MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minvecolem5 30909
Description: Lemma for minveco 30912. Discharge the assumption about the sequence 𝐹 by applying countable choice ax-cc 10472. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
minveco.n 𝑁 = (normCV𝑈)
minveco.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a (𝜑𝐴𝑋)
minveco.d 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
minveco.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
minveco.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
minvecolem5 (𝜑 → ∃𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem5
Dummy variables 𝑛 𝑘 𝑤 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnrecgt0 12306 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 0 < (1 / 𝑛))
21adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 < (1 / 𝑛))
3 nnrecre 12305 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
43adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5 minveco.s . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
6 minveco.x . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
7 minveco.m . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
8 minveco.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑁 = (normCV𝑈)
9 minveco.y . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
10 minveco.u . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
11 minveco.w . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
12 minveco.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴𝑋)
13 minveco.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
14 minveco.j . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
15 minveco.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
166, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15minvecolem1 30902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
1716adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
1817simp1d 1141 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑅 ⊆ ℝ)
1917simp2d 1142 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑅 ≠ ∅)
20 0re 11260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
2117simp3d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤)
22 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 0 → (𝑥𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
2322ralbidv 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 0 → (∀𝑤𝑅 𝑥𝑤 ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
2423rspcev 3621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
2520, 21, 24sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
26 infrecl 12247 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2718, 19, 25, 26syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
285, 27eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ ℝ)
2928resqcld 14161 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
304, 29ltaddposd 11844 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (0 < (1 / 𝑛) ↔ (𝑆↑2) < ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
312, 30mpbid 232 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑆↑2) < ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
3229, 4readdcld 11287 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
3328sqge0d 14173 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑆↑2))
3429, 4, 33, 2addgegt0d 11833 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 < ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
3532, 34elrpd 13071 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ+)
3635rpge0d 13078 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
37 resqrtth 15290 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2) = ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
3832, 36, 37syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2) = ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
3931, 38breqtrrd 5175 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑆↑2) < ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2))
4035rpsqrtcld 15446 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ∈ ℝ+)
4140rpred 13074 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ∈ ℝ)
42 0red 11261 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
43 infregelb 12249 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤) ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
4418, 19, 25, 42, 43syl31anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
4521, 44mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
4645, 5breqtrrdi 5189 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑆)
4732, 36sqrtge0d 15455 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
4828, 41, 46, 47lt2sqd 14291 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑆 < (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ↔ (𝑆↑2) < ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2)))
4939, 48mpbird 257 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑆 < (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
5028, 41ltnled 11405 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑆 < (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ↔ ¬ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑆))
5149, 50mpbid 232 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ¬ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑆)
525breq2i 5155 . . . . . . . . 9 ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑆 ↔ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
53 infregelb 12249 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤) ∧ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ∈ ℝ) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑤))
5418, 19, 25, 41, 53syl31anc 1372 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑤))
5552, 54bitrid 283 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑆 ↔ ∀𝑤𝑅 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑤))
5615raleqi 3321 . . . . . . . . 9 (∀𝑤𝑅 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))(√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑤)
57 fvex 6919 . . . . . . . . . . 11 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
5857rgenw 3062 . . . . . . . . . 10 𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
59 eqid 2734 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
60 breq2 5151 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑤 ↔ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
6159, 60ralrnmptw 7113 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V → (∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))(√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
6258, 61ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))(√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
6356, 62bitri 275 . . . . . . . 8 (∀𝑤𝑅 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
6455, 63bitrdi 287 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑆 ↔ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
6551, 64mtbid 324 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ¬ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
66 rexnal 3097 . . . . . 6 (∃𝑦𝑌 ¬ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ ¬ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
6765, 66sylibr 234 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑦𝑌 ¬ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
6832adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
69 phnv 30842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑈 ∈ NrmCVec)
