Theorem nvge0 30965

Description: The norm of a normed complex vector space is nonnegative. Second part of Problem 2 of [Kreyszig] p. 64. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvge0.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvge0.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvge0	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))

Proof of Theorem nvge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 13020	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 2 ∈ ℝ+)
3		nvge0.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4		nvge0.6	. . 3 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
5	3, 4	nvcl 30953	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
6		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
7	6, 4	nvz0 30960	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁‘(0vec‘𝑈)) = 0)
8	7	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(0vec‘𝑈)) = 0)
9		1pneg1e0 12357	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + -1) = 0
10	9	oveq1i 7421	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + -1)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) = (0( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)
11		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
12	3, 11, 6	nv0 30929	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) = (0vec‘𝑈))
13	10, 12	eqtr2id 2817	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0vec‘𝑈) = ((1 + -1)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))
14		neg1cn 12202	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
15		ax-1cn 11157	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
16		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
17	3, 16, 11	nvdir 30923	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((1 + -1)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)))
18	15, 17	mp3anr1 1484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((1 + -1)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)))
19	14, 18	mpanr1 715	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 + -1)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)))
20	3, 11	nvsid 30919	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) = 𝐴)
21	20	oveq1d 7426	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)))
22	13, 19, 21	3eqtrd 2808	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0vec‘𝑈) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)))
23	22	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(0vec‘𝑈)) = (𝑁‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))))
24	8, 23	eqtr3d 2806	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 = (𝑁‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))))
25	3, 11	nvscl 30918	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
26	14, 25	mp3an2 1475	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
27	3, 16, 4	nvtri 30962	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))) ≤ ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))))
28	26, 27	mpd3an3 1488	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))) ≤ ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))))
29	24, 28	eqbrtrd 5137	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ≤ ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))))
30	3, 11, 4	nvm1 30957	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = (𝑁‘𝐴))
31	30	oveq2d 7427	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))) = ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘𝐴)))
32	5	recnd 11236	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℂ)
33	32	2timesd 12486	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (2 · (𝑁‘𝐴)) = ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘𝐴)))
34	31, 33	eqtr4d 2807	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))) = (2 · (𝑁‘𝐴)))
35	29, 34	breqtrd 5141	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (2 · (𝑁‘𝐴)))
36	2, 5, 35	prodge0rd 13124	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11097  0cc0 11099  1c1 11100   + caddc 11102   · cmul 11104   ≤ cle 11243  -cneg 11441  2c2 12294  ℝ⁺crp 13015  NrmCVeccnv 30876   +_𝑣 cpv 30877  BaseSetcba 30878   ·_𝑠OLD cns 30879  0_veccn0v 30880  norm_CVcnmcv 30882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-seq 14037  df-exp 14097  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-grpo 30785  df-gid 30786  df-ginv 30787  df-ablo 30837  df-vc 30851  df-nv 30884  df-va 30887  df-ba 30888  df-sm 30889  df-0v 30890  df-nmcv 30892

This theorem is referenced by:  nvgt0  30966  smcnlem  30989  ipnm  31003  nmooge0  31059  nmoub3i  31065  siilem1  31143  siii  31145  ubthlem3  31164  minvecolem1  31166  minvecolem5  31173  minvecolem6  31174  htthlem  31209