Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | nnrecgt0 12203 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β β β 0 < (1
/ π)) |
2 | 1 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β β) β 0 < (1 / π)) |
3 | | nnrecre 12202 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β β β (1 /
π) β
β) |
4 | 3 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β β) β (1 / π) β
β) |
5 | | minveco.s |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ π = inf(π
, β, < ) |
6 | | minveco.x |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ π = (BaseSetβπ) |
7 | | minveco.m |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ π = ( βπ£
βπ) |
8 | | minveco.n |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ π =
(normCVβπ) |
9 | | minveco.y |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ π = (BaseSetβπ) |
10 | | minveco.u |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β π β
CPreHilOLD) |
11 | | minveco.w |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β π β ((SubSpβπ) β© CBan)) |
12 | | minveco.a |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β π΄ β π) |
13 | | minveco.d |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ π· = (IndMetβπ) |
14 | | minveco.j |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ π½ = (MetOpenβπ·) |
15 | | minveco.r |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ π
= ran (π¦ β π β¦ (πβ(π΄ππ¦))) |
16 | 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 | minvecolem1 29858 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β (π
β β β§ π
β β
β§ βπ€ β π
0 β€ π€)) |
17 | 16 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β β) β (π
β β β§ π
β β
β§ βπ€ β π
0 β€ π€)) |
18 | 17 | simp1d 1143 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β β) β π
β β) |
19 | 17 | simp2d 1144 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β β) β π
β β
) |
20 | | 0re 11164 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ 0 β
β |
21 | 17 | simp3d 1145 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β β) β βπ€ β π
0 β€ π€) |
22 | | breq1 5113 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π₯ = 0 β (π₯ β€ π€ β 0 β€ π€)) |
23 | 22 | ralbidv 3175 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π₯ = 0 β (βπ€ β π
π₯ β€ π€ β βπ€ β π
0 β€ π€)) |
24 | 23 | rspcev 3584 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((0
β β β§ βπ€ β π
0 β€ π€) β βπ₯ β β βπ€ β π
π₯ β€ π€) |
25 | 20, 21, 24 | sylancr 588 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β β) β βπ₯ β β βπ€ β π
π₯ β€ π€) |
26 | | infrecl 12144 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π
β β β§ π
β β
β§ βπ₯ β β βπ€ β π
π₯ β€ π€) β inf(π
, β, < ) β
β) |
27 | 18, 19, 25, 26 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π β β) β inf(π
, β, < ) β
β) |
28 | 5, 27 | eqeltrid 2842 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β β) β π β β) |
29 | 28 | resqcld 14037 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β β) β (πβ2) β β) |
