MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvge0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nvge0 29913
Description: The norm of a normed complex vector space is nonnegative. Second part of Problem 2 of [Kreyszig] p. 64. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvge0.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
nvge0.6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
nvge0 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π΄))
Proof of Theorem nvge0
StepHypRef Expression
1 2rp 12975 . . 3 2 ∈ ℝ+
21a1i 11 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 2 ∈ ℝ+)
3 nvge0.1 . . 3 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
4 nvge0.6 . . 3 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
53, 4nvcl 29901 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ)
6 eqid 2732 . . . . . . 7 (0vecβ€˜π‘ˆ) = (0vecβ€˜π‘ˆ)
76, 4nvz0 29908 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (π‘β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ)) = 0)
87adantr 481 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ)) = 0)
9 1pneg1e0 12327 . . . . . . . . 9 (1 + -1) = 0
109oveq1i 7415 . . . . . . . 8 ((1 + -1)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) = (0( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)
11 eqid 2732 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
123, 11, 6nv0 29877 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (0( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) = (0vecβ€˜π‘ˆ))
1310, 12eqtr2id 2785 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (0vecβ€˜π‘ˆ) = ((1 + -1)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))
14 neg1cn 12322 . . . . . . . 8 -1 ∈ β„‚
15 ax-1cn 11164 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„‚
16 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
173, 16, 11nvdir 29871 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (1 ∈ β„‚ ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((1 + -1)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))
1815, 17mp3anr1 1458 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (-1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((1 + -1)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))
1914, 18mpanr1 701 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((1 + -1)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))
203, 11nvsid 29867 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) = 𝐴)
2120oveq1d 7420 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))
2213, 19, 213eqtrd 2776 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (0vecβ€˜π‘ˆ) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))
2322fveq2d 6892 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ)) = (π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))))
248, 23eqtr3d 2774 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 0 = (π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))))
253, 11nvscl 29866 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) ∈ 𝑋)
2614, 25mp3an2 1449 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) ∈ 𝑋)
273, 16, 4nvtri 29910 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))) ≀ ((π‘β€˜π΄) + (π‘β€˜(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))))
2826, 27mpd3an3 1462 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))) ≀ ((π‘β€˜π΄) + (π‘β€˜(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))))
2924, 28eqbrtrd 5169 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ ((π‘β€˜π΄) + (π‘β€˜(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))))
303, 11, 4nvm1 29905 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)) = (π‘β€˜π΄))
3130oveq2d 7421 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜π΄) + (π‘β€˜(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))) = ((π‘β€˜π΄) + (π‘β€˜π΄)))
325recnd 11238 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ β„‚)
33322timesd 12451 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (2 Β· (π‘β€˜π΄)) = ((π‘β€˜π΄) + (π‘β€˜π΄)))
3431, 33eqtr4d 2775 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜π΄) + (π‘β€˜(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))) = (2 Β· (π‘β€˜π΄)))
3529, 34breqtrd 5173 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (2 Β· (π‘β€˜π΄)))
362, 5, 35prodge0rd 13077 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111   ≀ cle 11245  -cneg 11441  2c2 12263  β„+crp 12970  NrmCVeccnv 29824   +𝑣 cpv 29825  BaseSetcba 29826   ·𝑠OLD cns 29827  0veccn0v 29828  normCVcnmcv 29830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-grpo 29733  df-gid 29734  df-ginv 29735  df-ablo 29785  df-vc 29799  df-nv 29832  df-va 29835  df-ba 29836  df-sm 29837  df-0v 29838  df-nmcv 29840
This theorem is referenced by:  nvgt0  29914  smcnlem  29937  ipnm  29951  nmooge0  30007  nmoub3i  30013  siilem1  30091  siii  30093  ubthlem3  30112  minvecolem1  30114  minvecolem5  30121  minvecolem6  30122  htthlem  30157
  Copyright terms: Public domain W3C validator