Theorem oiiso 9528

Description: The order isomorphism of the well-order 𝑅 on 𝐴 is an isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oicl.1	⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
oiiso	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 We 𝐴) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))

Proof of Theorem oiiso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exse 5638	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝑅 Se 𝐴)
2		oicl.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
3	2	ordtype 9523	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
4	3	ancoms 459	. 2 ⊢ ((𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝑅 We 𝐴) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
5	1, 4	sylan 580	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 We 𝐴) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   E cep 5578   Se wse 5628   We wwe 5629  dom cdm 5675   Isom wiso 6541  OrdIsocoi 9500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-oi 9501

This theorem is referenced by:  oien  9529  wofib  9536  cantnfle  9662  cantnflt  9663  cantnflt2  9664  cantnfp1lem3  9671  cantnflem1b  9677  cantnflem1d  9679  cantnflem1  9680  wemapwe  9688  cnfcomlem  9690  cnfcom  9691  cnfcom3lem  9694  infxpenlem  10004  finnisoeu  10104  dfac12lem2  10135  cofsmo  10260  fpwwe2lem5  10626  fpwwe2lem6  10627  fpwwe2lem8  10629  pwfseqlem5  10654  fz1isolem  14418