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Theorem minvecolem4 30729
Description: Lemma for minveco 30733. The convergent point of the cauchy sequence 𝐹 attains the minimum distance, and so is closer to 𝐴 than any other point in π‘Œ. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
minveco.m 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
minveco.n 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
minveco.y π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
minveco.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CPreHilOLD)
minveco.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan))
minveco.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
minveco.d 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
minveco.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
minveco.r 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minveco.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘Œ)
minveco.1 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
minveco.t 𝑇 = (1 / (((((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)))
Assertion
Ref Expression
minvecolem4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ π‘Œ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝑦,𝐹   𝑛,𝐽,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑀,𝑦   π‘₯,𝑁,𝑦   πœ‘,𝑛,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑅   𝑆,𝑛,π‘₯,𝑦   𝐴,𝑛,π‘₯,𝑦   𝐷,𝑛,π‘₯,𝑦   π‘₯,π‘ˆ,𝑦   π‘₯,π‘Š,𝑦   𝑇,𝑛   𝑛,𝑋,π‘₯   𝑛,π‘Œ,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦,𝑛)   𝑇(π‘₯,𝑦)   π‘ˆ(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)   π‘Š(𝑛)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem4
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minveco.u . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CPreHilOLD)
2 phnv 30663 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ CPreHilOLD β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
3 minveco.x . . . . . . 7 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
4 minveco.d . . . . . . 7 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
53, 4imsxmet 30541 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
61, 2, 53syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
7 minveco.j . . . . . 6 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
87methaus 24442 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Haus)
9 lmfun 23298 . . . . 5 (𝐽 ∈ Haus β†’ Fun (β‡π‘‘β€˜π½))
106, 8, 93syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ Fun (β‡π‘‘β€˜π½))
11 minveco.m . . . . . 6 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
12 minveco.n . . . . . 6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
13 minveco.y . . . . . 6 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
14 minveco.w . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan))
15 minveco.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
16 minveco.r . . . . . 6 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
17 minveco.s . . . . . 6 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
18 minveco.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘Œ)
19 minveco.1 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
203, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16, 17, 18, 19minvecolem4a 30726 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))β€˜πΉ))
21 eqid 2725 . . . . . . 7 (𝐽 β†Ύt π‘Œ) = (𝐽 β†Ύt π‘Œ)
22 nnuz 12890 . . . . . . 7 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2313fvexi 6904 . . . . . . . 8 π‘Œ ∈ V
2423a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ V)
251, 2syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
267mopntop 24359 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
2725, 5, 263syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
28 elin 3957 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan) ↔ (π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ) ∧ π‘Š ∈ CBan))
2914, 28sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ) ∧ π‘Š ∈ CBan))
3029simpld 493 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ))
31 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (SubSpβ€˜π‘ˆ) = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
323, 13, 31sspba 30576 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
3325, 30, 32syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
34 xmetres2 24280 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
356, 33, 34syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
36 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) = (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))
3736mopntopon 24358 . . . . . . . . 9 ((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
3835, 37syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
39 lmcl 23214 . . . . . . . 8 (((MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))β€˜πΉ)) β†’ ((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))β€˜πΉ) ∈ π‘Œ)
4038, 20, 39syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))β€˜πΉ) ∈ π‘Œ)
41 1zzd 12618 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
4221, 22, 24, 27, 40, 41, 18lmss 23215 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))β€˜πΉ) ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ))((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))β€˜πΉ)))
43 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) = (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
4443, 7, 36metrest 24446 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) = (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))
456, 33, 44syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) = (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))
4645fveq2d 6894 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β‡π‘‘β€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ)) = (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))))
4746breqd 5155 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ))((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))β€˜πΉ) ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))β€˜πΉ)))
4842, 47bitrd 278 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))β€˜πΉ) ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))β€˜πΉ)))
4920, 48mpbird 256 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))β€˜πΉ))
50 funbrfv 6941 . . . 4 (Fun (β‡π‘‘β€˜π½) β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))β€˜πΉ) β†’ ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ) = ((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))β€˜πΉ)))
5110, 49, 50sylc 65 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ) = ((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))β€˜πΉ))
5251, 40eqeltrd 2825 . 2 (πœ‘ β†’ ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ) ∈ π‘Œ)
533, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16, 17, 18, 19minvecolem4b 30727 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ) ∈ 𝑋)
543, 11, 12, 4imsdval 30535 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ) ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) = (π‘β€˜(𝐴𝑀((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))))
5525, 15, 53, 54syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) = (π‘β€˜(𝐴𝑀((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))))
