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Theorem nmoub3i 30570
Description: An upper bound for an operator norm. (Contributed by NM, 12-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoubi.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmoubi.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmoubi.l 𝐿 = (normCV𝑈)
nmoubi.m 𝑀 = (normCV𝑊)
nmoubi.3 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmoubi.u 𝑈 ∈ NrmCVec
nmoubi.w 𝑊 ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmoub3i ((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥))) → (𝑁𝑇) ≤ (abs‘𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐿   𝑥,𝑈   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌   𝑥,𝑀   𝑥,𝑇   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem nmoub3i
StepHypRef Expression
1 nmoubi.u . . . . . . . . . . . . 13 𝑈 ∈ NrmCVec
2 nmoubi.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3 nmoubi.l . . . . . . . . . . . . . 14 𝐿 = (normCV𝑈)
42, 3nvcl 30458 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) → (𝐿𝑥) ∈ ℝ)
51, 4mpan 689 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝑋 → (𝐿𝑥) ∈ ℝ)
6 remulcl 11215 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐿𝑥) ∈ ℝ) → (𝐴 · (𝐿𝑥)) ∈ ℝ)
75, 6sylan2 592 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → (𝐴 · (𝐿𝑥)) ∈ ℝ)
87adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (𝐿𝑥)) ∈ ℝ)
9 recn 11220 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
109abscld 15407 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
11 remulcl 11215 . . . . . . . . . . . 12 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐿𝑥) ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) · (𝐿𝑥)) ∈ ℝ)
1210, 5, 11syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → ((abs‘𝐴) · (𝐿𝑥)) ∈ ℝ)
1312adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) · (𝐿𝑥)) ∈ ℝ)
1410ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
15 simpl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
1610adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
172, 3nvge0 30470 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) → 0 ≤ (𝐿𝑥))
181, 17mpan 689 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑋 → 0 ≤ (𝐿𝑥))
195, 18jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝑋 → ((𝐿𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐿𝑥)))
2019adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → ((𝐿𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐿𝑥)))
21 leabs 15270 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
2221adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
23 lemul1a 12090 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ((𝐿𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐿𝑥))) ∧ 𝐴 ≤ (abs‘𝐴)) → (𝐴 · (𝐿𝑥)) ≤ ((abs‘𝐴) · (𝐿𝑥)))
2415, 16, 20, 22, 23syl31anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → (𝐴 · (𝐿𝑥)) ≤ ((abs‘𝐴) · (𝐿𝑥)))
2524adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (𝐿𝑥)) ≤ ((abs‘𝐴) · (𝐿𝑥)))
265adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → (𝐿𝑥) ∈ ℝ)
27 1red 11237 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → 1 ∈ ℝ)
289absge0d 15415 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
2928adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
3016, 29jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
3126, 27, 303jca 1126 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → ((𝐿𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴))))
32 lemul2a 12091 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐿𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴))) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) · (𝐿𝑥)) ≤ ((abs‘𝐴) · 1))
3331, 32sylan 579 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) · (𝐿𝑥)) ≤ ((abs‘𝐴) · 1))
3410recnd 11264 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
3534mulridd 11253 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴) · 1) = (abs‘𝐴))
3635ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) · 1) = (abs‘𝐴))
3733, 36breqtrd 5168 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) · (𝐿𝑥)) ≤ (abs‘𝐴))
388, 13, 14, 25, 37letrd 11393 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (𝐿𝑥)) ≤ (abs‘𝐴))
3938adantlll 717 . . . . . . . 8 ((((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (𝐿𝑥)) ≤ (abs‘𝐴))
40 nmoubi.w . . . . . . . . . . . 12 𝑊 ∈ NrmCVec
41 ffvelcdm 7085 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇:𝑋𝑌𝑥𝑋) → (𝑇𝑥) ∈ 𝑌)
42 nmoubi.y . . . . . . . . . . . . 13 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
43 nmoubi.m . . . . . . . . . . . . 13 𝑀 = (normCV𝑊)
4442, 43nvcl 30458 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝑥) ∈ 𝑌) → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
4540, 41, 44sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇:𝑋𝑌𝑥𝑋) → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
4645adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
477adantll 713 . . . . . . . . . 10 (((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → (𝐴 · (𝐿𝑥)) ∈ ℝ)
4810ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
49 letr 11330 . . . . . . . . . 10 (((𝑀‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · (𝐿𝑥)) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ) → (((𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) ∧ (𝐴 · (𝐿𝑥)) ≤ (abs‘𝐴)) → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (abs‘𝐴)))
5046, 47, 48, 49syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → (((𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) ∧ (𝐴 · (𝐿𝑥)) ≤ (abs‘𝐴)) → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (abs‘𝐴)))
5150adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → (((𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) ∧ (𝐴 · (𝐿𝑥)) ≤ (abs‘𝐴)) → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (abs‘𝐴)))
5239, 51mpan2d 693 . . . . . . 7 ((((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → ((𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (abs‘𝐴)))
5352ex 412 . . . . . 6 (((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝐿𝑥) ≤ 1 → ((𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (abs‘𝐴))))
5453com23 86 . . . . 5 (((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) → ((𝐿𝑥) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (abs‘𝐴))))
5554ralimdva 3162 . . . 4 ((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝑋 (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) → ∀𝑥𝑋 ((𝐿𝑥) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (abs‘𝐴))))
5655imp 406 . . 3 (((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥))) → ∀𝑥𝑋 ((𝐿𝑥) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (abs‘𝐴)))
5710rexrd 11286 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ*)
58 nmoubi.3 . . . . . 6 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
592, 42, 3, 43, 58, 1, 40nmoubi 30569 . . . . 5 ((𝑇:𝑋𝑌 ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ*) → ((𝑁𝑇) ≤ (abs‘𝐴) ↔ ∀𝑥𝑋 ((𝐿𝑥) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (abs‘𝐴))))
6057, 59sylan2 592 . . . 4 ((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑁𝑇) ≤ (abs‘𝐴) ↔ ∀𝑥𝑋 ((𝐿𝑥) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (abs‘𝐴))))
6160biimpar 477 . . 3 (((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝑋 ((𝐿𝑥) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (abs‘𝐴))) → (𝑁𝑇) ≤ (abs‘𝐴))
6256, 61syldan 590 . 2 (((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥))) → (𝑁𝑇) ≤ (abs‘𝐴))
63623impa 1108 1 ((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥))) → (𝑁𝑇) ≤ (abs‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3056   class class class wbr 5142  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7414  cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   · cmul 11135  *cxr 11269  cle 11271  abscabs 15205  NrmCVeccnv 30381  BaseSetcba 30383  normCVcnmcv 30387   normOpOLD cnmoo 30538
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-grpo 30290  df-gid 30291  df-ginv 30292  df-ablo 30342  df-vc 30356  df-nv 30389  df-va 30392  df-ba 30393  df-sm 30394  df-0v 30395  df-nmcv 30397  df-nmoo 30542
This theorem is referenced by:  nmoub2i  30571  isblo3i  30598
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