Theorem nvm1 30613

Description: The norm of the negative of a vector. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvs.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvs.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
nvs.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvm1	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(-1𝑆𝐴)) = (𝑁‘𝐴))

Proof of Theorem nvm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12362	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		nvs.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		nvs.4	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
4		nvs.6	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
5	2, 3, 4	nvs 30611	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(-1𝑆𝐴)) = ((abs‘-1) · (𝑁‘𝐴)))
6	1, 5	mp3an2 1450	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(-1𝑆𝐴)) = ((abs‘-1) · (𝑁‘𝐴)))
7		ax-1cn 11195	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
8	7	absnegi 15422	. . . . 5 ⊢ (abs‘-1) = (abs‘1)
9		abs1 15319	. . . . 5 ⊢ (abs‘1) = 1
10	8, 9	eqtri 2757	. . . 4 ⊢ (abs‘-1) = 1
11	10	oveq1i 7423	. . 3 ⊢ ((abs‘-1) · (𝑁‘𝐴)) = (1 · (𝑁‘𝐴))
12	2, 4	nvcl 30609	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11271	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℂ)
14	13	mullidd 11261	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1 · (𝑁‘𝐴)) = (𝑁‘𝐴))
15	11, 14	eqtrid 2781	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((abs‘-1) · (𝑁‘𝐴)) = (𝑁‘𝐴))
16	6, 15	eqtrd 2769	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(-1𝑆𝐴)) = (𝑁‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  ℂcc 11135  1c1 11138   · cmul 11142  -cneg 11475  abscabs 15256  NrmCVeccnv 30532  BaseSetcba 30534   ·_𝑠OLD cns 30535  norm_CVcnmcv 30538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-sup 9464  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13017  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15121  df-re 15122  df-im 15123  df-sqrt 15257  df-abs 15258  df-vc 30507  df-nv 30540  df-va 30543  df-ba 30544  df-sm 30545  df-0v 30546  df-nmcv 30548

This theorem is referenced by:  nvdif  30614  nvge0  30621