5655adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) = (π‘β€˜(𝐴𝑀((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))))
573, 4imsmet 30540 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
581, 2, 573syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
59 metcl 24251 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ) ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) ∈ ℝ)
6058, 15, 53, 59syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) ∈ ℝ)
6160adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) ∈ ℝ)
623, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16, 17, 18, 19minvecolem4c 30728 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
6362adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
6425adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
6515adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
6633sselda 3973 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
673, 11nvmcl 30495 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋)
6864, 65, 66, 67syl3anc 1368 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋)
693, 12nvcl 30510 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∈ ℝ)
7064, 68, 69syl2anc 582 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∈ ℝ)
7162, 60ltnled 11386 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) ↔ Β¬ (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) ≀ 𝑆))
72 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘‡) + 1)) = (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘‡) + 1))
736adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
74 minveco.t . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 = (1 / (((((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)))
7560, 62readdcld 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) ∈ ℝ)
7675rehalfcld 12484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2) ∈ ℝ)
7776resqcld 14116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ ((((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2)↑2) ∈ ℝ)
7862resqcld 14116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝑆↑2) ∈ ℝ)
7977, 78resubcld 11667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (((((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ∈ ℝ)
8079adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) β†’ (((((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ∈ ℝ)
8162, 60, 62ltadd1d 11832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) ↔ (𝑆 + 𝑆) < ((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆)))
8262recnd 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
83822timesd 12480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝑆) = (𝑆 + 𝑆))
8483breq1d 5154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝑆) < ((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) ↔ (𝑆 + 𝑆) < ((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆)))
85 2re 12311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ∈ ℝ
86 2pos 12340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 < 2
8785, 86pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
89 ltmuldiv2 12113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ ((2 Β· 𝑆) < ((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) ↔ 𝑆 < (((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2)))
9062, 75, 88, 89syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝑆) < ((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) ↔ 𝑆 < (((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2)))
9181, 84, 903bitr2d 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) ↔ 𝑆 < (((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2)))
923, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16minvecolem1 30723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ (𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
9392simp3d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀)
9492simp1d 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† ℝ)
9592simp2d 1140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ 𝑅 β‰  βˆ…)
96 0re 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 0 ∈ ℝ
97 breq1 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯ ≀ 𝑀 ↔ 0 ≀ 𝑀))
9897ralbidv 3168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘₯ = 0 β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
9998rspcev 3603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((0 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀)
10096, 93, 99sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀)
10196a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
102 infregelb 12223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀) ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
10394, 95, 100, 101, 102syl31anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (0 ≀ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
10493, 103mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 0 ≀ inf(𝑅, ℝ, < ))
105104, 17breqtrrdi 5186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑆)
106 metge0 24264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ) ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)))
10758, 15, 53, 106syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)))
10860, 62, 107, 105addge0d 11815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆))
109 divge0 12108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ 0 ≀ (((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2))
11075, 108, 88, 109syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2))
11162, 76, 105, 110lt2sqd 14245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝑆 < (((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2) ↔ (𝑆↑2) < ((((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2)↑2)))
11278, 77posdifd 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ ((𝑆↑2) < ((((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2)↑2) ↔ 0 < (((((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2)↑2) βˆ’ (𝑆↑2))))
11391, 111, 1123bitrd 304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) ↔ 0 < (((((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2)↑2) βˆ’ (𝑆↑2))))
114113biimpa 475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) β†’ 0 < (((((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)))
11580, 114elrpd 13040 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) β†’ (((((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ∈ ℝ+)
116115rpreccld 13053 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) β†’ (1 / (((((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2)↑2) βˆ’ (𝑆↑2))) ∈ ℝ+)
11774, 116eqeltrid 2829 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
118117rprege0d 13050 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) β†’ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑇))
119 flge0nn0 13812 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑇) β†’ (βŒŠβ€˜π‘‡) ∈ β„•0)
120 nn0p1nn 12536 . . . . . . . . . . . . 13 ((βŒŠβ€˜π‘‡) ∈ β„•0 β†’ ((βŒŠβ€˜π‘‡) + 1) ∈ β„•)
121118, 119, 1203syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘‡) + 1) ∈ β„•)
122121nnzd 12610 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘‡) + 1) ∈ β„€)
