MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minvecolem6 28346
Description: Lemma for minveco 28348. Any minimal point is less than 𝑆 away from 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
minveco.n 𝑁 = (normCV𝑈)
minveco.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a (𝜑𝐴𝑋)
minveco.d 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
minveco.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
minveco.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
minvecolem6 ((𝜑𝑥𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem6
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minveco.u . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
2 phnv 28278 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑈 ∈ NrmCVec)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ NrmCVec)
43adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
5 minveco.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑋)
65adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝐴𝑋)
7 inss1 4131 . . . . . . . . 9 ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan) ⊆ (SubSp‘𝑈)
8 minveco.w . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
97, 8sseldi 3893 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))
10 minveco.x . . . . . . . . 9 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
11 minveco.y . . . . . . . . 9 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
12 eqid 2797 . . . . . . . . 9 (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
1310, 11, 12sspba 28191 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑌𝑋)
143, 9, 13syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑋)
1514sselda 3895 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑥𝑋)
16 minveco.m . . . . . . 7 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
17 minveco.n . . . . . . 7 𝑁 = (normCV𝑈)
18 minveco.d . . . . . . 7 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
1910, 16, 17, 18imsdval 28150 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝑥𝑋) → (𝐴𝐷𝑥) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)))
204, 6, 15, 19syl3anc 1364 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝐴𝐷𝑥) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)))
2120oveq1d 7038 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → ((𝐴𝐷𝑥)↑2) = ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥))↑2))
22 minveco.s . . . . . . . 8 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
23 minveco.j . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
24 minveco.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
2510, 16, 17, 11, 1, 8, 5, 18, 23, 24minvecolem1 28338 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
2625adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
2726simp1d 1135 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑅 ⊆ ℝ)
2826simp2d 1136 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑅 ≠ ∅)
29 0red 10497 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑌) → 0 ∈ ℝ)
3026simp3d 1137 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑌) → ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤)
31 breq1 4971 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 0 → (𝑥𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
3231ralbidv 3166 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 0 → (∀𝑤𝑅 𝑥𝑤 ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
3332rspcev 3561 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
3429, 30, 33syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑌) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
35 infrecl 11477 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
3627, 28, 34, 35syl3anc 1364 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑌) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
3722, 36syl5eqel 2889 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑆 ∈ ℝ)
3837resqcld 13465 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
3938recnd 10522 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
4039addid1d 10693 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → ((𝑆↑2) + 0) = (𝑆↑2))
4121, 40breq12d 4981 . . 3 ((𝜑𝑥𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥))↑2) ≤ (𝑆↑2)))
4210, 16nvmcl 28110 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝑥𝑋) → (𝐴𝑀𝑥) ∈ 𝑋)
434, 6, 15, 42syl3anc 1364 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝐴𝑀𝑥) ∈ 𝑋)
4410, 17nvcl 28125 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑥) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ∈ ℝ)
454, 43, 44syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ∈ ℝ)
4610, 17nvge0 28137 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑥) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)))
474, 43, 46syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)))
48 infregelb 11479 . . . . . . 7 (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤) ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
4927, 28, 34, 29, 48syl31anc 1366 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑌) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
5030, 49mpbird 258 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑌) → 0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
5150, 22syl6breqr 5010 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → 0 ≤ 𝑆)
5245, 37, 47, 51le2sqd 13474 . . 3 ((𝜑𝑥𝑌) → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑆 ↔ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥))↑2) ≤ (𝑆↑2)))
5322breq2i 4976 . . . 4 ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑆 ↔ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
54 infregelb 11479 . . . . 5 (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤) ∧ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ∈ ℝ) → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤))
5527, 28, 34, 45, 54syl31anc 1366 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤))
5653, 55syl5bb 284 . . 3 ((𝜑𝑥𝑌) → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑆 ↔ ∀𝑤𝑅 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤))
5741, 52, 563bitr2d 308 . 2 ((𝜑𝑥𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑤𝑅 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤))
5824raleqi 3375 . . 3 (∀𝑤𝑅 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))(𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤)
59 fvex 6558 . . . . 5 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
6059rgenw 3119 . . . 4 𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
61 eqid 2797 . . . . 5 (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
62 breq2 4972 . . . . 5 (𝑤 = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
6361, 62ralrnmpt 6732 . . . 4 (∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V → (∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))(𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
6460, 63ax-mp 5 . . 3 (∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))(𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
6558, 64bitri 276 . 2 (∀𝑤𝑅 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
6657, 65syl6bb 288 1 ((𝜑𝑥𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1525  wcel 2083  wne 2986  wral 3107  wrex 3108  Vcvv 3440  cin 3864  wss 3865  c0 4217   class class class wbr 4968  cmpt 5047  ran crn 5451  cfv 6232  (class class class)co 7023  infcinf 8758  cr 10389  0cc0 10390   + caddc 10393   < clt 10528  cle 10529  2c2 11546  cexp 13283  MetOpencmopn 20221  NrmCVeccnv 28048  BaseSetcba 28050  𝑣 cnsb 28053  normCVcnmcv 28054  IndMetcims 28055  SubSpcss 28185  CPreHilOLDccphlo 28276  CBanccbn 28326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-sup 8759  df-inf 8760  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-rp 12244  df-seq 13224  df-exp 13284  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433  df-grpo 27957  df-gid 27958  df-ginv 27959  df-gdiv 27960  df-ablo 28009  df-vc 28023  df-nv 28056  df-va 28059  df-ba 28060  df-sm 28061  df-0v 28062  df-vs 28063  df-nmcv 28064  df-ims 28065  df-ssp 28186  df-ph 28277  df-cbn 28327
This theorem is referenced by:  minvecolem7  28347
  Copyright terms: Public domain W3C validator