MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvge0 29657
Description: The norm of a normed complex vector space is nonnegative. Second part of Problem 2 of [Kreyszig] p. 64. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvge0.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
nvge0.6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
nvge0 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π΄))

Proof of Theorem nvge0
StepHypRef Expression
1 2rp 12925 . . 3 2 ∈ ℝ+
21a1i 11 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 2 ∈ ℝ+)
3 nvge0.1 . . 3 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
4 nvge0.6 . . 3 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
53, 4nvcl 29645 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ)
6 eqid 2733 . . . . . . 7 (0vecβ€˜π‘ˆ) = (0vecβ€˜π‘ˆ)
76, 4nvz0 29652 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (π‘β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ)) = 0)
87adantr 482 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ)) = 0)
9 1pneg1e0 12277 . . . . . . . . 9 (1 + -1) = 0
109oveq1i 7368 . . . . . . . 8 ((1 + -1)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) = (0( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)
11 eqid 2733 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
123, 11, 6nv0 29621 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (0( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) = (0vecβ€˜π‘ˆ))
1310, 12eqtr2id 2786 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (0vecβ€˜π‘ˆ) = ((1 + -1)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))
14 neg1cn 12272 . . . . . . . 8 -1 ∈ β„‚
15 ax-1cn 11114 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„‚
16 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
173, 16, 11nvdir 29615 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (1 ∈ β„‚ ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((1 + -1)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))
1815, 17mp3anr1 1459 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (-1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((1 + -1)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))
1914, 18mpanr1 702 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((1 + -1)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))
203, 11nvsid 29611 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) = 𝐴)
2120oveq1d 7373 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))
2213, 19, 213eqtrd 2777 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (0vecβ€˜π‘ˆ) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))
2322fveq2d 6847 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ)) = (π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))))
248, 23eqtr3d 2775 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 0 = (π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))))
253, 11nvscl 29610 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) ∈ 𝑋)
2614, 25mp3an2 1450 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) ∈ 𝑋)
273, 16, 4nvtri 29654 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))) ≀ ((π‘β€˜π΄) + (π‘β€˜(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))))
2826, 27mpd3an3 1463 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))) ≀ ((π‘β€˜π΄) + (π‘β€˜(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))))
2924, 28eqbrtrd 5128 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ ((π‘β€˜π΄) + (π‘β€˜(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))))
303, 11, 4nvm1 29649 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)) = (π‘β€˜π΄))
3130oveq2d 7374 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜π΄) + (π‘β€˜(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))) = ((π‘β€˜π΄) + (π‘β€˜π΄)))
325recnd 11188 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ β„‚)
33322timesd 12401 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (2 Β· (π‘β€˜π΄)) = ((π‘β€˜π΄) + (π‘β€˜π΄)))
3431, 33eqtr4d 2776 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜π΄) + (π‘β€˜(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))) = (2 Β· (π‘β€˜π΄)))
3529, 34breqtrd 5132 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (2 Β· (π‘β€˜π΄)))
362, 5, 35prodge0rd 13027 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   Β· cmul 11061   ≀ cle 11195  -cneg 11391  2c2 12213  β„+crp 12920  NrmCVeccnv 29568   +𝑣 cpv 29569  BaseSetcba 29570   ·𝑠OLD cns 29571  0veccn0v 29572  normCVcnmcv 29574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-grpo 29477  df-gid 29478  df-ginv 29479  df-ablo 29529  df-vc 29543  df-nv 29576  df-va 29579  df-ba 29580  df-sm 29581  df-0v 29582  df-nmcv 29584
This theorem is referenced by:  nvgt0  29658  smcnlem  29681  ipnm  29695  nmooge0  29751  nmoub3i  29757  siilem1  29835  siii  29837  ubthlem3  29856  minvecolem1  29858  minvecolem5  29865  minvecolem6  29866  htthlem  29901
  Copyright terms: Public domain W3C validator