Theorem minvecolem4 30909

Description: Lemma for minveco 30913. The convergent point of the Cauchy sequence 𝐹 attains the minimum distance, and so is closer to 𝐴 than any other point in 𝑌. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
minveco.x	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
minveco.n	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
minveco.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
minveco.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
minveco.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
minveco.r	⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s	⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minveco.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
minveco.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
minveco.t	⊢ 𝑇 = (1 / (((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)))

Assertion

Ref	Expression
minvecolem4	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐹   𝑛,𝐽,𝑥,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑛,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦   𝐴,𝑛,𝑥,𝑦   𝐷,𝑛,𝑥,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑇,𝑛   𝑛,𝑋,𝑥   𝑛,𝑌,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦,𝑛)   𝑇(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑊(𝑛)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem4

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minveco.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
2		phnv 30843	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)
3		minveco.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4		minveco.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
5	3, 4	imsxmet 30721	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6	1, 2, 5	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7		minveco.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
8	7	methaus 24549	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Haus)
9		lmfun 23405	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → Fun (⇝𝑡‘𝐽))
10	6, 8, 9	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun (⇝𝑡‘𝐽))
11		minveco.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
12		minveco.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
13		minveco.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
14		minveco.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
15		minveco.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
16		minveco.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
17		minveco.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
18		minveco.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
19		minveco.1	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
20	3, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16, 17, 18, 19	minvecolem4a 30906	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹))
21		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑌) = (𝐽 ↾t 𝑌)
22		nnuz 12919	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
23	13	fvexi 6921	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
25	1, 2	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ NrmCVec)
26	7	mopntop 24466	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
27	25, 5, 26	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
28		elin 3979	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan) ↔ (𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈) ∧ 𝑊 ∈ CBan))
29	14, 28	sylib 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈) ∧ 𝑊 ∈ CBan))
30	29	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))
31		eqid 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
32	3, 13, 31	sspba 30756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
33	25, 30, 32	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
34		xmetres2 24387	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
35	6, 33, 34	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
36		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
37	36	mopntopon 24465	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌) → (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ∈ (TopOn‘𝑌))
38	35, 37	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ∈ (TopOn‘𝑌))
39		lmcl 23321	. . . . . . . 8 ⊢ (((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)) → ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) ∈ 𝑌)
40	38, 20, 39	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) ∈ 𝑌)
41		1zzd 12646	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
42	21, 22, 24, 27, 40, 41, 18	lmss 23322	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(𝐽 ↾t 𝑌))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)))
43		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))
44	43, 7, 36	metrest 24553	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝐽 ↾t 𝑌) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
45	6, 33, 44	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝑌) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
46	45	fveq2d 6911	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⇝𝑡‘(𝐽 ↾t 𝑌)) = (⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
47	46	breqd 5159	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(𝐽 ↾t 𝑌))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)))
48	42, 47	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)))
49	20, 48	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹))
50		funbrfv 6958	. . . 4 ⊢ (Fun (⇝𝑡‘𝐽) → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) → ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹) = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)))
51	10, 49, 50	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹) = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹))
52	51, 40	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹) ∈ 𝑌)
53	3, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16, 17, 18, 19	minvecolem4b 30907	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹) ∈ 𝑋)
54	3, 11, 12, 4	imsdval 30715	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) = (𝑁‘(𝐴𝑀((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))))
55	25, 15, 53, 54	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) = (𝑁‘(𝐴𝑀((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))))
56	55	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) = (𝑁‘(𝐴𝑀((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))))
57	3, 4	imsmet 30720	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
58	1, 2, 57	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
59		metcl 24358	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ∈ ℝ)
60	58, 15, 53, 59	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ∈ ℝ)
61	60	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ∈ ℝ)
62	3, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16, 17, 18, 19	minvecolem4c 30908	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
63	62	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑆 ∈ ℝ)
64	25	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
65	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝐴 ∈ 𝑋)
66	33	sselda 3995	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑦 ∈ 𝑋)
67	3, 11	nvmcl 30675	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋)
68	64, 65, 66, 67	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋)
69	3, 12	nvcl 30690	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ ℝ)
70	64, 68, 69	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ ℝ)
71	62, 60	ltnled 11406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ↔ ¬ (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ≤ 𝑆))
72		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1)) = (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))
73	6	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
74		minveco.t	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑇 = (1 / (((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)))
75	60, 62	readdcld 11288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) ∈ ℝ)
76	75	rehalfcld 12511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2) ∈ ℝ)
77	76	resqcld 14162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) ∈ ℝ)
78	62	resqcld 14162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
79	77, 78	resubcld 11689	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)) ∈ ℝ)
