MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minvecolem5 29865
Description: Lemma for minveco 29868. Discharge the assumption about the sequence 𝐹 by applying countable choice ax-cc 10378. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
minveco.m 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
minveco.n 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
minveco.y π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
minveco.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CPreHilOLD)
minveco.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan))
minveco.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
minveco.d 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
minveco.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
minveco.r 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
minvecolem5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ π‘Œ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐽   π‘₯,𝑀,𝑦   π‘₯,𝑁,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝐷,𝑦   π‘₯,π‘ˆ,𝑦   π‘₯,π‘Š,𝑦   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem5
Dummy variables 𝑛 π‘˜ 𝑀 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnrecgt0 12203 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• β†’ 0 < (1 / 𝑛))
21adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 < (1 / 𝑛))
3 nnrecre 12202 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
43adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5 minveco.s . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
6 minveco.x . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
7 minveco.m . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
8 minveco.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
9 minveco.y . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
10 minveco.u . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CPreHilOLD)
11 minveco.w . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan))
12 minveco.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
13 minveco.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
14 minveco.j . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
15 minveco.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
166, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15minvecolem1 29858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
1716adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
1817simp1d 1143 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑅 βŠ† ℝ)
1917simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑅 β‰  βˆ…)
20 0re 11164 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
2117simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀)
22 breq1 5113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯ ≀ 𝑀 ↔ 0 ≀ 𝑀))
2322ralbidv 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 0 β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
2423rspcev 3584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀)
2520, 21, 24sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀)
26 infrecl 12144 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀) β†’ inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2718, 19, 25, 26syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
285, 27eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
2928resqcld 14037 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑆↑2) ∈ ℝ)
304, 29ltaddposd 11746 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (0 < (1 / 𝑛) ↔ (𝑆↑2) < ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
312, 30mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑆↑2) < ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
3229, 4readdcld 11191 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
3328sqge0d 14049 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (𝑆↑2))
3429, 4, 33, 2addgegt0d 11735 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 < ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
3532, 34elrpd 12961 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ+)
3635rpge0d 12968 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
37 resqrtth 15147 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) β†’ ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2) = ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
3832, 36, 37syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2) = ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
3931, 38breqtrrd 5138 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑆↑2) < ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2))
4035rpsqrtcld 15303 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ∈ ℝ+)
4140rpred 12964 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ∈ ℝ)
42 0red 11165 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 ∈ ℝ)
43 infregelb 12146 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀) ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
4418, 19, 25, 42, 43syl31anc 1374 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (0 ≀ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
4521, 44mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ inf(𝑅, ℝ, < ))
4645, 5breqtrrdi 5152 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ 𝑆)
4732, 36sqrtge0d 15312 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
4828, 41, 46, 47lt2sqd 14166 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑆 < (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ↔ (𝑆↑2) < ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2)))
4939, 48mpbird 257 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑆 < (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
5028, 41ltnled 11309 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑆 < (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ↔ Β¬ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ 𝑆))
5149, 50mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Β¬ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ 𝑆)
525breq2i 5118 . . . . . . . . 9 ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ 𝑆 ↔ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ inf(𝑅, ℝ, < ))
53 infregelb 12146 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀) ∧ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ∈ ℝ) β†’ ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ 𝑀))
5418, 19, 25, 41, 53syl31anc 1374 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ 𝑀))
5552, 54bitrid 283 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ 𝑆 ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ 𝑀))
5615raleqi 3314 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))(βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ 𝑀)
57 fvex 6860 . . . . . . . . . . 11 (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
5857rgenw 3069 . . . . . . . . . 10 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
59 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))) = (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
60 breq2 5114 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) β†’ ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ 𝑀 ↔ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))))
6159, 60ralrnmptw 7049 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V β†’ (βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))(βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))))
6258, 61ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))(βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
6356, 62bitri 275 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
6455, 63bitrdi 287 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ 𝑆 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))))
6551, 64mtbid 324 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Β¬ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
66 rexnal 3104 . . . . . 6 (βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ Β¬ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ↔ Β¬ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
