Theorem minvecolem6 30906

Description: Lemma for minveco 30908. Any minimal point is less than 𝑆 away from 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
minveco.x	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
minveco.n	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
minveco.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
minveco.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
minveco.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
minveco.r	⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s	⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
minvecolem6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem6

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minveco.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
2		phnv 30838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ NrmCVec)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
5		minveco.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
6	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝐴 ∈ 𝑋)
7		inss1 4187	. . . . . . . . 9 ⊢ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan) ⊆ (SubSp‘𝑈)
8		minveco.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
9	7, 8	sselid 3929	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))
10		minveco.x	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
11		minveco.y	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
12		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
13	10, 11, 12	sspba 30751	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
14	3, 9, 13	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
15	14	sselda 3931	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑥 ∈ 𝑋)
16		minveco.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
17		minveco.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
18		minveco.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
19	10, 16, 17, 18	imsdval 30710	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝑥) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)))
20	4, 6, 15, 19	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝐴𝐷𝑥) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)))
21	20	oveq1d 7371	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝐴𝐷𝑥)↑2) = ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥))↑2))
22		minveco.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
23		minveco.j	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
24		minveco.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
25	10, 16, 17, 11, 1, 8, 5, 18, 23, 24	minvecolem1 30898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
27	26	simp1d 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑅 ⊆ ℝ)
28	26	simp2d 1143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑅 ≠ ∅)
29		0red 11133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 0 ∈ ℝ)
30	26	simp3d 1144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤)
31		breq1 5099	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ 𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
32	31	ralbidv 3157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
33	32	rspcev 3574	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤)
34	29, 30, 33	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤)
35		infrecl 12122	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
36	27, 28, 34, 35	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
37	22, 36	eqeltrid 2838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑆 ∈ ℝ)
38	37	resqcld 14046	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
39	38	recnd 11158	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
40	39	addridd 11331	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝑆↑2) + 0) = (𝑆↑2))
41	21, 40	breq12d 5109	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥))↑2) ≤ (𝑆↑2)))
42	10, 16	nvmcl 30670	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀𝑥) ∈ 𝑋)
43	4, 6, 15, 42	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝐴𝑀𝑥) ∈ 𝑋)
44	10, 17	nvcl 30685	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑥) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ∈ ℝ)
45	4, 43, 44	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ∈ ℝ)
46	10, 17	nvge0 30697	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑥) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)))
47	4, 43, 46	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)))
48		infregelb 12124	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤) ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
49	27, 28, 34, 29, 48	syl31anc 1375	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
50	30, 49	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
51	50, 22	breqtrrdi 5138	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 0 ≤ 𝑆)
52	45, 37, 47, 51	le2sqd 14178	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑆 ↔ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥))↑2) ≤ (𝑆↑2)))
53	22	breq2i 5104	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑆 ↔ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
54		infregelb 12124	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤) ∧ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ∈ ℝ) → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤))
55	27, 28, 34, 45, 54	syl31anc 1375	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤))
56	53, 55	bitrid 283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑆 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤))
57	41, 52, 56	3bitr2d 307	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤))
58	24	raleqi 3292	. . 3 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑅 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))(𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤)
59		fvex 6845	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
60	59	rgenw 3053	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
61		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
62		breq2 5100	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
63	61, 62	ralrnmptw 7037	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V → (∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))(𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
64	60, 63	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))(𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
65	58, 64	bitri 275	. 2 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑅 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
66	57, 65	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∀wral 3049  ∃wrex 3058  Vcvv 3438   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4283   class class class wbr 5096   ↦ cmpt 5177  ran crn 5623  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  infcinf 9342  ℝcr 11023  0cc0 11024   + caddc 11027   < clt 11164   ≤ cle 11165  2c2 12198  ↑cexp 13982  MetOpencmopn 21297  NrmCVeccnv 30608  BaseSetcba 30610   −_𝑣 cnsb 30613  norm_CVcnmcv 30614  IndMetcims 30615  SubSpcss 30745  CPreHil_OLDccphlo 30836  CBanccbn 30886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-sup 9343  df-inf 9344  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-rp 12904  df-seq 13923  df-exp 13983  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-grpo 30517  df-gid 30518  df-ginv 30519  df-gdiv 30520  df-ablo 30569  df-vc 30583  df-nv 30616  df-va 30619  df-ba 30620  df-sm 30621  df-0v 30622  df-vs 30623  df-nmcv 30624  df-ims 30625  df-ssp 30746  df-ph 30837  df-cbn 30887

This theorem is referenced by:  minvecolem7  30907