7010, 69syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ NrmCVec)
7170ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
7212ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → 𝐴𝑋)
73 inss1 4244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan) ⊆ (SubSp‘𝑈)
7473, 11sselid 3992 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))
75 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
766, 9, 75sspba 30755 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑌𝑋)
7770, 74, 76syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑌𝑋)
7877adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑌𝑋)
7978sselda 3994 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑦𝑋)
806, 7nvmcl 30674 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋)
8171, 72, 79, 80syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋)
826, 8nvcl 30689 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ ℝ)
8371, 81, 82syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ ℝ)
8483resqcld 14161 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2) ∈ ℝ)
8568, 84letrid 11410 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → (((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2) ∨ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
8685ord 864 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → (¬ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2) → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
8741adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ∈ ℝ)
8847adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → 0 ≤ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
896, 8nvge0 30701 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
9071, 81, 89syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
9187, 83, 88, 90le2sqd 14292 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2)))
9238adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2) = ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
9392breq1d 5157 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → (((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2) ↔ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2)))
9491, 93bitrd 279 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2)))
9594notbid 318 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → (¬ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ ¬ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2)))
966, 7, 8, 13imsdval 30714 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
9771, 72, 79, 96syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
9897oveq1d 7445 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) = ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2))
9998breq1d 5157 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ↔ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
10086, 95, 993imtr4d 294 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → (¬ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
101100reximdva 3165 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∃𝑦𝑌 ¬ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) → ∃𝑦𝑌 ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
10267, 101mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑦𝑌 ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
103102ralrimiva 3143 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑦𝑌 ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
1049fvexi 6920 . . . 4 𝑌 ∈ V
105 nnenom 14017 . . . 4 ℕ ≈ ω
106 oveq2 7438 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑓𝑛) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷(𝑓𝑛)))
107106oveq1d 7445 . . . . 5 (𝑦 = (𝑓𝑛) → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) = ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2))
108107breq1d 5157 . . . 4 (𝑦 = (𝑓𝑛) → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ↔ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
109104, 105, 108axcc4 10476 . . 3 (∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑦𝑌 ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑌 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
110103, 109syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑌 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
11110adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑌 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
11211adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑌 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
11312adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑌 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) → 𝐴𝑋)
114 simprl 771 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑌 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) → 𝑓:ℕ⟶𝑌)
115 simprr 773 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑌 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
116 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (𝑓𝑛) = (𝑓𝑘))
117116oveq2d 7446 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝐷(𝑓𝑛)) = (𝐴𝐷(𝑓𝑘)))
118117oveq1d 7445 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) = ((𝐴𝐷(𝑓𝑘))↑2))
119 oveq2 7438 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑘))
120119oveq2d 7446 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) = ((𝑆↑2) + (1 / 𝑘)))
121118, 120breq12d 5160 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ↔ ((𝐴𝐷(𝑓𝑘))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑘))))
122121rspccva 3620 . . . 4 ((∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝑓𝑘))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑘)))
123115, 122sylan 580 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑌 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝑓𝑘))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑘)))
124 eqid 2734 . . 3 (1 / (((((𝐴𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))) = (1 / (((((𝐴𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)))
1256, 7, 8, 9, 111, 112, 113, 13, 14, 15, 5, 114, 123, 124minvecolem4 30908 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑌 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) → ∃𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
126110, 125exlimddv 1932 1 (𝜑 → ∃𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wex 1775  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  Vcvv 3477  cin 3961  wss 3962  c0 4338   class class class wbr 5147  cmpt 5230  ran crn 5689  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  infcinf 9478  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  cn 12263  2c2 12318  cexp 14098  csqrt 15268  MetOpencmopn 21371  𝑡clm 23249  NrmCVeccnv 30612  BaseSetcba 30614  𝑣 cnsb 30617  normCVcnmcv 30618  IndMetcims 30619  SubSpcss 30749  CPreHilOLDccphlo 30840  CBanccbn 30890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cc 10472  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-rest 17468  df-topgen 17489  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-top 22915  df-topon 22932  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lm 23252  df-haus 23338  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-cfil 25302  df-cau 25303  df-cmet 25304  df-grpo 30521  df-gid 30522  df-ginv 30523  df-gdiv 30524  df-ablo 30573  df-vc 30587  df-nv 30620  df-va 30623  df-ba 30624  df-sm 30625  df-0v 30626  df-vs 30627  df-nmcv 30628  df-ims 30629  df-ssp 30750  df-ph 30841  df-cbn 30891
This theorem is referenced by:  minvecolem7  30911
  Copyright terms: Public domain W3C validator