Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipz 28505
 Description: The inner product of a vector with itself is zero iff the vector is zero. Part of Definition 3.1-1 of [Kreyszig] p. 129. (Contributed by NM, 24-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dip0r.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
dip0r.5 𝑍 = (0vec𝑈)
dip0r.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
Assertion
Ref Expression
ipz ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐴𝑃𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 𝑍))

Proof of Theorem ipz
StepHypRef Expression
1 dip0r.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 eqid 2801 . . . 4 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
3 dip0r.7 . . . 4 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
41, 2, 3ipidsq 28496 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝐴) = (((normCV𝑈)‘𝐴)↑2))
54eqeq1d 2803 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐴𝑃𝐴) = 0 ↔ (((normCV𝑈)‘𝐴)↑2) = 0))
61, 2nvcl 28447 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((normCV𝑈)‘𝐴) ∈ ℝ)
76recnd 10662 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((normCV𝑈)‘𝐴) ∈ ℂ)
8 sqeq0 13486 . . 3 (((normCV𝑈)‘𝐴) ∈ ℂ → ((((normCV𝑈)‘𝐴)↑2) = 0 ↔ ((normCV𝑈)‘𝐴) = 0))
97, 8syl 17 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((((normCV𝑈)‘𝐴)↑2) = 0 ↔ ((normCV𝑈)‘𝐴) = 0))
10 dip0r.5 . . 3 𝑍 = (0vec𝑈)
111, 10, 2nvz 28455 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (((normCV𝑈)‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 𝑍))
125, 9, 113bitrd 308 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐴𝑃𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 𝑍))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℂcc 10528  0cc0 10530  2c2 11684  ↑cexp 13429  NrmCVeccnv 28370  BaseSetcba 28372  0veccn0v 28374  normCVcnmcv 28376  ·𝑖OLDcdip 28486 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038  df-grpo 28279  df-gid 28280  df-ginv 28281  df-ablo 28331  df-vc 28345  df-nv 28378  df-va 28381  df-ba 28382  df-sm 28383  df-0v 28384  df-nmcv 28386  df-dip 28487 This theorem is referenced by:  ip2eqi  28642
 Copyright terms: Public domain W3C validator