MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minvecolem5 28077
Description: Lemma for minveco 28080. Discharge the assumption about the sequence 𝐹 by applying countable choice ax-cc 9459. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
minveco.n 𝑁 = (normCV𝑈)
minveco.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a (𝜑𝐴𝑋)
minveco.d 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
minveco.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
minveco.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
minvecolem5 (𝜑 → ∃𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem5
Dummy variables 𝑛 𝑘 𝑤 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnrecgt0 11260 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 0 < (1 / 𝑛))
21adantl 467 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 < (1 / 𝑛))
3 nnrecre 11259 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
43adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5 minveco.s . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
6 minveco.x . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
7 minveco.m . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
8 minveco.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑁 = (normCV𝑈)
9 minveco.y . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
10 minveco.u . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
11 minveco.w . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
12 minveco.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴𝑋)
13 minveco.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
14 minveco.j . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
15 minveco.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
166, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15minvecolem1 28070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
1716adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
1817simp1d 1136 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑅 ⊆ ℝ)
1917simp2d 1137 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑅 ≠ ∅)
20 0re 10242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
2117simp3d 1138 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤)
22 breq1 4789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 0 → (𝑥𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
2322ralbidv 3135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 0 → (∀𝑤𝑅 𝑥𝑤 ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
2423rspcev 3460 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
2520, 21, 24sylancr 575 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
26 infrecl 11207 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2718, 19, 25, 26syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
285, 27syl5eqel 2854 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ ℝ)
2928resqcld 13242 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
304, 29ltaddposd 10813 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (0 < (1 / 𝑛) ↔ (𝑆↑2) < ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
312, 30mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑆↑2) < ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
3229, 4readdcld 10271 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
3328sqge0d 13243 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑆↑2))
3429, 4, 33, 2addgegt0d 10803 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 < ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
3532, 34elrpd 12072 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ+)
3635rpge0d 12079 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
37 resqrtth 14204 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2) = ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
3832, 36, 37syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2) = ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
3931, 38breqtrrd 4814 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑆↑2) < ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2))
4035rpsqrtcld 14358 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ∈ ℝ+)
4140rpred 12075 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ∈ ℝ)
42 0red 10243 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
43 infregelb 11209 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤) ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
4418, 19, 25, 42, 43syl31anc 1479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
4521, 44mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
4645, 5syl6breqr 4828 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑆)
4732, 36sqrtge0d 14367 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
4828, 41, 46, 47lt2sqd 13250 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑆 < (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ↔ (𝑆↑2) < ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2)))
4939, 48mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑆 < (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
5028, 41ltnled 10386 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑆 < (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ↔ ¬ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑆))
5149, 50mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ¬ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑆)
525breq2i 4794 . . . . . . . . 9 ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑆 ↔ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
53 infregelb 11209 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤) ∧ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ∈ ℝ) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑤))
5418, 19, 25, 41, 53syl31anc 1479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑤))
5552, 54syl5bb 272 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑆 ↔ ∀𝑤𝑅 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑤))
5615raleqi 3291 . . . . . . . . 9 (∀𝑤𝑅 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))(√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑤)
57 fvex 6342 . . . . . . . . . . 11 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
5857rgenw 3073 . . . . . . . . . 10 𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
59 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
60 breq2 4790 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑤 ↔ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
6159, 60ralrnmpt 6511 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V → (∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))(√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
6258, 61ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))(√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
6356, 62bitri 264 . . . . . . . 8 (∀𝑤𝑅 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
6455, 63syl6bb 276 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑆 ↔ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
6551, 64mtbid 313 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ¬ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
66 rexnal 3143 . . . . . 6 (∃𝑦𝑌 ¬ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ ¬ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
6765, 66sylibr 224 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑦𝑌 ¬ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
6832adantr 466 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
69 phnv 28009 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑈 ∈ NrmCVec)
7010, 69syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ NrmCVec)
