Theorem minvecolem4 30762

Description: Lemma for minveco 30766. The convergent point of the Cauchy sequence 𝐹 attains the minimum distance, and so is closer to 𝐴 than any other point in 𝑌. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
minveco.x	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
minveco.n	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
minveco.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
minveco.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
minveco.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
minveco.r	⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s	⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minveco.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
minveco.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
minveco.t	⊢ 𝑇 = (1 / (((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)))

Assertion

Ref	Expression
minvecolem4	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐹   𝑛,𝐽,𝑥,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑛,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦   𝐴,𝑛,𝑥,𝑦   𝐷,𝑛,𝑥,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑇,𝑛   𝑛,𝑋,𝑥   𝑛,𝑌,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦,𝑛)   𝑇(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑊(𝑛)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem4

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minveco.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
2		phnv 30696	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)
3		minveco.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4		minveco.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
5	3, 4	imsxmet 30574	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6	1, 2, 5	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7		minveco.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
8	7	methaus 24473	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Haus)
9		lmfun 23329	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → Fun (⇝𝑡‘𝐽))
10	6, 8, 9	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun (⇝𝑡‘𝐽))
11		minveco.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
12		minveco.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
13		minveco.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
14		minveco.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
15		minveco.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
16		minveco.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
17		minveco.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
18		minveco.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
19		minveco.1	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
20	3, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16, 17, 18, 19	minvecolem4a 30759	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹))
21		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑌) = (𝐽 ↾t 𝑌)
22		nnuz 12898	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
23	13	fvexi 6910	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
25	1, 2	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ NrmCVec)
26	7	mopntop 24390	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
27	25, 5, 26	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
28		elin 3960	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan) ↔ (𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈) ∧ 𝑊 ∈ CBan))
29	14, 28	sylib 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈) ∧ 𝑊 ∈ CBan))
30	29	simpld 493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))
31		eqid 2725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
32	3, 13, 31	sspba 30609	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
33	25, 30, 32	syl2anc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
34		xmetres2 24311	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
35	6, 33, 34	syl2anc 582	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
36		eqid 2725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
37	36	mopntopon 24389	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌) → (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ∈ (TopOn‘𝑌))
38	35, 37	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ∈ (TopOn‘𝑌))
39		lmcl 23245	. . . . . . . 8 ⊢ (((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)) → ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) ∈ 𝑌)
40	38, 20, 39	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) ∈ 𝑌)
41		1zzd 12626	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
42	21, 22, 24, 27, 40, 41, 18	lmss 23246	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(𝐽 ↾t 𝑌))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)))
43		eqid 2725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))
44	43, 7, 36	metrest 24477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝐽 ↾t 𝑌) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
45	6, 33, 44	syl2anc 582	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝑌) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
46	45	fveq2d 6900	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⇝𝑡‘(𝐽 ↾t 𝑌)) = (⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
47	46	breqd 5160	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(𝐽 ↾t 𝑌))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)))
48	42, 47	bitrd 278	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)))
49	20, 48	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹))
50		funbrfv 6947	. . . 4 ⊢ (Fun (⇝𝑡‘𝐽) → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) → ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹) = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)))
51	10, 49, 50	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹) = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹))
52	51, 40	eqeltrd 2825	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹) ∈ 𝑌)
53	3, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16, 17, 18, 19	minvecolem4b 30760	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹) ∈ 𝑋)
54	3, 11, 12, 4	imsdval 30568	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) = (𝑁‘(𝐴𝑀((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))))
55	25, 15, 53, 54	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) = (𝑁‘(𝐴𝑀((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))))
56	55	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) = (𝑁‘(𝐴𝑀((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))))
