MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minvecolem5 28193
Description: Lemma for minveco 28196. Discharge the assumption about the sequence 𝐹 by applying countable choice ax-cc 9510. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
minveco.n 𝑁 = (normCV𝑈)
minveco.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a (𝜑𝐴𝑋)
minveco.d 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
minveco.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
minveco.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
minvecolem5 (𝜑 → ∃𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem5
Dummy variables 𝑛 𝑘 𝑤 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnrecgt0 11315 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 0 < (1 / 𝑛))
21adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 < (1 / 𝑛))
3 nnrecre 11314 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
43adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5 minveco.s . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
6 minveco.x . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
7 minveco.m . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
8 minveco.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑁 = (normCV𝑈)
9 minveco.y . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
10 minveco.u . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
11 minveco.w . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
12 minveco.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴𝑋)
13 minveco.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
14 minveco.j . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
15 minveco.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
166, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15minvecolem1 28186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
1716adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
1817simp1d 1172 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑅 ⊆ ℝ)
1917simp2d 1173 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑅 ≠ ∅)
20 0re 10295 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
2117simp3d 1174 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤)
22 breq1 4812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 0 → (𝑥𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
2322ralbidv 3133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 0 → (∀𝑤𝑅 𝑥𝑤 ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
2423rspcev 3461 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
2520, 21, 24sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
26 infrecl 11259 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2718, 19, 25, 26syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
285, 27syl5eqel 2848 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ ℝ)
2928resqcld 13242 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
304, 29ltaddposd 10865 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (0 < (1 / 𝑛) ↔ (𝑆↑2) < ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
312, 30mpbid 223 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑆↑2) < ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
3229, 4readdcld 10323 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
3328sqge0d 13243 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑆↑2))
3429, 4, 33, 2addgegt0d 10855 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 < ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
3532, 34elrpd 12067 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ+)
3635rpge0d 12074 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
37 resqrtth 14281 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2) = ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
3832, 36, 37syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2) = ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
3931, 38breqtrrd 4837 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑆↑2) < ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2))
4035rpsqrtcld 14435 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ∈ ℝ+)
4140rpred 12070 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ∈ ℝ)
42 0red 10297 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
43 infregelb 11261 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤) ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
4418, 19, 25, 42, 43syl31anc 1492 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
4521, 44mpbird 248 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
4645, 5syl6breqr 4851 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑆)
4732, 36sqrtge0d 14444 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
4828, 41, 46, 47lt2sqd 13250 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑆 < (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ↔ (𝑆↑2) < ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2)))
4939, 48mpbird 248 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑆 < (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
5028, 41ltnled 10438 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑆 < (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ↔ ¬ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑆))
5149, 50mpbid 223 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ¬ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑆)
525breq2i 4817 . . . . . . . . 9 ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑆 ↔ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
53 infregelb 11261 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤) ∧ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ∈ ℝ) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑤))
5418, 19, 25, 41, 53syl31anc 1492 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑤))
5552, 54syl5bb 274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑆 ↔ ∀𝑤𝑅 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑤))
5615raleqi 3290 . . . . . . . . 9 (∀𝑤𝑅 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))(√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑤)
57 fvex 6388 . . . . . . . . . . 11 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
5857rgenw 3071 . . . . . . . . . 10 𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
59 eqid 2765 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
60 breq2 4813 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑤 ↔ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
6159, 60ralrnmpt 6558 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V → (∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))(√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
6258, 61ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))(√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
6356, 62bitri 266 . . . . . . . 8 (∀𝑤𝑅 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
6455, 63syl6bb 278 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑆 ↔ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
6551, 64mtbid 315 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ¬ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
66 rexnal 3141 . . . . . 6 (∃𝑦𝑌 ¬ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ ¬ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
6765, 66sylibr 225 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑦𝑌 ¬ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
6832adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
69 phnv 28125 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑈 ∈ NrmCVec)
