Theorem nvge0 28449

Description: The norm of a normed complex vector space is nonnegative. Second part of Problem 2 of [Kreyszig] p. 64. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvge0.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvge0.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvge0	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))

Proof of Theorem nvge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 12393	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 2 ∈ ℝ+)
3		nvge0.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4		nvge0.6	. . 3 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
5	3, 4	nvcl 28437	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
6		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
7	6, 4	nvz0 28444	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁‘(0vec‘𝑈)) = 0)
8	7	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(0vec‘𝑈)) = 0)
9		1pneg1e0 11755	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + -1) = 0
10	9	oveq1i 7165	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + -1)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) = (0( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)
11		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
12	3, 11, 6	nv0 28413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) = (0vec‘𝑈))
13	10, 12	syl5req 2869	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0vec‘𝑈) = ((1 + -1)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))
14		neg1cn 11750	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
15		ax-1cn 10594	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
16		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
17	3, 16, 11	nvdir 28407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((1 + -1)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)))
18	15, 17	mp3anr1 1454	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((1 + -1)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)))
19	14, 18	mpanr1 701	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 + -1)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)))
20	3, 11	nvsid 28403	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) = 𝐴)
21	20	oveq1d 7170	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)))
22	13, 19, 21	3eqtrd 2860	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0vec‘𝑈) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)))
23	22	fveq2d 6673	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(0vec‘𝑈)) = (𝑁‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))))
24	8, 23	eqtr3d 2858	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 = (𝑁‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))))
25	3, 11	nvscl 28402	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
26	14, 25	mp3an2 1445	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
27	3, 16, 4	nvtri 28446	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))) ≤ ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))))
28	26, 27	mpd3an3 1458	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))) ≤ ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))))
29	24, 28	eqbrtrd 5087	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ≤ ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))))
30	3, 11, 4	nvm1 28441	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = (𝑁‘𝐴))
31	30	oveq2d 7171	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))) = ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘𝐴)))
32	5	recnd 10668	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℂ)
33	32	2timesd 11879	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (2 · (𝑁‘𝐴)) = ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘𝐴)))
34	31, 33	eqtr4d 2859	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))) = (2 · (𝑁‘𝐴)))
35	29, 34	breqtrd 5091	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (2 · (𝑁‘𝐴)))
36	2, 5, 35	prodge0rd 12495	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5065  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  ℂcc 10534  0cc0 10536  1c1 10537   + caddc 10539   · cmul 10541   ≤ cle 10675  -cneg 10870  2c2 11691  ℝ⁺crp 12388  NrmCVeccnv 28360   +_𝑣 cpv 28361  BaseSetcba 28362   ·_𝑠OLD cns 28363  0_veccn0v 28364  norm_CVcnmcv 28366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-sup 8905  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-rp 12389  df-seq 13369  df-exp 13429  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-grpo 28269  df-gid 28270  df-ginv 28271  df-ablo 28321  df-vc 28335  df-nv 28368  df-va 28371  df-ba 28372  df-sm 28373  df-0v 28374  df-nmcv 28376

This theorem is referenced by:  nvgt0  28450  smcnlem  28473  ipnm  28487  nmooge0  28543  nmoub3i  28549  siilem1  28627  siii  28629  ubthlem3  28648  minvecolem1  28650  minvecolem5  28657  minvecolem6  28658  htthlem  28693