57	3, 4	imsmet 30573	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
58	1, 2, 57	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
59		metcl 24282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ∈ ℝ)
60	58, 15, 53, 59	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ∈ ℝ)
61	60	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ∈ ℝ)
62	3, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16, 17, 18, 19	minvecolem4c 30761	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
63	62	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑆 ∈ ℝ)
64	25	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
65	15	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝐴 ∈ 𝑋)
66	33	sselda 3976	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑦 ∈ 𝑋)
67	3, 11	nvmcl 30528	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋)
68	64, 65, 66, 67	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋)
69	3, 12	nvcl 30543	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ ℝ)
70	64, 68, 69	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ ℝ)
71	62, 60	ltnled 11393	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ↔ ¬ (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ≤ 𝑆))
72		eqid 2725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1)) = (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))
73	6	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
74		minveco.t	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑇 = (1 / (((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)))
75	60, 62	readdcld 11275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) ∈ ℝ)
76	75	rehalfcld 12492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2) ∈ ℝ)
77	76	resqcld 14125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) ∈ ℝ)
78	62	resqcld 14125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
79	77, 78	resubcld 11674	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)) ∈ ℝ)
80	79	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) → (((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)) ∈ ℝ)
81	62, 60, 62	ltadd1d 11839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ↔ (𝑆 + 𝑆) < ((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆)))
82	62	recnd 11274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
83	82	2timesd 12488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑆) = (𝑆 + 𝑆))
84	83	breq1d 5159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑆) < ((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) ↔ (𝑆 + 𝑆) < ((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆)))
85		2re 12319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ∈ ℝ
86		2pos 12348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 0 < 2
87	85, 86	pm3.2i 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
89		ltmuldiv2 12121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑆) < ((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) ↔ 𝑆 < (((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)))
90	62, 75, 88, 89	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑆) < ((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) ↔ 𝑆 < (((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)))
91	81, 84, 90	3bitr2d 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ↔ 𝑆 < (((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)))
92	3, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16	minvecolem1 30756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
93	92	simp3d 1141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤)
94	92	simp1d 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ ℝ)
95	92	simp2d 1140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ ∅)
96		0re 11248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 0 ∈ ℝ
97		breq1 5152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ 𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
98	97	ralbidv 3167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
99	98	rspcev 3606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤)
100	96, 93, 99	sylancr 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤)
101	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
102		infregelb 12231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤) ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
103	94, 95, 100, 101, 102	syl31anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
104	93, 103	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
105	104, 17	breqtrrdi 5191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
106		metge0 24295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)))
107	58, 15, 53, 106	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)))
108	60, 62, 107, 105	addge0d 11822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆))
109		divge0 12116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ (((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2))
110	75, 108, 88, 109	syl21anc 836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2))
111	62, 76, 105, 110	lt2sqd 14254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑆 < (((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2) ↔ (𝑆↑2) < ((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2)))
112	78, 77	posdifd 11833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝑆↑2) < ((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) ↔ 0 < (((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))))
113	91, 111, 112	3bitrd 304	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ↔ 0 < (((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))))
114	113	biimpa 475	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) → 0 < (((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)))
115	80, 114	elrpd 13048	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) → (((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)) ∈ ℝ+)
116	115	rpreccld 13061	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) → (1 / (((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))) ∈ ℝ+)
117	74, 116	eqeltrid 2829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) → 𝑇 ∈ ℝ+)
118	117	rprege0d 13058	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) → (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇))
119		flge0nn0 13821	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇) → (⌊‘𝑇) ∈ ℕ0)