80	79	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) → (((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)) ∈ ℝ)
81	62, 60, 62	ltadd1d 11854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ↔ (𝑆 + 𝑆) < ((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆)))
82	62	recnd 11287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
83	82	2timesd 12507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑆) = (𝑆 + 𝑆))
84	83	breq1d 5158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑆) < ((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) ↔ (𝑆 + 𝑆) < ((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆)))
85		2re 12338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ∈ ℝ
86		2pos 12367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 0 < 2
87	85, 86	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
89		ltmuldiv2 12140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑆) < ((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) ↔ 𝑆 < (((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)))
90	62, 75, 88, 89	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑆) < ((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) ↔ 𝑆 < (((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)))
91	81, 84, 90	3bitr2d 307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ↔ 𝑆 < (((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)))
92	3, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16	minvecolem1 30903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
93	92	simp3d 1143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤)
94	92	simp1d 1141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ ℝ)
95	92	simp2d 1142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ ∅)
96		0re 11261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 0 ∈ ℝ
97		breq1 5151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ 𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
98	97	ralbidv 3176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
99	98	rspcev 3622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤)
100	96, 93, 99	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤)
101	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
102		infregelb 12250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤) ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
103	94, 95, 100, 101, 102	syl31anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
104	93, 103	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
105	104, 17	breqtrrdi 5190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
106		metge0 24371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)))
107	58, 15, 53, 106	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)))
108	60, 62, 107, 105	addge0d 11837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆))
109		divge0 12135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ (((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2))
110	75, 108, 88, 109	syl21anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2))
111	62, 76, 105, 110	lt2sqd 14292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑆 < (((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2) ↔ (𝑆↑2) < ((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2)))
112	78, 77	posdifd 11848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝑆↑2) < ((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) ↔ 0 < (((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))))
113	91, 111, 112	3bitrd 305	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ↔ 0 < (((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))))
114	113	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) → 0 < (((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)))
115	80, 114	elrpd 13072	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) → (((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)) ∈ ℝ+)
116	115	rpreccld 13085	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) → (1 / (((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))) ∈ ℝ+)
117	74, 116	eqeltrid 2843	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) → 𝑇 ∈ ℝ+)
118	117	rprege0d 13082	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) → (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇))
119		flge0nn0 13857	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇) → (⌊‘𝑇) ∈ ℕ0)
120		nn0p1nn 12563	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⌊‘𝑇) ∈ ℕ0 → ((⌊‘𝑇) + 1) ∈ ℕ)
121	118, 119, 120	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) → ((⌊‘𝑇) + 1) ∈ ℕ)
122	121	nnzd 12638	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) → ((⌊‘𝑇) + 1) ∈ ℤ)
123	49, 51	breqtrrd 5176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))
124	123	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))
125	15	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) → 𝐴 ∈ 𝑋)
126	76	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) → (((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2) ∈ ℝ)
127	126	rexrd 11309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) → (((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2) ∈ ℝ*)
128		simpll 767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → 𝜑)
129		eluznn 12958	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((⌊‘𝑇) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ)
130	121, 129	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ)
131	58	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
132	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ 𝑋)
133	18, 33	fssd 6754	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
134	133	ffvelcdmda 7104	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑋)
135		metcl 24358	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ)
136	131, 132, 134, 135	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴𝐷(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ)
137	128, 130, 136	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → (𝐴𝐷(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ)
138	137	resqcld 14162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → ((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ∈ ℝ)
139	62	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → 𝑆 ∈ ℝ)
140	139	resqcld 14162	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
141	130	nnrecred 12315	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
142	140, 141	readdcld 11288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
143	77	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → ((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) ∈ ℝ)
144	128, 130, 19	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → ((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
145	117	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → 𝑇 ∈ ℝ+)
146	145	rpred 13075	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → 𝑇 ∈ ℝ)
147		reflcl 13833	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑇 ∈ ℝ → (⌊‘𝑇) ∈ ℝ)
148		peano2re 11432	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⌊‘𝑇) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑇) + 1) ∈ ℝ)
149	146, 147, 148	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → ((⌊‘𝑇) + 1) ∈ ℝ)
150	130	nnred 12279	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → 𝑛 ∈ ℝ)
151		fllep1 13838	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑇 ∈ ℝ → 𝑇 ≤ ((⌊‘𝑇) + 1))
152	146, 151	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → 𝑇 ≤ ((⌊‘𝑇) + 1))
153		eluzle 12889	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1)) → ((⌊‘𝑇) + 1) ≤ 𝑛)
154	153	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → ((⌊‘𝑇) + 1) ≤ 𝑛)
155	146, 149, 150, 152, 154	letrd 11416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → 𝑇 ≤ 𝑛)
156	74, 155	eqbrtrrid 5184	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → (1 / (((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))) ≤ 𝑛)
157		1red 11260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → 1 ∈ ℝ)
158	79	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → (((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)) ∈ ℝ)
159	114	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → 0 < (((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)))
160	130	nngt0d 12313	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → 0 < 𝑛)