30 | 4, 29 | ltaddposd 11746 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β β) β (0 < (1 / π) β (πβ2) < ((πβ2) + (1 / π)))) |
31 | 2, 30 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β β) β (πβ2) < ((πβ2) + (1 / π))) |
32 | 29, 4 | readdcld 11191 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β β) β ((πβ2) + (1 / π)) β β) |
33 | 28 | sqge0d 14049 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π β β) β 0 β€ (πβ2)) |
34 | 29, 4, 33, 2 | addgegt0d 11735 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β β) β 0 < ((πβ2) + (1 / π))) |
35 | 32, 34 | elrpd 12961 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β β) β ((πβ2) + (1 / π)) β
β+) |
36 | 35 | rpge0d 12968 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β β) β 0 β€ ((πβ2) + (1 / π))) |
37 | | resqrtth 15147 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πβ2) + (1 / π)) β β β§ 0 β€
((πβ2) + (1 / π))) β
((ββ((πβ2)
+ (1 / π)))β2) =
((πβ2) + (1 / π))) |
38 | 32, 36, 37 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β β) β
((ββ((πβ2)
+ (1 / π)))β2) =
((πβ2) + (1 / π))) |
39 | 31, 38 | breqtrrd 5138 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β β) β (πβ2) < ((ββ((πβ2) + (1 / π)))β2)) |
40 | 35 | rpsqrtcld 15303 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β β) β
(ββ((πβ2)
+ (1 / π))) β
β+) |
41 | 40 | rpred 12964 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β β) β
(ββ((πβ2)
+ (1 / π))) β
β) |
42 | | 0red 11165 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β β) β 0 β
β) |
43 | | infregelb 12146 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π
β β β§ π
β β
β§ βπ₯ β β βπ€ β π
π₯ β€ π€) β§ 0 β β) β (0 β€
inf(π
, β, < )
β βπ€ β
π
0 β€ π€)) |
44 | 18, 19, 25, 42, 43 | syl31anc 1374 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β β) β (0 β€ inf(π
, β, < ) β
βπ€ β π
0 β€ π€)) |
45 | 21, 44 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β β) β 0 β€ inf(π
, β, <
)) |
46 | 45, 5 | breqtrrdi 5152 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β β) β 0 β€ π) |
47 | 32, 36 | sqrtge0d 15312 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β β) β 0 β€
(ββ((πβ2)
+ (1 / π)))) |
48 | 28, 41, 46, 47 | lt2sqd 14166 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β β) β (π < (ββ((πβ2) + (1 / π))) β (πβ2) < ((ββ((πβ2) + (1 / π)))β2))) |
49 | 39, 48 | mpbird 257 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β) β π < (ββ((πβ2) + (1 / π)))) |
50 | 28, 41 | ltnled 11309 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β) β (π < (ββ((πβ2) + (1 / π))) β Β¬ (ββ((πβ2) + (1 / π))) β€ π)) |
51 | 49, 50 | mpbid 231 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β β) β Β¬
(ββ((πβ2)
+ (1 / π))) β€ π) |
52 | 5 | breq2i 5118 |
. . . . . . . . 9
β’
((ββ((πβ2) + (1 / π))) β€ π β (ββ((πβ2) + (1 / π))) β€ inf(π
, β, < )) |
53 | | infregelb 12146 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π
β β β§ π
β β
β§ βπ₯ β β βπ€ β π
π₯ β€ π€) β§ (ββ((πβ2) + (1 / π))) β β) β
((ββ((πβ2)
+ (1 / π))) β€ inf(π
, β, < ) β
βπ€ β π
