Theorem minvecolem5 31540

Description: Lemma for minveco 31543. Discharge the assumption about the sequence 𝐹 by applying countable choice ax-cc 10552. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
minveco.x	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
minveco.n	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
minveco.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
minveco.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
minveco.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
minveco.r	⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s	⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
minvecolem5	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem5

Dummy variables 𝑛 𝑘 𝑤 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrecgt0 12421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < (1 / 𝑛))
2	1	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 < (1 / 𝑛))
3		nnrecre 12420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
4	3	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5		minveco.s	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
6		minveco.x	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
7		minveco.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
8		minveco.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
9		minveco.y	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
10		minveco.u	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
11		minveco.w	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
12		minveco.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
13		minveco.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
14		minveco.j	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
15		minveco.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
16	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	minvecolem1 31533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
17	16	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
18	17	simp1d 1160	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑅 ⊆ ℝ)
19	17	simp2d 1161	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑅 ≠ ∅)
20		0re 11349	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℝ
21	17	simp3d 1162	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤)
22		breq1 5111	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ 𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
23	22	ralbidv 3189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
24	23	rspcev 3580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤)
25	20, 21, 24	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤)
26		infrecl 12339	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
27	18, 19, 25, 26	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
28	5, 27	eqeltrid 2868	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ ℝ)
29	28	resqcld 14308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
30	4, 29	ltaddposd 11940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (0 < (1 / 𝑛) ↔ (𝑆↑2) < ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
31	2, 30	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑆↑2) < ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
32	29, 4	readdcld 11377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
33	28	sqge0d 14320	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑆↑2))
34	29, 4, 33, 2	addgegt0d 11929	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 < ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
35	32, 34	elrpd 13201	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ+)
36	35	rpge0d 13208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
37		resqrtth 15465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2) = ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
38	32, 36, 37	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2) = ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
39	31, 38	breqtrrd 5139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑆↑2) < ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2))
40	35	rpsqrtcld 15623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ∈ ℝ+)
41	40	rpred 13204	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ∈ ℝ)
42		0red 11350	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
43		infregelb 12341	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤) ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
44	18, 19, 25, 42, 43	syl31anc 1401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
45	21, 44	mpbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
46	45, 5	breqtrrdi 5153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑆)
47	32, 36	sqrtge0d 15632	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
48	28, 41, 46, 47	lt2sqd 14441	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑆 < (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ↔ (𝑆↑2) < ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2)))
49	39, 48	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑆 < (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
50	28, 41	ltnled 11496	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑆 < (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ↔ ¬ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑆))
51	49, 50	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ¬ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑆)
52	5	breq2i 5116	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑆 ↔ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
53		infregelb 12341	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤) ∧ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ∈ ℝ) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑤))
54	18, 19, 25, 41, 53	syl31anc 1401	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑤))
55	52, 54	bitrid 286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑆 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑤))
56	15	raleqi 3321	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑅 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))(√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑤)
57		fvex 6929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
58	57	rgenw 3084	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
59		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
60		breq2 5112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑤 ↔ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
61	59, 60	ralrnmptw 7126	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V → (∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))(√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
62	58, 61	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))(√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
63	56, 62	bitri 278	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑅 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
64	55, 63	bitrdi 290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
65	51, 64	mtbid 327	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ¬ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
66		rexnal 3118	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑌 ¬ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
67	65, 66	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑦 ∈ 𝑌 ¬ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
68	32	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
69		phnv 31473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)
70	10, 69	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ NrmCVec)
71	70	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