161		lediv23 12158	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 < (((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) → ((1 / (((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))) ≤ 𝑛 ↔ (1 / 𝑛) ≤ (((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))))
162	157, 158, 159, 150, 160, 161	syl122anc 1378	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → ((1 / (((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))) ≤ 𝑛 ↔ (1 / 𝑛) ≤ (((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))))
163	156, 162	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → (1 / 𝑛) ≤ (((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)))
164	140, 141, 143	leaddsub2d 11863	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → (((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≤ ((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) ↔ (1 / 𝑛) ≤ (((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))))
165	163, 164	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≤ ((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2))
166	138, 142, 143, 144, 165	letrd 11416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → ((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ≤ ((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2))
167	76	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → (((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2) ∈ ℝ)
168		metge0 24371	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷(𝐹‘𝑛)))
169	131, 132, 134, 168	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴𝐷(𝐹‘𝑛)))
170	128, 130, 169	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → 0 ≤ (𝐴𝐷(𝐹‘𝑛)))
171	110	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → 0 ≤ (((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2))
172	137, 167, 170, 171	le2sqd 14293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → ((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛)) ≤ (((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2) ↔ ((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ≤ ((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2)))
173	166, 172	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → (𝐴𝐷(𝐹‘𝑛)) ≤ (((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2))
174	72, 7, 73, 122, 124, 125, 127, 173	lmle 25349	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) → (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ≤ (((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2))
175	60, 62, 60	leadd2d 11856	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ≤ 𝑆 ↔ ((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ≤ ((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆)))
176	60	recnd 11287	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ∈ ℂ)
177	176	2timesd 12507	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) = ((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))))
178	177	breq1d 5158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ≤ ((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) ↔ ((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ≤ ((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆)))
179		lemuldiv2 12147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ≤ ((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) ↔ (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ≤ (((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)))
180	87, 179	mp3an3 1449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) ∈ ℝ) → ((2 · (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ≤ ((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) ↔ (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ≤ (((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)))
181	60, 75, 180	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ≤ ((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) ↔ (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ≤ (((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)))
182	175, 178, 181	3bitr2d 307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ≤ 𝑆 ↔ (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ≤ (((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)))
183	182	biimpar 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ≤ (((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)) → (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ≤ 𝑆)
184	174, 183	syldan 591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) → (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ≤ 𝑆)
185	184	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) → (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ≤ 𝑆))
186	71, 185	sylbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ≤ 𝑆 → (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ≤ 𝑆))
187	186	pm2.18d 127	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ≤ 𝑆)
188	187	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ≤ 𝑆)
189	94	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑅 ⊆ ℝ)
190	100	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤)
191		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑦 ∈ 𝑌)
192		fvex 6920	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
193		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
194	193	elrnmpt1 5974	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑌 ∧ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
195	191, 192, 194	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
196	195, 16	eleqtrrdi 2850	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ 𝑅)
197		infrelb 12251	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤 ∧ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ 𝑅) → inf(𝑅, ℝ, < ) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
198	189, 190, 196, 197	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → inf(𝑅, ℝ, < ) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
199	17, 198	eqbrtrid 5183	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑆 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
200	61, 63, 70, 188, 199	letrd 11416	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
201	56, 200	eqbrtrrd 5172	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝑁‘(𝐴𝑀((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
202	201	ralrimiva 3144	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
203		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹) → (𝐴𝑀𝑥) = (𝐴𝑀((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)))
204	203	fveq2d 6911	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) = (𝑁‘(𝐴𝑀((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))))
205	204	breq1d 5158	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹) → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ (𝑁‘(𝐴𝑀((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
206	205	ralbidv 3176	. . 3 ⊢ (𝑥 = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹) → (∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
207	206	rspcev 3622	. 2 ⊢ ((((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹) ∈ 𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) → ∃𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
208	52, 202, 207	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  Vcvv 3478   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   × cxp 5687  ran crn 5690   ↾ cres 5691  Fun wfun 6557  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  infcinf 9479  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293   ≤ cle 11294   − cmin 11490   / cdiv 11918  ℕcn 12264  2c2 12319  ℕ₀cn0 12524  ℤ_≥cuz 12876  ℝ⁺crp 13032  ⌊cfl 13827  ↑cexp 14099   ↾_t crest 17467  ∞Metcxmet 21367  Metcmet 21368  MetOpencmopn 21372  Topctop 22915  TopOnctopon 22932  ⇝_𝑡clm 23250  Hauscha 23332  NrmCVeccnv 30613  BaseSetcba 30615   −_𝑣 cnsb 30618  norm_CVcnmcv 30619  IndMetcims 30620  SubSpcss 30750  CPreHil_OLDccphlo 30841  CBanccbn 30891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-rest 17469  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lm 23253  df-haus 23339  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-cfil 25303  df-cau 25304  df-cmet 25305  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-gdiv 30525  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-vs 30628  df-nmcv 30629  df-ims 30630  df-ssp 30751  df-ph 30842  df-cbn 30892

This theorem is referenced by:  minvecolem5  30910