Theorem oiiso 9444

Description: The order isomorphism of the well-order 𝑅 on 𝐴 is an isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oicl.1	⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
oiiso	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 We 𝐴) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))

Proof of Theorem oiiso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exse 5583	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝑅 Se 𝐴)
2		oicl.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
3	2	ordtype 9439	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
4	3	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝑅 We 𝐴) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
5	1, 4	sylan 581	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 We 𝐴) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   E cep 5522   Se wse 5574   We wwe 5575  dom cdm 5623   Isom wiso 6492  OrdIsocoi 9416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pr 5376  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-oi 9417

This theorem is referenced by:  oien  9445  wofib  9452  cantnfle  9582  cantnflt  9583  cantnflt2  9584  cantnfp1lem3  9591  cantnflem1b  9597  cantnflem1d  9599  cantnflem1  9600  wemapwe  9608  cnfcomlem  9610  cnfcom  9611  cnfcom3lem  9614  infxpenlem  9925  finnisoeu  10025  dfac12lem2  10057  cofsmo  10181  fpwwe2lem5  10548  fpwwe2lem6  10549  fpwwe2lem8  10551  pwfseqlem5  10576  fz1isolem  14386