MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minvecolem5 30733
Description: Lemma for minveco 30736. Discharge the assumption about the sequence 𝐹 by applying countable choice ax-cc 10456. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
minveco.m 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
minveco.n 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
minveco.y π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
minveco.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CPreHilOLD)
minveco.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan))
minveco.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
minveco.d 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
minveco.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
minveco.r 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
minvecolem5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ π‘Œ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐽   π‘₯,𝑀,𝑦   π‘₯,𝑁,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝐷,𝑦   π‘₯,π‘ˆ,𝑦   π‘₯,π‘Š,𝑦   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem5
Dummy variables 𝑛 π‘˜ 𝑀 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnrecgt0 12283 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• β†’ 0 < (1 / 𝑛))
21adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 < (1 / 𝑛))
3 nnrecre 12282 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
43adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5 minveco.s . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
6 minveco.x . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
7 minveco.m . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
8 minveco.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
9 minveco.y . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
10 minveco.u . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CPreHilOLD)
11 minveco.w . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan))
12 minveco.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
13 minveco.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
14 minveco.j . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
15 minveco.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
166, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15minvecolem1 30726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
1716adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
1817simp1d 1139 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑅 βŠ† ℝ)
1917simp2d 1140 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑅 β‰  βˆ…)
20 0re 11244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
2117simp3d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀)
22 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯ ≀ 𝑀 ↔ 0 ≀ 𝑀))
2322ralbidv 3168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 0 β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
2423rspcev 3602 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀)
2520, 21, 24sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀)
26 infrecl 12224 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀) β†’ inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2718, 19, 25, 26syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
285, 27eqeltrid 2829 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
2928resqcld 14119 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑆↑2) ∈ ℝ)
304, 29ltaddposd 11826 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (0 < (1 / 𝑛) ↔ (𝑆↑2) < ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
312, 30mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑆↑2) < ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
3229, 4readdcld 11271 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
3328sqge0d 14131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (𝑆↑2))
3429, 4, 33, 2addgegt0d 11815 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 < ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
3532, 34elrpd 13043 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ+)
3635rpge0d 13050 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
37 resqrtth 15232 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) β†’ ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2) = ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
3832, 36, 37syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2) = ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
3931, 38breqtrrd 5171 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑆↑2) < ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2))
4035rpsqrtcld 15388 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ∈ ℝ+)
4140rpred 13046 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ∈ ℝ)
42 0red 11245 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 ∈ ℝ)
43 infregelb 12226 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀) ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
4418, 19, 25, 42, 43syl31anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (0 ≀ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
4521, 44mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ inf(𝑅, ℝ, < ))
4645, 5breqtrrdi 5185 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ 𝑆)
4732, 36sqrtge0d 15397 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
4828, 41, 46, 47lt2sqd 14248 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑆 < (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ↔ (𝑆↑2) < ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2)))
4939, 48mpbird 256 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑆 < (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
5028, 41ltnled 11389 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑆 < (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ↔ Β¬ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ 𝑆))
5149, 50mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Β¬ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ 𝑆)
525breq2i 5151 . . . . . . . . 9 ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ 𝑆 ↔ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ inf(𝑅, ℝ, < ))
53 infregelb 12226 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀) ∧ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ∈ ℝ) β†’ ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ 𝑀))
5418, 19, 25, 41, 53syl31anc 1370 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ 𝑀))
5552, 54bitrid 282 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ 𝑆 ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ 𝑀))
5615raleqi 3313 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))(βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ 𝑀)
57 fvex 6904 . . . . . . . . . . 11 (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
5857rgenw 3055 . . . . . . . . . 10 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
59 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))) = (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
60 breq2 5147 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) β†’ ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ 𝑀 ↔ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))))
6159, 60ralrnmptw 7098 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V β†’ (βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))(βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))))
6258, 61ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))(βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
6356, 62bitri 274 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
6455, 63bitrdi 286 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ 𝑆 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))))
6551, 64mtbid 323 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Β¬ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
66 rexnal 3090 . . . . . 6 (βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ Β¬ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ↔ Β¬ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
6765, 66sylibr 233 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ Β¬ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
6832adantr 479 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
69 phnv 30666 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ˆ ∈ CPreHilOLD β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