(ββ((πβ2) + (1 / π))) β€ π€)) |
54 | 18, 19, 25, 41, 53 | syl31anc 1374 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β β) β
((ββ((πβ2)
+ (1 / π))) β€ inf(π
, β, < ) β
βπ€ β π
(ββ((πβ2) + (1 / π))) β€ π€)) |
55 | 52, 54 | bitrid 283 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β) β
((ββ((πβ2)
+ (1 / π))) β€ π β βπ€ β π
(ββ((πβ2) + (1 / π))) β€ π€)) |
56 | 15 | raleqi 3314 |
. . . . . . . . 9
β’
(βπ€ β
π
(ββ((πβ2) + (1 / π))) β€ π€ β βπ€ β ran (π¦ β π β¦ (πβ(π΄ππ¦)))(ββ((πβ2) + (1 / π))) β€ π€) |
57 | | fvex 6860 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (πβ(π΄ππ¦)) β V |
58 | 57 | rgenw 3069 |
. . . . . . . . . 10
β’
βπ¦ β
π (πβ(π΄ππ¦)) β V |
59 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π¦ β π β¦ (πβ(π΄ππ¦))) = (π¦ β π β¦ (πβ(π΄ππ¦))) |
60 | | breq2 5114 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π€ = (πβ(π΄ππ¦)) β ((ββ((πβ2) + (1 / π))) β€ π€ β (ββ((πβ2) + (1 / π))) β€ (πβ(π΄ππ¦)))) |
61 | 59, 60 | ralrnmptw 7049 |
. . . . . . . . . 10
β’
(βπ¦ β
π (πβ(π΄ππ¦)) β V β (βπ€ β ran (π¦ β π β¦ (πβ(π΄ππ¦)))(ββ((πβ2) + (1 / π))) β€ π€ β βπ¦ β π (ββ((πβ2) + (1 / π))) β€ (πβ(π΄ππ¦)))) |
62 | 58, 61 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . 9
β’
(βπ€ β
ran (π¦ β π β¦ (πβ(π΄ππ¦)))(ββ((πβ2) + (1 / π))) β€ π€ β βπ¦ β π (ββ((πβ2) + (1 / π))) β€ (πβ(π΄ππ¦))) |
63 | 56, 62 | bitri 275 |
. . . . . . . 8
β’
(βπ€ β
π
(ββ((πβ2) + (1 / π))) β€ π€ β βπ¦ β π (ββ((πβ2) + (1 / π))) β€ (πβ(π΄ππ¦))) |
64 | 55, 63 | bitrdi 287 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β β) β
((ββ((πβ2)
+ (1 / π))) β€ π β βπ¦ β π (ββ((πβ2) + (1 / π))) β€ (πβ(π΄ππ¦)))) |
65 | 51, 64 | mtbid 324 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β β) β Β¬ βπ¦ β π (ββ((πβ2) + (1 / π))) β€ (πβ(π΄ππ¦))) |
66 | | rexnal 3104 |
. . . . . 6
β’
(βπ¦ β
π Β¬
(ββ((πβ2)
+ (1 / π))) β€ (πβ(π΄ππ¦)) β Β¬ βπ¦ β π (ββ((πβ2) + (1 / π))) β€ (πβ(π΄ππ¦))) |
67 | 65, 66 | sylibr 233 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β β) β βπ¦ β π Β¬ (ββ((πβ2) + (1 / π))) β€ (πβ(π΄ππ¦))) |
68 | 32 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β β) β§ π¦ β π) β ((πβ2) + (1 / π)) β β) |
69 | | phnv 29798 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β CPreHilOLD
β π β
NrmCVec) |
70 | 10, 69 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β π β NrmCVec) |
71 | 70 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β β) β§ π¦ β π) β π β NrmCVec) |
72 | 12 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β β) β§ π¦ β π) β π΄ β π) |
73 | | inss1 4193 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
((SubSpβπ)
β© CBan) β (SubSpβπ) |
74 | 73, 11 | sselid 3947 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β π β (SubSpβπ)) |
75 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(SubSpβπ) =
(SubSpβπ) |
76 | 6, 9, 75 | sspba 29711 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β NrmCVec β§ π β (SubSpβπ)) β π β π) |
77 | 70, 74, 76 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β π β π) |