7010, 69syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ NrmCVec)
7170ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
7212ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → 𝐴𝑋)
73 inss1 3992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan) ⊆ (SubSp‘𝑈)
7473, 11sseldi 3759 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))
75 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
766, 9, 75sspba 28038 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑌𝑋)
7770, 74, 76syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑌𝑋)
7877adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑌𝑋)
7978sselda 3761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑦𝑋)
806, 7nvmcl 27957 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋)
8171, 72, 79, 80syl3anc 1490 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋)
826, 8nvcl 27972 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ ℝ)
8371, 81, 82syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ ℝ)
8483resqcld 13242 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2) ∈ ℝ)
8568, 84letrid 10443 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → (((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2) ∨ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
8685ord 890 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → (¬ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2) → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
8741adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ∈ ℝ)
8847adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → 0 ≤ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
896, 8nvge0 27984 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
9071, 81, 89syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
9187, 83, 88, 90le2sqd 13251 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2)))
9238adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2) = ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
9392breq1d 4819 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → (((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2) ↔ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2)))
9491, 93bitrd 270 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2)))
9594notbid 309 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → (¬ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ ¬ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2)))
966, 7, 8, 13imsdval 27997 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
9771, 72, 79, 96syl3anc 1490 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
9897oveq1d 6857 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) = ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2))
9998breq1d 4819 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ↔ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
10086, 95, 993imtr4d 285 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → (¬ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
101100reximdva 3163 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∃𝑦𝑌 ¬ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) → ∃𝑦𝑌 ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
10267, 101mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑦𝑌 ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
103102ralrimiva 3113 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑦𝑌 ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
1049fvexi 6389 . . . 4 𝑌 ∈ V
105 nnenom 12987 . . . 4 ℕ ≈ ω
106 oveq2 6850 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑓𝑛) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷(𝑓𝑛)))
107106oveq1d 6857 . . . . 5 (𝑦 = (𝑓𝑛) → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) = ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2))
108107breq1d 4819 . . . 4 (𝑦 = (𝑓𝑛) → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ↔ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
109104, 105, 108axcc4 9514 . . 3 (∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑦𝑌 ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑌 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
110103, 109syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑌 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
11110adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑌 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
11211adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑌 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
11312adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑌 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) → 𝐴𝑋)
114 simprl 787 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑌 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) → 𝑓:ℕ⟶𝑌)
115 simprr 789 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑌 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
116 fveq2 6375 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (𝑓𝑛) = (𝑓𝑘))
117116oveq2d 6858 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝐷(𝑓𝑛)) = (𝐴𝐷(𝑓𝑘)))
118117oveq1d 6857 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) = ((𝐴𝐷(𝑓𝑘))↑2))
119 oveq2 6850 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑘))
120119oveq2d 6858 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) = ((𝑆↑2) + (1 / 𝑘)))
121118, 120breq12d 4822 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ↔ ((𝐴𝐷(𝑓𝑘))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑘))))
122121rspccva 3460 . . . 4 ((∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝑓𝑘))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑘)))
123115, 122sylan 575 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑌 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝑓𝑘))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑘)))
124 eqid 2765 . . 3 (1 / (((((𝐴𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))) = (1 / (((((𝐴𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)))
1256, 7, 8, 9, 111, 112, 113, 13, 14, 15, 5, 114, 123, 124minvecolem4 28192 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑌 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) → ∃𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
126110, 125exlimddv 2030 1 (𝜑 → ∃𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wex 1874  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  Vcvv 3350  cin 3731  wss 3732  c0 4079   class class class wbr 4809  cmpt 4888  ran crn 5278  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  infcinf 8554  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520   / cdiv 10938  cn 11274  2c2 11327  cexp 13067  csqrt 14258  MetOpencmopn 20009  𝑡clm 21310  NrmCVeccnv 27895  BaseSetcba 27897  𝑣 cnsb 27900  normCVcnmcv 27901  IndMetcims 27902  SubSpcss 28032  CPreHilOLDccphlo 28123  CBanccbn 28174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cc 9510  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-rest 16349  df-topgen 16370  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-top 20978  df-topon 20995  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lm 21313  df-haus 21399  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-cfil 23332  df-cau 23333  df-cmet 23334  df-grpo 27804  df-gid 27805  df-ginv 27806  df-gdiv 27807  df-ablo 27856  df-vc 27870  df-nv 27903  df-va 27906  df-ba 27907  df-sm 27908  df-0v 27909  df-vs 27910  df-nmcv 27911  df-ims 27912  df-ssp 28033  df-ph 28124  df-cbn 28175
This theorem is referenced by:  minvecolem7  28195
  Copyright terms: Public domain W3C validator