MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minvecolem5 30665
Description: Lemma for minveco 30668. Discharge the assumption about the sequence 𝐹 by applying countable choice ax-cc 10444. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
minveco.m 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
minveco.n 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
minveco.y π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
minveco.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CPreHilOLD)
minveco.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan))
minveco.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
minveco.d 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
minveco.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
minveco.r 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
minvecolem5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ π‘Œ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐽   π‘₯,𝑀,𝑦   π‘₯,𝑁,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝐷,𝑦   π‘₯,π‘ˆ,𝑦   π‘₯,π‘Š,𝑦   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem5
Dummy variables 𝑛 π‘˜ 𝑀 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnrecgt0 12271 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• β†’ 0 < (1 / 𝑛))
21adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 < (1 / 𝑛))
3 nnrecre 12270 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
43adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5 minveco.s . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
6 minveco.x . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
7 minveco.m . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
8 minveco.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
9 minveco.y . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
10 minveco.u . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CPreHilOLD)
11 minveco.w . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan))
12 minveco.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
13 minveco.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
14 minveco.j . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
15 minveco.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
166, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15minvecolem1 30658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
1716adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
1817simp1d 1140 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑅 βŠ† ℝ)
1917simp2d 1141 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑅 β‰  βˆ…)
20 0re 11232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
2117simp3d 1142 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀)
22 breq1 5145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯ ≀ 𝑀 ↔ 0 ≀ 𝑀))
2322ralbidv 3172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 0 β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
2423rspcev 3607 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀)
2520, 21, 24sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀)
26 infrecl 12212 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀) β†’ inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2718, 19, 25, 26syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
285, 27eqeltrid 2832 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
2928resqcld 14107 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑆↑2) ∈ ℝ)
304, 29ltaddposd 11814 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (0 < (1 / 𝑛) ↔ (𝑆↑2) < ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
312, 30mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑆↑2) < ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
3229, 4readdcld 11259 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
3328sqge0d 14119 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (𝑆↑2))
3429, 4, 33, 2addgegt0d 11803 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 < ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
3532, 34elrpd 13031 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ+)
3635rpge0d 13038 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
37 resqrtth 15220 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) β†’ ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2) = ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
3832, 36, 37syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2) = ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
3931, 38breqtrrd 5170 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑆↑2) < ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2))
4035rpsqrtcld 15376 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ∈ ℝ+)
4140rpred 13034 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ∈ ℝ)
42 0red 11233 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 ∈ ℝ)
43 infregelb 12214 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀) ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
4418, 19, 25, 42, 43syl31anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (0 ≀ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
4521, 44mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ inf(𝑅, ℝ, < ))
4645, 5breqtrrdi 5184 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ 𝑆)
4732, 36sqrtge0d 15385 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
4828, 41, 46, 47lt2sqd 14236 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑆 < (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ↔ (𝑆↑2) < ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2)))
4939, 48mpbird 257 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑆 < (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
5028, 41ltnled 11377 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑆 < (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ↔ Β¬ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ 𝑆))
5149, 50mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Β¬ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ 𝑆)
525breq2i 5150 . . . . . . . . 9 ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ 𝑆 ↔ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ inf(𝑅, ℝ, < ))
53 infregelb 12214 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀) ∧ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ∈ ℝ) β†’ ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ 𝑀))
5418, 19, 25, 41, 53syl31anc 1371 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ 𝑀))
5552, 54bitrid 283 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ 𝑆 ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ 𝑀))
5615raleqi 3318 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))(βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ 𝑀)
57 fvex 6904 . . . . . . . . . . 11 (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
5857rgenw 3060 . . . . . . . . . 10 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
59 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))) = (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
60 breq2 5146 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) β†’ ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ 𝑀 ↔ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))))
6159, 60ralrnmptw 7098 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V β†’ (βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))(βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))))
6258, 61ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))(βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
6356, 62bitri 275 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
6455, 63bitrdi 287 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ 𝑆 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))))
6551, 64mtbid 324 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Β¬ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
66 rexnal 3095 . . . . . 6 (βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ Β¬ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ↔ Β¬ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
6765, 66sylibr 233 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ Β¬ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
6832adantr 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
69 phnv 30598 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ˆ ∈ CPreHilOLD β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
7010, 69syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
