Theorem minvecolem6 30122

Description: Lemma for minveco 30124. Any minimal point is less than 𝑆 away from 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
minveco.x	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
minveco.n	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
minveco.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
minveco.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
minveco.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
minveco.r	⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s	⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
minvecolem6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem6

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minveco.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
2		phnv 30054	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ NrmCVec)
4	3	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
5		minveco.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
6	5	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝐴 ∈ 𝑋)
7		inss1 4227	. . . . . . . . 9 ⊢ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan) ⊆ (SubSp‘𝑈)
8		minveco.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
9	7, 8	sselid 3979	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))
10		minveco.x	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
11		minveco.y	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
12		eqid 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
13	10, 11, 12	sspba 29967	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
14	3, 9, 13	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
15	14	sselda 3981	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑥 ∈ 𝑋)
16		minveco.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
17		minveco.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
18		minveco.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
19	10, 16, 17, 18	imsdval 29926	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝑥) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)))
20	4, 6, 15, 19	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝐴𝐷𝑥) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)))
21	20	oveq1d 7420	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝐴𝐷𝑥)↑2) = ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥))↑2))
22		minveco.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
23		minveco.j	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
24		minveco.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
25	10, 16, 17, 11, 1, 8, 5, 18, 23, 24	minvecolem1 30114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
26	25	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
27	26	simp1d 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑅 ⊆ ℝ)
28	26	simp2d 1143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑅 ≠ ∅)
29		0red 11213	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 0 ∈ ℝ)
30	26	simp3d 1144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤)
31		breq1 5150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ 𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
32	31	ralbidv 3177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
33	32	rspcev 3612	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤)
34	29, 30, 33	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤)
35		infrecl 12192	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
36	27, 28, 34, 35	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
37	22, 36	eqeltrid 2837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑆 ∈ ℝ)
38	37	resqcld 14086	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
39	38	recnd 11238	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
40	39	addridd 11410	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝑆↑2) + 0) = (𝑆↑2))
41	21, 40	breq12d 5160	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥))↑2) ≤ (𝑆↑2)))
42	10, 16	nvmcl 29886	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀𝑥) ∈ 𝑋)
43	4, 6, 15, 42	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝐴𝑀𝑥) ∈ 𝑋)
44	10, 17	nvcl 29901	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑥) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ∈ ℝ)
45	4, 43, 44	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ∈ ℝ)
46	10, 17	nvge0 29913	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑥) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)))
47	4, 43, 46	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)))
48		infregelb 12194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤) ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
49	27, 28, 34, 29, 48	syl31anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
50	30, 49	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
51	50, 22	breqtrrdi 5189	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 0 ≤ 𝑆)
52	45, 37, 47, 51	le2sqd 14216	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑆 ↔ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥))↑2) ≤ (𝑆↑2)))
53	22	breq2i 5155	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑆 ↔ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
54		infregelb 12194	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤) ∧ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ∈ ℝ) → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤))
55	27, 28, 34, 45, 54	syl31anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤))
56	53, 55	bitrid 282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑆 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤))
57	41, 52, 56	3bitr2d 306	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤))
58	24	raleqi 3323	. . 3 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑅 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))(𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤)
59		fvex 6901	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
60	59	rgenw 3065	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
61		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
62		breq2 5151	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
63	61, 62	ralrnmptw 7092	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V → (∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))(𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
64	60, 63	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))(𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
65	58, 64	bitri 274	. 2 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑅 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
66	57, 65	bitrdi 286	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  Vcvv 3474   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ran crn 5676  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  infcinf 9432  ℝcr 11105  0cc0 11106   + caddc 11109   < clt 11244   ≤ cle 11245  2c2 12263  ↑cexp 14023  MetOpencmopn 20926  NrmCVeccnv 29824  BaseSetcba 29826   −_𝑣 cnsb 29829  norm_CVcnmcv 29830  IndMetcims 29831  SubSpcss 29961  CPreHil_OLDccphlo 30052  CBanccbn 30102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-grpo 29733  df-gid 29734  df-ginv 29735  df-gdiv 29736  df-ablo 29785  df-vc 29799  df-nv 29832  df-va 29835  df-ba 29836  df-sm 29837  df-0v 29838  df-vs 29839  df-nmcv 29840  df-ims 29841  df-ssp 29962  df-ph 30053  df-cbn 30103

This theorem is referenced by:  minvecolem7  30123