MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oiiso Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oiiso 9481
Description: The order isomorphism of the well-order 𝑅 on 𝐴 is an isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oicl.1 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
Assertion
Ref Expression
oiiso ((𝐴𝑉𝑅 We 𝐴) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))

Proof of Theorem oiiso
StepHypRef Expression
1 exse 5600 . 2 (𝐴𝑉𝑅 Se 𝐴)
2 oicl.1 . . . 4 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
32ordtype 9476 . . 3 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
43ancoms 460 . 2 ((𝑅 Se 𝐴𝑅 We 𝐴) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
51, 4sylan 581 1 ((𝐴𝑉𝑅 We 𝐴) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107   E cep 5540   Se wse 5590   We wwe 5591  dom cdm 5637   Isom wiso 6501  OrdIsocoi 9453
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-oi 9454
This theorem is referenced by:  oien  9482  wofib  9489  cantnfle  9615  cantnflt  9616  cantnflt2  9617  cantnfp1lem3  9624  cantnflem1b  9630  cantnflem1d  9632  cantnflem1  9633  wemapwe  9641  cnfcomlem  9643  cnfcom  9644  cnfcom3lem  9647  infxpenlem  9957  finnisoeu  10057  dfac12lem2  10088  cofsmo  10213  fpwwe2lem5  10579  fpwwe2lem6  10580  fpwwe2lem8  10582  pwfseqlem5  10607  fz1isolem  14369
  Copyright terms: Public domain W3C validator