7170ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
7212ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
73 inss1 4224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan) βŠ† (SubSpβ€˜π‘ˆ)
7473, 11sselid 3976 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ))
75 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (SubSpβ€˜π‘ˆ) = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
766, 9, 75sspba 30511 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
7770, 74, 76syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
7877adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
7978sselda 3978 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
806, 7nvmcl 30430 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋)
8171, 72, 79, 80syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋)
826, 8nvcl 30445 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∈ ℝ)
8371, 81, 82syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∈ ℝ)
8483resqcld 14107 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))↑2) ∈ ℝ)
8568, 84letrid 11382 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≀ ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))↑2) ∨ ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
8685ord 863 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (Β¬ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≀ ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))↑2) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
8741adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ∈ ℝ)
8847adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
896, 8nvge0 30457 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
9071, 81, 89syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
9187, 83, 88, 90le2sqd 14237 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ↔ ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2) ≀ ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))↑2)))
9238adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2) = ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
9392breq1d 5152 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2) ≀ ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))↑2) ↔ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≀ ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))↑2)))
9491, 93bitrd 279 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ↔ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≀ ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))↑2)))
9594notbid 318 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (Β¬ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ↔ Β¬ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≀ ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))↑2)))
966, 7, 8, 13imsdval 30470 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝑦) = (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
9771, 72, 79, 96syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴𝐷𝑦) = (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
9897oveq1d 7429 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) = ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))↑2))
9998breq1d 5152 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ↔ ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
10086, 95, 993imtr4d 294 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (Β¬ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) β†’ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
101100reximdva 3163 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ Β¬ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
10267, 101mpd 15 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
103102ralrimiva 3141 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
1049fvexi 6905 . . . 4 π‘Œ ∈ V
105 nnenom 13963 . . . 4 β„• β‰ˆ Ο‰
106 oveq2 7422 . . . . . 6 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘›) β†’ (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›)))
107106oveq1d 7429 . . . . 5 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘›) β†’ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) = ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›))↑2))
108107breq1d 5152 . . . 4 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘›) β†’ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ↔ ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
109104, 105, 108axcc4 10448 . . 3 (βˆ€π‘› ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
110103, 109syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
11110adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) β†’ π‘ˆ ∈ CPreHilOLD)
11211adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) β†’ π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan))
11312adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
114 simprl 770 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) β†’ 𝑓:β„•βŸΆπ‘Œ)
115 simprr 772 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
116 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ (π‘“β€˜π‘›) = (π‘“β€˜π‘˜))
117116oveq2d 7430 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›)) = (𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘˜)))
118117oveq1d 7429 . . . . . 6 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›))↑2) = ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘˜))↑2))
119 oveq2 7422 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘˜ β†’ (1 / 𝑛) = (1 / π‘˜))
120119oveq2d 7430 . . . . . 6 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) = ((𝑆↑2) + (1 / π‘˜)))
121118, 120breq12d 5155 . . . . 5 (𝑛 = π‘˜ β†’ (((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ↔ ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘˜))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / π‘˜))))
122121rspccva 3606 . . . 4 ((βˆ€π‘› ∈ β„• ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘˜))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / π‘˜)))
123115, 122sylan 579 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘˜))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / π‘˜)))
124 eqid 2727 . . 3 (1 / (((((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)) + 𝑆) / 2)↑2) βˆ’ (𝑆↑2))) = (1 / (((((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)) + 𝑆) / 2)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)))
1256, 7, 8, 9, 111, 112, 113, 13, 14, 15, 5, 114, 123, 124minvecolem4 30664 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ π‘Œ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
126110, 125exlimddv 1931 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ π‘Œ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534  βˆƒwex 1774   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  Vcvv 3469   ∩ cin 3943   βŠ† wss 3944  βˆ…c0 4318   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  ran crn 5673  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  infcinf 9450  β„cr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   < clt 11264   ≀ cle 11265   βˆ’ cmin 11460   / cdiv 11887  β„•cn 12228  2c2 12283  β†‘cexp 14044  βˆšcsqrt 15198  MetOpencmopn 21249  β‡π‘‘clm 23104  NrmCVeccnv 30368  BaseSetcba 30370   βˆ’π‘£ cnsb 30373  normCVcnmcv 30374  IndMetcims 30375  SubSpcss 30505  CPreHilOLDccphlo 30596  CBanccbn 30646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cc 10444  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203  ax-mulf 11204
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fi 9420  df-sup 9451  df-inf 9452  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-xneg 13110  df-xadd 13111  df-xmul 13112  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fl 13775  df-seq 13985  df-exp 14045  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-rest 17389  df-topgen 17410  df-psmet 21251  df-xmet 21252  df-met 21253  df-bl 21254  df-mopn 21255  df-fbas 21256  df-fg 21257  df-top 22770  df-topon 22787  df-bases 22823  df-cld 22897  df-ntr 22898  df-cls 22899  df-nei 22976  df-lm 23107  df-haus 23193  df-fil 23724  df-fm 23816  df-flim 23817  df-flf 23818  df-cfil 25157  df-cau 25158  df-cmet 25159  df-grpo 30277  df-gid 30278  df-ginv 30279  df-gdiv 30280  df-ablo 30329  df-vc 30343  df-nv 30376  df-va 30379  df-ba 30380  df-sm 30381  df-0v 30382  df-vs 30383  df-nmcv 30384  df-ims 30385  df-ssp 30506  df-ph 30597  df-cbn 30647
This theorem is referenced by:  minvecolem7  30667
  Copyright terms: Public domain W3C validator