MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minvecolem6 29532
Description: Lemma for minveco 29534. Any minimal point is less than 𝑆 away from 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
minveco.n 𝑁 = (normCV𝑈)
minveco.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a (𝜑𝐴𝑋)
minveco.d 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
minveco.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
minveco.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
minvecolem6 ((𝜑𝑥𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem6
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minveco.u . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
2 phnv 29464 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑈 ∈ NrmCVec)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ NrmCVec)
43adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
5 minveco.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑋)
65adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝐴𝑋)
7 inss1 4180 . . . . . . . . 9 ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan) ⊆ (SubSp‘𝑈)
8 minveco.w . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
97, 8sselid 3934 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))
10 minveco.x . . . . . . . . 9 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
11 minveco.y . . . . . . . . 9 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
12 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
1310, 11, 12sspba 29377 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑌𝑋)
143, 9, 13syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑋)
1514sselda 3936 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑥𝑋)
16 minveco.m . . . . . . 7 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
17 minveco.n . . . . . . 7 𝑁 = (normCV𝑈)
18 minveco.d . . . . . . 7 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
1910, 16, 17, 18imsdval 29336 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝑥𝑋) → (𝐴𝐷𝑥) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)))
204, 6, 15, 19syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝐴𝐷𝑥) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)))
2120oveq1d 7357 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → ((𝐴𝐷𝑥)↑2) = ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥))↑2))
22 minveco.s . . . . . . . 8 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
23 minveco.j . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
24 minveco.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
2510, 16, 17, 11, 1, 8, 5, 18, 23, 24minvecolem1 29524 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
2625adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
2726simp1d 1142 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑅 ⊆ ℝ)
2826simp2d 1143 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑅 ≠ ∅)
29 0red 11084 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑌) → 0 ∈ ℝ)
3026simp3d 1144 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑌) → ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤)
31 breq1 5100 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 0 → (𝑥𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
3231ralbidv 3171 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 0 → (∀𝑤𝑅 𝑥𝑤 ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
3332rspcev 3574 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
3429, 30, 33syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑌) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
35 infrecl 12063 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
3627, 28, 34, 35syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑌) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
3722, 36eqeltrid 2842 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑆 ∈ ℝ)
3837resqcld 14071 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
3938recnd 11109 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
4039addid1d 11281 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → ((𝑆↑2) + 0) = (𝑆↑2))
4121, 40breq12d 5110 . . 3 ((𝜑𝑥𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥))↑2) ≤ (𝑆↑2)))
4210, 16nvmcl 29296 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝑥𝑋) → (𝐴𝑀𝑥) ∈ 𝑋)
434, 6, 15, 42syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝐴𝑀𝑥) ∈ 𝑋)
4410, 17nvcl 29311 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑥) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ∈ ℝ)
454, 43, 44syl2anc 585 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ∈ ℝ)
4610, 17nvge0 29323 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑥) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)))
474, 43, 46syl2anc 585 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)))
48 infregelb 12065 . . . . . . 7 (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤) ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
4927, 28, 34, 29, 48syl31anc 1373 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑌) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
5030, 49mpbird 257 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑌) → 0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
5150, 22breqtrrdi 5139 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → 0 ≤ 𝑆)
5245, 37, 47, 51le2sqd 14080 . . 3 ((𝜑𝑥𝑌) → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑆 ↔ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥))↑2) ≤ (𝑆↑2)))
5322breq2i 5105 . . . 4 ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑆 ↔ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
54 infregelb 12065 . . . . 5 (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤) ∧ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ∈ ℝ) → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤))
5527, 28, 34, 45, 54syl31anc 1373 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤))
5653, 55bitrid 283 . . 3 ((𝜑𝑥𝑌) → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑆 ↔ ∀𝑤𝑅 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤))
5741, 52, 563bitr2d 307 . 2 ((𝜑𝑥𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑤𝑅 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤))
5824raleqi 3308 . . 3 (∀𝑤𝑅 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))(𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤)
59 fvex 6843 . . . . 5 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
6059rgenw 3066 . . . 4 𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
61 eqid 2737 . . . . 5 (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
62 breq2 5101 . . . . 5 (𝑤 = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
6361, 62ralrnmptw 7031 . . . 4 (∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V → (∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))(𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
6460, 63ax-mp 5 . . 3 (∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))(𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
6558, 64bitri 275 . 2 (∀𝑤𝑅 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
6657, 65bitrdi 287 1 ((𝜑𝑥𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  Vcvv 3442  cin 3901  wss 3902  c0 4274   class class class wbr 5097  cmpt 5180  ran crn 5626  cfv 6484  (class class class)co 7342  infcinf 9303  cr 10976  0cc0 10977   + caddc 10980   < clt 11115  cle 11116  2c2 12134  cexp 13888  MetOpencmopn 20693  NrmCVeccnv 29234  BaseSetcba 29236  𝑣 cnsb 29239  normCVcnmcv 29240  IndMetcims 29241  SubSpcss 29371  CPreHilOLDccphlo 29462  CBanccbn 29512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054  ax-pre-sup 11055
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4858  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-er 8574  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-sup 9304  df-inf 9305  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-div 11739  df-nn 12080  df-2 12142  df-3 12143  df-n0 12340  df-z 12426  df-uz 12689  df-rp 12837  df-seq 13828  df-exp 13889  df-cj 14910  df-re 14911  df-im 14912  df-sqrt 15046  df-abs 15047  df-grpo 29143  df-gid 29144  df-ginv 29145  df-gdiv 29146  df-ablo 29195  df-vc 29209  df-nv 29242  df-va 29245  df-ba 29246  df-sm 29247  df-0v 29248  df-vs 29249  df-nmcv 29250  df-ims 29251  df-ssp 29372  df-ph 29463  df-cbn 29513
This theorem is referenced by:  minvecolem7  29533
  Copyright terms: Public domain W3C validator