Theorem nvge0 31096

Description: The norm of a normed complex vector space is nonnegative. Second part of Problem 2 of [Kreyszig] p. 64. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvge0.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvge0.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvge0	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))

Proof of Theorem nvge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 13037	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 2 ∈ ℝ+)
3		nvge0.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4		nvge0.6	. . 3 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
5	3, 4	nvcl 31084	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
6		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
7	6, 4	nvz0 31091	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁‘(0vec‘𝑈)) = 0)
8	7	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(0vec‘𝑈)) = 0)
9		1pneg1e0 12373	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + -1) = 0
10	9	oveq1i 7429	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + -1)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) = (0( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)
11		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
12	3, 11, 6	nv0 31060	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) = (0vec‘𝑈))
13	10, 12	eqtr2id 2813	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0vec‘𝑈) = ((1 + -1)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))
14		neg1cn 12218	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
15		ax-1cn 11173	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
16		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
17	3, 16, 11	nvdir 31054	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((1 + -1)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)))
18	15, 17	mp3anr1 1487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((1 + -1)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)))
19	14, 18	mpanr1 716	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 + -1)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)))
20	3, 11	nvsid 31050	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) = 𝐴)
21	20	oveq1d 7434	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)))
22	13, 19, 21	3eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0vec‘𝑈) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)))
23	22	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(0vec‘𝑈)) = (𝑁‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))))
24	8, 23	eqtr3d 2802	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 = (𝑁‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))))
25	3, 11	nvscl 31049	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
26	14, 25	mp3an2 1478	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
27	3, 16, 4	nvtri 31093	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))) ≤ ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))))
28	26, 27	mpd3an3 1491	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))) ≤ ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))))
29	24, 28	eqbrtrd 5135	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ≤ ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))))
30	3, 11, 4	nvm1 31088	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = (𝑁‘𝐴))
31	30	oveq2d 7435	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))) = ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘𝐴)))
32	5	recnd 11252	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℂ)
33	32	2timesd 12502	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (2 · (𝑁‘𝐴)) = ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘𝐴)))
34	31, 33	eqtr4d 2803	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))) = (2 · (𝑁‘𝐴)))
35	29, 34	breqtrd 5139	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (2 · (𝑁‘𝐴)))
36	2, 5, 35	prodge0rd 13141	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11113  0cc0 11115  1c1 11116   + caddc 11118   · cmul 11120   ≤ cle 11259  -cneg 11457  2c2 12310  ℝ⁺crp 13032  NrmCVeccnv 31007   +_𝑣 cpv 31008  BaseSetcba 31009   ·_𝑠OLD cns 31010  0_veccn0v 31011  norm_CVcnmcv 31013

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-rp 13033  df-seq 14056  df-exp 14116  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-grpo 30916  df-gid 30917  df-ginv 30918  df-ablo 30968  df-vc 30982  df-nv 31015  df-va 31018  df-ba 31019  df-sm 31020  df-0v 31021  df-nmcv 31023

This theorem is used by:  nvgt0  31097  smcnlem  31120  ipnm  31134  nmooge0  31190  nmoub3i  31196  siilem1  31274  siii  31276  ubthlem3  31295  minvecolem1  31297  minvecolem5  31304  minvecolem6  31305  htthlem  31340