MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvge0 30421
Description: The norm of a normed complex vector space is nonnegative. Second part of Problem 2 of [Kreyszig] p. 64. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvge0.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
nvge0.6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
nvge0 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π΄))

Proof of Theorem nvge0
StepHypRef Expression
1 2rp 12980 . . 3 2 ∈ ℝ+
21a1i 11 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 2 ∈ ℝ+)
3 nvge0.1 . . 3 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
4 nvge0.6 . . 3 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
53, 4nvcl 30409 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ)
6 eqid 2724 . . . . . . 7 (0vecβ€˜π‘ˆ) = (0vecβ€˜π‘ˆ)
76, 4nvz0 30416 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (π‘β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ)) = 0)
87adantr 480 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ)) = 0)
9 1pneg1e0 12330 . . . . . . . . 9 (1 + -1) = 0
109oveq1i 7412 . . . . . . . 8 ((1 + -1)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) = (0( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)
11 eqid 2724 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
123, 11, 6nv0 30385 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (0( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) = (0vecβ€˜π‘ˆ))
1310, 12eqtr2id 2777 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (0vecβ€˜π‘ˆ) = ((1 + -1)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))
14 neg1cn 12325 . . . . . . . 8 -1 ∈ β„‚
15 ax-1cn 11165 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„‚
16 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
173, 16, 11nvdir 30379 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (1 ∈ β„‚ ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((1 + -1)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))
1815, 17mp3anr1 1454 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (-1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((1 + -1)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))
1914, 18mpanr1 700 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((1 + -1)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))
203, 11nvsid 30375 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) = 𝐴)
2120oveq1d 7417 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))
2213, 19, 213eqtrd 2768 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (0vecβ€˜π‘ˆ) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))
2322fveq2d 6886 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ)) = (π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))))
248, 23eqtr3d 2766 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 0 = (π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))))
253, 11nvscl 30374 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) ∈ 𝑋)
2614, 25mp3an2 1445 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) ∈ 𝑋)
273, 16, 4nvtri 30418 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))) ≀ ((π‘β€˜π΄) + (π‘β€˜(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))))
2826, 27mpd3an3 1458 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))) ≀ ((π‘β€˜π΄) + (π‘β€˜(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))))
2924, 28eqbrtrd 5161 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ ((π‘β€˜π΄) + (π‘β€˜(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))))
303, 11, 4nvm1 30413 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)) = (π‘β€˜π΄))
3130oveq2d 7418 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜π΄) + (π‘β€˜(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))) = ((π‘β€˜π΄) + (π‘β€˜π΄)))
325recnd 11241 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ β„‚)
33322timesd 12454 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (2 Β· (π‘β€˜π΄)) = ((π‘β€˜π΄) + (π‘β€˜π΄)))
3431, 33eqtr4d 2767 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜π΄) + (π‘β€˜(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))) = (2 Β· (π‘β€˜π΄)))
3529, 34breqtrd 5165 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (2 Β· (π‘β€˜π΄)))
362, 5, 35prodge0rd 13082 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5139  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  β„‚cc 11105  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   Β· cmul 11112   ≀ cle 11248  -cneg 11444  2c2 12266  β„+crp 12975  NrmCVeccnv 30332   +𝑣 cpv 30333  BaseSetcba 30334   ·𝑠OLD cns 30335  0veccn0v 30336  normCVcnmcv 30338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12976  df-seq 13968  df-exp 14029  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-grpo 30241  df-gid 30242  df-ginv 30243  df-ablo 30293  df-vc 30307  df-nv 30340  df-va 30343  df-ba 30344  df-sm 30345  df-0v 30346  df-nmcv 30348
This theorem is referenced by:  nvgt0  30422  smcnlem  30445  ipnm  30459  nmooge0  30515  nmoub3i  30521  siilem1  30599  siii  30601  ubthlem3  30620  minvecolem1  30622  minvecolem5  30629  minvecolem6  30630  htthlem  30665
  Copyright terms: Public domain W3C validator