120		nn0p1nn 12544	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⌊‘𝑇) ∈ ℕ0 → ((⌊‘𝑇) + 1) ∈ ℕ)
121	118, 119, 120	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) → ((⌊‘𝑇) + 1) ∈ ℕ)
122	121	nnzd 12618	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) → ((⌊‘𝑇) + 1) ∈ ℤ)
123	49, 51	breqtrrd 5177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))
124	123	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))
125	15	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) → 𝐴 ∈ 𝑋)
126	76	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) → (((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2) ∈ ℝ)
127	126	rexrd 11296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) → (((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2) ∈ ℝ*)
128		simpll 765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → 𝜑)
129		eluznn 12935	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((⌊‘𝑇) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ)
130	121, 129	sylan 578	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ)
131	58	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
132	15	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ 𝑋)
133	18, 33	fssd 6740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
134	133	ffvelcdmda 7093	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑋)
135		metcl 24282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ)
136	131, 132, 134, 135	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴𝐷(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ)
137	128, 130, 136	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → (𝐴𝐷(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ)
138	137	resqcld 14125	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → ((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ∈ ℝ)
139	62	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → 𝑆 ∈ ℝ)
140	139	resqcld 14125	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
141	130	nnrecred 12296	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
142	140, 141	readdcld 11275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
143	77	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → ((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) ∈ ℝ)
144	128, 130, 19	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → ((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
145	117	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → 𝑇 ∈ ℝ+)
146	145	rpred 13051	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → 𝑇 ∈ ℝ)
147		reflcl 13797	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑇 ∈ ℝ → (⌊‘𝑇) ∈ ℝ)
148		peano2re 11419	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⌊‘𝑇) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑇) + 1) ∈ ℝ)
149	146, 147, 148	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → ((⌊‘𝑇) + 1) ∈ ℝ)
150	130	nnred 12260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → 𝑛 ∈ ℝ)
151		fllep1 13802	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑇 ∈ ℝ → 𝑇 ≤ ((⌊‘𝑇) + 1))
152	146, 151	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → 𝑇 ≤ ((⌊‘𝑇) + 1))
153		eluzle 12868	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1)) → ((⌊‘𝑇) + 1) ≤ 𝑛)
154	153	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → ((⌊‘𝑇) + 1) ≤ 𝑛)
155	146, 149, 150, 152, 154	letrd 11403	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → 𝑇 ≤ 𝑛)
156	74, 155	eqbrtrrid 5185	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → (1 / (((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))) ≤ 𝑛)
157		1red 11247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → 1 ∈ ℝ)
158	79	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → (((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)) ∈ ℝ)
159	114	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → 0 < (((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)))
160	130	nngt0d 12294	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → 0 < 𝑛)
161		lediv23 12139	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 < (((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) → ((1 / (((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))) ≤ 𝑛 ↔ (1 / 𝑛) ≤ (((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))))
162	157, 158, 159, 150, 160, 161	syl122anc 1376	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → ((1 / (((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))) ≤ 𝑛 ↔ (1 / 𝑛) ≤ (((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))))
163	156, 162	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → (1 / 𝑛) ≤ (((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)))
164	140, 141, 143	leaddsub2d 11848	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → (((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≤ ((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) ↔ (1 / 𝑛) ≤ (((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))))
165	163, 164	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≤ ((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2))
166	138, 142, 143, 144, 165	letrd 11403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → ((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ≤ ((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2))
167	76	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → (((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2) ∈ ℝ)
168		metge0 24295	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷(𝐹‘𝑛)))
169	131, 132, 134, 168	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴𝐷(𝐹‘𝑛)))
170	128, 130, 169	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → 0 ≤ (𝐴𝐷(𝐹‘𝑛)))
171	110	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → 0 ≤ (((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2))
172	137, 167, 170, 171	le2sqd 14255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → ((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛)) ≤ (((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2) ↔ ((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ≤ ((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)↑2)))
173	166, 172	mpbird 256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘𝑇) + 1))) → (𝐴𝐷(𝐹‘𝑛)) ≤ (((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2))
174	72, 7, 73, 122, 124, 125, 127, 173	lmle 25273	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) → (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ≤ (((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2))