6765, 66sylibr 233 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ Β¬ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
6832adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
69 phnv 29798 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ˆ ∈ CPreHilOLD β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
7010, 69syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
7170ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
7212ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
73 inss1 4193 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan) βŠ† (SubSpβ€˜π‘ˆ)
7473, 11sselid 3947 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ))
75 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (SubSpβ€˜π‘ˆ) = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
766, 9, 75sspba 29711 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
7770, 74, 76syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
7877adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
7978sselda 3949 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
806, 7nvmcl 29630 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋)
8171, 72, 79, 80syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋)
826, 8nvcl 29645 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∈ ℝ)
8371, 81, 82syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∈ ℝ)
8483resqcld 14037 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))↑2) ∈ ℝ)
8568, 84letrid 11314 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≀ ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))↑2) ∨ ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
8685ord 863 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (Β¬ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≀ ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))↑2) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
8741adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ∈ ℝ)
8847adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
896, 8nvge0 29657 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
9071, 81, 89syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
9187, 83, 88, 90le2sqd 14167 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ↔ ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2) ≀ ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))↑2)))
9238adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2) = ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
9392breq1d 5120 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2) ≀ ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))↑2) ↔ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≀ ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))↑2)))
9491, 93bitrd 279 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ↔ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≀ ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))↑2)))
9594notbid 318 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (Β¬ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ↔ Β¬ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≀ ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))↑2)))
966, 7, 8, 13imsdval 29670 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝑦) = (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
9771, 72, 79, 96syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴𝐷𝑦) = (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
9897oveq1d 7377 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) = ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))↑2))
9998breq1d 5120 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ↔ ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
10086, 95, 993imtr4d 294 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (Β¬ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) β†’ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
101100reximdva 3166 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ Β¬ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
10267, 101mpd 15 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
103102ralrimiva 3144 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
1049fvexi 6861 . . . 4 π‘Œ ∈ V
105 nnenom 13892 . . . 4 β„• β‰ˆ Ο‰
106 oveq2 7370 . . . . . 6 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘›) β†’ (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›)))
107106oveq1d 7377 . . . . 5 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘›) β†’ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) = ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›))↑2))
108107breq1d 5120 . . . 4 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘›) β†’ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ↔ ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
109104, 105, 108axcc4 10382 . . 3 (βˆ€π‘› ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
110103, 109syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
11110adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) β†’ π‘ˆ ∈ CPreHilOLD)
11211adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) β†’ π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan))
11312adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
114 simprl 770 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) β†’ 𝑓:β„•βŸΆπ‘Œ)
115 simprr 772 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
116 fveq2 6847 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ (π‘“β€˜π‘›) = (π‘“β€˜π‘˜))
117116oveq2d 7378 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›)) = (𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘˜)))
118117oveq1d 7377 . . . . . 6 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›))↑2) = ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘˜))↑2))
119 oveq2 7370 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘˜ β†’ (1 / 𝑛) = (1 / π‘˜))
120119oveq2d 7378 . . . . . 6 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) = ((𝑆↑2) + (1 / π‘˜)))
121118, 120breq12d 5123 . . . . 5 (𝑛 = π‘˜ β†’ (((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ↔ ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘˜))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / π‘˜))))
122121rspccva 3583 . . . 4 ((βˆ€π‘› ∈ β„• ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘˜))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / π‘˜)))
123115, 122sylan 581 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘˜))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / π‘˜)))
124 eqid 2737 . . 3 (1 / (((((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)) + 𝑆) / 2)↑2) βˆ’ (𝑆↑2))) = (1 / (((((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)) + 𝑆) / 2)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)))
1256, 7, 8, 9, 111, 112, 113, 13, 14, 15, 5, 114, 123, 124minvecolem4 29864 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ π‘Œ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
126110, 125exlimddv 1939 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ π‘Œ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ran crn 5639  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  infcinf 9384  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  β„•cn 12160  2c2 12215  β†‘cexp 13974  βˆšcsqrt 15125  MetOpencmopn 20802  β‡π‘‘clm 22593  NrmCVeccnv 29568  BaseSetcba 29570   βˆ’π‘£ cnsb 29573  normCVcnmcv 29574  IndMetcims 29575  SubSpcss 29705  CPreHilOLDccphlo 29796  CBanccbn 29846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cc 10378  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-rest 17311  df-topgen 17332  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lm 22596  df-haus 22682  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-cfil 24635  df-cau 24636  df-cmet 24637  df-grpo 29477  df-gid 29478  df-ginv 29479  df-gdiv 29480  df-ablo 29529  df-vc 29543  df-nv 29576  df-va 29579  df-ba 29580  df-sm 29581  df-0v 29582  df-vs 29583  df-nmcv 29584  df-ims 29585  df-ssp 29706  df-ph 29797  df-cbn 29847
This theorem is referenced by:  minvecolem7  29867
  Copyright terms: Public domain W3C validator