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Theorem nmoub3i 30802
Description: An upper bound for an operator norm. (Contributed by NM, 12-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoubi.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmoubi.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmoubi.l 𝐿 = (normCV𝑈)
nmoubi.m 𝑀 = (normCV𝑊)
nmoubi.3 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmoubi.u 𝑈 ∈ NrmCVec
nmoubi.w 𝑊 ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmoub3i ((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥))) → (𝑁𝑇) ≤ (abs‘𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐿   𝑥,𝑈   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌   𝑥,𝑀   𝑥,𝑇   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem nmoub3i
StepHypRef Expression
1 nmoubi.u . . . . . . . . . . . . 13 𝑈 ∈ NrmCVec
2 nmoubi.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3 nmoubi.l . . . . . . . . . . . . . 14 𝐿 = (normCV𝑈)
42, 3nvcl 30690 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) → (𝐿𝑥) ∈ ℝ)
51, 4mpan 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝑋 → (𝐿𝑥) ∈ ℝ)
6 remulcl 11238 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐿𝑥) ∈ ℝ) → (𝐴 · (𝐿𝑥)) ∈ ℝ)
75, 6sylan2 593 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → (𝐴 · (𝐿𝑥)) ∈ ℝ)
87adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (𝐿𝑥)) ∈ ℝ)
9 recn 11243 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
109abscld 15472 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
11 remulcl 11238 . . . . . . . . . . . 12 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐿𝑥) ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) · (𝐿𝑥)) ∈ ℝ)
1210, 5, 11syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → ((abs‘𝐴) · (𝐿𝑥)) ∈ ℝ)
1312adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) · (𝐿𝑥)) ∈ ℝ)
1410ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
15 simpl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
1610adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
172, 3nvge0 30702 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) → 0 ≤ (𝐿𝑥))
181, 17mpan 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑋 → 0 ≤ (𝐿𝑥))
195, 18jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝑋 → ((𝐿𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐿𝑥)))
2019adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → ((𝐿𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐿𝑥)))
21 leabs 15335 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
2221adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
23 lemul1a 12119 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ((𝐿𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐿𝑥))) ∧ 𝐴 ≤ (abs‘𝐴)) → (𝐴 · (𝐿𝑥)) ≤ ((abs‘𝐴) · (𝐿𝑥)))
2415, 16, 20, 22, 23syl31anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → (𝐴 · (𝐿𝑥)) ≤ ((abs‘𝐴) · (𝐿𝑥)))
2524adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (𝐿𝑥)) ≤ ((abs‘𝐴) · (𝐿𝑥)))
265adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → (𝐿𝑥) ∈ ℝ)
27 1red 11260 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → 1 ∈ ℝ)
289absge0d 15480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
2928adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
3016, 29jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
3126, 27, 303jca 1127 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → ((𝐿𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴))))
32 lemul2a 12120 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐿𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴))) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) · (𝐿𝑥)) ≤ ((abs‘𝐴) · 1))
3331, 32sylan 580 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) · (𝐿𝑥)) ≤ ((abs‘𝐴) · 1))
3410recnd 11287 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
3534mulridd 11276 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴) · 1) = (abs‘𝐴))
3635ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) · 1) = (abs‘𝐴))
3733, 36breqtrd 5174 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) · (𝐿𝑥)) ≤ (abs‘𝐴))
388, 13, 14, 25, 37letrd 11416 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (𝐿𝑥)) ≤ (abs‘𝐴))
3938adantlll 718 . . . . . . . 8 ((((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (𝐿𝑥)) ≤ (abs‘𝐴))
40 nmoubi.w . . . . . . . . . . . 12 𝑊 ∈ NrmCVec
41 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇:𝑋𝑌𝑥𝑋) → (𝑇𝑥) ∈ 𝑌)
42 nmoubi.y . . . . . . . . . . . . 13 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
43 nmoubi.m . . . . . . . . . . . . 13 𝑀 = (normCV𝑊)
4442, 43nvcl 30690 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝑥) ∈ 𝑌) → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
4540, 41, 44sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇:𝑋𝑌𝑥𝑋) → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
4645adantlr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
477adantll 714 . . . . . . . . . 10 (((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → (𝐴 · (𝐿𝑥)) ∈ ℝ)
4810ad2antlr 727 . . . . . . . . . 10 (((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
49 letr 11353 . . . . . . . . . 10 (((𝑀‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · (𝐿𝑥)) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ) → (((𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) ∧ (𝐴 · (𝐿𝑥)) ≤ (abs‘𝐴)) → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (abs‘𝐴)))
5046, 47, 48, 49syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → (((𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) ∧ (𝐴 · (𝐿𝑥)) ≤ (abs‘𝐴)) → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (abs‘𝐴)))
5150adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → (((𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) ∧ (𝐴 · (𝐿𝑥)) ≤ (abs‘𝐴)) → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (abs‘𝐴)))
5239, 51mpan2d 694 . . . . . . 7 ((((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → ((𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (abs‘𝐴)))
5352ex 412 . . . . . 6 (((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝐿𝑥) ≤ 1 → ((𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (abs‘𝐴))))
5453com23 86 . . . . 5 (((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) → ((𝐿𝑥) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (abs‘𝐴))))
5554ralimdva 3165 . . . 4 ((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝑋 (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) → ∀𝑥𝑋 ((𝐿𝑥) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (abs‘𝐴))))
5655imp 406 . . 3 (((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥))) → ∀𝑥𝑋 ((𝐿𝑥) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (abs‘𝐴)))
5710rexrd 11309 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ*)
58 nmoubi.3 . . . . . 6 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
592, 42, 3, 43, 58, 1, 40nmoubi 30801 . . . . 5 ((𝑇:𝑋𝑌 ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ*) → ((𝑁𝑇) ≤ (abs‘𝐴) ↔ ∀𝑥𝑋 ((𝐿𝑥) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (abs‘𝐴))))
6057, 59sylan2 593 . . . 4 ((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑁𝑇) ≤ (abs‘𝐴) ↔ ∀𝑥𝑋 ((𝐿𝑥) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (abs‘𝐴))))
6160biimpar 477 . . 3 (((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝑋 ((𝐿𝑥) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (abs‘𝐴))) → (𝑁𝑇) ≤ (abs‘𝐴))
6256, 61syldan 591 . 2 (((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥))) → (𝑁𝑇) ≤ (abs‘𝐴))
63623impa 1109 1 ((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥))) → (𝑁𝑇) ≤ (abs‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059   class class class wbr 5148  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158  *cxr 11292  cle 11294  abscabs 15270  NrmCVeccnv 30613  BaseSetcba 30615  normCVcnmcv 30619   normOpOLD cnmoo 30770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-nmcv 30629  df-nmoo 30774
This theorem is referenced by:  nmoub2i  30803  isblo3i  30830
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