78 | 77 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β β) β π β π) |
79 | 78 | sselda 3949 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β β) β§ π¦ β π) β π¦ β π) |
80 | 6, 7 | nvmcl 29630 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π¦ β π) β (π΄ππ¦) β π) |
81 | 71, 72, 79, 80 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β β) β§ π¦ β π) β (π΄ππ¦) β π) |
82 | 6, 8 | nvcl 29645 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β NrmCVec β§ (π΄ππ¦) β π) β (πβ(π΄ππ¦)) β β) |
83 | 71, 81, 82 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β β) β§ π¦ β π) β (πβ(π΄ππ¦)) β β) |
84 | 83 | resqcld 14037 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β β) β§ π¦ β π) β ((πβ(π΄ππ¦))β2) β β) |
85 | 68, 84 | letrid 11314 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β β) β§ π¦ β π) β (((πβ2) + (1 / π)) β€ ((πβ(π΄ππ¦))β2) β¨ ((πβ(π΄ππ¦))β2) β€ ((πβ2) + (1 / π)))) |
86 | 85 | ord 863 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β β) β§ π¦ β π) β (Β¬ ((πβ2) + (1 / π)) β€ ((πβ(π΄ππ¦))β2) β ((πβ(π΄ππ¦))β2) β€ ((πβ2) + (1 / π)))) |
87 | 41 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β β) β§ π¦ β π) β (ββ((πβ2) + (1 / π))) β β) |
88 | 47 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β β) β§ π¦ β π) β 0 β€ (ββ((πβ2) + (1 / π)))) |
89 | 6, 8 | nvge0 29657 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β NrmCVec β§ (π΄ππ¦) β π) β 0 β€ (πβ(π΄ππ¦))) |
90 | 71, 81, 89 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β β) β§ π¦ β π) β 0 β€ (πβ(π΄ππ¦))) |
91 | 87, 83, 88, 90 | le2sqd 14167 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β β) β§ π¦ β π) β ((ββ((πβ2) + (1 / π))) β€ (πβ(π΄ππ¦)) β ((ββ((πβ2) + (1 / π)))β2) β€ ((πβ(π΄ππ¦))β2))) |
92 | 38 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β β) β§ π¦ β π) β ((ββ((πβ2) + (1 / π)))β2) = ((πβ2) + (1 / π))) |
93 | 92 | breq1d 5120 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β β) β§ π¦ β π) β (((ββ((πβ2) + (1 / π)))β2) β€ ((πβ(π΄ππ¦))β2) β ((πβ2) + (1 / π)) β€ ((πβ(π΄ππ¦))β2))) |
94 | 91, 93 | bitrd 279 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β β) β§ π¦ β π) β ((ββ((πβ2) + (1 / π))) β€ (πβ(π΄ππ¦)) β ((πβ2) + (1 / π)) β€ ((πβ(π΄ππ¦))β2))) |
95 | 94 | notbid 318 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β β) β§ π¦ β π) β (Β¬ (ββ((πβ2) + (1 / π))) β€ (πβ(π΄ππ¦)) β Β¬ ((πβ2) + (1 / π)) β€ ((πβ(π΄ππ¦))β2))) |
96 | 6, 7, 8, 13 | imsdval 29670 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π¦ β π) β (π΄π·π¦) = (πβ(π΄ππ¦))) |
97 | 71, 72, 79, 96 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β β) β§ π¦ β π) β (π΄π·π¦) = (πβ(π΄ππ¦))) |
98 | 97 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β β) β§ π¦ β π) β ((π΄π·π¦)β2) = ((πβ(π΄ππ¦))β2)) |
99 | 98 | breq1d 5120 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β β) β§ π¦ β π) β (((π΄π·π¦)β2) β€ ((πβ2) + (1 / π)) β ((πβ(π΄ππ¦))β2) β€ ((πβ2) + (1 / π)))) |
100 | 86, 95, 99 | 3imtr4d 294 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π β β) β§ π¦ β π) β (Β¬ (ββ((πβ2) + (1 / π))) β€ (πβ(π΄ππ¦)) β ((π΄π·π¦)β2) β€ ((πβ2) + (1 / π)))) |
