Theorem nvge0 28556

Description: The norm of a normed complex vector space is nonnegative. Second part of Problem 2 of [Kreyszig] p. 64. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvge0.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvge0.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvge0	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))

Proof of Theorem nvge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 12436	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 2 ∈ ℝ+)
3		nvge0.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4		nvge0.6	. . 3 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
5	3, 4	nvcl 28544	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
6		eqid 2759	. . . . . . 7 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
7	6, 4	nvz0 28551	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁‘(0vec‘𝑈)) = 0)
8	7	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(0vec‘𝑈)) = 0)
9		1pneg1e0 11794	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + -1) = 0
10	9	oveq1i 7161	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + -1)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) = (0( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)
11		eqid 2759	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
12	3, 11, 6	nv0 28520	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) = (0vec‘𝑈))
13	10, 12	syl5req 2807	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0vec‘𝑈) = ((1 + -1)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))
14		neg1cn 11789	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
15		ax-1cn 10634	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
16		eqid 2759	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
17	3, 16, 11	nvdir 28514	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((1 + -1)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)))
18	15, 17	mp3anr1 1456	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((1 + -1)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)))
19	14, 18	mpanr1 703	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 + -1)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)))
20	3, 11	nvsid 28510	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) = 𝐴)
21	20	oveq1d 7166	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)))
22	13, 19, 21	3eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0vec‘𝑈) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)))
23	22	fveq2d 6663	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(0vec‘𝑈)) = (𝑁‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))))
24	8, 23	eqtr3d 2796	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 = (𝑁‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))))
25	3, 11	nvscl 28509	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
26	14, 25	mp3an2 1447	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
27	3, 16, 4	nvtri 28553	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))) ≤ ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))))
28	26, 27	mpd3an3 1460	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))) ≤ ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))))
29	24, 28	eqbrtrd 5055	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ≤ ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))))
30	3, 11, 4	nvm1 28548	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = (𝑁‘𝐴))
31	30	oveq2d 7167	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))) = ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘𝐴)))
32	5	recnd 10708	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℂ)
33	32	2timesd 11918	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (2 · (𝑁‘𝐴)) = ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘𝐴)))
34	31, 33	eqtr4d 2797	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))) = (2 · (𝑁‘𝐴)))
35	29, 34	breqtrd 5059	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (2 · (𝑁‘𝐴)))
36	2, 5, 35	prodge0rd 12538	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5033  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  ℂcc 10574  0cc0 10576  1c1 10577   + caddc 10579   · cmul 10581   ≤ cle 10715  -cneg 10910  2c2 11730  ℝ⁺crp 12431  NrmCVeccnv 28467   +_𝑣 cpv 28468  BaseSetcba 28469   ·_𝑠OLD cns 28470  0_veccn0v 28471  norm_CVcnmcv 28473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10632  ax-resscn 10633  ax-1cn 10634  ax-icn 10635  ax-addcl 10636  ax-addrcl 10637  ax-mulcl 10638  ax-mulrcl 10639  ax-mulcom 10640  ax-addass 10641  ax-mulass 10642  ax-distr 10643  ax-i2m1 10644  ax-1ne0 10645  ax-1rid 10646  ax-rnegex 10647  ax-rrecex 10648  ax-cnre 10649  ax-pre-lttri 10650  ax-pre-lttrn 10651  ax-pre-ltadd 10652  ax-pre-mulgt0 10653  ax-pre-sup 10654

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-sup 8940  df-pnf 10716  df-mnf 10717  df-xr 10718  df-ltxr 10719  df-le 10720  df-sub 10911  df-neg 10912  df-div 11337  df-nn 11676  df-2 11738  df-3 11739  df-n0 11936  df-z 12022  df-uz 12284  df-rp 12432  df-seq 13420  df-exp 13481  df-cj 14507  df-re 14508  df-im 14509  df-sqrt 14643  df-abs 14644  df-grpo 28376  df-gid 28377  df-ginv 28378  df-ablo 28428  df-vc 28442  df-nv 28475  df-va 28478  df-ba 28479  df-sm 28480  df-0v 28481  df-nmcv 28483

This theorem is referenced by:  nvgt0  28557  smcnlem  28580  ipnm  28594  nmooge0  28650  nmoub3i  28656  siilem1  28734  siii  28736  ubthlem3  28755  minvecolem1  28757  minvecolem5  28764  minvecolem6  28765  htthlem  28800