Theorem nvm1 30756

Description: The norm of the negative of a vector. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvs.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvs.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
nvs.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvm1	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(-1𝑆𝐴)) = (𝑁‘𝐴))

Proof of Theorem nvm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12139	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		nvs.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		nvs.4	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
4		nvs.6	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
5	2, 3, 4	nvs 30754	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(-1𝑆𝐴)) = ((abs‘-1) · (𝑁‘𝐴)))
6	1, 5	mp3an2 1458	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(-1𝑆𝐴)) = ((abs‘-1) · (𝑁‘𝐴)))
7		ax-1cn 11092	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
8	7	absnegi 15358	. . . . 5 ⊢ (abs‘-1) = (abs‘1)
9		abs1 15254	. . . . 5 ⊢ (abs‘1) = 1
10	8, 9	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ (abs‘-1) = 1
11	10	oveq1i 7369	. . 3 ⊢ ((abs‘-1) · (𝑁‘𝐴)) = (1 · (𝑁‘𝐴))
12	2, 4	nvcl 30752	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11169	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℂ)
14	13	mullidd 11159	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1 · (𝑁‘𝐴)) = (𝑁‘𝐴))
15	11, 14	eqtrid 2788	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((abs‘-1) · (𝑁‘𝐴)) = (𝑁‘𝐴))
16	6, 15	eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(-1𝑆𝐴)) = (𝑁‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  ℂcc 11032  1c1 11035   · cmul 11039  -cneg 11374  abscabs 15191  NrmCVeccnv 30675  BaseSetcba 30677   ·_𝑠OLD cns 30678  norm_CVcnmcv 30681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111  ax-pre-sup 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-div 11804  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-vc 30650  df-nv 30683  df-va 30686  df-ba 30687  df-sm 30688  df-0v 30689  df-nmcv 30691

This theorem is referenced by:  nvdif  30757  nvge0  30764