101 | 100 | reximdva 3166 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β β) β (βπ¦ β π Β¬ (ββ((πβ2) + (1 / π))) β€ (πβ(π΄ππ¦)) β βπ¦ β π ((π΄π·π¦)β2) β€ ((πβ2) + (1 / π)))) |
102 | 67, 101 | mpd 15 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β β) β βπ¦ β π ((π΄π·π¦)β2) β€ ((πβ2) + (1 / π))) |
103 | 102 | ralrimiva 3144 |
. . 3
β’ (π β βπ β β βπ¦ β π ((π΄π·π¦)β2) β€ ((πβ2) + (1 / π))) |
104 | 9 | fvexi 6861 |
. . . 4
β’ π β V |
105 | | nnenom 13892 |
. . . 4
β’ β
β Ο |
106 | | oveq2 7370 |
. . . . . 6
β’ (π¦ = (πβπ) β (π΄π·π¦) = (π΄π·(πβπ))) |
107 | 106 | oveq1d 7377 |
. . . . 5
β’ (π¦ = (πβπ) β ((π΄π·π¦)β2) = ((π΄π·(πβπ))β2)) |
108 | 107 | breq1d 5120 |
. . . 4
β’ (π¦ = (πβπ) β (((π΄π·π¦)β2) β€ ((πβ2) + (1 / π)) β ((π΄π·(πβπ))β2) β€ ((πβ2) + (1 / π)))) |
109 | 104, 105,
108 | axcc4 10382 |
. . 3
β’
(βπ β
β βπ¦ β
π ((π΄π·π¦)β2) β€ ((πβ2) + (1 / π)) β βπ(π:ββΆπ β§ βπ β β ((π΄π·(πβπ))β2) β€ ((πβ2) + (1 / π)))) |
110 | 103, 109 | syl 17 |
. 2
β’ (π β βπ(π:ββΆπ β§ βπ β β ((π΄π·(πβπ))β2) β€ ((πβ2) + (1 / π)))) |
111 | 10 | adantr 482 |
. . 3
β’ ((π β§ (π:ββΆπ β§ βπ β β ((π΄π·(πβπ))β2) β€ ((πβ2) + (1 / π)))) β π β
CPreHilOLD) |
112 | 11 | adantr 482 |
. . 3
β’ ((π β§ (π:ββΆπ β§ βπ β β ((π΄π·(πβπ))β2) β€ ((πβ2) + (1 / π)))) β π β ((SubSpβπ) β© CBan)) |
113 | 12 | adantr 482 |
. . 3
β’ ((π β§ (π:ββΆπ β§ βπ β β ((π΄π·(πβπ))β2) β€ ((πβ2) + (1 / π)))) β π΄ β π) |
114 | | simprl 770 |
. . 3
β’ ((π β§ (π:ββΆπ β§ βπ β β ((π΄π·(πβπ))β2) β€ ((πβ2) + (1 / π)))) β π:ββΆπ) |
115 | | simprr 772 |
. . . 4
β’ ((π β§ (π:ββΆπ β§ βπ β β ((π΄π·(πβπ))β2) β€ ((πβ2) + (1 / π)))) β βπ β β ((π΄π·(πβπ))β2) β€ ((πβ2) + (1 / π))) |
116 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . 8
β’ (π = π β (πβπ) = (πβπ)) |
117 | 116 | oveq2d 7378 |
. . . . . . 7
β’ (π = π β (π΄π·(πβπ)) = (π΄π·(πβπ))) |
118 | 117 | oveq1d 7377 |
. . . . . 6
β’ (π = π β ((π΄π·(πβπ))β2) = ((π΄π·(πβπ))β2)) |
119 | | oveq2 7370 |
. . . . . . 7
β’ (π = π β (1 / π) = (1 / π)) |
120 | 119 | oveq2d 7378 |
. . . . . 6
β’ (π = π β ((πβ2) + (1 / π)) = ((πβ2) + (1 / π))) |
121 | 118, 120 | breq12d 5123 |
. . . . 5
β’ (π = π β (((π΄π·(πβπ))β2) β€ ((πβ2) + (1 / π)) β ((π΄π·(πβπ))β2) β€ ((πβ2) + (1 / π)))) |
122 | 121 | rspccva 3583 |
. . . 4
β’
((βπ β
β ((π΄π·(πβπ))β2) β€ ((πβ2) + (1 / π)) β§ π β β) β ((π΄π·(πβπ))β2) β€ ((πβ2) + (1 / π))) |
123 | 115, 122 | sylan 581 |
. . 3
β’ (((π β§ (π:ββΆπ β§ βπ β β ((π΄π·(πβπ))β2) β€ ((πβ2) + (1 / π)))) β§ π β β) β ((π΄π·(πβπ))β2) β€ ((πβ2) + (1 / π))) |
124 | | eqid 2737 |
. . 3
β’ (1 /
(((((π΄π·((βπ‘βπ½)βπ)) + π) / 2)β2) β (πβ2))) = (1 / (((((π΄π·((βπ‘βπ½)βπ)) + π) / 2)β2) β (πβ2))) |
125 | 6, 7, 8, 9, 111, 112, 113, 13, 14, 15, 5, 114, 123, 124 | minvecolem4 29864 |
. 2
β’ ((π β§ (π:ββΆπ β§ βπ β β ((π΄π·(πβπ))β2) β€ ((πβ2) + (1 / π)))) β βπ₯ β π βπ¦ β π (πβ(π΄ππ₯)) β€ (πβ(π΄ππ¦))) |
126 | 110, 125 | exlimddv 1939 |
1
β’ (π β βπ₯ β π βπ¦ β π (πβ(π΄ππ₯)) β€ (πβ(π΄ππ¦))) |