7170ad2antrr 705 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
7212ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → 𝐴𝑋)
73 inss1 3981 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan) ⊆ (SubSp‘𝑈)
7473, 11sseldi 3750 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))
75 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
766, 9, 75sspba 27922 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑌𝑋)
7770, 74, 76syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑌𝑋)
7877adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑌𝑋)
7978sselda 3752 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑦𝑋)
806, 7nvmcl 27841 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋)
8171, 72, 79, 80syl3anc 1476 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋)
826, 8nvcl 27856 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ ℝ)
8371, 81, 82syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ ℝ)
8483resqcld 13242 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2) ∈ ℝ)
8568, 84letrid 10391 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → (((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2) ∨ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
8685ord 853 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → (¬ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2) → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
8741adantr 466 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ∈ ℝ)
8847adantr 466 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → 0 ≤ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
896, 8nvge0 27868 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
9071, 81, 89syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
9187, 83, 88, 90le2sqd 13251 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2)))
9238adantr 466 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2) = ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
9392breq1d 4796 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → (((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2) ↔ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2)))
9491, 93bitrd 268 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2)))
9594notbid 307 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → (¬ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ ¬ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2)))
966, 7, 8, 13imsdval 27881 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
9771, 72, 79, 96syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
9897oveq1d 6808 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) = ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2))
9998breq1d 4796 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ↔ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
10086, 95, 993imtr4d 283 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → (¬ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
101100reximdva 3165 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∃𝑦𝑌 ¬ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) → ∃𝑦𝑌 ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
10267, 101mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑦𝑌 ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
103102ralrimiva 3115 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑦𝑌 ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
104 fvex 6342 . . . . 5 (BaseSet‘𝑊) ∈ V
1059, 104eqeltri 2846 . . . 4 𝑌 ∈ V
106 nnenom 12987 . . . 4 ℕ ≈ ω
107 oveq2 6801 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑓𝑛) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷(𝑓𝑛)))
108107oveq1d 6808 . . . . 5 (𝑦 = (𝑓𝑛) → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) = ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2))
109108breq1d 4796 . . . 4 (𝑦 = (𝑓𝑛) → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ↔ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
110105, 106, 109axcc4 9463 . . 3 (∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑦𝑌 ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑌 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
111103, 110syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑌 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
11210adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑌 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
11311adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑌 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
11412adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑌 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) → 𝐴𝑋)
115 simprl 754 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑌 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) → 𝑓:ℕ⟶𝑌)
116 simprr 756 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑌 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
117 fveq2 6332 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (𝑓𝑛) = (𝑓𝑘))
118117oveq2d 6809 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝐷(𝑓𝑛)) = (𝐴𝐷(𝑓𝑘)))
119118oveq1d 6808 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) = ((𝐴𝐷(𝑓𝑘))↑2))
120 oveq2 6801 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑘))
121120oveq2d 6809 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) = ((𝑆↑2) + (1 / 𝑘)))
122119, 121breq12d 4799 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ↔ ((𝐴𝐷(𝑓𝑘))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑘))))
123122rspccva 3459 . . . 4 ((∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝑓𝑘))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑘)))
124116, 123sylan 569 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑌 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝑓𝑘))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑘)))
125 eqid 2771 . . 3 (1 / (((((𝐴𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))) = (1 / (((((𝐴𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)))
1266, 7, 8, 9, 112, 113, 114, 13, 14, 15, 5, 115, 124, 125minvecolem4 28076 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑌 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) → ∃𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
127111, 126exlimddv 2015 1 (𝜑 → ∃𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wex 1852  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  wrex 3062  Vcvv 3351  cin 3722  wss 3723  c0 4063   class class class wbr 4786  cmpt 4863  ran crn 5250  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  infcinf 8503  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   < clt 10276  cle 10277  cmin 10468   / cdiv 10886  cn 11222  2c2 11272  cexp 13067  csqrt 14181  MetOpencmopn 19951  𝑡clm 21251  NrmCVeccnv 27779  BaseSetcba 27781  𝑣 cnsb 27784  normCVcnmcv 27785  IndMetcims 27786  SubSpcss 27916  CPreHilOLDccphlo 28007  CBanccbn 28058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cc 9459  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-rest 16291  df-topgen 16312  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-top 20919  df-topon 20936  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-lm 21254  df-haus 21340  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-cfil 23272  df-cau 23273  df-cmet 23274  df-grpo 27687  df-gid 27688  df-ginv 27689  df-gdiv 27690  df-ablo 27739  df-vc 27754  df-nv 27787  df-va 27790  df-ba 27791  df-sm 27792  df-0v 27793  df-vs 27794  df-nmcv 27795  df-ims 27796  df-ssp 27917  df-ph 28008  df-cbn 28059
This theorem is referenced by:  minvecolem7  28079
  Copyright terms: Public domain W3C validator