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Theorem nmoub3i 27952
Description: An upper bound for an operator norm. (Contributed by NM, 12-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoubi.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmoubi.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmoubi.l 𝐿 = (normCV𝑈)
nmoubi.m 𝑀 = (normCV𝑊)
nmoubi.3 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmoubi.u 𝑈 ∈ NrmCVec
nmoubi.w 𝑊 ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmoub3i ((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥))) → (𝑁𝑇) ≤ (abs‘𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐿   𝑥,𝑈   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌   𝑥,𝑀   𝑥,𝑇   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem nmoub3i
StepHypRef Expression
1 nmoubi.u . . . . . . . . . . . . 13 𝑈 ∈ NrmCVec
2 nmoubi.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3 nmoubi.l . . . . . . . . . . . . . 14 𝐿 = (normCV𝑈)
42, 3nvcl 27840 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) → (𝐿𝑥) ∈ ℝ)
51, 4mpan 673 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝑋 → (𝐿𝑥) ∈ ℝ)
6 remulcl 10302 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐿𝑥) ∈ ℝ) → (𝐴 · (𝐿𝑥)) ∈ ℝ)
75, 6sylan2 582 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → (𝐴 · (𝐿𝑥)) ∈ ℝ)
87adantr 468 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (𝐿𝑥)) ∈ ℝ)
9 recn 10307 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
109abscld 14394 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
11 remulcl 10302 . . . . . . . . . . . 12 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐿𝑥) ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) · (𝐿𝑥)) ∈ ℝ)
1210, 5, 11syl2an 585 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → ((abs‘𝐴) · (𝐿𝑥)) ∈ ℝ)
1312adantr 468 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) · (𝐿𝑥)) ∈ ℝ)
1410ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
15 simpl 470 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
1610adantr 468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
172, 3nvge0 27852 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) → 0 ≤ (𝐿𝑥))
181, 17mpan 673 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑋 → 0 ≤ (𝐿𝑥))
195, 18jca 503 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝑋 → ((𝐿𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐿𝑥)))
2019adantl 469 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → ((𝐿𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐿𝑥)))
21 leabs 14258 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
2221adantr 468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
23 lemul1a 11158 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ((𝐿𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐿𝑥))) ∧ 𝐴 ≤ (abs‘𝐴)) → (𝐴 · (𝐿𝑥)) ≤ ((abs‘𝐴) · (𝐿𝑥)))
2415, 16, 20, 22, 23syl31anc 1485 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → (𝐴 · (𝐿𝑥)) ≤ ((abs‘𝐴) · (𝐿𝑥)))
2524adantr 468 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (𝐿𝑥)) ≤ ((abs‘𝐴) · (𝐿𝑥)))
265adantl 469 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → (𝐿𝑥) ∈ ℝ)
27 1red 10322 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → 1 ∈ ℝ)
289absge0d 14402 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
2928adantr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
3016, 29jca 503 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
3126, 27, 303jca 1151 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → ((𝐿𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴))))
32 lemul2a 11159 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐿𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴))) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) · (𝐿𝑥)) ≤ ((abs‘𝐴) · 1))
3331, 32sylan 571 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) · (𝐿𝑥)) ≤ ((abs‘𝐴) · 1))
3410recnd 10349 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
3534mulid1d 10338 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴) · 1) = (abs‘𝐴))
3635ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) · 1) = (abs‘𝐴))
3733, 36breqtrd 4870 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) · (𝐿𝑥)) ≤ (abs‘𝐴))
388, 13, 14, 25, 37letrd 10475 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (𝐿𝑥)) ≤ (abs‘𝐴))
3938adantlll 700 . . . . . . . 8 ((((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (𝐿𝑥)) ≤ (abs‘𝐴))
