Theorem nvm1 30390

Description: The norm of the negative of a vector. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvs.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvs.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
nvs.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvm1	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(-1𝑆𝐴)) = (𝑁‘𝐴))

Proof of Theorem nvm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12324	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		nvs.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		nvs.4	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
4		nvs.6	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
5	2, 3, 4	nvs 30388	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(-1𝑆𝐴)) = ((abs‘-1) · (𝑁‘𝐴)))
6	1, 5	mp3an2 1445	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(-1𝑆𝐴)) = ((abs‘-1) · (𝑁‘𝐴)))
7		ax-1cn 11165	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
8	7	absnegi 15345	. . . . 5 ⊢ (abs‘-1) = (abs‘1)
9		abs1 15242	. . . . 5 ⊢ (abs‘1) = 1
10	8, 9	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ (abs‘-1) = 1
11	10	oveq1i 7412	. . 3 ⊢ ((abs‘-1) · (𝑁‘𝐴)) = (1 · (𝑁‘𝐴))
12	2, 4	nvcl 30386	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11240	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℂ)
14	13	mullidd 11230	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1 · (𝑁‘𝐴)) = (𝑁‘𝐴))
15	11, 14	eqtrid 2776	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((abs‘-1) · (𝑁‘𝐴)) = (𝑁‘𝐴))
16	6, 15	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(-1𝑆𝐴)) = (𝑁‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  ℂcc 11105  1c1 11108   · cmul 11112  -cneg 11443  abscabs 15179  NrmCVeccnv 30309  BaseSetcba 30311   ·_𝑠OLD cns 30312  norm_CVcnmcv 30315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-rp 12973  df-seq 13965  df-exp 14026  df-cj 15044  df-re 15045  df-im 15046  df-sqrt 15180  df-abs 15181  df-vc 30284  df-nv 30317  df-va 30320  df-ba 30321  df-sm 30322  df-0v 30323  df-nmcv 30325

This theorem is referenced by:  nvdif  30391  nvge0  30398