Theorem minvecolem6 30826

Description: Lemma for minveco 30828. Any minimal point is less than 𝑆 away from 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
minveco.x	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
minveco.n	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
minveco.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
minveco.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
minveco.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
minveco.r	⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s	⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
minvecolem6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem6

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minveco.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
2		phnv 30758	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ NrmCVec)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
5		minveco.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
6	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝐴 ∈ 𝑋)
7		inss1 4188	. . . . . . . . 9 ⊢ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan) ⊆ (SubSp‘𝑈)
8		minveco.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
9	7, 8	sselid 3933	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))
10		minveco.x	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
11		minveco.y	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
12		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
13	10, 11, 12	sspba 30671	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
14	3, 9, 13	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
15	14	sselda 3935	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑥 ∈ 𝑋)
16		minveco.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
17		minveco.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
18		minveco.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
19	10, 16, 17, 18	imsdval 30630	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝑥) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)))
20	4, 6, 15, 19	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝐴𝐷𝑥) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)))
21	20	oveq1d 7364	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝐴𝐷𝑥)↑2) = ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥))↑2))
22		minveco.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
23		minveco.j	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
24		minveco.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
25	10, 16, 17, 11, 1, 8, 5, 18, 23, 24	minvecolem1 30818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
27	26	simp1d 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑅 ⊆ ℝ)
28	26	simp2d 1143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑅 ≠ ∅)
29		0red 11118	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 0 ∈ ℝ)
30	26	simp3d 1144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤)
31		breq1 5095	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ 𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
32	31	ralbidv 3152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
33	32	rspcev 3577	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤)
34	29, 30, 33	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤)
35		infrecl 12107	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
36	27, 28, 34, 35	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
37	22, 36	eqeltrid 2832	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑆 ∈ ℝ)
38	37	resqcld 14032	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
39	38	recnd 11143	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
40	39	addridd 11316	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝑆↑2) + 0) = (𝑆↑2))
41	21, 40	breq12d 5105	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥))↑2) ≤ (𝑆↑2)))
42	10, 16	nvmcl 30590	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀𝑥) ∈ 𝑋)
43	4, 6, 15, 42	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝐴𝑀𝑥) ∈ 𝑋)
44	10, 17	nvcl 30605	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑥) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ∈ ℝ)
45	4, 43, 44	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ∈ ℝ)
46	10, 17	nvge0 30617	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑥) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)))
47	4, 43, 46	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)))
48		infregelb 12109	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤) ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
49	27, 28, 34, 29, 48	syl31anc 1375	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
50	30, 49	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
51	50, 22	breqtrrdi 5134	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 0 ≤ 𝑆)
52	45, 37, 47, 51	le2sqd 14164	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑆 ↔ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥))↑2) ≤ (𝑆↑2)))
53	22	breq2i 5100	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑆 ↔ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
54		infregelb 12109	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤) ∧ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ∈ ℝ) → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤))
55	27, 28, 34, 45, 54	syl31anc 1375	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤))
56	53, 55	bitrid 283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑆 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤))
57	41, 52, 56	3bitr2d 307	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤))
58	24	raleqi 3287	. . 3 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑅 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))(𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤)
59		fvex 6835	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
60	59	rgenw 3048	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
61		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
62		breq2 5096	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
63	61, 62	ralrnmptw 7028	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V → (∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))(𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
64	60, 63	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))(𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
65	58, 64	bitri 275	. 2 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑅 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
66	57, 65	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3436   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173  ran crn 5620  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  infcinf 9331  ℝcr 11008  0cc0 11009   + caddc 11012   < clt 11149   ≤ cle 11150  2c2 12183  ↑cexp 13968  MetOpencmopn 21251  NrmCVeccnv 30528  BaseSetcba 30530   −_𝑣 cnsb 30533  norm_CVcnmcv 30534  IndMetcims 30535  SubSpcss 30665  CPreHil_OLDccphlo 30756  CBanccbn 30806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-grpo 30437  df-gid 30438  df-ginv 30439  df-gdiv 30440  df-ablo 30489  df-vc 30503  df-nv 30536  df-va 30539  df-ba 30540  df-sm 30541  df-0v 30542  df-vs 30543  df-nmcv 30544  df-ims 30545  df-ssp 30666  df-ph 30757  df-cbn 30807

This theorem is referenced by:  minvecolem7  30827