72	12	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝐴 ∈ 𝑋)
73		inss1 4136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan) ⊆ (SubSp‘𝑈)
74	73, 11	sselid 3911	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))
75		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
76	6, 9, 75	sspba 31386	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
77	70, 74, 76	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
78	77	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
79	78	sselda 3913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑦 ∈ 𝑋)
80	6, 7	nvmcl 31305	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋)
81	71, 72, 79, 80	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋)
82	6, 8	nvcl 31320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ ℝ)
83	71, 81, 82	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ ℝ)
84	83	resqcld 14308	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2) ∈ ℝ)
85	68, 84	letrid 11501	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2) ∨ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
86	85	ord 878	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (¬ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2) → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
87	41	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ∈ ℝ)
88	47	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 0 ≤ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
89	6, 8	nvge0 31332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
90	71, 81, 89	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
91	87, 83, 88, 90	le2sqd 14442	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2)))
92	38	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2) = ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
93	92	breq1d 5118	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2) ↔ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2)))
94	91, 93	bitrd 282	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2)))
95	94	notbid 321	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (¬ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ ¬ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2)))
96	6, 7, 8, 13	imsdval 31345	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
97	71, 72, 79, 96	syl3anc 1399	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
98	97	oveq1d 7466	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) = ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2))
99	98	breq1d 5118	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ↔ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
100	86, 95, 99	3imtr4d 297	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (¬ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
101	100	reximdva 3179	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∃𝑦 ∈ 𝑌 ¬ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) → ∃𝑦 ∈ 𝑌 ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
102	67, 101	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑦 ∈ 𝑌 ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
103	102	ralrimiva 3158	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ 𝑌 ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
104	9	fvexi 6930	. . . 4 ⊢ 𝑌 ∈ V
105		nnenom 14163	. . . 4 ⊢ ℕ ≈ ω
106		oveq2 7459	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑛) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷(𝑓‘𝑛)))
107	106	oveq1d 7466	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑛) → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) = ((𝐴𝐷(𝑓‘𝑛))↑2))
108	107	breq1d 5118	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑛) → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ↔ ((𝐴𝐷(𝑓‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
109	104, 105, 108	axcc4 10556	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ 𝑌 ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑌 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
110	103, 109	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑌 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
111	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑌 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
112	11	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑌 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
113	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑌 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) → 𝐴 ∈ 𝑋)
114		simprl 783	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑌 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) → 𝑓:ℕ⟶𝑌)
115		simprr 785	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑌 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
116		fveq2 6916	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑓‘𝑛) = (𝑓‘𝑘))
117	116	oveq2d 7467	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝐷(𝑓‘𝑛)) = (𝐴𝐷(𝑓‘𝑘)))
118	117	oveq1d 7466	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴𝐷(𝑓‘𝑛))↑2) = ((𝐴𝐷(𝑓‘𝑘))↑2))
119		oveq2 7459	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑘))
120	119	oveq2d 7467	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) = ((𝑆↑2) + (1 / 𝑘)))
121	118, 120	breq12d 5121	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((𝐴𝐷(𝑓‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ↔ ((𝐴𝐷(𝑓‘𝑘))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑘))))
122	121	rspccva 3579	. . . 4 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝑓‘𝑘))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑘)))
123	115, 122	sylan 592	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑌 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝑓‘𝑘))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑘)))
124		eqid 2763	. . 3 ⊢ (1 / (((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))) = (1 / (((((𝐴𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)))
125	6, 7, 8, 9, 111, 112, 113, 13, 14, 15, 5, 114, 123, 124	minvecolem4 31539	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑌 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) → ∃𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
126	110, 125	exlimddv 1970	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  ∅c0 4281   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192  ran crn 5659  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  infcinf 9470  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   < clt 11382   ≤ cle 11383   − cmin 11580   / cdiv 12013  ℕcn 12375  2c2 12437  ↑cexp 14244  √csqrt 15443  MetOpencmopn 21719  ⇝_𝑡clm 23599  NrmCVeccnv 31243  BaseSetcba 31245   −_𝑣 cnsb 31248  norm_CVcnmcv 31249  IndMetcims 31250  SubSpcss 31380  CPreHil_OLDccphlo 31471  CBanccbn 31521

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cc 10552  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318  ax-mulf 11319

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-ico 13522  df-icc 13523  df-fl 13972  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-rest 17643  df-topgen 17664  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-fbas 21726  df-fg 21727  df-top 23267  df-topon 23284  df-bases 23319  df-cld 23392  df-ntr 23393  df-cls 23394  df-nei 23471  df-lm 23602  df-haus 23688  df-fil 24220  df-fm 24312  df-flim 24313  df-flf 24314  df-cfil 25631  df-cau 25632  df-cmet 25633  df-grpo 31152  df-gid 31153  df-ginv 31154  df-gdiv 31155  df-ablo 31204  df-vc 31218  df-nv 31251  df-va 31254  df-ba 31255  df-sm 31256  df-0v 31257  df-vs 31258  df-nmcv 31259  df-ims 31260  df-ssp 31381  df-ph 31472  df-cbn 31522

This theorem is used by:  minvecolem7  31542