12349, 51breqtrrd 5172 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))
124123adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))
12515adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
12676adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) β†’ (((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2) ∈ ℝ)
127126rexrd 11289 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) β†’ (((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2) ∈ ℝ*)
128 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘‡) + 1))) β†’ πœ‘)
129 eluznn 12927 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((βŒŠβ€˜π‘‡) + 1) ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘‡) + 1))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
130121, 129sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘‡) + 1))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
13158adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
13215adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
13318, 33fssd 6734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘‹)
134133ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑋)
135 metcl 24251 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
136131, 132, 134, 135syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
137128, 130, 136syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘‡) + 1))) β†’ (𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
138137resqcld 14116 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘‡) + 1))) β†’ ((𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›))↑2) ∈ ℝ)
13962ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘‡) + 1))) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
140139resqcld 14116 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘‡) + 1))) β†’ (𝑆↑2) ∈ ℝ)
141130nnrecred 12288 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘‡) + 1))) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
142140, 141readdcld 11268 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘‡) + 1))) β†’ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
14377ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘‡) + 1))) β†’ ((((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2)↑2) ∈ ℝ)
144128, 130, 19syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘‡) + 1))) β†’ ((𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
145117adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘‡) + 1))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
146145rpred 13043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘‡) + 1))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
147 reflcl 13788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑇 ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜π‘‡) ∈ ℝ)
148 peano2re 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((βŒŠβ€˜π‘‡) ∈ ℝ β†’ ((βŒŠβ€˜π‘‡) + 1) ∈ ℝ)
149146, 147, 1483syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘‡) + 1))) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘‡) + 1) ∈ ℝ)
150130nnred 12252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘‡) + 1))) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
151 fllep1 13793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑇 ∈ ℝ β†’ 𝑇 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘‡) + 1))
152146, 151syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘‡) + 1))) β†’ 𝑇 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘‡) + 1))
153 eluzle 12860 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘‡) + 1)) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘‡) + 1) ≀ 𝑛)
154153adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘‡) + 1))) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘‡) + 1) ≀ 𝑛)
155146, 149, 150, 152, 154letrd 11396 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘‡) + 1))) β†’ 𝑇 ≀ 𝑛)
15674, 155eqbrtrrid 5180 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘‡) + 1))) β†’ (1 / (((((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2)↑2) βˆ’ (𝑆↑2))) ≀ 𝑛)
157 1red 11240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘‡) + 1))) β†’ 1 ∈ ℝ)
15879ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘‡) + 1))) β†’ (((((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ∈ ℝ)
159114adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘‡) + 1))) β†’ 0 < (((((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)))
160130nngt0d 12286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘‡) + 1))) β†’ 0 < 𝑛)
161 lediv23 12131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℝ ∧ ((((((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 < (((((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2)↑2) βˆ’ (𝑆↑2))) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) β†’ ((1 / (((((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2)↑2) βˆ’ (𝑆↑2))) ≀ 𝑛 ↔ (1 / 𝑛) ≀ (((((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2)↑2) βˆ’ (𝑆↑2))))
162157, 158, 159, 150, 160, 161syl122anc 1376 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘‡) + 1))) β†’ ((1 / (((((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2)↑2) βˆ’ (𝑆↑2))) ≀ 𝑛 ↔ (1 / 𝑛) ≀ (((((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2)↑2) βˆ’ (𝑆↑2))))
163156, 162mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘‡) + 1))) β†’ (1 / 𝑛) ≀ (((((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)))
164140, 141, 143leaddsub2d 11841 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘‡) + 1))) β†’ (((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≀ ((((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2)↑2) ↔ (1 / 𝑛) ≀ (((((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2)↑2) βˆ’ (𝑆↑2))))
165163, 164mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘‡) + 1))) β†’ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≀ ((((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2)↑2))
166138, 142, 143, 144, 165letrd 11396 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘‡) + 1))) β†’ ((𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›))↑2) ≀ ((((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2)↑2))
16776ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘‡) + 1))) β†’ (((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2) ∈ ℝ)
168 metge0 24264 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›)))
169131, 132, 134, 168syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›)))
170128, 130, 169syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘‡) + 1))) β†’ 0 ≀ (𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›)))
171110ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘‡) + 1))) β†’ 0 ≀ (((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2))
172137, 167, 170, 171le2sqd 14246 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘‡) + 1))) β†’ ((𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›)) ≀ (((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2) ↔ ((𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›))↑2) ≀ ((((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2)↑2)))
173166, 172mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘‡) + 1))) β†’ (𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›)) ≀ (((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2))
