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Theorem nmoub3i 29889
Description: An upper bound for an operator norm. (Contributed by NM, 12-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoubi.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
nmoubi.y π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
nmoubi.l 𝐿 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
nmoubi.m 𝑀 = (normCVβ€˜π‘Š)
nmoubi.3 𝑁 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
nmoubi.u π‘ˆ ∈ NrmCVec
nmoubi.w π‘Š ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmoub3i ((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘β€˜π‘‡) ≀ (absβ€˜π΄))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐿   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,π‘Š   π‘₯,π‘Œ   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝑇   π‘₯,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑁(π‘₯)

Proof of Theorem nmoub3i
StepHypRef Expression
1 nmoubi.u . . . . . . . . . . . . 13 π‘ˆ ∈ NrmCVec
2 nmoubi.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
3 nmoubi.l . . . . . . . . . . . . . 14 𝐿 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
42, 3nvcl 29777 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΏβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
51, 4mpan 688 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ (πΏβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
6 remulcl 11177 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
75, 6sylan2 593 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
87adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 1) β†’ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
9 recn 11182 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
109abscld 15365 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (absβ€˜π΄) ∈ ℝ)
11 remulcl 11177 . . . . . . . . . . . 12 (((absβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜π΄) Β· (πΏβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
1210, 5, 11syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((absβ€˜π΄) Β· (πΏβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
1312adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 1) β†’ ((absβ€˜π΄) Β· (πΏβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
1410ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 1) β†’ (absβ€˜π΄) ∈ ℝ)
15 simpl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1610adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜π΄) ∈ ℝ)
172, 3nvge0 29789 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (πΏβ€˜π‘₯))
181, 17mpan 688 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ 0 ≀ (πΏβ€˜π‘₯))
195, 18jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ ((πΏβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΏβ€˜π‘₯)))
2019adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((πΏβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΏβ€˜π‘₯)))
21 leabs 15228 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 𝐴 ≀ (absβ€˜π΄))
2221adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ≀ (absβ€˜π΄))
23 lemul1a 12050 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (absβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ ((πΏβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΏβ€˜π‘₯))) ∧ 𝐴 ≀ (absβ€˜π΄)) β†’ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯)) ≀ ((absβ€˜π΄) Β· (πΏβ€˜π‘₯)))
2415, 16, 20, 22, 23syl31anc 1373 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯)) ≀ ((absβ€˜π΄) Β· (πΏβ€˜π‘₯)))
2524adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 1) β†’ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯)) ≀ ((absβ€˜π΄) Β· (πΏβ€˜π‘₯)))
265adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΏβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
27 1red 11197 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 1 ∈ ℝ)
289absge0d 15373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 0 ≀ (absβ€˜π΄))
2928adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (absβ€˜π΄))
3016, 29jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((absβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π΄)))
3126, 27, 303jca 1128 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((πΏβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((absβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π΄))))
32 lemul2a 12051 . . . . . . . . . . . 12 ((((πΏβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((absβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π΄))) ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 1) β†’ ((absβ€˜π΄) Β· (πΏβ€˜π‘₯)) ≀ ((absβ€˜π΄) Β· 1))
3331, 32sylan 580 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 1) β†’ ((absβ€˜π΄) Β· (πΏβ€˜π‘₯)) ≀ ((absβ€˜π΄) Β· 1))
3410recnd 11224 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (absβ€˜π΄) ∈ β„‚)
3534mulridd 11213 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((absβ€˜π΄) Β· 1) = (absβ€˜π΄))
3635ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 1) β†’ ((absβ€˜π΄) Β· 1) = (absβ€˜π΄))
3733, 36breqtrd 5167 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 1) β†’ ((absβ€˜π΄) Β· (πΏβ€˜π‘₯)) ≀ (absβ€˜π΄))
388, 13, 14, 25, 37letrd 11353 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 1) β†’ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯)) ≀ (absβ€˜π΄))
3938adantlll 716 . . . . . . . 8 ((((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 1) β†’ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯)) ≀ (absβ€˜π΄))
40 nmoubi.w . . . . . . . . . . . 12 π‘Š ∈ NrmCVec
41 ffvelcdm 7068 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ π‘Œ)
42 nmoubi.y . . . . . . . . . . . . 13 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
43 nmoubi.m . . . . . . . . . . . . 13 𝑀 = (normCVβ€˜π‘Š)
4442, 43nvcl 29777 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ π‘Œ) β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
4540, 41, 44sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
4645adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
477adantll 712 . . . . . . . . . 10 (((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
4810ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜π΄) ∈ ℝ)
49 letr 11290 . . . . . . . . . 10 (((π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ (((π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯)) ∧ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯)) ≀ (absβ€˜π΄)) β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ≀ (absβ€˜π΄)))
5046, 47, 48, 49syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯)) ∧ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯)) ≀ (absβ€˜π΄)) β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ≀ (absβ€˜π΄)))
5150adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 1) β†’ (((π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯)) ∧ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯)) ≀ (absβ€˜π΄)) β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ≀ (absβ€˜π΄)))
5239, 51mpan2d 692 . . . . . . 7 ((((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 1) β†’ ((π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯)) β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ≀ (absβ€˜π΄)))
5352ex 413 . . . . . 6 (((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((πΏβ€˜π‘₯) ≀ 1 β†’ ((π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯)) β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ≀ (absβ€˜π΄))))
5453com23 86 . . . . 5 (((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯)) β†’ ((πΏβ€˜π‘₯) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ≀ (absβ€˜π΄))))
5554ralimdva 3166 . . . 4 ((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘₯) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ≀ (absβ€˜π΄))))
5655imp 407 . . 3 (((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘₯) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ≀ (absβ€˜π΄)))
5710rexrd 11246 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (absβ€˜π΄) ∈ ℝ*)
58 nmoubi.3 . . . . . 6 𝑁 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
592, 42, 3, 43, 58, 1, 40nmoubi 29888 . . . . 5 ((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ (absβ€˜π΄) ∈ ℝ*) β†’ ((π‘β€˜π‘‡) ≀ (absβ€˜π΄) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘₯) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ≀ (absβ€˜π΄))))
6057, 59sylan2 593 . . . 4 ((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ ((π‘β€˜π‘‡) ≀ (absβ€˜π΄) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘₯) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ≀ (absβ€˜π΄))))
6160biimpar 478 . . 3 (((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘₯) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ≀ (absβ€˜π΄))) β†’ (π‘β€˜π‘‡) ≀ (absβ€˜π΄))
6256, 61syldan 591 . 2 (((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘β€˜π‘‡) ≀ (absβ€˜π΄))
63623impa 1110 1 ((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘β€˜π‘‡) ≀ (absβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3060   class class class wbr 5141  βŸΆwf 6528  β€˜cfv 6532  (class class class)co 7393  β„cr 11091  0cc0 11092  1c1 11093   Β· cmul 11097  β„*cxr 11229   ≀ cle 11231  abscabs 15163  NrmCVeccnv 29700  BaseSetcba 29702  normCVcnmcv 29706   normOpOLD cnmoo 29857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-sup 9419  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-rp 12957  df-seq 13949  df-exp 14010  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-grpo 29609  df-gid 29610  df-ginv 29611  df-ablo 29661  df-vc 29675  df-nv 29708  df-va 29711  df-ba 29712  df-sm 29713  df-0v 29714  df-nmcv 29716  df-nmoo 29861
This theorem is referenced by:  nmoub2i  29890  isblo3i  29917
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