7010, 69syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
7170ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
7212ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
73 inss1 4223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan) βŠ† (SubSpβ€˜π‘ˆ)
7473, 11sselid 3970 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ))
75 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (SubSpβ€˜π‘ˆ) = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
766, 9, 75sspba 30579 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
7770, 74, 76syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
7877adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
7978sselda 3972 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
806, 7nvmcl 30498 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋)
8171, 72, 79, 80syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋)
826, 8nvcl 30513 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∈ ℝ)
8371, 81, 82syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∈ ℝ)
8483resqcld 14119 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))↑2) ∈ ℝ)
8568, 84letrid 11394 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≀ ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))↑2) ∨ ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
8685ord 862 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (Β¬ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≀ ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))↑2) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
8741adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ∈ ℝ)
8847adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
896, 8nvge0 30525 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
9071, 81, 89syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
9187, 83, 88, 90le2sqd 14249 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ↔ ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2) ≀ ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))↑2)))
9238adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2) = ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
9392breq1d 5153 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2) ≀ ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))↑2) ↔ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≀ ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))↑2)))
9491, 93bitrd 278 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ↔ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≀ ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))↑2)))
9594notbid 317 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (Β¬ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ↔ Β¬ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≀ ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))↑2)))
966, 7, 8, 13imsdval 30538 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝑦) = (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
9771, 72, 79, 96syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴𝐷𝑦) = (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
9897oveq1d 7430 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) = ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))↑2))
9998breq1d 5153 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ↔ ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
10086, 95, 993imtr4d 293 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (Β¬ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) β†’ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
101100reximdva 3158 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ Β¬ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
10267, 101mpd 15 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
103102ralrimiva 3136 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
1049fvexi 6905 . . . 4 π‘Œ ∈ V
105 nnenom 13975 . . . 4 β„• β‰ˆ Ο‰
106 oveq2 7423 . . . . . 6 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘›) β†’ (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›)))
107106oveq1d 7430 . . . . 5 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘›) β†’ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) = ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›))↑2))
108107breq1d 5153 . . . 4 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘›) β†’ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ↔ ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
109104, 105, 108axcc4 10460 . . 3 (βˆ€π‘› ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
110103, 109syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
11110adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) β†’ π‘ˆ ∈ CPreHilOLD)
11211adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) β†’ π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan))
11312adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
114 simprl 769 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) β†’ 𝑓:β„•βŸΆπ‘Œ)
115 simprr 771 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
116 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ (π‘“β€˜π‘›) = (π‘“β€˜π‘˜))
117116oveq2d 7431 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›)) = (𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘˜)))
118117oveq1d 7430 . . . . . 6 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›))↑2) = ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘˜))↑2))
119 oveq2 7423 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘˜ β†’ (1 / 𝑛) = (1 / π‘˜))
120119oveq2d 7431 . . . . . 6 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) = ((𝑆↑2) + (1 / π‘˜)))
121118, 120breq12d 5156 . . . . 5 (𝑛 = π‘˜ β†’ (((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ↔ ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘˜))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / π‘˜))))
122121rspccva 3601 . . . 4 ((βˆ€π‘› ∈ β„• ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘˜))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / π‘˜)))
123115, 122sylan 578 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘˜))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / π‘˜)))
124 eqid 2725 . . 3 (1 / (((((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)) + 𝑆) / 2)↑2) βˆ’ (𝑆↑2))) = (1 / (((((𝐴𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)) + 𝑆) / 2)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)))
1256, 7, 8, 9, 111, 112, 113, 13, 14, 15, 5, 114, 123, 124minvecolem4 30732 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑓:β„•βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((𝐴𝐷(π‘“β€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ π‘Œ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
126110, 125exlimddv 1930 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ π‘Œ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  Vcvv 3463   ∩ cin 3939   βŠ† wss 3940  βˆ…c0 4318   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  ran crn 5673  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  infcinf 9462  β„cr 11135  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139   < clt 11276   ≀ cle 11277   βˆ’ cmin 11472   / cdiv 11899  β„•cn 12240  2c2 12295  β†‘cexp 14056  βˆšcsqrt 15210  MetOpencmopn 21271  β‡π‘‘clm 23146  NrmCVeccnv 30436  BaseSetcba 30438   βˆ’π‘£ cnsb 30441  normCVcnmcv 30442  IndMetcims 30443  SubSpcss 30573  CPreHilOLDccphlo 30664  CBanccbn 30714
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cc 10456  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215  ax-mulf 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fl 13787  df-seq 13997  df-exp 14057  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-rest 17401  df-topgen 17422  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-fbas 21278  df-fg 21279  df-top 22812  df-topon 22829  df-bases 22865  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-lm 23149  df-haus 23235  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-cfil 25199  df-cau 25200  df-cmet 25201  df-grpo 30345  df-gid 30346  df-ginv 30347  df-gdiv 30348  df-ablo 30397  df-vc 30411  df-nv 30444  df-va 30447  df-ba 30448  df-sm 30449  df-0v 30450  df-vs 30451  df-nmcv 30452  df-ims 30453  df-ssp 30574  df-ph 30665  df-cbn 30715
This theorem is referenced by:  minvecolem7  30735
  Copyright terms: Public domain W3C validator