175	60, 62, 60	leadd2d 11841	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ≤ 𝑆 ↔ ((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ≤ ((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆)))
176	60	recnd 11274	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ∈ ℂ)
177	176	2timesd 12488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) = ((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))))
178	177	breq1d 5159	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ≤ ((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) ↔ ((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ≤ ((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆)))
179		lemuldiv2 12128	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ≤ ((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) ↔ (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ≤ (((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)))
180	87, 179	mp3an3 1446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) ∈ ℝ) → ((2 · (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ≤ ((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) ↔ (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ≤ (((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)))
181	60, 75, 180	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ≤ ((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) ↔ (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ≤ (((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)))
182	175, 178, 181	3bitr2d 306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ≤ 𝑆 ↔ (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ≤ (((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)))
183	182	biimpar 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ≤ (((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) + 𝑆) / 2)) → (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ≤ 𝑆)
184	174, 183	syldan 589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) → (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ≤ 𝑆)
185	184	ex 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 < (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) → (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ≤ 𝑆))
186	71, 185	sylbird 259	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ≤ 𝑆 → (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ≤ 𝑆))
187	186	pm2.18d 127	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ≤ 𝑆)
188	187	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ≤ 𝑆)
189	94	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑅 ⊆ ℝ)
190	100	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤)
191		simpr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑦 ∈ 𝑌)
192		fvex 6909	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
193		eqid 2725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
194	193	elrnmpt1 5960	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑌 ∧ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
195	191, 192, 194	sylancl 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
196	195, 16	eleqtrrdi 2836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ 𝑅)
197		infrelb 12232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤 ∧ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ 𝑅) → inf(𝑅, ℝ, < ) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
198	189, 190, 196, 197	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → inf(𝑅, ℝ, < ) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
199	17, 198	eqbrtrid 5184	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑆 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
200	61, 63, 70, 188, 199	letrd 11403	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
201	56, 200	eqbrtrrd 5173	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝑁‘(𝐴𝑀((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
202	201	ralrimiva 3135	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
203		oveq2 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹) → (𝐴𝑀𝑥) = (𝐴𝑀((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹)))
204	203	fveq2d 6900	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) = (𝑁‘(𝐴𝑀((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))))
205	204	breq1d 5159	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹) → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ (𝑁‘(𝐴𝑀((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
206	205	ralbidv 3167	. . 3 ⊢ (𝑥 = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹) → (∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
207	206	rspcev 3606	. 2 ⊢ ((((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹) ∈ 𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) → ∃𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
208	52, 202, 207	syl2anc 582	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  ∀wral 3050  ∃wrex 3059  Vcvv 3461   ∩ cin 3943   ⊆ wss 3944  ∅c0 4322   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   × cxp 5676  ran crn 5679   ↾ cres 5680  Fun wfun 6543  ⟶wf 6545  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  infcinf 9466  ℝcr 11139  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145   < clt 11280   ≤ cle 11281   − cmin 11476   / cdiv 11903  ℕcn 12245  2c2 12300  ℕ₀cn0 12505  ℤ_≥cuz 12855  ℝ⁺crp 13009  ⌊cfl 13791  ↑cexp 14062   ↾_t crest 17405  ∞Metcxmet 21281  Metcmet 21282  MetOpencmopn 21286  Topctop 22839  TopOnctopon 22856  ⇝_𝑡clm 23174  Hauscha 23256  NrmCVeccnv 30466  BaseSetcba 30468   −_𝑣 cnsb 30471  norm_CVcnmcv 30472  IndMetcims 30473  SubSpcss 30603  CPreHil_OLDccphlo 30694  CBanccbn 30744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-addf 11219  ax-mulf 11220

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fl 13793  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-rest 17407  df-topgen 17428  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-top 22840  df-topon 22857  df-bases 22893  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-nei 23046  df-lm 23177  df-haus 23263  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-cfil 25227  df-cau 25228  df-cmet 25229  df-grpo 30375  df-gid 30376  df-ginv 30377  df-gdiv 30378  df-ablo 30427  df-vc 30441  df-nv 30474  df-va 30477  df-ba 30478  df-sm 30479  df-0v 30480  df-vs 30481  df-nmcv 30482  df-ims 30483  df-ssp 30604  df-ph 30695  df-cbn 30745

This theorem is referenced by:  minvecolem5  30763