17472, 7, 73, 122, 124, 125, 127, 173lmle 25242 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) β†’ (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) ≀ (((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2))
17560, 62, 60leadd2d 11834 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) ≀ 𝑆 ↔ ((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) ≀ ((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆)))
17660recnd 11267 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) ∈ β„‚)
1771762timesd 12480 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (2 Β· (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) = ((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))))
178177breq1d 5154 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((2 Β· (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) ≀ ((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) ↔ ((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) ≀ ((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆)))
179 lemuldiv2 12120 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ ((2 Β· (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) ≀ ((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) ↔ (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) ≀ (((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2)))
18087, 179mp3an3 1446 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) ∈ ℝ) β†’ ((2 Β· (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) ≀ ((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) ↔ (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) ≀ (((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2)))
18160, 75, 180syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((2 Β· (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) ≀ ((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) ↔ (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) ≀ (((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2)))
182175, 178, 1813bitr2d 306 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) ≀ 𝑆 ↔ (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) ≀ (((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2)))
183182biimpar 476 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) ≀ (((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) + 𝑆) / 2)) β†’ (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) ≀ 𝑆)
184174, 183syldan 589 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) β†’ (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) ≀ 𝑆)
185184ex 411 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑆 < (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) β†’ (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) ≀ 𝑆))
18671, 185sylbird 259 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Β¬ (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) ≀ 𝑆 β†’ (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) ≀ 𝑆))
187186pm2.18d 127 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) ≀ 𝑆)
188187adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) ≀ 𝑆)
18994adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑅 βŠ† ℝ)
190100adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀)
191 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑦 ∈ π‘Œ)
192 fvex 6903 . . . . . . . . 9 (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
193 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))) = (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
194193elrnmpt1 5955 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∈ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))))
195191, 192, 194sylancl 584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∈ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))))
196195, 16eleqtrrdi 2836 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∈ 𝑅)
197 infrelb 12224 . . . . . . 7 ((𝑅 βŠ† ℝ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀 ∧ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∈ 𝑅) β†’ inf(𝑅, ℝ, < ) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
198189, 190, 196, 197syl3anc 1368 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ inf(𝑅, ℝ, < ) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
19917, 198eqbrtrid 5179 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑆 ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
20061, 63, 70, 188, 199letrd 11396 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
20156, 200eqbrtrrd 5168 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝑀((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
202201ralrimiva 3136 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
203 oveq2 7421 . . . . . 6 (π‘₯ = ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ) β†’ (𝐴𝑀π‘₯) = (𝐴𝑀((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ)))
204203fveq2d 6894 . . . . 5 (π‘₯ = ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝑀π‘₯)) = (π‘β€˜(𝐴𝑀((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))))
205204breq1d 5154 . . . 4 (π‘₯ = ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝑀π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ↔ (π‘β€˜(𝐴𝑀((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))))
206205ralbidv 3168 . . 3 (π‘₯ = ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))))
207206rspcev 3603 . 2 ((((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ) ∈ π‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ π‘Œ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
20852, 202, 207syl2anc 582 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ π‘Œ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  Vcvv 3463   ∩ cin 3940   βŠ† wss 3941  βˆ…c0 4319   class class class wbr 5144   ↦ cmpt 5227   Γ— cxp 5671  ran crn 5674   β†Ύ cres 5675  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  infcinf 9459  β„cr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   Β· cmul 11138   < clt 11273   ≀ cle 11274   βˆ’ cmin 11469   / cdiv 11896  β„•cn 12237  2c2 12292  β„•0cn0 12497  β„€β‰₯cuz 12847  β„+crp 13001  βŒŠcfl 13782  β†‘cexp 14053   β†Ύt crest 17396  βˆžMetcxmet 21263  Metcmet 21264  MetOpencmopn 21268  Topctop 22808  TopOnctopon 22825  β‡π‘‘clm 23143  Hauscha 23225  NrmCVeccnv 30433  BaseSetcba 30435   βˆ’π‘£ cnsb 30438  normCVcnmcv 30439  IndMetcims 30440  SubSpcss 30570  CPreHilOLDccphlo 30661  CBanccbn 30711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212  ax-mulf 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fl 13784  df-seq 13994  df-exp 14054  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-rest 17398  df-topgen 17419  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-fbas 21275  df-fg 21276  df-top 22809  df-topon 22826  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lm 23146  df-haus 23232  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-cfil 25196  df-cau 25197  df-cmet 25198  df-grpo 30342  df-gid 30343  df-ginv 30344  df-gdiv 30345  df-ablo 30394  df-vc 30408  df-nv 30441  df-va 30444  df-ba 30445  df-sm 30446  df-0v 30447  df-vs 30448  df-nmcv 30449  df-ims 30450  df-ssp 30571  df-ph 30662  df-cbn 30712
This theorem is referenced by:  minvecolem5  30730
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