40 nmoubi.w . . . . . . . . . . . 12 𝑊 ∈ NrmCVec
41 ffvelrn 6575 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇:𝑋𝑌𝑥𝑋) → (𝑇𝑥) ∈ 𝑌)
42 nmoubi.y . . . . . . . . . . . . 13 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
43 nmoubi.m . . . . . . . . . . . . 13 𝑀 = (normCV𝑊)
4442, 43nvcl 27840 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝑥) ∈ 𝑌) → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
4540, 41, 44sylancr 577 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇:𝑋𝑌𝑥𝑋) → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
4645adantlr 697 . . . . . . . . . 10 (((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
477adantll 696 . . . . . . . . . 10 (((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → (𝐴 · (𝐿𝑥)) ∈ ℝ)
4810ad2antlr 709 . . . . . . . . . 10 (((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
49 letr 10412 . . . . . . . . . 10 (((𝑀‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · (𝐿𝑥)) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ) → (((𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) ∧ (𝐴 · (𝐿𝑥)) ≤ (abs‘𝐴)) → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (abs‘𝐴)))
5046, 47, 48, 49syl3anc 1483 . . . . . . . . 9 (((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → (((𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) ∧ (𝐴 · (𝐿𝑥)) ≤ (abs‘𝐴)) → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (abs‘𝐴)))
5150adantr 468 . . . . . . . 8 ((((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → (((𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) ∧ (𝐴 · (𝐿𝑥)) ≤ (abs‘𝐴)) → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (abs‘𝐴)))
5239, 51mpan2d 677 . . . . . . 7 ((((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → ((𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (abs‘𝐴)))
5352ex 399 . . . . . 6 (((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝐿𝑥) ≤ 1 → ((𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (abs‘𝐴))))
5453com23 86 . . . . 5 (((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) → ((𝐿𝑥) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (abs‘𝐴))))
5554ralimdva 3150 . . . 4 ((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝑋 (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) → ∀𝑥𝑋 ((𝐿𝑥) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (abs‘𝐴))))
5655imp 395 . . 3 (((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥))) → ∀𝑥𝑋 ((𝐿𝑥) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (abs‘𝐴)))
5710rexrd 10370 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ*)
58 nmoubi.3 . . . . . 6 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
592, 42, 3, 43, 58, 1, 40nmoubi 27951 . . . . 5 ((𝑇:𝑋𝑌 ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ*) → ((𝑁𝑇) ≤ (abs‘𝐴) ↔ ∀𝑥𝑋 ((𝐿𝑥) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (abs‘𝐴))))
6057, 59sylan2 582 . . . 4 ((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑁𝑇) ≤ (abs‘𝐴) ↔ ∀𝑥𝑋 ((𝐿𝑥) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (abs‘𝐴))))
6160biimpar 465 . . 3 (((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝑋 ((𝐿𝑥) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (abs‘𝐴))) → (𝑁𝑇) ≤ (abs‘𝐴))
6256, 61syldan 581 . 2 (((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥))) → (𝑁𝑇) ≤ (abs‘𝐴))
63623impa 1129 1 ((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥))) → (𝑁𝑇) ≤ (abs‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2156  wral 3096   class class class wbr 4844  wf 6093  cfv 6097  (class class class)co 6870  cr 10216  0cc0 10217  1c1 10218   · cmul 10222  *cxr 10354  cle 10356  abscabs 14193  NrmCVeccnv 27763  BaseSetcba 27765  normCVcnmcv 27769   normOpOLD cnmoo 27920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294  ax-pre-sup 10295
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-om 7292  df-1st 7394  df-2nd 7395  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-er 7975  df-map 8090  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-sup 8583  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-div 10966  df-nn 11302  df-2 11360  df-3 11361  df-n0 11556  df-z 11640  df-uz 11901  df-rp 12043  df-seq 13021  df-exp 13080  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-grpo 27672  df-gid 27673  df-ginv 27674  df-ablo 27724  df-vc 27738  df-nv 27771  df-va 27774  df-ba 27775  df-sm 27776  df-0v 27777  df-nmcv 27779  df-nmoo 27924
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