MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvge0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nvge0 30482
Description: The norm of a normed complex vector space is nonnegative. Second part of Problem 2 of [Kreyszig] p. 64. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvge0.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
nvge0.6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
nvge0 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π΄))
Proof of Theorem nvge0
StepHypRef Expression
1 2rp 13011 . . 3 2 ∈ ℝ+
21a1i 11 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 2 ∈ ℝ+)
3 nvge0.1 . . 3 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
4 nvge0.6 . . 3 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
53, 4nvcl 30470 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ)
6 eqid 2728 . . . . . . 7 (0vecβ€˜π‘ˆ) = (0vecβ€˜π‘ˆ)
76, 4nvz0 30477 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (π‘β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ)) = 0)
87adantr 480 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ)) = 0)
9 1pneg1e0 12361 . . . . . . . . 9 (1 + -1) = 0
109oveq1i 7430 . . . . . . . 8 ((1 + -1)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) = (0( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)
11 eqid 2728 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
123, 11, 6nv0 30446 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (0( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) = (0vecβ€˜π‘ˆ))
1310, 12eqtr2id 2781 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (0vecβ€˜π‘ˆ) = ((1 + -1)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))
14 neg1cn 12356 . . . . . . . 8 -1 ∈ β„‚
15 ax-1cn 11196 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„‚
16 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
173, 16, 11nvdir 30440 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (1 ∈ β„‚ ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((1 + -1)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))
1815, 17mp3anr1 1455 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (-1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((1 + -1)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))
1914, 18mpanr1 702 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((1 + -1)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))
203, 11nvsid 30436 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) = 𝐴)
2120oveq1d 7435 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))
2213, 19, 213eqtrd 2772 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (0vecβ€˜π‘ˆ) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))
2322fveq2d 6901 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ)) = (π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))))
248, 23eqtr3d 2770 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 0 = (π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))))
253, 11nvscl 30435 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) ∈ 𝑋)
2614, 25mp3an2 1446 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) ∈ 𝑋)
273, 16, 4nvtri 30479 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))) ≀ ((π‘β€˜π΄) + (π‘β€˜(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))))
2826, 27mpd3an3 1459 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))) ≀ ((π‘β€˜π΄) + (π‘β€˜(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))))
2924, 28eqbrtrd 5170 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ ((π‘β€˜π΄) + (π‘β€˜(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))))
303, 11, 4nvm1 30474 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)) = (π‘β€˜π΄))
3130oveq2d 7436 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜π΄) + (π‘β€˜(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))) = ((π‘β€˜π΄) + (π‘β€˜π΄)))
325recnd 11272 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ β„‚)
33322timesd 12485 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (2 Β· (π‘β€˜π΄)) = ((π‘β€˜π΄) + (π‘β€˜π΄)))
3431, 33eqtr4d 2771 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜π΄) + (π‘β€˜(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))) = (2 Β· (π‘β€˜π΄)))
3529, 34breqtrd 5174 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (2 Β· (π‘β€˜π΄)))
362, 5, 35prodge0rd 13113 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„‚cc 11136  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   Β· cmul 11143   ≀ cle 11279  -cneg 11475  2c2 12297  β„+crp 13006  NrmCVeccnv 30393   +𝑣 cpv 30394  BaseSetcba 30395   ·𝑠OLD cns 30396  0veccn0v 30397  normCVcnmcv 30399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-grpo 30302  df-gid 30303  df-ginv 30304  df-ablo 30354  df-vc 30368  df-nv 30401  df-va 30404  df-ba 30405  df-sm 30406  df-0v 30407  df-nmcv 30409
This theorem is referenced by:  nvgt0  30483  smcnlem  30506  ipnm  30520  nmooge0  30576  nmoub3i  30582  siilem1  30660  siii  30662  ubthlem3  30681  minvecolem1  30683  minvecolem5  30690  minvecolem6  30691  htthlem  30726
  Copyright terms: Public domain W3C validator