080 . . . . 5 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 1) ∧ ((π‘β€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 0 < (π‘β€˜π΄))) β†’ 0 ≀ (1 / (π‘β€˜π΄)))
1613, 14, 15mpanl12 699 . . . 4 (((π‘β€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 0 < (π‘β€˜π΄)) β†’ 0 ≀ (1 / (π‘β€˜π΄)))
175, 12, 16syl2anc 583 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  𝑍) β†’ 0 ≀ (1 / (π‘β€˜π΄)))
18 simp2 1134 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  𝑍) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
19 nv1.4 . . . 4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
202, 19, 3nvsge0 30386 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ ((1 / (π‘β€˜π΄)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (1 / (π‘β€˜π΄))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜((1 / (π‘β€˜π΄))𝑆𝐴)) = ((1 / (π‘β€˜π΄)) Β· (π‘β€˜π΄)))
211, 10, 17, 18, 20syl121anc 1372 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  𝑍) β†’ (π‘β€˜((1 / (π‘β€˜π΄))𝑆𝐴)) = ((1 / (π‘β€˜π΄)) Β· (π‘β€˜π΄)))
224recnd 11239 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ β„‚)
23223adant3 1129 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  𝑍) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ β„‚)
2423, 9recid2d 11983 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  𝑍) β†’ ((1 / (π‘β€˜π΄)) Β· (π‘β€˜π΄)) = 1)
2521, 24eqtrd 2764 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  𝑍) β†’ (π‘β€˜((1 / (π‘β€˜π΄))𝑆𝐴)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932   class class class wbr 5138  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   Β· cmul 11111   < clt 11245   ≀ cle 11246   / cdiv 11868  NrmCVeccnv 30306  BaseSetcba 30308   ·𝑠OLD cns 30309  0veccn0v 30310  normCVcnmcv 30312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-grpo 30215  df-gid 30216  df-ginv 30217  df-ablo 30267  df-vc 30281  df-nv 30314  df-va 30317  df-ba 30318  df-sm 30319  df-0v 30320  df-nmcv 30322
This theorem is referenced by:  nmlno0lem  30515  nmblolbii  30521
  Copyright terms: Public domain W3C validator