Theorem minvecolem6 30402

Description: Lemma for minveco 30404. Any minimal point is less than 𝑆 away from 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
minveco.x	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
minveco.n	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
minveco.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
minveco.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
minveco.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
minveco.r	⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s	⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
minvecolem6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem6

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minveco.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
2		phnv 30334	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ NrmCVec)
4	3	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
5		minveco.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
6	5	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝐴 ∈ 𝑋)
7		inss1 4227	. . . . . . . . 9 ⊢ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan) ⊆ (SubSp‘𝑈)
8		minveco.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
9	7, 8	sselid 3979	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))
10		minveco.x	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
11		minveco.y	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
12		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
13	10, 11, 12	sspba 30247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
14	3, 9, 13	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
15	14	sselda 3981	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑥 ∈ 𝑋)
16		minveco.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
17		minveco.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
18		minveco.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
19	10, 16, 17, 18	imsdval 30206	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝑥) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)))
20	4, 6, 15, 19	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝐴𝐷𝑥) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)))
21	20	oveq1d 7426	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝐴𝐷𝑥)↑2) = ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥))↑2))
22		minveco.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
23		minveco.j	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
24		minveco.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
25	10, 16, 17, 11, 1, 8, 5, 18, 23, 24	minvecolem1 30394	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
26	25	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
27	26	simp1d 1140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑅 ⊆ ℝ)
28	26	simp2d 1141	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑅 ≠ ∅)
29		0red 11221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 0 ∈ ℝ)
30	26	simp3d 1142	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤)
31		breq1 5150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ 𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
32	31	ralbidv 3175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
33	32	rspcev 3611	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤)
34	29, 30, 33	syl2anc 582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤)
35		infrecl 12200	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
36	27, 28, 34, 35	syl3anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
37	22, 36	eqeltrid 2835	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑆 ∈ ℝ)
38	37	resqcld 14094	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
39	38	recnd 11246	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
40	39	addridd 11418	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝑆↑2) + 0) = (𝑆↑2))
41	21, 40	breq12d 5160	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥))↑2) ≤ (𝑆↑2)))
42	10, 16	nvmcl 30166	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀𝑥) ∈ 𝑋)
43	4, 6, 15, 42	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝐴𝑀𝑥) ∈ 𝑋)
44	10, 17	nvcl 30181	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑥) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ∈ ℝ)
45	4, 43, 44	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ∈ ℝ)
46	10, 17	nvge0 30193	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑥) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)))
47	4, 43, 46	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)))
48		infregelb 12202	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤) ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
49	27, 28, 34, 29, 48	syl31anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
50	30, 49	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
51	50, 22	breqtrrdi 5189	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 0 ≤ 𝑆)
52	45, 37, 47, 51	le2sqd 14224	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑆 ↔ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥))↑2) ≤ (𝑆↑2)))
53	22	breq2i 5155	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑆 ↔ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
54		infregelb 12202	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤) ∧ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ∈ ℝ) → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤))
55	27, 28, 34, 45, 54	syl31anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤))
56	53, 55	bitrid 282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑆 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤))
57	41, 52, 56	3bitr2d 306	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤))
58	24	raleqi 3321	. . 3 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑅 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))(𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤)
59		fvex 6903	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
60	59	rgenw 3063	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
61		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
62		breq2 5151	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
63	61, 62	ralrnmptw 7094	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V → (∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))(𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
64	60, 63	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))(𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
65	58, 64	bitri 274	. 2 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑅 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
66	57, 65	bitrdi 286	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  Vcvv 3472   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ran crn 5676  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  infcinf 9438  ℝcr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115   < clt 11252   ≤ cle 11253  2c2 12271  ↑cexp 14031  MetOpencmopn 21134  NrmCVeccnv 30104  BaseSetcba 30106   −_𝑣 cnsb 30109  norm_CVcnmcv 30110  IndMetcims 30111  SubSpcss 30241  CPreHil_OLDccphlo 30332  CBanccbn 30382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-grpo 30013  df-gid 30014  df-ginv 30015  df-gdiv 30016  df-ablo 30065  df-vc 30079  df-nv 30112  df-va 30115  df-ba 30116  df-sm 30117  df-0v 30118  df-vs 30119  df-nmcv 30120  df-ims 30121  df-ssp 30242  df-ph 30333  df-cbn 30383

This theorem is referenced by:  minvecolem7  30403